基于记忆过程的商品衍生品定价

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英文标题：
《Pricing of commodity derivatives on processes with memory》
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作者：
Fred Espen Benth, Asma Khedher, Mich\\`ele Vanmaele
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Spot option prices, forwards and options on forwards relevant for the commodity markets are computed when the underlying process S is modelled as an exponential of a process {\\xi} with memory as e.g. a L\\\'evy semi-stationary process. Moreover a risk premium \\r{ho} representing storage costs, illiquidity, convenience yield or insurance costs is explicitly modelled as an Ornstein-Uhlenbeck type of dynamics with a mean level that depends on the same memory term as the commodity. Also the interest rate is assumed to be stochastic. To show the existence of an equivalent pricing measure Q for S we relate the stochastic differential equation for {\\xi} to the generalised Langevin equation. When the interest rate is deterministic the process ({\\xi}; \\r{ho}) has an affine structure under the pricing measure Q and an explicit expression for the option price is derived in terms of the Fourier transform of the payoff function.
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中文摘要：
当基础过程S被建模为过程{xi（xi}的指数，记忆为一个L掼vy半平稳过程时，计算与商品市场相关的现货期权价格、远期和远期期权。此外，代表存储成本、流动性不足、便利收益或保险成本的风险保费被明确建模为Ornstein-Uhlenbeck类型的动力学，其平均水平取决于与商品相同的记忆项。此外，假设利率是随机的。为了证明S的等价定价测度Q的存在性，我们将{\\xi}的随机微分方程与广义Langevin方程联系起来。当利率是确定性的时，过程（{\\xi}；\\r{ho}）在定价测度Q下具有仿射结构，并根据支付函数的傅立叶变换导出期权价格的显式表达式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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2022-6-1 15:56:29 上传

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关键词：衍生品定价 衍生品 Differential Applications Quantitative

奥斯陆大学数学系Memoryfred Espen Benth、Asma Khedher和Michele VanmaeledDepartment of Mathematics，邮政信箱1053，Blindern，N-0316奥斯陆，NorwayKorteweg de Vries数学研究所，邮政信箱94248，1090 GE Amsterdam，荷兰根特大学应用数学、计算机科学和统计系，Krijgslaan 281S9，B-9000 Gent，Belgium2017Abstractspot option prices，forwards and option on forwards related for the commodity markets，当基础过程S被建模为过程ξ的指数，记忆为L'evy半平稳过程时，计算与商品市场相关的现货期权价格、远期和远期期权。此外，代表存储成本、非流动性、便利收益或保险成本的风险保费ρ被明确建模为anOrnstein-Uhlenbeck类型的动力学，其平均水平取决于与商品相同的memoryterm。此外，假设利率是随机的。为了证明S的等价定价测度Q的存在性，我们将ξ的随机微分方程与广义Langevin方程联系起来。当利率具有确定性时，过程（ξ；ρ）在定价测度Q下具有一个明确的结构，并根据支付函数的傅立叶变换导出期权价格的显式表达式。关键词：等价度量、衍生品定价、商品市场、朗之万方程、精细过程、傅立叶变换1简介在金融市场中，衍生品的无套利价格由风险中性概率得出。在完全市场中，风险中性概率是唯一的，这导致了单一的无套利价格动态。然而，大多数金融市场是不完整的，大宗商品市场是一个典型案例。

例如，电力现货市场仅对能够生产或传输电力的实体参与者开放，而电力远期市场是金融市场。关于能源和大宗商品市场定价的讨论，请参见[7、12、16]，关于金融市场套利定价理论的一般处理，请参见[9]。电力是不完全市场的一个极端例子，因为现货被认为是金融上不可交易的，而且价格动态具有高度非高斯特征，如价格飙升。不完全市场中不存在唯一的风险中性概率。在本文中，我们关注一类概率Q，它可以表示为与风险中性概率的“偏差”，即标的资产的价格动态将有一个平均回报率，该平均回报率可以表示为无风险利率和该概率Q下的额外收益率之和。概率Q不会是风险中性的，但仅等同于市场概率P。它被称为定价度量。利用这类概率，我们通过额外的收益率对风险溢价进行建模。在商品市场中，该收益率可以解释为存储成本、运输、保险、便利收益率和其他非流动性成本。因此，风险的市场价格被视为对财务风险和非流动性风险的补偿。均值回归和平稳性在商品价格的价格动态中起着重要作用（见[12，16]）。我们考虑一个现货价格模型，其中对数价格动态遵循一个广义的L ang evin方程。在我们的框架中，我们考虑了对当前价格的依赖性以及跳跃。动态中对过去的依赖在朗-埃文方程漂移中作为记忆项出现，建模为历史对数价格的加权平均值。

我们的模型包括L'evy半平稳过程和连续时间自回归滑动平均过程，电力、天然气和石油价格的流行建模工具（见[2、8、25]），温度和风等天气变量（见[6]），以及波动性和湍流（见[4]）。我们证明了我们提出的广义Langevin方程m o del解的存在唯一性。我们的主要结果是，我们提出的定价措施类别确实是概率。这需要证明Girsanov定理中的密度过程是真鞅。Weappeal to the criteria in the extended Beneˇs method，developed in【21】中开发的扩展Beneˇs方法。在我们的分析中，我们对风险溢价中的收益率考虑了避险利率和避险动态。这两个过程都是由Ornstein-Uh-lenbeck类型的ju-mp扩散建模的，并且在价格动态中明显依赖于朗之万动力学的记忆部分。在对数现货价格动态为L'evy半平稳型或连续时间自回归滑动平均过程的特殊情况下，我们使用我们的定价方法对期权和远期的定价进行了深入研究。由于结构明确，在前一种情况下，我们使用Fouriermethods获得了合理明确的看涨期权和看跌期权价格表达式。对于L'evy半平稳过程，远期价格也可以明确地作为现货和风险溢价的函数。此外，我们还表示了该模型类的远期买入期权和买入期权的价格动态。在许多电力市场中，普通的欧式期权通常在远期进行交易。此外，我们考虑了维纳驱动的连续tim-eautoregressive移动平均动力学，并将[6]中的结果推广到产生一类pricingmeasures Q。

对于这些模型，我们推导了定价测度下的远期价格动态。我们注意到，在所有情况下，明确的价格表达式都是在利率不确定的假设下推导出来的，因此未来价格和远期价格是一致的。我们的分析和结果如下所示。第2节提供了商品市场在定价和风险中性概率方面的一些动机，并介绍了我们将在本文中分析的市场随机动态。作为背景材料，我们还包括了本文后面需要的一些关于精细过程的结果。第3节分析了对对数点进行建模的广义朗之万方程，第4节证明了我们提出的测度变化的有效性。最后，第5节推导了在L'evy半平稳过程中各种衍生工具（如期权和远期）的价格。本节还对连续时间自回归滑动平均过程的情况进行了广泛的分析。2设置和准备支持(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）是满足一般条件的给定概率，参见。g、 [27]，W=（W（t））0≤t型≤t采用（Ft）-维纳过程。进一步，我们让L=（L（t））0≤t型≤具有特征三重态（，c，l) . 假设过程的L’evymeasure L满足| z|≥1zl（dz）<∞, e、 g.，L是一个平方可积的L'evy过程。从过程L的特征三元组中，我们知道后者的分解nL（t）=bt+cW（t）+tZZRzN（ds，dz），t∈ [0，T]，（1）其中b=+R | z|≥1zl（dz）和▄N是一个补偿泊松随机测度。

也就是N（dt，dz）=N（dt，dz）- l（dz）dt和N（dt，dz）是泊松随机测度，使得E[N（dt，dz）]=l（dz）dt。在确定商品现货市场的随机模型（见第2.2小节）之前，我们讨论了一些远期定价的经典发现。2.1商品市场中的现货和远期是一个随机过程，定义了商品的现货价格动态，由PdS（t）=uS（t）dt+σS（t）dW（t），（2）其中u，σ>0是常数S。如果现货可以在商品市场中流动交易，然后，我们可以通过以无风险利率r借入的现货多头头寸，完美地对冲远期合约中的头寸。这种对冲策略被称为买入并持有最低价策略，唯一地定义了远期价格（参见[12，16]）。一、 例如，如果F（t，t）是时间t的远期价格≥ 在时间T交付商品的合同的0≥ t、 那么F（t，t）=S（t）exp（r（t- t） ）。在商品市场中执行买入并持有策略时，必须存储商品。因此，套期保值者将产生额外的成本，这些成本反映在远期价格中，作为将要支付的利率的增加。另一方面，由于更大的灵活性，持有商品比长期持有远期合约具有一定的优势。《便利收益通知》旨在解释实物商品所有者应获得的额外收益（有关便利收益的更多详情，请参见[12，16]）。用ρ表示储存和方便的产量，则可导出一个前向价格F（t，t）=exp（（r+ρ）（t- t） ）用于0≤ t型≤ T农业部门表示，与传统的大宗商品市场不同，保险公司可以在一定程度上对冲风险，而spotpower市场则完全不受影响。投机者无法在能量池中对冲，只有实体玩家才能参与。

在这方面，电力期货可以被视为纯粹的保险工具，投机者可以向生产者提供保险。为了描述保险人为承担风险而收取的附加保险费，也可以使用上述增加的利率r+ρ。我们可以将ρ称为风险溢价。我们将引入一个定价指标Q，即明确的风险溢价ρt，它应该解释存储成本、流动性和便利收益率。假设th是ρ，利率r是常数。此外，考虑测量值更改QDPFt=exp-tZθdW（s）-tZθds, 0≤ t型≤ T其中θ=u- r- ρσ.在这个新的概率测度Q下，根据Girsanov定理，s的收益率等于r+ρ，其动力学由ds（t）=（r+ρ）s（t）dt+σs（t）dWQ（t）给出，0≤ t型≤ T，（3）其中wq是Q下的维纳过程，dwq（T）=dW（T）+u- r- ρσdt，0≤ t型≤ T这意味着S的贴现即期p过程是在Q byd（e）下给出的-rtS（t））=e-rtσS（t）dWQ（t）+e-rtS（t）ρdt。请注意，对数收益率的P-dynamics中的收益率￠S（t）：=e-rtS（t）等于u-r-σ/2，对于t∈ [0，T]。定义ξ（t）：=对数S（t），然后是Dξ（t）=u -σdt+σdW（t）。（4） 远期价格F（t，t）在t签订合同，交货时间为t≥ t的定义如下（参见示例[7]）式-r（T-t）F（t，t）- S（T）| Fti=0。当S的动力学由（3）给出时，后者相当于toF（t，t）=EQ[S（t）| Ft]=e（r+ρ）（t-t） S（t）。从后者我们可以看出，标准远期定价理论使用的是风险市场价格（u- r- ρ） /σ，其中（u- r） /σ是风险中性的变化，ρ/σ是由于存储成本和便利收益或不合格的保险费而加上的。

在这篇文章中，我们将为比简单的几何布朗运动更一般的模型引入这样的定价测度。2.2具有记忆和跳跃的商品现货市场模型介绍了我们的现货价格动态（S（t））0≤t型≤t商品市场如下。L etξ（t）：=对数S（t），（5）和（ξ（t））0≤t型≤t是形式为dξ（t）的广义朗之万方程=tZM（t- u） ξ（u）dudt+χ（t-) dL（t），（6），其中M是一个确定性函数，χ是一个严格正的F-适应c\'adl\'ag过程。旋转χ（t-) m表示lims↑tχ（s），即过程的左极限。此外，我们考虑了一个随机利率r和一个显式风险溢价过程ρ，该过程由一个平均水平依赖于RTM（t- u） ξ（u）du。isdr（t）=[A（t）- B（t）r（t）]dt+B（t）χ（t）c dW（t）+B（t）χ（t-)ZRz▄N（dt，dz），（7）dρ（t）=h▄A（t）+B（t）tZM（t- u） ξ（u）du-\'B（t）r（t）-\'B（t）ρ（t）idt+\'B（t）χ（t）c dW（t）+\'B（t）χ（t-)ZRzN（dt，dz），（8）r（0）=r∈ R，ρ（0）=ρ∈ R，其中Bi，’Bi，代表i∈ {1，2，3}和A，'A是在t中由常数一致有界的确定性函数。这种涉及内存的动态（6）-（8）与许多商品市场相关，包括电力（参见例[1]和[3]）。利率由与ξ和ρ相同的

该模型比确定性模型更具普遍性，这种特殊选择的动机是为了证明度量值变化的存在（见第4节）。在下一节中，我们将陈述确保广义朗之万方程（6）解的存在性和唯一性的条件。2.3详细流程由于详细流程将在我们的考虑中发挥重要作用，我们在本节中加入了初步内容，以便获得此类流程的有用结果。精细过程是连续时间马尔可夫过程，其特征是其对数特征函数以精细方式取决于过程的初始状态向量。最近，金融模型在金融文献中获得了极大的关注，这主要是由于其分析的可跟踪性（参见示例【10】、【11】、【20】）。在续篇中，我们引入了一个等价的可加测度Q under，该测度在（6）-（8）中引入的过程（ξ，r，ρ）通常是非均匀的af fine类型。由于我们对基于过程exp（ξ）的未定权益定价感兴趣，我们在这一小节中回顾了一个结果，该结果表明，在非齐次有限模型中，未定权益的定价可以简化为一组Riccati型常微分方程的解。表示为·给定向量或矩阵的转置。假设以下随机微分方程（SDE）dX（t）=（t，X（t））dt+σ（t，X（t））dW（t）+ZRι（t，z）uX（dt，dz）- ν（dt，dz）,X（0）=X∈ Rd，其中▄W是d维布朗运动，对于d≥ 1，uXis是X跳跃的随机测量值，ν（dt，dz）=lt（dz）dt是跳跃测度ux的补偿器，我们认为它是确定性的， : [0，T]×Rd→ Rd，σ：[0，T]×Rd→ Rd×dis连续，并且（t，x）=σ（t，x）σ（t，x）对于t是连续的∈ [0，T]和x∈ Rd。

此外，ι（t，z）∈ t中的Rdiscontinuous∈ [0，T]表示z∈ R和Rrι（t，z）lt（dz）<∞, 对于所有t∈ [0，T]。此外，假设SDEX的时间相关参数具有以下详细结构（t，x）=（t） +dXi=1xiαi（t），（t，x）=（t） +dXi=1xiβi（t），其中（t） αi（t）是d×d矩阵（t） 和βi（t）是d向量。我们考虑一个实值过程R，我们对其施加以下结构R（t）=c+γX（t），对于c∈ R和γ∈ Rd.让u∈ Cdand（φ（·，T，u），ψ（·，T，u））：[0，T]→ 满足下列Riccati方程的C×Cdbe C函数tφ（t，t，u）=-ψ（t，t，u）（t）-ψ（t，t，u）（t） ψ（t，t，u）-ZR[eψ（t，t，u）ι（t，z）- 1.- ψ（t，t，u）ι（t，z）]lt（dz）+c，tψi（t，t，u）=-βi（t）ψ（t，t，u）-ψ（t，t，u）αi（t）ψ（t，t，u）+γi，1≤ 我≤ d、 φ（T，T，u）=0，ψ（T，T，u）=u。（9） 我们在下面的定理中计算X（T）的贴现运动母函数，条件是时间T的信息≤ 关于Riccati方程（9）的解。关于证明，我们参考[13，T heorem 2.13]。另见【19，定理5.1】。定理1。让u∈ Cd。假设t（9）允许唯一解（φ（·，t，u），ψ（·，t，u））：[0，t]→ C×Cd。ThenE[电子]-RTtR（s）dseuX（T）| Ft]=eφ（T，T，u）+ψ（T，T，u）X（t），t≤ T这一结果允许使用傅立叶变换技术计算在af FINE MODEL s上写入的衍生价格，正如我们将在第5.3节对广义朗之万方程的分析中所述。在这一节中，我们从广义朗之万方程及其通过拉普拉斯变换找到的解开始，为（6）中介绍的相应SDE提出一个解决方案。考虑以下广义Langevin方程，如[15]˙η（t）=tZM（t- u） η（u）du+σw（t），（10）其中M表示内存内核，w表示G高斯函数，σ是常数，˙η表示η的时间导数。