基于记忆过程的商品衍生品定价

此类由V（t）=tZ形式的过程V组成-∞H（t- s） χ（s）-) dL（s），（42），其中H是[0]上的实值函数，∞) 带H（t- s） =0表示s>t，χ为F适应的C\'adl\'ag阳性过程。在这里，我们假设L是一个双边L'evy过程，并且很好地定义了Stocastic积分。我们注意到，V是一个具有时间齐次核H的Volt-erra过程。L'evy半平稳过程的名称来源于这样一个事实，即当χ是平稳的时，过程是平稳的。在L方程是双边布朗运动的情况下，我们将这类过程称为布朗sem i-平稳（BSS）过程，这是最近由[4]在物理学中的m o delling湍流背景下引入的。假设H（0）=1，则关系式（14）hold s表示一个非等式M，且在以下可积条件下，H上的th和χis sat是fiedtz-∞EhTZ公司-∞M（t- u） H（u- s） χ（s）duids<∞, t型∈ [0，T]。通过计算V的微分，我们得到了dv（t）=tZ-∞˙H（t- u） χ（u-) dL（u）dt+χ（t-) dL（t）。（43）按照命题3证明的相同思路，我们得出（42）是（43）的唯一解，且dV（t）=tZ-∞t型-uZM（t- u- v） H（v）dvχ（u）-) dL（u）dt+χ（t-) dL（t）=tZ-∞M（t- s） sZ公司-∞H（s）- u） χ（u-) dL（u）ds dt+χ（t-) dL（t）=tZ-∞M（t- s） V（s）ds dt+χ（t-) dL（t）。（44）5.1.1现货期权价格从现在起，必须考虑包含核函数M h的积分(-∞, t] 用0代替[0，t]≤ t型≤ T特别是，风险溢价ρ的SDE为OU类型（8），但具有平均水平RT-∞M（t- s） V（s）ds。在下面的命题中，我们陈述了鞅测度的存在性，以计算S=exp（V）上的期权价格。这个结果紧随命题6和方程式（44）而来。提案7。让提案6的总和为d。

然后我们知道存在一个鞅测度Q，在该鞅测度下（e-Rt（ρ（s）+r（s））dseV（t））0≤t型≤这是一个Q-鞅，S上的（买入/卖出）期权的价格由C（t）=等式给出-RTtr（s）dsmaxε（S（T）- K） ，0|Fti，（45）用于t≤ T，式中ε=±1（分别用于调用和put）。这里，Q如（26）中所述，其中φ由φ（t，S）=χ（t）c给出tZ公司-∞M（t- u） 对数（S（u））du+χ（t）b+χ（t）c- r（t）- ρ（t）ζ如（28）所示。请注意，通过用核M重写过程V，证明了现货价格S的等价鞅测度的存在。如果直接使用方程（42）或（43），证明将不简单。当我们假设r和χ是时间的确定函数，并利用过程度量Q（Z，ρ）下的精细结构时，我们可以导出支付函数傅里叶变换项下期权价格c的表达式。为了简单起见，我们在ρ的SDE中加入了“B=”B：=”B，但情况“B6=”B也可以沿着类似的线处理，阅读Riccati方程解的更复杂表达式。提案8。让命题6的假设成立。Assu m e r和χ是时间的决定函数。定义f（λ）=2πK-(ω-1+iλ）（ω+iλ）（ω- 1+iλ），ω，λ∈ R、（46）和deno te（t） =r（t）-χ（t）c- χ（t）ZRz1.-χ（t）zeχ（t）z- 1.l（dz），（t） =`A（t）+`B（t）(（t）- χ（t）b）-\'B（t）r（t）。（47）那么S上的期权价格由C（t）=e给出-RTtr（s）dsZReφ（t，t，ω+iλ，0）+（ω+iλ）V（t）+（t-t） （ω+iλ）ρ（t）~f（λ）dλ，（48）对于ω>1，如果ε=1，调用，ω<0，如果ε=-1，put，其中函数φ求解tφ（t，u，u）=-χ（t）cu+？B（t）（u+u（t- t） （）- （t） u型- （t） （u+u（t- t） （）-锆exp{[u+]B（t）（u+u（t- t） ）]χ（t）z}- 1.- 【u+】B（t）（u+u（t- t） ）]χ（t）zχ（t）zeχ（t）z- 1.l（dz）。证据

观察测量Q下（V，ρ）的动力学由dv（t）=（ρ（t）+（t） ）dt+χ（t）c dWQ（t）+χ（t）ZRzNQ（dt，dz），（49）dρ（t）=（t） dt+(R)B（t）χ（t）c dWQ（t）+B（t）χ（t）ZRz▄NQ（dt，dz）。（50）定义（t） =(（t） ，则，（t） ），（t） =χ（t）c\'B（t）\'B（t）\'B（t）, β =0 10 0ι（t，z）=χ（t）z\'B（t）,对于z∈ R、 设（φ，ψ）为下列Riccati方程的解tφ（t，t，u）=-ψ（t，t，u）（t） ψ（t，t，u）- （t） ψ（t，t，u）-锆eψ（t，t，u）ι（t，z）- 1.- ψ（t，t，u）ι（t，z）~lt（dz），φ（t，t，u）=0，tψ（t，t，u）=-βψ（t，t，u），ψ（t，t，u）=u，对于0≤ t型≤ T和u∈ C、 我们回忆起lt（dz）dt是q下N（dt，dz）的补偿器。然后存在唯一的全局解（φ（·，T，u），ψ（·，T，u））：[0，T]→ C×C，用于u∈ Cto后一个系统由φ（t，t，u）=TZtχ（s）c给出ψ（s，T，u）+B（s）ψ（s，T，u）ds+TZt(（s） ψ（s，T，u）+（s） ψ（s，T，u））ds+TZtZRexp{[ψ（s，T，u）+B（s）ψ（s，T，u）]χ（s）z}- 1.- [ψ（s，T，u）+B（s）ψ（s，T，u）]χ（s）zχ（s）zeχ（s）z- 1.l（dz）ds，ψ（t，t，u）=u，ψ（t，t，u）=u+u（t- t） ，我们使用了以下事实：lt（dz）=（1- ζ（t，z））l（dz），其中ζ（t，z）由（28）给出。We fixω>1和u= （ω+iλ，0）。后者加上定理1，即[20，定理3.4]对我们的设置的改编，以及[14，引理10.2]得出ε=1时的（45），其中f如（46）所示。We fixω<0和u= （ω+iλ，0），则（45）也适用于ε=-因此，命题陈述如下。5.1.2远期价格我们考虑在S签订远期合同，在t签订，交货时间为t≥ t和F（t，t）的前期价格-RTtr（s）ds（F（t，t）- S（T））| Fti=0。后者相当于toF（t，t）=EQhe-RTtr（s）ds | Fti-1质量-RTtr（s）dsS（T）| Fti。（51）假设r和χ是确定性的，我们在以下建议中给出了后一种远期价格的分析表达式（51）。提案9。让命题6的假设成立。

此外，假设r和χ是TIME的确定性函数。那么远期价格（51）由f（t，t）=S（t）exp给出A（t，t）+TZtr（s）ds+（t- t） ρ（t）（52）其中a（t，t）=cTZt'B（s）χ（s）（t- s） ds+TZt（T- s） h A（s）+（B（s）-(R)B（s））r（s）ID-b+ZRzl（dz）TZt？B（s）χ（s）（T- s） ds公司-cTZt？B（s）χ（s）（T- s） ds+TZtZRχ（s）zeχ（s）zeχ（s）z- 1he（T-s） (R)B（s）χ（s）z- 1il（dz）ds。（53）证明。由^Z（t）定义的过程^Z：=S（t）S（0）e-Rt（r（s）+ρ（s））ds，0≤ t型≤ T、 是一个等式[^Z（T）]=1的正Q鞅，定义了一个概率测度^Q~ Q比亚迪QdQFt=^Z（t），0≤ t型≤ T、 考虑一个决定论r，并应用（51）中的ing-Bayes规则，我们得到f（T，T）=S（T）eRTtr（S）dsE^Q经验值TZtρ（s）ds英尺. （54）此外，从Girsanov-th-eorem（参见[23，定理1.31]），我们知道w^Q（t）=WQ（t）+χ（t）ct，~N^Q（dt，dz）=（1- eχ（t）z）~lt（dz）dt+~NQ（dt，dz）。回想一下Q in（50）下ρ的动力学。然后ρ在^Q下的动力学由dρ（t）=h给出（t）-\'B（t）χ（t）c-\'B（t）χ（t）ZRz（1- eχ（t）z）~lt（dz）idt+\'B（t）χ（t）c dW^Q（t）+\'B（t）χ（t）ZRzN^Q（dt，dz）。应用定理1，（54）中的期望变成^Q经验值TZtρ（s）ds英尺= 经验值A（t，t）+B（t，t）ρ（t）,其中b（t，t）=t- t，A（t，t）=cTZt'B（s）χ（s）（t- s） ds公司- cTZt？B（s）χ（s）（T- s） ds公司-TZt？B（s）χ（s）（T- s） ZRz（1- eχ（s）z）~ls（dz）ds+TZt（s） （T- s） ds+TZtZRhe（T-s） (R)B（s）χ（s）z- 1.-（T- s） (R)B（s）χ（s）zi^ls（dz）ds，其中^lt（dz）dt=eχ（t）z▄lt（dz）dt=eχ（t）z（1- ζ（t，z））l（dz）dt是^Q下N（dt，dz）的补偿器。将表达式替换为（t） 从（47）和（28）中的ζ（t，z），结合并简化（54）中的所有表达式，我们得到了结果lt.5.1.3前进期权。在本小节中，我们考虑了一个在F（t，t）前面写有行使时间t和行使时间K的看涨期权。

以时间t的价格观察th≤ 根据定价指标Qdef b y（26），该期权的T将为p（T）=等式-RTtr（s）ds（F（t，t）- K） +| Fti，其中F由（52）给出。在下面的命题中，假设r是确定性的，我们推导出了写在F上的调用选项的表达式，即支付函数的傅立叶变换。提案10。让命题6的假设成立。假设r和χ是时间的决定函数。回想一下（46）中的▄f表达式。那么写在F上的cal l选项由P（t）=e给出-RTtr（s）dsZReφ（t，t，ω+iλ）+（ω+iλ）log F（t，t）~F（λ）dλ，对于ω>1，其中函数φ求解tφ（t，t，u）=-c∑（t，t）u-A（t，t）u-锆e∑（s，t）zu- 1.- ∑（s，t）zuχ（t）zeχ（t）z- 1.l（dz）和过程（log F（t，t））0≤t型≤Tsatis fies the SDEd log F（t，t）=A（t，t）dt+c∑（t，t）dWQ（t）+∑（t，t）ZRz▄NQ（dt，dz），（55）with▄A（t，t）=-（T- t） (R)B（t）χ（t）c+（t-t） \'B（t）χ（t）c-χ（t）c+ZRχ（t）z∑（t，t）zeχ（t）z- 1.- 1.l（dz）+ZRχ（t）zeχ（t）zeχ（t）z- 1he（T-t） \'B（t）χ（t）z- 1il（dz），∑（t，t）=1+(R)B（t）（t- t）χ（t）。证据回想一下，S=eV，t hus表达式（52）可以重写为f（t，t）=eΥ（t，t），其中Υ（t，t）=V（t）+A（t，t）+TZtr（S）ds+ρ（t）（t- t） 。区分关于t的Υ（t，t），并用V和ρ在q下的动力学（49）-（50），用表达式（53）代替A（t，t），我们用动力学（55）代替log F（t，t）=Υ（t，t）。设φ和ψ为下列Riccati方程的解tφ（t，t，u）=-c∑（t，t）ψ（t，t，u）-A（t，t）ψ（t，t，u）-锆eψ（t，t，u）∑（t，t）z- 1.- ψ（t，t，u）∑（t，t）z(1 -ζ（t，z））l（dz），φ（T，T，u）=0，tψ（t，t，u）=0，ψ（t，t，u）=u，对于（t，u）∈ R+×C，其中ζ（z）在（28）中定义。

然后存在一个统一的全局解（φ（·，u），ψ（·，u））：R+→ C×C，适用于所有u∈ C到后一个系统，由φ（t，t，u）=TZt给出c∑（s，T）ψ（s，T，u）+A（s，T）ψ（s，T，u）ds+TZtZReψ（s，T，u）∑（s，T）z- 1.- ψ（s，T，u）∑（s，T）z(1 - ζ（t，z））l（dz）ds，ψ（t，t，u）=u。We fixω>1，u=ω+iλ。后者与定理1，即[20，定理3.4]对我们的设置的改编，以及[14，引理10.2]一起产生了命题的陈述。5.2示例二：CARMA过程在本节中，我们介绍了一个用于模拟天气衍生产品中的温度和风速的模型，见【6，§4】。它是ARMA模型的连续时间版本，即aCARMA模型，其中CARMA代表连续时间自回归移动平均值。对于CARMA（2,1）模型的特殊情况，决定温度或风速的因素之一满足（6）型SDE。如【6，§6.2】所述，固定CARMA过程是BSS过程的特殊情况。让我们介绍一下[6]中的模型。考虑随机向量过程X取数值inRp，其中p≥ 1，定义为SDEdX（t）=AX（t）dt+epθ（t）dW（t）（56）的解，其中ek∈ Rp，k=1，p、 是Rp的第k个标准欧氏基向量。（p×p）-矩阵定义为0 1 0 ··· 00 0 1 ··· 0...............0 0 0 ··· 1-αp-αp-1.-αp-2··· -α. （57）常数αk，k=1，p、 假设αp>0时为非负。确定初始函数：R+→ 假设X的动力学中的R是有界的、连续的，且θ（t）严格地从零开始，即存在一个常数θ>0，这样th在θ（t）处≥ θ所有≥ 0

此外，为了简单起见，我们将假设X（0）=0。由于矩阵A中的条目是常数，从[22，Th eorem 4.10]可以看出，初始条件X（0）=0的SDE（56）的唯一解由X（t）=tZexp（A（t）给出- s） ）epθ（s）dW（s）。（58）微分（58）中的X，我们得到dx（t）=epθ（t）dW（t）+tZAeA（t-s） epθ（s）dW（s）dt。（59）后者是（23）型SDE，g（t）=AeAt，σ（t）=epθ（t），X（0）=0。从解（58）的存在性，我们推断可积条件（22）成立，wehaveTZ（A exp（A（t））成立- s） ）ep）A exp（A（t- s） ）epθ（s）ds<∞. （60）从关系式（14）中，与进程X相关联的核M是这样的：g（t）=AeAt=tZM（t- u） H（u）du=tZM（t- u） 奥杜。（61）后一个方程的解由M（t）=Aδ（t）给出，其中δ是零处的狄拉克δ函数。利用命题3，我们知道X可以重写为dx（t）=epθ（t）dW（t）+tZAδ（t- u） X（u）dudt=epθ（t）dW（t）+AX（t）dt，我们恢复X的方程（56）。当然，在这种特殊情况下，后一个结果直接遵循（59）。在这里，我们想指出的是，该流程已融入到我们的框架中。对于0≤ q<p，确定向量b∈ Rp系数bj，j=0，1，p- 1对于q<j<p，满足bq=1和bj=0。我们定义了CARMA（p，q）过程Y asY（t）=bX（t）。（62）用表达式（58）代替X（t），我们可以表示Y asY（t）=tZbexp（A（t- s） ）epθ（s）dW（s）。（63）很明显，Y是一个均值为零且方差为z（b）的高斯过程exp（A（t- s） ）ep）θ（s）ds。CARMA有两个特例（p，q）。首先，当b=e，然后q=0时，我们得到了一个称为CAR（p）过程的aso，该过程用于建模温度。

第二，要求q=p-例如，当我们得到p=2时，可以用来模拟风速的CARMA（2，1）模型。将It^o公式应用于（63），我们发现p过程YdY（t）的动力学=坦桑尼亚先令A exp（A（t-s） ）epθ（s）dW（s）dt+bepθ（t）dW（t）。（64）很明显，漂移项涉及维纳过程直到时间t的整个路径≥ 0.Y的SDE（64）也是G（t）=b的类型（23）A exp（At）ep，H（t）=bexp（At）ep，σ（t）=θ（t），Y（0）=0。为了融入我们的框架，我们需要将（64）中的漂移写入到RTM（t- s） 某些记忆函数M的Y（s）ds。在（64）中代入（58）我们有dy（t）=bAX（t）dt+bepθ（t）dW（t），因此M必须满足方程bAX（t）=ZtM（t- s） Y（s）ds。（65）我们在此强调M是一个标量函数。因为Y（t）=bX（t），我们发现bAX（t）=bZtM（t- s） X（s）ds。在两侧进行拉普拉斯变换以查找BA^X（θ）=b（^M（θ）^X（θ）），对于所有θ∈ R、 这里的M（θ）是M的拉普拉斯变换（11），X（θ）是X坐标的拉普拉斯变换的向量。但是我们看到，M（θ）是所有θ的特征值∈ 具有特征向量^X（θ）的R。由于A具有固定的特征向量和特征值，这是不正确的，我们得出结论，不存在（65）成立的M。现在，我们无法将第4节中的结果应用于度量变化。在[6，命题5.1]中，我们提出了一个替代论证，以证明一个过程的度量变化是CARMA的指数。

我们将扩展这个结果，并在我们的上下文中研究定价。为此，对于CARMA（p，q）-过程Y（t）=bX（t），定义光斑动力学asS（t）=exp（ut+Y（t）），（66），其中我们假设X∈ Rp遵循Ornstein-Uhlenbeck d动力学，级别为ξ∈ Rp，dX（t）=（ξ+AX（t））dt+θepdW（t）。多维It^o公式的一个简单应用给出了S ASD（t）的P动力学=u+（bep）θ+b（ξ+AX（t））S（t）dt+θ（bep）S（t）dW（t）。（67）对于简单性，我们假设θ是常数。我们记得b= （b，b，…，bq，0…，0）∈ Rp，其中q<p且bq=1。如果q<p- 1，然后Bep=0，因为在这种情况下，b的最后一个坐标为零。因此，如果q<p- 1我们在S的动力学中没有任何鞅项，因此无法将测度更改为任何Q~ P sothat exp公司(-rt）S（t）是Q-鞅。我们假设从现在起Q=p- 1.在这种情况下，bep=1和P isdS（t）下S的动力学=u+θ+b（ξ+AX（t））S（t）dt+θS（t）dW（t）。（68）引入下一个依赖于状态的风险溢价ρ（t）：=c（θ+CX（t）），（69），其中θ∈ Rp，c= （c，c，…，cq，0，…，0）∈ Rp，~q<p和c=0 1 0 ··· 00 0 1 ··· 0...............0 0 0 ··· 1-βp-βp-1.-βp-2··· -β, （70）对于βi>0，i=1，p、 我们将看到，“移动平均向量”c的自然选择是c=b。定义随机过程θ（t，X）=θ-1.u +θ- r+b（ξ+AX（t））- ρ（t）. （71）根据（69）中规定的风险溢价，我们发现θ（t，X）=u+θ- r+bξ -cθθ+ θ-1.bA.- cCX（t）。（72）因此，θ是常数加上X（t）坐标的线性组合。在下面的命题中，我们陈述了鞅测度的存在性，以计算（68）中给出的S上的期权价格。提案11。让我们如（68）所示，由SDE（56）定义h X，并让q=p- 1.

假设矩阵A的特征值均为负实数，自由利率为常数，ρ由（69）定义。然后存在一个鞅测度Q，在该鞅测度下（e-Rtρ（s）ds-rtS（t））0≤t型≤这是一个Q-mart ingale，S上的（买入/卖出）期权的价格由C（t）=e给出-r（T-t） EQhmaxε（S（T）- K） ，0| Fti，用于t≤ T和ε=±1（分别为调用和输出），其中Q由DQDP给出Ft=Z（t）=exphtZθ（s，X）dW（s）-tZθ（s，X）dsi，t∈ [0，T]，θ（T，X）如（72）所示，对于Q-布朗运动WQ，S的Q-动力学为bydS（T）=（r+ρ（T））S（T）dt+θS（T）dWQ（T），（73）。证据随后，将[6，命题5.1]的结果扩展到非零平均水平ξ的情况，其中该命题中所述的度量变化形式为θ（s）=u+θ- r+bξ - cθ，θ′=bA.- cC，σ（s）=θ。注意，对于保留结构p的度量变化，向量θ′中的分量θii应满足θi<αi，i=1，p、 正如【6，命题5.1】中所假设的那样。根据定义，X（t）是一个p变量的Ornstein-Uhlenbeck过程，因此X是一个p变量的高斯过程，只要a的特征值为负实部，均值和方差（在p下）就有界。接下来，让我们分析X的Q动力学，以选择（72）中给出的θ。我们发现，dX（t）=ξ -ep（u+θ- r）- ep（bξ -cθ)dt公司+AX（t）- ep（bA.- cC） X（t）dt+θepdWQ（t）。观察ep（bAX（t））=（epb)AX（t）。因此，上述x（t）的Q动力学中的第二个漂移项等于（A- （epb)A+（epc)C） X（t）。Butepb公司=0 0 0 ··· 00 0 0 ··· 0...............0 0··0 bbb··bp-1..该扩展的证明需要使用适用于函数gξ（u）=θ′exp（Au）ξ的特殊表示进行推理，类似于[6，命题5.1]的证明中适用于函数g（u）=θ′exp（Au）ξ的推理。我们回忆bp的地方-1= 1.