a中全局最小方差投资组合权重的检验

结果表明，TN具有无中心F分布，p-1和n-p零假设下的自由度，即Tn~ Fp公司-1，n-p、 此外，替代假设下的tn密度等于tofTn（x）=fp-1，n-p（x）（1+λ）-（n）-1） /2×Fn- 1，n- 1，p- 1.（p- 1） xn公司- p+（p- 1） xλ1+λ,（6） 式中λ=1∑-11（宽*GMV P- r*)（Q）*)-1（w*GMV P- r*) （7） AndF代表超几何函数（见Abramowitz和Stegun（1964），第15章），即F（a，b，c；x）=Γ（c）Γ（a）Γ（b）∞Xi=0Γ（a+i）Γ（b+i）Γ（c+i）zii！。因此，测试的精确幂函数由g（λ，p，n）=1给出-Z∞f1级-α;p-1，n-pfTn（x）dx，（8），其中f1-α;p-1，n-PDE关闭（1- α） 中心F分布的分位数与p-1和n-p自由度。请注意，该结果也适用于矩阵变量椭圆中心分布（参见Bodnar和Schmid（2008））。另一方面，当对p和n的大值计算检验的幂函数时，会出现一些计算上的困难，因为这样做涉及到一个超几何函数，其计算对于p和n的大值来说非常具有挑战性。为了解决这个问题，我们在高维环境中推导出tn的共态分布。定理1给出了这个结果。证据在附录中。由于λ依赖于p（即n）到∑，因此我们在本文的其余部分写λ。定理1：设p≡ p（n）和cn=pn→ c∈ (0, 1).假设{Xt}是一个独立的正态分布p维随机向量序列，其均值u和协方差矩阵∑，假设为正定义。LetCn=2+2λnc+4λnc+2c1- c1+λnc.然后，它认为PP- 1吨- 1.- λnn-1便士-1Cn！d→ N（0，1）表示零件号→ c∈ （0，1）为n→ ∞.

在无效假设下，√p- 1（Tn-1） d→ N（0，2/（1- c） ）用于p/n→ c∈ （0，1）asn→ ∞.定理1的结果导出了P给出的幂函数的渐近表达式√p- 1（Tn- 1） p2/（1）- c） >z1-α!= 1.- P√p- 1.田纳西州- 1.- λnn-1便士-1.中国大陆≤q（1-c） z1级-α-√p-1λn（n-1） p-1Cn！≈ 1.- Φp2/（1）- c） z1级-α-√p- 1λncCn！，（9） 其中z1-α是（1- α） -标准正态分布的分位数。在图1中，我们将c和n（实线）的几个值的幂函数（9）绘制为λ的函数。此外，c和n（虚线）的相同值显示了检验的经验威力，并且等于通过模拟研究获得的无效假设的相对拒绝次数。值得注意的是，在引理5之后，所考虑的模拟研究可以相当简单。而不是在每次模拟运行中生成资产回报的p×n随机矩阵，我们从标准的单变量分布中模拟了四个独立的随机变量，然后根据附录中的随机表示（33）计算λn给定值的统计量tn。即，通过以下方式进行仿真研究：（i）生成四个独立的随机变量ω（b）~N（0，1），ξ（b）~ χn-p、 ξ（b）~ χn-1和ξ（b）~ χp-2（ii）对于固定λn，计算（b）nd=n- 聚丙烯- 1（qλnξ（b）+ω（b））+ξ（b）ξ（b）（iii）重复步骤（i）和（ii），b=1。。。，B、 式中，B是独立重复次数，通过^P=BBXb=1（z1）计算经验功率-α,+∞)√p- 1.T（b）n- 1.p2/（1）- c）, （10） 其中1A（.）是集合A的指示函数。在图1中，我们观察到幂函数的渐近近似的良好性能。

这种近似方法几乎适用于c的大小值。非中心参数λnPowerc=0.10.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0渐近经验非中心参数λnPowerc=0.50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 IcalNonCentrality参数，λnPowerc=0.70.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0渐近经验中心参数，λnPowerc=0.90.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0渐近经验图1：渐近幂函数（实线）与经验幂函数（虚线Edline）作为λ的函数，用于（4）中的测试问题∈{0.1、0.5、0.7、0.9}，n=500。测试的标称显著性水平（I类错误的可能性）为α=5%。B、 基于收缩估计量的检验在大多数情况下，在构建最优投资组合时，资产收益率分布的未知参数被其样本对应物所替代。然而，近年来，也讨论了其他类型的估计量，如收缩估计量（见Okhrin和Schmid（2007）以及Bodnar、Parolya和Schmid（2018））。shrinkagemethodology由Stein（1956）提出。埃夫隆和莫里斯（1976）将他的结果推广到卵巢矩阵未知的情况。收缩法可以应用于预期资产回报（例如Jorion（1986））和协方差矩阵（Bodnar、Gupta和Parolya（2014、2016））。这两种应用似乎都非常成功地减少了对portfolioselection的破坏性影响。Golosnoy和Okhrin（2007）和Okhrinand Schmid（2008）将收缩估计量直接应用于投资组合权重。

他们表明，投资组合权重的收缩估计值会导致投资组合权重方差的减少和效用的增加。Bodnar、Parolya和Schmid（2018）提出了一种新的GMVP权重收缩估计器，该估计器在高维情况下的结果优于现有估计器。该估计器基于GMVP权重的样本估计器与表示为^wn的任意常数向量的凸组合；GSE=αn^∑-1n^∑-1n+（1- αn）BN，bn1=1。（11） 这里，指数GSE代表“一般收缩估计器”。假设bn∈ Rp是一个常数向量，使得bn∑bn一致有界。Bodnar、Parolya和Schmid（2018）建议确定给定目标投资组合BN的最佳收缩强度α，以确保样本风险最小，即L=（^wn；GSE- wGMV P∑（^wn；GSE）- wGMV P）（12）相对于αn最小。该结果导致^αn=（bn- ^wn）∑bn（bn- ^wn）∑（bn- ^wn）。（13） 作者指出，最佳收缩强度^αnis几乎肯定渐近等价于非随机量▄αn∈ [0，1]时→ c∈ （0，1）为n→ ∞, 其中由|αn=（1）给出- c） Rbnc+（1- c） Rbn，（14），其中Rbn=σbn- σnσn=1∑-110亿∑10亿- 1（15）是目标投资组合的相对损失bn，σbn=bn∑bn是目标投资组合的方差，σn=1/1∑-11是GMVP的方差。该结果提供了由^Иαn=（1）给出的最佳收缩强度的估计值-pn）^Rbnpn+（1-pn）^Rbn，^Rbn=（1-pn）bn∑nbn∑-1n1-1.（16）使用估计的收缩强度^Иαn，相应的投资组合权重由^wn给出；ESI=^Иαn^wn+（1-^Иαn）bn。（17） Bodnar、Parolya和Schmid（2018）证明→ 1 ifpn→ c∈ （0，1）为n→ ∞. 在定理2中，我们证明了估计的强度是渐近正态分布的。

定理2的证明在附录中给出。定理2：设p≡ p（n）和cn=pn→ c∈ (0, 1).假设{Xt}是一个独立的正态分布p维随机向量序列，其均值u和协方差矩阵∑，假设为正定义。然后√n^Иαn- AnBnd公司→ N（0，1）表示零件号→ c∈ （0，1）为n→ ∞,（18） 式中=（1- cn）Rbncn+（1- cn）Rbn，Bn=2cn（1- cn）（2- cn）（Rbn+1）（（cn+Rbn（1- cn））Rbn+cn2- 中国大陆.接下来，我们介绍一种基于估计收缩强度的测试。动机基于以下等价物（见，（14）和（15））：αn=0<==> Rbn=0<==> σbn=σn。该结果意味着|αn=0，当且仅当基于bn的投资组合的方差等于GMVP的方差。这一发现反过来意味着bn∑bn=1/1∑-11=最小值：w=1w∑w=wGMV P∑wGMV P。由于GMVPweights是唯一确定的，因此当且仅当bn=wGMV P时，此结果有效。选择bn=r，则wGMV P=r<==> αn=0。因此，可以使用收缩强度对GMVP的结构进行测试，假设H：￠αn=0，H：￠αn>0。（19） 请注意，^Иα=^Иα（bn）。Let序号=√n^Иα（bn=r）。对于检验（19），我们使用检验统计量Sn。从定理2我们得到-√nAnBnd公司→ N（0，1）表示零件号→ c∈ （0，1）为n→ ∞,其中A和B在定理2的陈述中给出。此外，在无效假设下，Rbn=0，因此，Snd→ N（0，2（1- c） /c）对于p/n→ c∈ （0，1）asn→ ∞. 这一结果为我们提供了一种检测真实投资组合权重与给定数量偏差的新方法。利用定理2，我们可以对这个测试的幂函数进行陈述。由于anandbn依赖于bn，我们只需将该数量替换为r。这是事实PSnq1-cc>z1-α= 1.- PSn公司- An（bn=r）bn（bn=r）≤第一季度-ccz1-α- An（bn=r）bn（bn=r）！≈ 1.- Φ第一季度-ccz1-α- An（bn=r）bn（bn=r）.

（20） 请注意，（20）中给出的近似值纯粹是Rbn=r的函数。该特性与第III.a节中讨论的测试主要不同，其中幂函数是λn的函数。这些特性对于分析两个测试的性能和简化幂分析非常有用。在图2中，测试功率显示为Rbnand n的函数。可以看出，对于较小的c值，测试性能更好。随着c值的增加，测试功率降低。我们确定了两个不同样本数的幂函数，n=500和n=1500。正如预期的那样，对于较大的n值，测试显示出更好的性能，因为An（bn=r）增加，所以（20）中累积分布函数中表达式的分子变为负数，整个表达式趋于1。投资组合的相对损失，RbnPowern=5000.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0c=0.1c=0.3c=0.5c=0.7c=0.9投资组合的相对损失，RbnPowern=15000.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0 0.2 0.4 0.8 1.0c=0.1c=0.3c=0.5c=0.7c=0.9图2（19）中测试问题的渐近幂函数作为各种c值的RB函数∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}. 观测值的数量为{5001500}。测试的标称显著性水平（I型错误的概率）为α=5%。C、 对于奇异协方差矩阵∑的情况，我们将第III.a节和第III.b节的结果推广到秩（σ）=q<p的奇异协方差矩阵的情况。这里，我们考虑两种类型的奇异性：（i）在人口协方差矩阵∑中，以及（ii）另外，在样本协方差矩阵∑nb中，允许样本大小小于维数p。

在本节中，我们将q称为数据生成过程的实际维数，因此，在高维渐近区域q/n下得出结果→ c∈ （0，1）为n→ ∞.在q<p的情况下，样本协方差矩阵^∑nissignal及其逆不存在。因此，使用∑∑n的MoorePenrose逆（我们用∑+n表示）来估计GMVP的权重，表示为∑wn=∑+n∑+n。（21）以类似的方式，获得真实的GMVP权重，它们由∧wGMV P=∑+给出。Bodnar、Mazur和Podg\'orski（2016）、Pappas、Kiriakopoulos和Kaimakamis（2010）等人已经在投资组合理论中使用了协方差矩阵的Moore-Penrose逆，而Bodnar、Dette和Parolya（2016）推导了样本协方差矩阵的Moore-Penrose逆的几个分布性质。接下来，我们考虑trueGMVP权重及其估计量的线性组合，由w给出*GMV P=L∑+和∑+和^Оw*n=L∑+n∑+n，其中L是常数k的k×p矩阵≤ q和秩（L）=k。特别是，如果L=[IkOk，p-k] 具有k维恒等式Ik和k×（p-k） 零矩阵Ok，p-k、 然后w*GMV Pis是wGMV P的第一个分量的向量。为了验证GMVP的结构，我们首先将基于Mahalanobis距离的测试扩展到由h给出的测试问题：w*GMV P=￠r*对H：~w*GMV P6=r*（22）对于某些k维向量▄r*测试统计量▄Tn=n- qk（1°∑+n1）（^w）*n-r*)（^ИQ）*n）-1（^Иw*n-r*), （23）式中^ИQ*n=L∑+nL-L∑+n∑+nL∑+n。Bodnar、Mazur和Podg'orski（2017）考虑了这一测试统计数据，他们得出了小投资组合尺寸和样本量的有限样本分布。在定理3中，我们推广了这些结果，导出了在q／n的高维符号区域下▄tn的共有分布→ c∈ （0，1）和k/n→b∈[0，1）为n→ ∞.

为此，我们还注意到（22）中仅测试了部分GMVP权重。为了测试整个投资组合的结构，我们必须重复测试（22）中的几个▄wGMV的子向量，并通过应用Bonferroni校正等方法调整每个测试的重要性水平。定理3：假设{Xt}是一个具有均值u和奇异协方差矩阵∑且秩∑=q的独立奇异正态分布p维随机向量序列≡ q（n）和▄cn=qn→ c∈ （0，1）和letk<q，使得▄bn=kn→b∈ (0, 1). 我们确定Cn=2+2（1- c+▄b）▄λn▄b+4（1- c+▄b）▄λn▄b+2▄b1- c1+（1- ~c+~b）~λn ~b！带∧n=Σ+（▄w*GMV P-r*)（Q*)-1（▄w*GMV P-r*) .那么，它认为√kTn- 1.-λnn-q+kkCn！d→ q/N为N（0，1）→ c∈ （0，1）和k/n→b∈ （0，1）asn→ ∞. 在无效假设下，√q- 1（￠Tn- 1） d→N0, 2(1 - §c+§b）/（1- c）对于q/n→ c∈ （0，1）和K/n→b∈ （0，1）为n→ ∞.定理3的结果对于推导建议检验的幂函数非常有用。与非奇异协方差矩阵的情况类似，它由p给出√q- 1.Tn- 1.p2/（1）- c）>z1-α= 1.- P√q- 1.Tn- 1.-λnn-1季度-1.中国≤q（1-c）z1-α-√q-1λn（n-1） q-1Cn！≈ 1.- Φp2/（1）- c）z1-α-√q- 1▄λn▄c▄Cn！。接下来，我们给出了基于奇异协方差矩阵∑的收缩估计的检验。与非奇异协方差矩阵的情况类似，我们得到了由^α+n给出的收缩强度=bn公司-^Иwn∑bnbn公司-^ИwnΣbn公司-^Иwn, （24）式中（21）给出了^wn。以下主张成立。命题1：假设{Xt}是一个具有均值u和奇异协方差矩阵∑且秩为q的独立奇异正态分布p维随机向量序列，并假设0<Ml≤ 1/1Σ+1 ≤ bn∑bn≤Mu<∞ 对于所有n。

最佳收缩强度^α+nis几乎肯定渐近等价于一个非随机量^α+n∈ [0，1]当q/n→ c∈ （0，1）为n→ ∞,由|α+n=（1）给出- c）R+bnc+（1- c）R+bn，（25）其中R+bn=1∑+10∑bn- 1.（26）命题1是对Bodnar等人（2018，定理2.1）的补充，并额外涵盖了非奇异矩阵∑的情况。仔细研究命题1的证明，我们可以很容易地推导出∧α+ngiven的一致估计量BY∧α+n=（1- q/n）^R+bnq/n+（1- q/n）^R+bn（27），^R+bn=（1- q/n）1∑+n1bn∑nbn- （28）现在我们准备好陈述b|α+n的中心极限定理，这是命题1和定理2证明的直接结果。定理4：设q≡ q（n）和▄cn=qn→ c∈ (0, 1).假设{Xt}是一个具有均值u和秩q的奇异协方差矩阵∑的独立奇异正态分布p维随机向量序列√n^Иα+n- A+nB+nd→ N（0，1）为N→ ∞, （29）式中+n=（1- cn）R+bncn+（1- cn）R+bn，B2+n=2cn（1- cn）（2- cn）（1+R+bn）（§cn+R+bn（1- cn）R+bn+~cn2- 中国.接下来，我们准备引入一个基于估计收缩强度的测试，以测试假设H：△α+n=0与H：△α+n>0（30），这相当于H：△wGMV P=△r与H：△wGMV P6=△r。与非奇异协方差矩阵的情况类似，我们使用测试统计量S+n=√n^Иα+（bn=r）用于测试（30）。从定理4我们得到+n-√钠+铌+钕→ q/N为N（0，1）→ c∈ （0，1）为n→ ∞,其中A+和B+在定理4的陈述中给出。在零假设下，S+nd→ N（0，2（1- 用于Q/n的▄c）/▄c）→ c∈ （0，1）为n→ ∞.

幂函数的构造方式与非奇异矩阵∑的构造方式相似。这一结果扩展了我们之前的发现，并表明，在奇异总体协方差矩阵的情况下，我们仍然可以使用基于最佳收缩强度的测试，唯一的差异是p/n，而不是p/n→ c∈ （0，1）wedemand q/n→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 我们可以安全地使用样本协方差矩阵∑n的Moore-Penrose逆来代替通常的逆。此外，基于收缩强度的测试不需要多重测试方案，这表明它比基于Mahalanobis距离的测试具有巨大的优势。四、 比较研究本节的目的是比较GMVP重量的几种测试。在前两小节中，我们考虑了GMVP重量的两个测试。对于基于经验投资组合权重的测试，测试统计的精确分布是已知的。在第三节A中，Bodnar和Schmid（2008）提出的检验的渐近幂函数是在高维环境中推导出来的。在第三节B中，提出了一种新的检验方法，并确定了它的渐近幂函数，它完全依赖于Rbn=r。两种测试依赖于不同的量，这一事实使两种测试的比较更加复杂。请注意，RBN=r=1∑-11 r∑r- 1=λnr∑r（w*GMV P- r*)（Q）*)-1（w*GMV P- r*)- 1、在这里，通过模拟将两个测试相互比较。此外，我们在比较研究中纳入了Glombeck（2014，定理10）提出的测试，以及第III.C.a节中针对奇异协方差矩阵的测试。比较研究的设计let∑是资产回报的p×p正半有限协方差矩阵，n是样本数，p≡ p（n）。