a中全局最小方差投资组合权重的检验

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英文标题：
《Tests for the weights of the global minimum variance portfolio in a
  high-dimensional setting》
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作者：
Taras Bodnar, Solomiia Dmytriv, Nestor Parolya and Wolfgang Schmid
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this study, we construct two tests for the weights of the global minimum variance portfolio (GMVP) in a high-dimensional setting, namely, when the number of assets $p$ depends on the sample size $n$ such that $\\frac{p}{n}\\to c \\in (0,1)$ as $n$ tends to infinity. In the case of a singular covariance matrix with rank equal to $q$ we assume that $q/n\\to \\tilde{c}\\in(0, 1)$ as $n\\to\\infty$. The considered tests are based on the sample estimator and on the shrinkage estimator of the GMVP weights. We derive the asymptotic distributions of the test statistics under the null and alternative hypotheses. Moreover, we provide a simulation study where the power functions and the receiver operating characteristic curves of the proposed tests are compared with other existing approaches. We observe that the test based on the shrinkage estimator performs well even for values of $c$ close to one.
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中文摘要：
在这项研究中，我们构建了高维环境下全局最小方差投资组合（GMVP）权重的两个测试，即当资产数量$p$取决于样本大小$n$，使得$n$趋于无穷大时，从$\\ frac{p}{n}到c（0,1）$。在秩等于$q$的奇异协方差矩阵的情况下，我们假设（0，1）$中的$q/n到{c}作为$n到{infty$。所考虑的测试基于GMVP权重的样本估计量和收缩估计量。我们推导了在零假设和替代假设下检验统计量的渐近分布。此外，我们还提供了一个仿真研究，将所提出测试的功率函数和接收机工作特性曲线与其他现有方法进行了比较。我们观察到，基于收缩估计器的测试即使对于接近1加元的值也表现良好。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Tests_for_the_weights_of_the_global_minimum_variance_portfolio_in_a_high-dimensi.pdf (782.82 KB)

2022-6-1 15:06:27 上传

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关键词：投资组合 distribution Econophysics Quantitative Applications

IEEE信号处理学报，2019年即将出版。。。1在高维环境中测试全球最小方差组合的权重塔拉斯·博德纳拉、索洛米亚·德米特里夫、内斯特·帕罗利亚坎德和沃尔夫冈·施密达斯德哥尔摩大学数学系、瑞典统计局、法兰克福维亚德里纳欧洲大学（Oder）、代尔夫特理工大学德国应用数学研究所、，荷兰统计局在本研究中，我们在高维环境下构建了两个全球最小方差投资组合（GMVP）权重测试，即当资产数量p取决于样本量n，使得pn→ c∈ （0，1）因为n趋于不完整。在奇异协方差矩阵为q的情况下，我们假设q/n→ c∈ （0，1）为n→ ∞.所考虑的测试基于GMVP权重的样本估计量和收缩估计量。我们推导了零假设和替代假设下检验统计量的渐近分布。此外，我们还提供了一个仿真研究，将所提出测试的功率函数和接收机工作特性曲线与其他现有方法进行了比较。我们观察到，基于收缩估计器的测试即使对于接近于1的c值也表现良好。指数术语财务；投资组合分析；全球最小方差投资组合；统计检验；收缩率估计器；随机矩阵理论；奇异协方差矩阵。一、 金融市场近年来发展迅速，投资于风险资产的金额大幅增加。

因此，投资者必须了解最佳投资组合比例，以便获得更大的预期回报，同时降低与投资决策相关的风险水平。自Markowitz（1952）提出均值-方差分析以来，许多关于最优投资组合选择的著作已经发表。然而，投资者在实际实施这些投资理论时面临一些困难，因为在估计未知理论量时存在抽样误差。在经典渐近分析中，几乎总是假设样本量增加，而投资组合的规模，即包含资产的数量p保持不变（例如，Jobson和Korkie（1981），Okhrin和Schmid（2006））。如今，这种情况通常被称为标准渐近（参见，Cam和Yang（2000））。这里，最优投资组合的传统插件估计量，即所谓的样本估计量，是一致且渐近正态分布的。然而，通讯作者：内斯特·帕罗利亚。电子邮件：N。Parolya@tudelft.nlc 2019年IEEE。允许个人使用此材料。

在任何当前或未来的媒体中，所有其他用途都必须获得IEEE的许可，包括出于广告或促销目的重新印刷/重新发布本材料，创作新的集体作品，转售或重新分发给服务器或列表，或在其他作品中重复使用本作品的任何受版权保护的部分。在许多应用中，与样本量相比，投资组合中的资产数量更大（即投资组合维度p和样本量n往往同时趋于完整），因此Pn趋向于集中度c>0。在这种情况下，我们面临着所谓的高维症状或“Kolmogorov”渐近（见B¨uhlmann and van De Geer（2011），Bai and Shi（2011），Cai and Shen（2011），Bodnar，Dette and Parolya（2019））。每当数据的维数较大时，经典极限定理就不再适用，因为传统的估计量会严重偏离高维符号下的最优估计量（Bai和Silverstein（2010））。这些方法无法提供资产收益未知参数的一致估计，即平均向量和协方差矩阵。通常，浓度比c越大，样本估计量越差。在这些情况下，必须开发新的检验统计量，并且必须对其推导应用全新的渐近技术。一些研究利用随机矩阵理论的结果处理投资组合理论中的高维渐近性（见Frahm和Jaekel（2008）和Laloux、Cizeau、Potters和Bouchaud（2000））。最近，Bodnar、Parolya和Schmid（2018）提出了全球最小方差投资组合（GMVP）权重的收缩类型估计器，Bodnar、Okhrin和Parolya（2019）推导出了平均方差投资组合的最优收缩估计器。测试投资组合的效率是金融领域的一个经典问题。

理论上看起来不错的东西往往会受到不确定性和维度的影响。尽管如此，一些方法提供了有效的投资组合选择策略，包括GMVP，GMVP是一种资产的混合物，可以将投资组合的方差/波动性降至最低。这种策略的成功违反了现代投资组合理论，因为它只考虑了投资组合的方差。但许多实证研究表明，专注于最小化波动性的投资组合会产生优异的样本外结果（见Clarkeet al.（2011、2006）、Jagannathan和Ma（2003）、Ledoit和Wolf（2004）等）。这就是为什么考虑到资产回报的不确定性和投资组合的大维度，有必要提供一个统计测试，以确定当前投资组合的构成是否不同于传统的GMVP。以前的文献侧重于标准渐近的情况，或考虑p和n都固定的精确检验。例如，Gibbons、Ross和Shanken（1989年）对给定投资组合的效率进行了精确的F检验，Britten Jones（1999年）基于线性回归的应用导出了有效投资组合权重的推理程序。最近，Bodnar和Schmid（2008）提出了在椭圆等高线分布情况下对投资组合权重的一般线性假设的检验。这项研究的贡献是推导了在高维渐近条件下测试投资组合有效性的统计技术。考虑了两个统计检验。第一种方法基于Bodnar和Schmid（2008）在高维设置中提出的检验统计量的渐近分布，而第二种方法利用了GMVP权重的收缩估计量，为现有方法提供了强有力的替代方法。

据我们所知，这是首次将收缩法应用于统计测试理论。必须提到的是，本文的主题与统计信号处理中的经典方法之间有着直接的联系。与信号处理文献中的GMVP投资组合等效的是Capon或最小方差空间滤波器（见Verd'u（1998）和Van Trees（2002））。Rubio、Mestre和Palomar（2012）已经研究了高维最小方差波束形成器的估计风险，而Li、Stoica和Wang（2004）讨论了其受限版本。Mestre和Lagunas（2006）研究了有限样本量对最小方差滤波器的影响。Zhang等人（2013）讨论了精度矩阵的改进校准，即构建GMVPportfolio的中心对象。有关随机矩阵理论在信号处理和投资组合优化中应用的更多文献，请参阅Feng和Palomar（2016）及其参考文献。我们提出的测试程序不仅可用于GMV投资组合的测试，还可用于推断收缩强度，即收缩程度，以降低GMVP的估计风险。我们的测试基于GMVP权重的收缩技术，因此，设定不同的收缩目标会导致不同的测试，这可能会引起财务分析师的独立兴趣。例如，我们可以构建一个测试，来检验GMVP投资组合是否随机支配一个幼稚的（等权重）投资组合，这在过去十年中吸引了金融科学家的大量关注（见DeMiguel、Garlappi、Francisco and Uppal（2009）、DeMiguel、Garlappiand Uppal（2009））。本文的结构如下。

在第二节中，我们讨论了Okhrin和Schmid（2006）提出的最优投资组合权重的分布性质的主要结果。第III.A节提出了基于Bodnar和Schmid（2008）中给出的检验统计量的高维检验版本，而第III.B节推导了基于GMVP权重收缩估计的新检验。获得了零假设和替代假设下检验统计量的共态分布，并给出了两种试验对应的幂函数。在第III.C节中，当协方差矩阵奇异时，在高维设置下提出了GMVP权重的新测试程序。在第四节中，针对不同的C值，将所提议试验的功率函数和接收器工作特性曲线相互比较∈ (0, 1). 在我们的对比研究中，还考虑了Glombeck（2014）的测试。我们在第五节中得出结论。所有证据都在附录中给出。二、最佳投资组合权重的估计我们考虑由p个风险资产组成的金融市场。设Xt表示时间t时风险资产收益率的p维向量。假设E（Xt）=u，Cov（Xt）=∑。假设协方差矩阵∑为正定义。让我们考虑一个投资于GMVP的单期投资者，GMVP是最常用的投资组合之一（例如，见Memmel和Kempf（2006）、Frahm和Memmel（2010）、Okhrin和Schmid（2006）、Bodnar和Schmid（2008）、Glombeck（2014）等）。该投资组合在约束条件w1=1下表现出可达到的最小投资组合方差w∑w，其中1=（1，…，1）表示1的Pd维向量，w表示投资组合权重向量。GMVP的权重由WGMV P=给出∑-1Σ-1.

（1） 全局最小方差组合在涉及阵列信号处理的应用中具有重要意义。在阵列处理文献中，它是所谓的最小方差无失真响应（MVDR）空间滤波器或波束形成器，定义为wMV DR=∑-1ssH∑-1s（参见，例如，Van Trees（2002），第6章）。向量s∈Cpis与某些波形相关的标量特征向量∈C、 因此，本文开发的全球最小方差组合测试可以通过简单的修改直接用于最小方差波束形成器。根据马科维茨（1952）的精神，均值-方差框架的实际实施依赖于对资产回报的前两个时刻的估计。因为我们不知道真正的协方差矩阵，所以通常用它的样本估计量代替，该估计量基于n>物理资产收益率X，…，的样本，Xngiven乘以∑n=n- 1nXj=1Xj公司-\'\'XnXj公司-\'\'Xn“Xn=nnXv=1Xv”。（2） 将（1）中的∑替换为样本估计量∑n，我们得到了GMVP权重的估计量，表示为∑wn=∑-1n^∑-1n。（3） 注意，GMVP权重的估计量是协方差矩阵的估计量∑nof的唯一函数。假设资产收益{Xt}遵循均值u和协方差矩阵∑的平稳高斯过程，Okhrin和Schmid（2006）证明了估计的最优投资组合权重向量是渐近正态的。在独立的附加假设下，他们导出了^wn的精确分布。

Okhrin和Schmid（2006）表明，任意p-1^wnis a的成分（p-1） n维t分布- p+1自由度（^wn）=wGMV p，Cov（^wn）=Ohm =n- p- 1Q∑-1，Q=∑-1.-Σ-1Σ-1Σ-1、因此，如果^w*与非w*通过删除^wn和wGMV Pand if的最后一个元素获得的GMV PareOhm*andQ公司*包括第一个（p- 1） ×（p- 1） 要素Ohm和Q，然后是^w*nhas a（p- 1） -变量t分布，带n- p+1自由度和参数w*GMV Pandn公司- p+1季度*Σ-1、该分布用^w表示*n~ tp-1（n- p+1，w*GMV P，n- p- 1n- p+1Ohm*), 辛岑- p- 1n- p+1Ohm*=n- p+1季度*Σ-1.III高维GMVP测试理论在每个时间点，投资者都有兴趣知道他持有的投资组合是否与真实的GMVPor一致，是否需要重建。因此，我们考虑以下测试问题：H:wGMV P=r与H:wGMV P6=r，（4）其中r1=1的r是已知向量，例如，持有投资组合的权重。因此，该问题分析真实GMVP权重是否等于某些给定值。Bodnar和Schmid（2008）分析了GMVP投资组合权重的一般线性假设，并引入了一个精确检验，假设资产回报是独立的且呈等高线分布的。此外，他们还得出了在零假设和替代假设下检验统计量的准确分布。本研究的重点是高维投资组合。我们想在高维环境中考虑测试问题（4），也就是说，假设pn→ c∈（0，1）为n→ ∞. 请注意，在这种情况下，将Hdepend也放在n上。因此，写入0，n:w更为精确*GMV P，n=r*nand H1，n：w*GMV P，n6=r*n、 在下面，为了简化我们的符号，我们将忽略这个事实。

此外，事实证明，样本协方差矩阵不再是协方差矩阵的良好估计量（参见，Bai和Shi（2011），Bai和Silverstein（2010），Yao，Zheng和Bai（2015））。事实上，后者表明如果p/n→ c∈ （0，1），协方差矩阵为∑=I，那么样本协方差矩阵∑nis的特征值的经验谱分布(1 -√c） ，（1+√c）. 因此，p/n越大，特征值分布越广。这意味着在Lnormthat∑nis方面不一致。因此，目前尚不清楚Bodnarand Schmid（2008）的测试在这种情况下表现如何。首先，我们研究了其在高维渐近条件下的行为，然后，我们提出了一个替代测试，该测试使用了投资组合权重的收缩估计量（参见Bodnar、Parolya和Schmid（2018））。近年来，一些研究涉及高维渐近下未知投资组合参数的估计，并将其应用于投资组合理论。格隆贝克（2014）制定了c∈ (0, 1).Bodnar、Parolya和Schmid（2018年）和Bodnar、Okhrin和Parolya（2019年）分别在c∈ (0, ∞).A、 一项基于Mahalanobis DistanceBodnar和Schmid（2008）的测试提出了对全球最小方差投资组合权重的一般线性假设的测试。这里，我们对特例（4）感兴趣。对于这种情况，测试统计量由tn=n给出- 聚丙烯- 1(1^Σ-11） （^w*n- r*)（^Q*n）-1（^w*n- r*), （5） 其中^Q*第一组的一致性（p- 1） ×（p- 1） 元素^Qn=^∑-1n-^Σ-1n^∑-1n/1^∑-1n1和组合中资产p的数量是固定的。