中径向对称边值之间的最优布朗停止

实际上，如果（F′i）ni=0和（F′i）mi=0是两个球面鞅，我们可以假设n=m，然后通过让F=F定义球面鞅（Fi）n+1i=0~ u和1≤ 我≤ n、 Fi+1（X，X，…，Xi+1）=（F′i（X，…，Xi+1）如果Xis在上半球，F′i（X，…，Xi+1）如果Xis在下半球。显然Fn+1（P）={F′n（P）+F′n（P）}/2，因此Φ是凸的，因此Φ=（1+| x |）Φ在唇部是凸的*（O） 。如果现在引理的陈述是错误的，那么根据哈恩-巴拿赫定理，我们可以在O和实数a<b上找到Lipschitz函数f，这样zg dν≤ a、 whileZg公司o FndP公司≥ b每Fn（P）∈ Φ，其中g（x）=（1+| x |）f（x）。但由于Φ中的每个元素都有初始分布u，那么通过引理2.4和（2.3），我们得到了r^g du≥ b，因此a≥Rg dν≥R^g dν≥R^g du≥ b、 这是一个矛盾。定理2.1的证明。根据定理2.5，我们有一个序列{νn} ΦsuchthatR | x | dνn（x）→R | x | dν（x）。我们知道，νn=稳定时间τ序列的定律（Bτn）和初始定律为u的布朗运动B。因此，特别是τn=E | Bτn |=R | x | dνn（x）≤ 对于某些常数V和所有n，序列（τn）是紧的，并且标准的是，它有一个收敛的子序列到a–可能随机化–停止时间τ，这样Ef（Bτk）→ Ef（Bτ）表示Rd上的f连续有界函数（参见示例[3]或[4]）。换句话说，定律（Bτk）→ 定律（Bτ），因此，Bτ~ ν. 注意，τk=τk∧ κ由Φ定义，因此τ也满足τ=τ∧ κ. 还要注意，Eτ=E | Bτ|≤ V也是，因此是鞅（Bτ∧t） t型≥0在L中有界。径向对称边缘9let nowπ为次调和鞅计划，let（πx）xbe其分解w之间的最优SKOROKHOD嵌入。r、 t.u。设（Bt）为带B的布朗运动~ u.

自δx起几乎所有x的Oπxf，并注意到带Bt- 完全独立，我们可以应用上面的方法来选择可测量的停止时间τ，这样给定B，我们就有了定律（Bτ∈ · | B） =πB（·）。很明显，定律（B，Bτ）=π。以下内容立即生效。推论2.6。假设u，ν是紧支持的，并且O是包含suppu的开放集∪ 补充ν。如果uOν，then，inf{E[c（B，Bτ）]；τ∈ T（u，ν）}=infZZO×Oc（x，y）dπ；π ∈ SMT（u，ν）.3、最优Skorohod嵌入问题的弱对偶性。从现在起，我们将假设规定的边缘u和ν在大量的开放球O中得到支持 因此，续集中出现的每个度量值也支持O，并且对于每个停止时间τ，τ=τ∧ κ、 式中，κ是布朗运动从O.换句话说，任何人都无法逃脱“宇宙”O。之所以做出这种假设，是因为我们要处理每一个α>0的成本（1.2），并且应该能够根据（1.2）中的α在边缘u，ν上假设适当的力矩条件。例如，如果α≤ 2那么u，ν只能假设有有限的二阶矩，并且相同的参数将在没有明显修改的情况下工作。为了证明定理1.1，我们首先证明了次调和鞅最优运输问题的弱对偶性。为此，我们首先用它们相对于锥P（O×O）的“正交性”来刻画这些鞅。引理3.1。假设π∈ Prob（O×O）是这样的，它的第一个边缘π相对于Lebesgue测度是绝对连续的。那么，π是O上的次调和鞅输运计划当且仅当（3.1）ZUp（x，y）dπ（x，y）≥ 0p∈ P（O×O）和a.e.x∈ O、 证明。

首先注意，如果π∈ SMT（O），然后对于任何p∈ P（O×O）我们有，这要归功于y7的次谐波→ p（x，y），thatZp（x，y）dπ（x，y）=Zp（x，y）dπx（y）dπ（x）≥Zp（x，x）dπ（x）=0。相反，我们假设（3.1）成立，并考虑公式p（x，y）=ψz（x）（ν（y））的函数- ^1（x）），10 N.GHOUSSOUB，Y-H KIM和T.LIMwhere 0≤ ψz∈ C（O），ψz→ δzin Las→ 0，且ν是O上的任意次谐波函数。显然p（x，y）∈ P（O×O），因此，0≤Zp（x，y）dπ（x，y）=ZψZ（x）ZИ（y）dπx（y）- ^1（x）dπ（x）。取→ 0，并看到对于两个可测函数x 7的每个勒贝格密度点z→RД（y）dπx（y）- ν（x）和度量π，0≤ZИ（y）dπZ（y）- ^1（z）。由于π是绝对连续的，这表明π∈ 根据需要进行SMT（O），完成证明。有了这个引理，我们可以通过使用标准参数来证明以下对偶性。提案3.2。假设u，ν在有界开集O中紧支撑，使得u相对于Lebesgue测度和u是绝对连续的Oν。如果c是O×O上的连续代价，那么以下对偶成立：infZO×Oc（x，y）dπ|π∈ SMT（u，ν）= 啜饮ZOβdν-ZOαdu；(β, α) ∈ Kc（O）,式中，kc（O）：={α，β：O→ R局部Lipschitz，这样就有p∈ P（O×O）带β（y）- α（x）+p（x，y）≤ c（x，y）x、 y型∈ 面向对象。证据

显然，右手边比左手边小，因为对于Kc（O）中的每一个α，β及其对应的p（O×O），我们有rp（x，y）dπ（x，y）≥0和π具有边缘u和ν。对于反向不等式，我们首先注意到成本为c（x，y）的标准最优运输问题的Kantorovich对偶- p（x，y），收益率为ZOβdν-ZOαdu；(β, α) ∈ Kc（O）= 支持∈Pinfπ∈Γ（u，ν）Z（c（x，y）- p（x，y））dπ。现在，通过冯·诺依曼最小-最大定理，我们可以交换inf和sup的阶（注意，X=Γ（u，ν）在Prob（Rd×Rd）中是紧凸的，而Y=pshisponic在L(Ohm × Ohm)) 要得到那个SUPZOβdν-ZOαdu；(β, α) ∈ Kc（O）= infπ∈Γ（u，ν）支持∈PZ（c（x，y）- p（x，y））dπ。（3.2）径向对称边缘之间的最佳SKOROKHOD嵌入11现在，请注意，后者中p上的上确界只能在NRP（x，y）dπ（x，y）=0时才能确定，因为否则，对于某些λ6=0，我们可以将p替换为λp，使得积分R（c（x，y）的值为-λp（x，y））dπ（x，y）尽可能大。因此，从引理3.1中，可以将（3.2）中的上限限制为π∈ SMT（u，ν），即supZOβdν-ZOαdu；(β, α) ∈ Kc（O）= infπ∈SMT（u，ν）支持∈PZ（c（x，y）- p（x，y））dπ。但最后一个表达式大于或等于infZO×Oc（x，y）dπ|π∈ SMT（u，ν）,自0起∈ P（O×O）。这就完成了子MartingalTransport计划弱对偶性的证明。定理1.1的证明如下所述，并结合命题2.6.4。单调性原理及其对称形式。我们首先对我们操作的过滤布朗概率空间进行更精确的处理。我们考虑C（R+）={ω：R+→ Rd |ω（0）=0，ω连续}为从0开始的路径空间。概率空间为Ohm := C（R+）×R配备概率测度P：=W u，其中W是维纳测度，u是Rd上的给定（初始）概率测度。

停车时间和随机停车时间将与此明显过滤的概率空间有关。根据Beiglb¨ock-Cox-Huesmann[4]，我们让每个（ω，x）∈ Ohm 表示路径（ω，x）（t）=ωx（t）：=x+ω（t），从x开始∈ 然后，我们将S设为allstopped路径的集合ss={（fx，S）| fx：[0，S]→ Rdis连续且fx（0）=x}。（4.1）接下来，我们介绍给定的条件随机停止时间（fx，s）∈ S、 也就是说，我们遵循路径fx直到时间S的归一化停止度量。对于（fx，S）∈ S和ω∈ C（R+），定义串联路径fx⊕ ωby（fx⊕ ω） （t）=fx（t）如果t≤ s、 和（外汇）⊕ ω） （t）=fx（s）+ω（t- s） 如果t>s。定义4.1（条件停止时间[4]）。给定ξ的条件随机化停止时间（fx，s）∈ S、 由ξ（fx，S）表示，定义在ω上∈ C（R+）如下：ξ（fx，s）ω（[0，t]）=1- ξfx⊕ω（[0，s]）（ξfx⊕ω（[0，t+s]）- ξfx⊕ω（[0，s]）如果ξfx⊕ω（[0，s]）<1，ξ（fx，s）ω（{0}）=1如果ξfx⊕ω（[0，s]）=1.12 N.GHOUSSOUB，Y-H KIM和T.Lim根据[4]，这是“短柱”（fx，s）后面的“衬套”的归一化停止度量。注意ξfx⊕ω（[0，s]）不依赖于衬套ω。现在，我们对下面介绍的一个概念进行启发式描述。设τ为停止时间，并假设布朗运动从x开始，在t时达到y，然后继续运动直到停止时间τ，即Bxt（ω）=y，t<τ（ωx）。现在，根据强马尔可夫性质，布朗运动在到达y后将在剩余时间τ内继续- t导致（条件）概率测度ψy=定律（由τ-t） 以y为中心。假设从x′开始的布朗运动在τ处停止，让y′=Bx′τ（ω′）。然后，我们将用（x）表示沿停止时间τ的这对传输→ ψy:x′→ y′）∈ τ.

然后，我们将考虑这对运输工具C（x）的以下成本→ ψy:x′→ y′）=Zc（x，z）dψy（z）+c（x′，y′）。（4.2）更正式地，考虑S是所有停止路径的集合，并让Γ S是给定停止时间τ的浓度集，即τ（Γ）=1。我们将写（x→ ψy:x′→ y′）∈ （τ，Γ），（4.3）如果存在（fx，t），（gx′，t′）∈ Γ和s<t，使得y=fx（s），y′=gx′（t′），ψy=定律（通过（τ（fx，s）））。在后半部分中，我们将用SH（x）表示重心x满足δx的任何概率测度ψOψ。如上所述，这些是从x开始的停止布朗运动可以得到的概率。下面的命题对我们的主要结果至关重要。Beiglb¨ock-Cox-Huesmann[4]证明了更一般的路径依赖成本。定理4.2（单调性原理[4]）。假设c是一个成本函数，τ是最小化问题（1.1）的最佳停止时间。然后，存在stsa Borel集合 使得τ（Γ）=1，并且Γ在以下意义上是c-单调的：如果ψy∈ SH（y）和（x→ ψy:x′→ y）∈ （τ，Γ），thenC（x→ ψy:x′→ y）≤ C（x→ y:x′→ ψy）。（4.4）这里是单调性原则的首次简单应用。推论4.3。设τ为使问题（1.1）最小化的停止时间（u，ν），并假设c（x，y）=x- y |α，0<α≤ 那么，我们必须在公共质量u上取τ=0∧ν. 因此，最小化问题（1.1）可以限制为不相交的边缘|u：=u- u ∧ ν和？ν：=ν- u ∧ ν.证据事实上，如果不是，那么试探性地，在x inu处有一个粒子∧ νwhichdi fff用于某些ψx∈ SH（x）\\{δx}，因此y处的另一个粒子，y 6=x，必须在径向对称边缘13到x之间进行最佳SKOROKHOD嵌入，并弥补损失。

数学上，对于任何Γ τ（Γ）=1的S，应存在x，y∈ Rd，x 6=y和ψx∈ SH（x）\\{δx}，这样（x→ ψx:y→ x）∈ (τ, Γ).现在0<α≤ 1和z∈ Rd，| x- z |α+| y- x |α≥ |y- z |α，因此z | x- z |αdψx（z）+y- x |α≥Z | y- z |αdψx（z）。（4.5）换句话说，C（x→ ψx:y→ x）≥ C（x→ x：y→ ψx）。（4.6）但由于ψx6=δx，该不等式实际上是严格的，因此根据定理4.2，τ不能是极小值。备注4.4。注意，上述推论意味着，每当我们研究成本c（x，y）=| x的最小化问题时- y |α，0<α≤ 1，我们可以假设u∧ ν=0，但不丧失一般性。现在我们给出了定理4.2的一个变体，它利用了边缘u和ν的径向对称性。为此，我们将介绍与半径对称性相关的几个概念。首先，回想一下，可以将停止时间ξ视为停止路径集S上的概率度量。我们按照以下方式将ξ解释为运输计划：for（fx，s）∈ S、 ξ传输最小质量dξ（外汇，s）来自x∈ Rdtofx（s）∈ 沿路径的关系曲线（fx，s）。现在定义地图T:S→ Rd×RdbyT（（fx，s））=（x，fx（s）），设Tξ是映射T对测度ξ的推进，因此Tξ是Rd×Rd上的一个概率测度。现在我们给出了R-等价的定义。定义4.5。设λ（x）=| x |为模映射。如果λ的前推测度重合，即λ#Д=λ#ψ，则称Rd上的两个概率测度Д和ψ为R等价。然后我们写下~=Rψ。2、如果Tξ和Tζ的第一个边缘和第二个边缘分别为R-等效，则两个停车时间ξ和ζ称为R-等效。然后我们写ξ~=Rζ。[32]中针对鞅最优输运问题引入了以下对称化。这在本文中也很有用。设M是所有d×d实正交矩阵的群，H是M上的Haar14 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.LIMmeasure。

对于给定的M∈ M和停止时间ξ，我们将Mξ定义如下：对于每个a S、 set（Mξ）（A）=ξ（M（A））。显然，Mξ也是一个停止时间。现在我们引入对称化算子，它既作用于Rd上的概率测度，也作用于停止时间。定义4.6。对称化算子Θ作用于Rd上的概率测度集和停止时间集，如下所示：1。对于RDB和B上的每个概率度量u Rd，（μ）（B）=ZM∈M（Mu）（B）dH（M）。2、每次停车时间ξ和A S、 （ξ）（A）=ZM∈M（Mξ）（A）dH（M）。观察到Θu是唯一的径向对称概率度量，isR相当于u。此外，对于任何停止时间ξ，请注意，如果Tξ具有边缘u和ν，则T（ξ）具有边缘u和ν。（4.7）这导致了以下重要观察结果：假设c（x，y）是旋转不变的成本函数，即c（Mx，My）=c（x，y），对于任何M∈ M、 并将停车时间ξ的成本定义为：C（ξ）=ZRd×Rdc（x，y）Tξ（dx，dy）。如果ξ解决了最小化问题（1.1），其中Tξ具有径向对称边缘u和ν，那么对于任何停止时间ζ，我们必须有c（ζ）≥ C（ξ）每当ζ~=Rξ。（4.8）事实上，如果C（ζ）<C（ξ），则Θζ将以相同的边际u、ν和更低的成本解决最小化问题（1.1），这是一个矛盾。当然，如果ξ解决了最大化问题，那么（4.8）中的相反不等式必须成立。现在我们准备介绍径向单调性原理。命题4.7（径向单调性原理）。假设c是旋转变量成本函数，τ是相应最小化问题（1.1）的最佳停止时间，其中边缘u，ν是径向对称的。

然后，径向对称边缘之间的最优SKOROKHOD嵌入存在Borel集Γ 使得τ（Γ）=1，并且Γ在以下意义上是径向c单调的：如果ψy∈ SH（y），（x）→ ψy:x′→ y′）∈ （τ，Γ）和| y |=| y′|，然后c（x→ ψy:x′→ y′）≤ C（x→ y:x′→ ^1y′（4.9）对于任何Дy′∈ SH（y′）是R-等价于ψy的证明。它直接源于一般单调性原理，曾经应用于边缘径向对称的情况。事实上，如果最佳停止时间τ允许一个从x开始的粒子在到达y时发生变化，从而成为概率测度ψy，但另一个粒子在x′停止在y′，并且如果我们有相反的不等式（x→ ψy:x′→ y′）>C（x→ y:x′→ ^1y′（4.10）对于某些Дy′∈ SH（y′），然后我们可以将停止时间τ“修改”为τ′，这样x处的粒子现在在y处停止τ′，但x′处的粒子开始在y′处使用，直到变为νy′。则（4.10）表示τ′的成本小于τ，但请注意，修改后的停车时间τ′可能不满足终端边际条件ν。然而，作为ψy~=RИy′和| y |=| y′|，τ′也等于τ，这是（4.8）的矛盾。径向单调性原理证明了一组停止路径Γ的存在，这些路径支持最佳停止时间，并抵抗任何此类修改。一个变分引理。设Sy，rbe为圆心y和半径r球面上的统一概率测度，可以说是SH（y）中最简单的元素。我们选择c（x，y）=x- y |为简单起见，考虑以下“增益”函数，G（x）=G（x，y，r）：=Z | x- z | dSy，r（z）- |x个- y |，及其梯度xG。请注意，G本质上是当y Diff处的Diracmass均匀地用于球体时成本的增加。它满足以下特性：1。

如果| x- y |<x′- y′|和r是固定的，然后G（x，y，r）>G（x′，y′，r）。换言之，对于相同的差异，当距离| x时，成本的增加更大- y |很小。因此，对于最小化问题，最好在源x附近停止粒子，并使用远离x的粒子，只要满足给定的边缘条件。2、向量G（x）指向y方向- x、 因此方向导数uG（x）为如果hu，y，uG（x）<0- xi<0。因此，当x远离“扩散中心”y时，增益函数减小。通过将其与径向单调性原理相结合，可以获得关于最佳停止时间的关键信息。16 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.Lim从现在开始，c（x，Y）=x- y |α，0<α6=2。我们定义了增益函数g（x，ψy）：=Z | x- z |αdψy（z）- |x个- ψy的y |α∈ SH（y），注意g（x，ψy）- G（x′，νy′）=C（x→ ψy:x′→ y′）- C（x→ y:x′→ ^1y′）。下面的变分引理对我们的分析至关重要。引理5.1。设x，y为Rd中的非零向量，r=| x |。设u是球面Srat x的单位切线向量，使得hu，yi<0。Letψy∈ SH（y）\\{δy}。然后，存在一个φy∈ SH（y），R-等价于ψy，使得G（x，ψy）=G（x，ψy）如果0<α<2，uG（x，Дy）<0，如果α>2，则uG（x，Дy）>0，其中方向导数应用于x变量。引理5.1的证明。设c（x，z）=x- z |α并取其偏导数xdat x=0，获得h（z）：=edc（x，z）x=0=-α| z |α-2zd（5.1）取z中的拉普拉斯函数，我们得到 h（z）=-α(α - 2） （α+d- 2） | z |α-4zd。（5.2）换句话说，函数h isi）在下半空间{zd<0}中严格超谐，如果0<α<2ii）在下半空间{zd<0}中严格次谐，如果α>2。设0<α<2，假设x=xe=（x，0，…，0），u=ed，则hu，yi<0，这意味着y在下半空间中。