中径向对称边值之间的最优布朗停止

LetH={z∈ Rd:zd=0}并选择布朗运动的停止时间τ，通过该定律（通过τ）=ψy，并让η是第一次通过H。让σy=定律（通过τ∧η).那么σy在下半空间中是受支撑的，并且它是非平凡的，因此通过严格超谐性（5.2），我们得到uG（x，σy）<0。现在我们用以下方式将τ修改为τ′；ifτ≤ η、 然后我们让τ′=τ。但如果τ>η，换句话说，如果y处的粒子落在H上，但没有完全阻止径向对称边缘之间的最佳SKOROKHOD嵌入17byτ，那么我们对称化τ相对于H的剩余时间（即条件停止时间），得到τ′。更准确地说，让τHbe反映τ相对于H的条件停止时间；也就是说，如果τ停止从H发出的路径，则τhs同时停止反射路径。现在定义τ′：=τ+τHto为随机化；在重新开始H上的布朗运动之前，我们将一个硬币放进去，并选择τ或τhf作为条件停止时间。现在，定义Дy=定律（通过τ′）并观察i）Дy~=Rψyb是τ′定义中相对于H的对称性。（二）uG（x，Дy）=uG（x，σy），因为函数z 7→ edc（x，z）在zd中是奇数（见（5.1）），因此τ′定义中的对称性没有改变uG。这证明了引理。这是变分引理的一个结果。提案5.2。设x，x，y为r中的非零向量，r=| x |=| x |。假设| x- y |<x- y |。固定一个度量值∈ SH（y）\\{δy}和定义R（x，Дy）：=ψy∈ SH（y）：ψy∈ arg最小σy~=RИyZ | x- z |αdσy（z）,R（x，Дy）：=ψy∈ SH（y）：ψy∈ arg最大σy~=RИyZ | x- z |αdσy（z）,G（x）：=G（x，ψy）=Z | x- z |αdψy（z）- |x个- 任意ψy的y |α∈ R（x，Дy），G（x）：=G（x，ψy）=Z | x- z |αdψy（z）- |x个- 任意ψy的y |α∈ R（x，Дy）。如果0<α<2，则G（x）>G（x）和G（x）>G（x），如果α>2，则G（x）<G（x）和G（x）<G（x）。证据

首先，我们认为G（x）和G（x）是连续的。的确，让xn→ Rd中的x和definec（x）：=G（x）+x- y |α=Z | x- 任意ψy的z |αdψy（z）∈ R（x，Дy）。设置an=C（xn）和a=C（x）。选择{an}的任意子序列{ak}和相应的测度序列ψk∈ R（xk，Дy）。根据紧性，{ψk}有一个子序列{ψl}，它收敛到，比如ψ。注意ψ∈ SH（y）和ψ~=RИyby weak18 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.LIMconvergence。现在，writeZ | xl- z |αdψl（z）-Z | x- z |αdψ（z）=Z（| xl- z |α- |x个- z |α）dψl（z）+Z | x- z |αdψl（z）-Z | x- z |αdψ（z）.第一个括号变为零，为l→ ∞ 自| xl起- z |α- |x个- z |α→ 0一致是Rd中的一个非常紧的集，第二个括号从ψl开始变为零→ ψ.现在我们声明z | x- z |αdψ（z）=C（x）=a，即ψ∈ R（x，Дy）。（5.3）如果不是，则存在ρ∈ R（x，Дy）使Z | x- z |αdψ（z）>z | x- z |αdρ（z），henceZ | xl- z |αdψl（z）>z | xl- z |αdρ（z）对于所有大l，自ψl以来的矛盾∈ R（xl，Дy）。因此→ a、 因为这适用于任何子序列。为了完成命题的证明，我们让0<α<2，并选择任意可微曲线x（t）：[0，1]→ SRX（0）=x，x（1）=x且| x（t）- y |在严格地增加。换句话说，我们选择x（t）的方式是| x（t）|=r和hddtx（t），yi<0表示所有t。现在，对于固定t∈ [0，1]，选择任意ψy∈ R（x（t），Дy）。引理5.1给出σy∈ R（x（t），Дy），DDTG（x（t），σy）<0。定义G（x（s））≤ G（x（s），σy）表示任何s，G（x（t））=G（x（t），σy）。

Hencelim sup↓0G（x（t+））- G（x（t））≤ lim sup↓0G（x（t+），σy）- G（x（t），σy）=ddtG（x（t），σy）<0。函数G（x（t））是连续的，满足上述严格不等式∈ [0，1]，因此它必须严格递减。对于G（x（t）），我们同样使用σy∈ R（x（t），Дy）和DDTG（x（t），σy）<0至getlim inf↓0G（x（t- )) - G（x（t））≥ lim inf↓0G（x（t- ），σy）- G（x（t），σy）=-ddtG（x（t），σy）>0。我们再次看到g（x（t））是严格递减的。α>2的情况可以用类似的方式证明，命题如下。径向对称边缘之间的最佳SKOROKHOD嵌入196。径向对称边的最优停止问题。最后，借助命题5.2，我们建立了主要定理。回想一下，根据COLLARY4.3，我们可以假设0<α的最小化问题≤ 1该u∧ ν=0，但不丧失一般性。定理6.1。假设u，ν是Rd，d上紧支撑的径向对称概率测度≥ 2、假设u∧ν=0，u（{0}）=0。设c（x，y）=x-y |α，其中0<α6=2。然后，优化问题（1.1）在边缘u，ν下的解是唯一的，并且由非随机停止时间给出。证据固定0<α<2，并使τ为（1.1）的最小值。对于Rdx中的x，y 6=0，x 6=y，我们定义了势垒集：Uyx={z∈ Rd：| z |=| y |和hx，yi<hx，zi}。我们应该说，当（0）=g（0）6=0时，s中的一对（f，s）和（g，t）是禁止的，并且s′<s使得f（s′）∈ Ug（t）g（0）。也就是说，一对被禁止的线由一条穿过另一条线所形成的屏障的线组成。我们用FP表示禁止对集。首先，我们声称存在Γ τ集中在S上，使得Γ不允许任何位于Γ×Γ中的“禁止对”。实际上，如定理4.7所示，为τ选择一个径向c-单调函数，并假设fp∩ (Γ × Γ) 6= .

然后，根据马尔可夫性质，穿透路径产生一个条件概率，即条件概率，其重心位于障碍物被击中的点。但这与推论5.2和命题4.7相矛盾。因此，FP∩ (Γ × Γ) = .现在，我们证明，由于Γ不允许禁止对，那么集中在Γ上的每个停止时间必然是非随机的，这显然产生了唯一性。实际上，设ξ为T（u，ν）中的任何停止时间，ξ（Γ）=1。注意，作为u∧ ν=0且u（{0}）=0，我们可以假设每个停止的路径（fx，s）∈ Γ的s>0，x 6=0。现在我们声称自从FP∩ (Γ × Γ) = , ξ必须为非随机化类型。假设没有。然后存在一个元素（fx，s）∈ Γ使得条件停止时间ξ（fx，s）非零。这意味着在时间s>0之前沿着路径fx的布朗运动将在y：=fx（s）处继续运动。现在考虑势垒U：=uyx，注意，由任何非零停止时间控制的从y开始的布朗运动将在其完全停止之前通过曲面U，因为y位于U的边界圆上。这意味着存在一个停止的路径（gy，t）∈ 这样串联（fx⊕ gy、s+t）∈ 对于一些s′<s+t，（fx⊕ gy）（s′）∈ U、 这意味着该对（（fx⊕ gy，s+t），（fx，s））∈ Γ×Γ是一对轨道对，这是一个矛盾。20 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.Limsour，每个极小化子都是非随机化类型，唯一性遵循通常的方式，即如果τ和τ′是两个极小化子，并且如果它们的分解不一致，即τωx6=τ′ωxf对于所有ωx∈ 当P（B）>0时，则停止时间τ+τ′必须是随机类型，这是一个矛盾，因为它显然是一个更好的imimizer。α>2时的最大化问题可以用类似的方式证明。备注6.2。设Γ为径向c-单调集，OREM6.1中的优化器集中在该集上。

定理6.1的证明实际上告诉我们，对于0<α<2的极小化问题或α>2的极大化问题，最佳停止时间由第一次布朗运动Bxhits The following union of barriersUx给出：=∪yUyx，其中y=某些（fx，s）的fx（s）∈ Γ.此外，根据u和ν的唯一性和径向对称性，这些集合Ux在旋转下是全等的，即如果M是正交矩阵，且M（x）=x′，则M（Ux）=Ux′。对于α>2的极小化问题或0<α<2的极大化问题，我们有相同类型的结果，但障碍将被逆转：它将由Vx给出：=∪yVyx，其中y=某些（fx，s）的fx（s）∈ Γ，其中vyx是反向barrierVyx={z∈ Rd：| z |=| y |和hx，yi>hx，zi}。这是由于根据α值，增益函数（5.1）导数的超谐波和亚谐波区域互换。还请注意，在处理最大化问题时，必须颠倒单调性原则中的不等式（4.4）和（4.9）。最后，我们注意到，本文中的思想可以应用于比| x形式更一般的成本-本文考虑y |α。特别地，它们适用于一类在旋转和方向导数下不变的代价函数c（x，y）x变量中的uc（x，y）在y变量中具有合适的子/超谐波区域。参考文献【1】L.Ambrosio和A.Pratelli，最优运输理论中的存在性和稳定性结果。优化运输和应用。施普林格·柏林·海德堡，数学系列讲座笔记第1813卷（2003）123–160。[2] L.Ambrosio、B.Kirchheim和A.Pratelli，结晶形态最佳运输图的存在性。杜克数学杂志，第125卷，第2期（2004）207-241。[3] J.R.Baxter和R.V.Chacon，《停止分布的电势》。

Illinoi s J.数学。，18:649–656, (1974). MR358960径向对称边缘之间的最佳SKOROKHOD嵌入21【4】M.Beiglb¨ock，A.M.G.Cox和M.Huesmann，最佳传输和SKOROKHOD嵌入。《数学发明》，2017年5月，第208卷，第2期，第327-400页。[5] M.Beiglb¨ock、P.Henry Labord\'ere和F.Penkner，《期权价格的模型独立界限——一种大众运输方法》。《金融与随机》，17（2013）477–501。[6] M.Beiglb¨ock、P.Henry Labord\'ere和N.Touzi，《单调鞅运输计划和Skorohod嵌入》。《随机过程及其应用》，第127卷，第9期，2017年9月，3005–3013。[7] M.Beiglb¨ock和N.Juillet，关于边际鞅约束下的最优运输问题。安。Probab，第44卷，第1期（2016），42–106。[8] M.Beiglb¨ock、M.Nutz和N.Touzi，线上鞅最优运输的完全对偶。安。概率。，第45卷，第5期（2017），3038–3074。[9] 向量值函数的极因子分解和单调重排。《纯粹数学和应用数学通讯》，第44卷，第4期（1991年）375-417。[10] S.Bu和W.Schachermayer，《全纯函数下图像测度对Jensen测度的逼近及其应用》。变速箱。美国。数学Soc。，331 (1992), 585–608.[11] R.V.Chacon和J.B.Walsh，《一维势嵌入》。在S’eminaire deProbabilit’es，X.数学课堂讲稿中。，第511卷。柏林斯普林格（1976），19-23。MR445598。[12]G.Choquet，Forme abstraite du’eor’eme de Capacabilit’e.Ann。仪器傅里叶。格勒诺布尔，9（1959）83–89。[13] A.M.G.Cox、J.Ob l'oj和N.Touzi，《多边际嵌入问题的根解：最优停止和时间反转方法》。http://arxiv.org/abs/1505.03169(2015).[14] H.De March和N。

Touzi，《多维马尔可夫运输计划分解的不可约凸铺砌》。https://arxiv.org/abs/1702.08298 (2017).[15] Y.Dolinsky和H.M.Soner，《连续时间中的鞅最优运输和鲁棒套期保值》。概率。理论关系。Fields，160（2014）391–427。[16] Y.Dolinsky和H.M.Soner，《Skorokhod空间中的鞅最优输运》。《随机过程及其应用》，125（10）（2015）3893–3931。[17] G.A.Edgar，复鞅收敛。巴拿赫空间，数学系列讲座笔记第1166卷，38-59。[18] G.A.Edgar，《解析鞅收敛》。《功能分析杂志》，第69卷，第2期，1986年11月，268–280。[19] N.Falkner，关于通过自然停止时间嵌入N维布朗运动的Skorohod。在《数学课堂讲稿》第784卷第十四卷“emi naire de Probabilit\'es”中。，357–391. 柏林斯普林格（1980）。MR580142。[20]A.Galichon，P.Henry Laborder和N.Touzi，一种随机控制方法，用于给定边缘的无轨道边界，并应用于回溯选项。安。应用程序。Probab，第24卷，第1期（2014）312–336。【21】W.Gangbo和R.J.McCann，《最优运输的几何学》。《道路学报》，第177卷，第2期（1996年）113–161。[22]N.Ghoussoub，Y-H.Kim和T.Lim，《一般维上的最优鞅输运结构》。http://arxiv.org/abs/1508.01806, (2015).[23]N.Ghoussoub，Y-H.Kim和T.Lim，最优次调和鞅输运在一般维数下的结构。正在准备中。[24]N.Ghoussoub和B.Maurey，复拟Ibanach空间中的多重次调和鞅和势垒。《傅立叶学院年鉴》，第39卷，第4期（1989）1007–1060。【25】G.Guo、X.Tan和N.Touzi，在许多边缘约束条件下的最优Skorokhod嵌入。SIAM J.Control Optim，54（4），2174–2201.22 N.GHOUSSOUB，Y-H KIM和T.LIM【26】D。

霍布森，《回望期权的稳健对冲》，《金融与随机》，2（1998）329–347。[27]D.Hobson，Skorokhod嵌入问题和期权价格的模型独立界限。在巴黎，普林斯顿2010年数学金融讲座，2003卷数学讲座，柏林斯普林格（2011）267–318。[28]D.Hobson和M.Klimmek，前跨起跑的强劲价格边界。《金融与随机》，第19卷，第1期（2014）189–214。[29]D.Hobson和A.Neuberger，《前向启动选项的鲁棒边界》。《数学金融》，第22卷，第1期（2012）31–56。J.A.Johnson，Lipschitz函数的Banach空间和向量值Lipschitz函数。公牛美国。数学Soc，第75卷，第6号（1969），1334–1338。【31】S.K–allblad、X.Tan和N.Touzi，在充分考虑边缘和孔雀的情况下，最佳Skorokhod嵌入。安。应用程序。Probab，第27卷，第2期（2017），686–719。[32]T.Lim，一般维数下径向对称边缘之间的最优鞅输运。https://arxiv.org/abs/1412.3530, (2016).[33]I.Monroe，关于在布朗运动中嵌入右连续鞅。《数学统计年鉴》，第43卷，第4期，1293-1311（1972）。【34】J.Ob l’oj，《斯科罗霍德嵌入问题及其影响因素概率调查》，1（2004）321–392。【35】J.Ob l’oj和P.Siorpaes，《有限维鞅输运的结构》。https://arxiv.org/abs/1702.08433 (2017).【36】J.Ob l’oj和P.Spoida，有限多边缘的迭代Az’e ma Yor型嵌入。安。概率。，显示。（2016）[37]R.T.Rockafellar，《凸函数次微分的表征》。Paci fic J.Math，17（1966）497–510。[38]H.Rost，马尔可夫过程的停止分布。《发明者数学》（Inventiones mathematicae），第14、1–16页（1971年）。【39】A.V.Skorokhod，《随机过程理论研究》（译自俄罗斯技术公司）。

Addison-Wesley Publishing Co.Inc.，Reading（1965）[40]V.Strassen，给定边缘概率测度的存在性。安。数学统计员。，36 (1965) 423–439.[41]C.Villani，《优化交通主题》，第58卷，数学研究生学习。美国数学学会，普罗维登斯，国际扶轮社，2003年。[42]C.Villani，最佳运输。《新旧》（Old and New），第338卷，Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。斯普林格，2009年。不列颠哥伦比亚大学数学系温哥华V6T 1Z2 CanadaE邮箱：nassif@math.ubc.cayhkim@数学。ubc。加利福尼亚州，牛津伍德斯托克路牛津大学数学研究所，OX2 6GG UKE邮箱：Tongseok。Lim@maths.ox.ac.uk