基于记忆过程的商品衍生品定价

当M是Dirac delta函数时，解将是马尔可夫的。使用拉普拉斯变换和定义^M（z）=+∞Ze公司-ztM（t）dt，（11）用于z∈ C、 对于积分有意义的情况，（10）的解可以表示为（见[15]），η（t）=H（t）η（0）+σtZH（t- u） w（u）du，（12），其中H通过其Lapl-ace变换^H（z）=H（0）z定义-^M（z），（13），为简单起见，H（0）=1。从（13）可以得出˙H（t）=tZM（t- u） H（u）du。（14） 我们在这里提供了一个m内存内核m的示例，它定义了一个对应的函数，尽管它在零处是单数的。示例2。设M（s）=s-α表示0<α<1/2。然后我们会找到一个满足（14）的函数。这意味着，在整合双方并调用Fubini后，H（t）- 1=Zt˙H（s）ds=ZtZs（s- u）-αH（u）duds=ZtZtu（s- u）-αdsH（u）du=1-αZt（t- u） 1个-αH（u）du。（15） 为了求解Volterra积分方程，我们提出H（t）=∞Xn=0bn（α）（t2-α） n.（16）我们立即发现b（α）=1。将（16）插入积分方程（15），我们得到1+1- α∞Xn=0bn（α）Zt（t- s） 1个-αs2n-nαds=Xn=0bn（α）（t2-α） n.但左侧的积分与β分布相连：Zt（t- s） 1个-αsβds=t2+β-αZ（1- u） 1个-αuβdu=t2+β-αΓ(2 - α)Γ(1 + β)Γ(3 + β - α).β=2n时- nα我们找到递归关系bn（α）=bn-1(α)Γ(2 - α） Γ（1+（n- 1)(2 - α))(1 - α） Γ（1+n（2- α)).使用该Γ（1+1- α) = (1 - α)Γ(1 - α） ，我们得出b（α）=1，bn（α）=bn-1(α)Γ1+（n- 1)(2 - α)Γ1+n（2- α)Γ(1 - α） ，n=1，2，3。（17） 现在，我们可能会问H（t）的表示（16）是否是收敛级数。通过比率测试，我们发现bn（α）（t2-α） nbn公司-1（α））（t2-α） n个-1= Γ(1 - α） t2级-αΓ1+（n- 1)(2 - α)Γ1+n（2- α).通过斯特林公式，我们得到了伽马函数的近似值，大值为Γ（1+x）~ k√x（x/e）x对于某个正常数k。

但当我们1+（n- 1)(2 - α)Γ1+n（2- α)~注册护士- 1n（n）-1)(2-α） e类（n）-1)(2-α)n（2-α） e类n（2-α） =注册护士- 1n1.-nnn型- 1e2- α2.-α→ 0当n时→ ∞, 自（n-1） /不适用→ 1, ( 1 -1/n）n→ e-1和0<α<1/2。因此，H收敛于所有t<∞.出于这些考虑，我们提出以下索赔。提案3。考虑广义朗之万方程（6），我们记得它是ξ（t）=tZM（t- u） ξ（u）du dt+χ（t-) dL（t），其中χ是一个严格正的F适应的c\'adl\'ag过程，满足E[RTχ（s）ds]<∞. 假设存在（14）的唯一解H。进一步，设M和H是such thatTZEhTZM（t- u） H（u- s） χ（s）duids<∞ t型∈ [0，T]。（18） 然后溶液（12）的类似物，即ξ（t）=H（t）ξ（0）+tZχ（u-)H（t- u） dL（u）（19）是广义朗之万方程（6）的唯一解。证据证明包括两个步骤。首先，我们证明了（19）中的ξ（t）确实是（6）的唯一解。在第二步中，我们检查是否满足所有必要的可积性条件。步骤1计算（19）中ξ（t）的微分，我们得到ξ（t）=ξ（0）dH（t）+H（0）χ（t-) dL（t）+tZddtH（t-s） χ（s）-) dL（s）dt。（20） 对于ξ（0）=ξ（0）的（20）的两个解ξ（t）和ξ（t），立即从（20）得出ξ（t）=ξ（t），对于任何t∈ [0，T]。T hus（19）是（20）的唯一解。现在，我们在（20）中插入（14），通过放置u=s+τ来改变变量，并应用托卡斯蒂福比尼定理，参见示例。

[27]，达到dξ（t）=tZM（t- u） H（u）duξ（0）dt+H（0）χ（t-) dL（t）+tZt-sZM（t- s- τ） H（τ）dτχ（s-) dL（s）dt=tZM（t- u） H（u）duξ（0）dt+H（0）χ（t-) dL（t）+tZtZsM（t- u） H（u- s） duχ（s）-) dL（s）dt=htZM（t- u） H（u）ξ（0）du+tZtZM（t- u） H（u- s） 1{s≤u} duχ（s）-) dL（s）idt+H（0）χ（t-) dL（t）=htZM（t- u） H（u）ξ（0）du+tZM（t- u） uZH（u- s） χ（s）-) dL（s）duidt+H（0）χ（t-) dL（t）=tZM（t- u） hH（u）ξ（0）+uZH（u- s） χ（s）-) dL（s）idu dt+H（0）χ（t-) dL（t）。根据（19），括号之间的系数正好是ξ（u），我们得出（20）和（6）是等价的结论。由于（19）是（20）的唯一解，满足（14）的H是唯一的，那么（19）也是（6）的唯一解。步骤2：可积性条件（18）允许我们在步骤1中应用随机富比尼定理，并意味着方程（19）和（20）中的积分项定义良好。事实上，从Tzehtzm（t- u） H（u- s） χ（s）duids=TZM（t- u） EhTZH（u- s） χ（s）dsidt<∞.我们推导出EhRTH（u- s） χ（s）dsi<∞, 进而保证（19）中的整体定义良好。此外，使用（14）我们从EHTZ中推导出ddtH（t- s）χ（s）dsi=EhtZt型-sZM（t- s- u） H（u）duχ（s）dsi≤ T EhTZTZM（T- u） H（u- s） χ（s）du dsi<∞,欢迎定义（20）中的积分。设g是[0]上的实值函数，∞) H是一个可微函数，使得g（t）=˙H（t），（21）具有H（0）的有限值和htzg（t- u） χ（u）dui<∞, t型∈ [0，T]。（22）然后从（20）型SDE开始，即考虑dξ（t）=tZg（t- u） χ（u-) dL（u）dt+g（t）ξ（0）dt+H（0）χ（t-) dL（t），（23）其中χ是一个F-适应过程，我们现在从命题3的证明中可以看出，SDE（23）承认（19）给出的唯一解。

此外，我们知道，如果存在一个唯一的M，如关系（14）保持，并且M和H满足可积条件（18），那么SDE（23）等价于SDE（6）。ty pe（23）的SDE通常用于建模，例如能源市场中的温度和风速，见【6】。在下一节中，我们将利用这些方程与Langevin方程（6）的关系来证明这类过程的等价鞅测度的存在性。为了结束本节，我们陈述了朗之万方程（6）和伏尔泰方程之间的联系，这对于我们以后的分析很重要。备注4。（A） 注意，所考虑的SDE（6）属于由L'evy过程驱动的Volterra方程类。这些是ξ（t）=a（t，ξ）dt+b（t）类型的SDE-, ξ） dL（t），ξ（0）=ξ，（24），其中ξ是满足P（|ξ|<∞) = 1和ξ=（ξ（t））0≤t型≤T、 Voltera方程自然出现在许多数学领域，如积分变换、输运方程和泛函微分方程（我们参考[17]了解确定性ic情况下这些方程的介绍和概述）。它们也出现在生物学、物理学和金融学的应用中。关于经济学中的一个例子（也适用于人口动态），我们参考了[18]中的例子3.4.1。在随机时滞方程和最优控制理论的框架下，我们参考了文献[5]和[24]。最近，在建模电力和商品价格的框架内，提出了这些过程，参见[1]和[3]。对（24）型SDE解的存在性和唯一性进行了很好的研究（例如，对于布朗运动驱动的Volterra方程，参见[2 2，定理4.6]，对于半马氏驱动的Volterra方程，参见[26]）。

在我们的分析中，我们利用Langevin方程（6）与S D E（20）之间的联系，证明了解的存在性和唯一性。（B） 当χ是p维向量过程，且p≥ 1和H：[0，T]→ Rp×pis是一个矩阵值函数。相应地，在（21）中定义的M和g也将是矩阵值函数，即M:[0，T]→ Rp×pand g：[0，T]→ 在这种情况下，解ξl将是一个p维过程。4度量值的变化称为第2.2小节中介绍的现货市场模型，在此模型中，我们假设第3点的条件为广义朗之万动力学（6）。如第2节所述，我们需要定价测度Q下的S的动力学来对公共点S上的未定权益S进行定价。我们研究了定价测度Q的一类特殊的o，并首先将It^o形式ula应用于S=exp（ξ），从（6）dS（t）=S（t）中的ξ的动力学推导出市场概率P下S的动力学tZM（t- u） 对数（S（u））du+χ（t）b+γ（t）+χ（t）cdt+S（t）χ（t）c dW（t）+S（t-)锆eχ（t-)z- 1.N（dt，dz），（25），其中γ（t）=RReχ（t）z- 1.- χ（t）zl（dz）。回想一下（7）中r的动力学。然后，贴现价格过程的动态▄S（t）=e-Rtr（s）dsS（t），t∈ [0，T]，由d▄S（T）=▄S（T）给出tZM（t- u） ξ（u）du+χ（t）b+γ（t）+χ（t）c- r（t）dt+~S（t）χ（t）c dW（t）+~S（t-)锆eχ（t-)z- 1.~N（dt，dz）。对于密度过程（Z（T））0，我们考虑由dQ=Z（T）dP定义的定价度量Q≤t型≤T（例如，参见[23]中的Girsanov定理1.31）Z（T）=exp-tZД（s，s）dW（s）-tZД（s，s）ds+tZZRlog（1- ζ（s-, z） ）~N（ds，dz）+tZZR[对数（1- ζ（s，z））+ζ（s，z）]l（dz）ds, 0≤ t型≤ T、 （26）式中，Д（T，S）=χ（T）ctZM（t- u） 对数（S（u））du+χ（t）b+χ（t）c- r（t）- ρ（t）, （27）ζ（t，z）=eχ（t）z- 1.- χ（t）zeχ（t）z- 1= 1 -χ（t）zeχ（t）z- 1，（28）（ρ（t））0≤t型≤t属于（8）中定义的风险溢价流程。

当测量值Q存在时，则dWq（t）=Д（t，S）dt+dW（t），~NQ（dt，dz）=ζ（t，z）l（dz）dt+~N（dt，dz）分别是一个维纳过程和一个Q下带补偿器的补偿跳变测度lt（dz）dt=（1- ζ（t，z））l（dz）dt。Q-isd-S（t）=S（t）下折扣价格过程的动力学-)χ（t）c dWQ（t）+ZReχ（t-)z- 1.~NQ（dt，dz）+ρ（t）dt. （29）为了证明测度Q的存在性，我们需要下面的引理，它表明（r（t）+ρ（t））的th可以被t上的（lns（t））的最大值所限制∈ [0，T]。为了证明这一关键点，我们采用了类似于Gron-wall不等式证明的技术，由于r和ρ的动力学具有特殊的Ornstein-Uhlenbeck样结构，这一点在这里有效。引理5。设r、ρ和ξ分别如（7）、（8）和（6）所示，其中我们假设A、\'A、Bi、\'Bi、i∈ {1，2，3}一致有界于常数，带'b是[0，T]上有界变差的函数，H（0）=1，'C<χ（T）<C，P-a.s。，t型∈ [0，T]，对于严格正常数Cand C，初始条件ξ（0）=ξ由常数P-a.s限定。此外，假设核函数M在[0，T]上是平方可积的。定义（t）=r（t）+ρ（t）。（30）然后X（t）≤ C1+sup0≤s≤tξ（s）, 0≤ t型≤ T，对于某些正常数C（取决于T）。证据在（7）中插入（6）和（1），我们在重新排列后发现dr（t）+B（t）r（t）dt=[A（t）-B（t）χ（t）B]dt+B（t）dξ（t）-B（t）tZM（t-u） ξ（u）du dt。

（31）将（31）的bot h边乘以eRtB（s）ds，将乘积规则应用于d（e-RtB（u）duB（t）ξ（t）），将两侧从0积分到t，然后除以eRtB（u）duwe getr（t）=e-RtB（u）dur（0）+tZe-RtsB（u）du[A（s）- B（s）χ（s）B]ds+B（t）ξ（t）- e-RtB（u）duB（0）ξ-tZe公司-RtsB（u）duB（s）B（s）ξ（s）ds-tZe公司-RtsB（u）duξ（s）dB（s）-tZe公司-RtsB（u）duB（s）sZM（s）- u） ξ（u）du ds。（32）应用三角不等式，χ，A，Band的有界性，t的ξwebound r（t）假设≤ T乘以| r（T）|≤ eKT（K+KT）+K |ξ（t）|+Ektz |ξ（s）| ds+Ektz |ξ（s）| dB（s）|+Ektzz | M（s）- u） | |ξ（u）| du ds，对于某些正常数K，K、 由于[0，T]上有界变差的Bis，我们进一步得到了| r（T）|≤ eKT（K+KT）+eKTKT+tZsZ | M（s- u） | du dssup0≤s≤t |ξ（s）|，具有一些附加的正常数K。利用Cauchy-Schwartz不等式，TZsZ | M（s- u） | du ds≤TZ（sZ1 ds）1/2（sZ | M（s- u） | du）1/2秒≤ （TZ | M（u）| du）1/2TZs1/2ds=T3/2（TZM（u）du）1/2，根据假设确定。因此，我们发现，| r（t）|≤K+▄Ksup0≤s≤t |ξ（s）|，（33），其中▄K，▄K是两个正常数，取决于t。

像√· 是一个递增函数，sup0≤s≤t |ξ（s）|=sup0≤s≤tp |ξ（s）|≤rsup0≤s≤tξ（s）|因此，通过一个初等不等式，| r（t）|≤ C+Csup0≤s≤t |ξ（s）|，对于一些正常数C，C（取决于t）。与（7）类似，我们可以将（8）转换为dρ（t）+B（t）ρ（t）dt=[(R)A（t）-\'B（t）χ（t）B-\'B（t）r（t）]dt+\'B（t）dξ（t），（34）将（34）的bot h边乘以eRt（s）ds，将乘积规则应用于d（e-Rt'B（u）du'B（t）ξ（t）），将两侧从0积分到t，然后除以Rt'B（u）du，我们得到ρ（t）=e-Rt'B（u）duρ（0）+tZe-Rts“B（u）du[”A（s）-(R)B（s）χ（s）B-\'B（s）r（s）]ds+\'B（t）ξ（t）- e-Rt'B（u）du'B（0）ξ-tZe公司-Rts B（u）du B（s）B（s）ξ（s）ds-tZe公司-Rts’B（u）duξ（s）d’B（s）。（35）取绝对值并利用有界性假设以及e（33）处的估计，我们可以将ρ（t）在（35）中绑定为t≤ T的参数与r T的参数相同，从而得出|ρ（T）|≤ C+Csup0≤s≤tξ（s），对于正常数Cand C（取决于t）。结果如下。我们在下面的命题中说明鞅测度Q的存在性。提案6。在引理5的假设s下，过程（Z（t））0≤t型≤由（26）定义的Tde是一个P-鞅，d E[Z（T）]=1。证据由于S=exp（ξ），过程Д（27）可以表示为t和ξ的函数，^Д（t，ξ）：=Д（t，S）=χ（t）c[a（t，ξ）+χ（t）b+χ（t）c- X（t）]。（36）其中X由（30）给出，函数a（t，ξ）=tZM（t- s） ξ（s）ds和b（t，ξ）=χ（t）（37）对应于SDE（6）版本（24）中的se。由于根据命题3和备注4，DE（24）有一个唯一的解ξ，因此应用[21，定理5]得出结果。

1] 半鞅ξ和由tz^И（s，ξ）dW（s）给出的鞅-tZZRζ（s，z）~N（ds，dz），其中ζ（s，z）定义于（28）。在此，我们证明了[21，定理5.1]的条件是s，根据该命题中的假设|ξ|=|η|<C在（37）| a（t，ξ）中引入H¨older不等式，a（t，ξ）的χ有界性和M weget的平方可积性|≤tZM（t- s） ds公司tZξ（s）ds≤ TZTM（s）ds sup0≤s≤t |ξ（s）|。（38）接下来，引理5、方程（36）、（38）和χ的一致有界性的组合导致^Д（t，ξ）≤χ（t）ca（t，ξ）+X（t）+[χ（t）b+χ（t）c]≤ C1个以上sups≤tξ（s）.（39）让我们把注意力转向ζ（t，z）：我们可以很容易地证明|ζ（t，z）|≤ |χ（t）z |。现在确实要考虑函数f（u）：=eu- 1.- ueu公司- 1，用于u∈ R、 首先，我们观察到利木→0f（u）=0，因此函数在0处没有任何奇点。考虑下一个u≥ 0。然后，自exp（u）-1.-u=Ruexp（s）-1.ds，we findf（u）=Zues- 1eu- 1ds，表示f（u）≥ 0表示u≥ 0.此外，作为exp（s）-1是S的递增函数∈ [0，u]，被积函数小于1，我们发现f（u）≤ u、 对于u<0，我们考虑函数（v）=1- e-v- v1-e-v、 v>0，其中我们观察到，当u<0时，g（| u |）=f（u）。然后我们发现类似于上述1-经验值(-五）- v=-Rv1.- 经验值(-s）ds。因此，g（v）=-Zv1- e-s1级- e-vds。因此，我们看到被积函数处的g（v）<0和th是非负的，并且从1开始小于1- 经验值(-s） 正在为s增加∈ [0，v]。由此得出| g（v）|≤ v表示v>0，或| f（u）|≤|u |。让u：=χ（t）z，就得到了所需的不等式。因此，再次使用χ，ZRζ（t，z）的一致性l（dz）≤ZRχ（t）zl（dz）≤捷克共和国l（dz），对于正常数C，将后者和（39）相加，我们得到^Д（t，ξ）+ZRζ（t，z）l（dz）≤ K1个以上sups≤tξ（s）.

（40）o插入过程（L（t））0的分解（1）≤t型≤t将ξ的SDE（24）转换为ξ（t）=（a（t，ξ）+χ（t）b）dt+χ（t）c dW（t）+χ（t-)ZRzN（dt，dz）。χ的界（38）和一致有界性，立即提供del（t，ξ）：=（a（t，ξ）+χ（t）b）+χ（t）c+χ（t）ZRzl（dz）≤ C1个以上sups≤tξ（s）. （41）o注意到（eχ（t）z-1） χ（t）z≥ 0表示ζ（t，z）≤ 1，χ和估计值（40）和（41）的均匀边界t oL（t，ξ）：=L（t，ξ）+χ（t）c^И（t，ξ）+χ（t）ZRzl（dz）ZRζ（t，z）l（dz）+χ（t）ZRzζ（t，z）l（dz）≤ C1个以上sups≤tξ（s）.因此，结果如下。因此，我们可以得出这样的结论：当核函数M在[0，T]、|ξ|<K、| C<χ（T）<C，P-a.s.上是平方可积的时。，t型∈ [0，T]，对于严格正常数K、~C和C，当函数带b在[0，T]上有界变化时，存在度量变化，历史度量P下资产价格动态漂移的记忆不会进入q动态（回忆（29））。回顾例子2，我们证明这个记忆核M是一个平方可积的记忆函数，在零处是奇异的，我们可以将H与之关联，如（16）和（17）所示。设M（s）=s-α>0时为α。那么我们就有了ztm（s）ds=ZTs-2αds=-2α+1吨-2α+1< ∞每当0<α<1/2时。此外，由于（16）-（17）中对应的H是[0，t]上的一个边界函数，并且假设过程χ在[0，t]上一致有界，M的平方可积性保证了条件（18）得到满足。5期权定价，因此，在本节中，我们推导了现货期权价格和远期的分析公式，当不确定性价格过程建模为S=exp（ξ），ξ满足类型（23）的SDE，这在能源市场中很有意义。5.1示例一：L'evy半平稳过程L'evy半平稳过程（LSS）最初在【2】中引入，用于建模能源现货价格。