有限时间内均值回复项目的最优采购策略

（11） thatb（tl； = C ) =tn；tl（； = C ) = b（tl； = ) =tn；tl（； = ) 对于n+1 l N： （37）然后，对于Xtn=C x、 我们得到B（tl； = C ) hC公司 x个 (1  dtK）l镍tn；tl（； = C )=b（tl； = ) hx公司 (1  dtK）l镍tn；tl（； = )= tn；tl（x； = ) :因此tn；tl（x； = ) = tn；tl（C x； = C ) :3、根据性质1和2，我们得到^Btn；ti（x）；tn；ti； = = F^Btn；ti（C x） ；tn；ti； = C ;andF公司(Btn；ti（x）；tn；ti； = ) = F级(Btn；ti（C x） ；tn；ti； = C ) ,对于tn+1 ti公司 tN：然后，根据公式（16），Ptn；ti（x； = ) = Ptn；ti（C x； = C ) :4、根据性质1 3和等式。(17)  （23），我们得到了（Ztn；ti（x）jtn（x）>ti； = ) = E（Ztn；ti（C x） jtn（C x） >ti； = C ) ;andE（Ztn；ti（x）jtn（x）>ti1. = ) = E（Ztn；ti（C x） jtn（C x） >ti1. = C ) :然后，根据等式。（9） ，（11），（24）和（25）我们得到了 E（Xtn；ti（x）jtn（x）>ti； = ) = E（Xtn；ti（C x） jtn（C x） >ti； = C ) ;andC公司 E（Xtn；ti（x）jtn（x）>ti1. = ) = E（Xtn；ti（C x） jtn（C x） >ti1. = C ) ;这意味着根据公式（27），C Etn；ti（x； = ) = Etn；ti（C x； = C ) ;对于tn+1 ti公司 tN.5。根据性质3、4和等式（8），我们在延拓区域C中得到 VC（x；tn； = ) = CNXi=n+1Ptn；ti（x； = ) @Etn；ti（x； = ) +dt公司N1Xj=ihtj()A=NXi=n+1Ptn；ti（C x； = C ) @Etn；ti（C x； = C ) +dt公司N1Xj=ihtj（C )A.因此 VC（x；tn； = ) = VC（C x；tn； = C ) ; （38）对于hti() 这与, 对于tn+1 ti公司 tN.0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-12-10-8-6-4-20σb（9，σ，h0,10（σ））b（7，σ，h0,10（σ））b（5，σ，h0,10（σ））b（3，σ，h0,10（σ））b（1，σ，h0,10（σ））图3：阈值函数，b（tN；; h0；t） 对于tn=1；3.5.7.9; T=10，dt=1；K=0:5；对于0:1   2.和hti=  （tN ti） 101、最后，根据等式。

(6) ; （38），在假设1下，对于给定阈值，b（tn； = )Cb（tn； = ) + dt公司N1Xi=nhti()!= VC（C b（tn； = ) ; tn； = C )这意味着在假设1下，C b（tn； = ) = b（tn； = C ) :因此，b（tn）与, hti下(), 对于0 田纳西州 田纳西州图3是阈值函数b（t；) 对于t=1；3.5.7.9; T=10，dt=1；K=0:5；andhti公司() =   （tN ti） 10引理7b（tn）是线性的topdt，在常数乘积dt下，to1=pKK、 以及islinear topK和1=pdt的持有成本；hti（dt；K），对于n 我 N 1.证明。与引理6中的证明类似，可以证明，在dt的常数乘积下，b（tn）是线性topdt，到1=pK K、 和持有成本，hti（dt；K）。

为了调整引理6中的证明，应遵循引理6证明中的相同步骤，并进行以下调整： hti（dt；K）替代hti().pdt更换. dt=dt；K=K放置 = . dt=C dt；K=K=C更换 = C .pC机 x替换C x。pC机 E（Xtn；ti（x）jtn（x）>ti；dt=dt；K=K）更换C E（Xtn；ti（x）jtn（x）>ti； = )pC机 E（Xtn；ti（x）jtn（x）>ti1.dt=dt；K=K）更换C E（Xtn；ti（x）jtn（x）>ti1. = )pC机 Etn；ti（x；dt=dt；K=K）替换C Etn；ti（x； = ).pC机 VC（x；tn；dt=dt；K=K）=pCNXi=n+1Ptn；ti（x；dt=dt；K=K）@Etn；ti（x；dt=dt；K=K）+dtN1Xj=ihtj（dt；K）A=NXi=n+1Ptn；ti公司pC机 x；dt=C dt；K=K=CB@Etn;ti公司个人电脑 x；dt=C dt；K=K=C+Cdt公司N1Pj=ihtj（C dt；K=C）CA；重播GC VC（x；tn； = ) = CNXi=n+1Ptn；ti（x； = ) @Etn；ti（x； = ) +dt公司N1Xj=ihtj()A=NXi=n+1Ptn；ti（C x； = C ) @Etn；ti（C x； = C ) +dt公司N1Xj=ihtj（C )A.pC机 VC（x；tn；dt=dt；K=K）=VCpC机 x；tn；dt=C dt；K=K=C重播GC VC（x；tn； = ) = VC（C x；tn； = C )pC机b（tn；dt=dt；K=K）+dtN1Xi=nhti（dt；K）！=VC公司pC机 b（tn；dt=dt；K=K）；tn；dt=C dt；K=K=C重播GCb（tn； = ) + dt公司N1Xi=nhti()!= VC（C b（tn； = ) ; tn； = C )pC机 b（tn；dt=dt；K=K）=b（tn；dt=C dt；K=K=C）更换 b（tn； = ) = b（tn； = C ) :在这个调整下，与引理6的证明中相同的归纳过程得出b（tn）是线性topdt，在常数乘积dt下 K、 持有成本为线性topK，1=pdt。

注意，作为dtK是常数，我们得到b（tn）与1=pK也是线性的。图4举例说明了阈值函数b（tn；dt；K），对于n=1；3.5.7.9; N=10，dt K=0:8，Hti（dt；K）=1=pdt （tN ti） 101.5结论在本研究中，我们制定了一个最优策略，用于管理具有随机均值回复价格过程的物品的库存。我们的库存问题考虑了一个圆盘网……短期内，项目1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2-12-10-8-6-4-20b（t9；dt，K，h0，t10（dt，K））b（t7；dt，K，h0，t10（dt，K））b（t5；dt，K，h0，t10（dt，K））b（t3；dt，K，h0，t10（dt，K））b（t1；dt，K，h0，t10（dt，K）图4:n=1时的阈值函数，b（tn；dt；K；h0；t）；3.5.7.9; N=10，dt K=0:8； = 1.用于1pdt公司 2.hti=1=pdt （tN ti） 101.必须购买，以及凸面持有成本。项目的价格根据AR（1）过程计算，这反映了均值回归行为。在这种情况下，我们证明了最优策略是以一个唯一的阈值函数的形式存在的，该阈值函数确定了每个时间点的采购决策是最优的价格区域。我们提供了一个简单的算法来计算阈值函数。该算法基于Bellman方程，用于计算系统在每个步骤中的值函数。价值函数的计算依赖于交叉时间概率和超调期望，这是在封闭形式的解决方案中给出的。我们分析了与模型逻辑参数和价格过程参数相关的阈值函数。该分析导出了阈值函数的有趣性质，这些性质在理论上得到了证明，并用图进行了验证。参考文献【1】Alili，L.、Patie，P.和Pedersen，J.L.（2005）。anOrnstein-Uhlenbeck过程1的…rst命中时间密度表示。随机模型，21（4），967-980。[2] Bellman，R.E.和Dreyfus，S.E。

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通过定义，最优策略的成本比任何可行的策略都要低，因此我们得到了EXtn；tn+1（x）+ dt公司N1Pi=n+1htiVC（x；tn）。因此，根据等式。（40）和（39），x+dtN1Pi=nhti>VC（x；tn），对于0 tn<tn1，对于anyx>  htn=K。接下来我们通过归纳证明了性质2；3保持，并且存在一个…nite单一阈值，b（tn），用于0 tn<tn1： 属性2-在任何时间点，0 田纳西州 田纳西州1，存在……nite价格，xL（tn）minnb（tn+1）dt公司K（1dt公司K） ；dt公司Kpdt公司htn公司dtdtKo，其中任意x xL（tn）satis…es x+dtNPi=nhi VC（x；tn）。性质3-VC（x；tn）是凹的，并且在x中增加。首先，我们验证了对于时间tn1a存在单一阈值，且属性2和3保持不变：根据推论1，在时间tN1，在b（tN）值处存在一个阈值1) =  htN公司1=K，任何价格x<  htN公司1=K饱和度…es x+dtNPi=nhi<VC（x；tn）。请注意  htN公司1=K>dt公司Kpdt公司htN公司1.dtdtK、 因此，财产2成立。此外，在时间tN1根据公式（9）VC（x；tN），继续决策下的价值函数将导致在时间tN的规划期结束时进行最终购买1） =EXtN公司1.tN（x）=  + （十） ) (1  dt公司 K） ：即VC（x；tN1） 为凹形（线性）且在x上增加。因此，属性3也适用于时间tN1、接下来我们假设时间tj：tn+1 tj公司 tN，存在一个…nite单一阈值，b（tj），并且属性2和3保持不变。在此假设下，我们通过归纳法证明，上述公式也成立。

从性质1，我们得到Vc（x；tn）=PrXtn；tn+1（x）>b（tn+1） EVC（Xtn；tn+1（x）；tn+1）jXtn；tn+1（x）>b（tn+1）(41)+1. 公共关系Xtn；tn+1（x）>b（tn+1）EXtn；tn+1（x）jXtn；tn+1（x） b（tn+1）+ dt公司N1Xi=n+1hti！：注意，根据阈值策略，EVC（Xtn；tn+1（x）；tn+1）jXtn；tn+1（x）>b（tn+1） EXtn；tn+1（x）jXtn；tn+1（x） b（tn+1）+ dt公司N1Xi=n+1hti：因此，我们可以替换等式（41）的RHS，并得到以下不等式：VC（x；tn） EXtn；tn+1（x）jXtn；tn+1（x） b（tn+1）+ dt公司N1Xi=n+1hti：（42）根据归纳假设，等式（9）存在……nite xb（tn+1）dt公司K（1dt公司K） 那是satis…esEXtn；tn+1（x）= b（tn+1）：因此，我们可以从式（9）中推断出EXtn；tn+1（x） b（tn+1）（）x x、 因此，我们得到x的结果 x:EXtn；tn+1（x）jXtn；tn+1（x） b（tn+1）+ dt公司N1Xi=n+1hti EXtn；tn+1（x）jXtn；tn+1（x） EXtn；tn+1（x）+ dt公司N1Xi=n+1hti；（43）式（3）EXtn；tn+1（x）jXtn；tn+1（x） EXtn；tn+1（x）+ dt公司N1Xi=n+1hti=E + （十） ) (1  dt公司 K） +  “tn+1“tn+1 0+ dt公司N1Xi=n+1hti= + （十） ) (1  dt公司 K） +  E“tn+1“tn+1 0+ dt公司N1Xi=n+1hti：（44）术语，“tn+1“tn+1<0，作为正态变量分布，平均值为零，dt方差在其平均值以下截断。该项的已知预期值为（见：[32]）：E“tn+1“tn+1 0= pdt公司(0)=(0); （45）其中() 和() 分别表示标准正态随机变量的P DF和累积分布函数（CDF）。为0<(0)=（0）<1，且PDT； > 0，我们从eqs得到。（42,43,44,45）thatVC（x；tn）> + （十） ) (1  dt公司K）  pdt+dtN1Xi=n+1hti，对于xb（tn+1） dt公司 K（1 dt公司 K） ；（46）其中， + （十） ) (1  dt公司 K）  pdt+dtN1Xi=n+1hti>x+dtN1Xi=nhti（）x<  dt公司 K  pdt公司 htn公司 dtdt K： （47）因此，通过等式。

（46,47）我们得到存在一个……nite价格，xL（tn） minnb（tn+1）dt公司K（1dt公司K） ；dt公司Kpdt公司htn公司dtdtKo，其中任意x xL（tn）饱和度：VC（x；tn）>x+dtN1Xi=nhti：也就是说，属性2对时间tn有效。接下来，我们注意到，在归纳假设下，时间tn+1存在一个单一阈值b（tn+1），因此我们得到Vc（x；tn）=E“min（Xtn；tn+1（x）+dtN1Xi=n+1hti；VC（Xtn；tn+1（x）；tn+1））#。（48）我们定义了“tn+1在其概率密度函数g（“）和xtn；tn+1（x；”）下的实现；作为Xtn的值；“tn+1=”时的tn+1（x）。因此，我们可以设置公式（48）asVC（x；tn）=Z1min（xtn；tn+1（x；“”+dtN1Xi=n+1hti；VC（xtn；tn+1（x；“”；tn+1））g（“）d”。（49）xtn；tn+1（x；“”）在性质3的归纳假设下，VC（x；tn+1）在x上呈线性增加，在x上呈凹形并增加。因此，作为线性递增函数的递增凹函数，VC（xtn；tn+1（x；“”；tn+1）也是凹的，并且在x中递增。作为xtn；tn+1（x；“”+dt公司N1Pi=n+1hti，Vc（xtn；tn+1（x；“”；tn+1）呈凹形，在x，thanmin中增加xtn；tn+1（x；“”+dtN1Pi=n+1hti；VC（xtn；tn+1（x；“”；tn+1）是凹的并且在x上递增，所以是递增凹函数的积分。因此，我们得出VC（x；tn）是凹的，并且在x中增加。也就是说，属性3对时间tn有效。根据属性1和2，存在……nite价格，xH（tn），xL（tn），其中任何x xH（tn）；satis…es x+dtN1Pi=n+1hti>VC（x；tn），以及任意x xL（tn）satis…esx+dtN1Pi=n+1hti<VC（x；tn）。结合性质3认为VC（x；tn）是凹的且在x中增加，我们得出存在一个单一的x值，定义为阈值b（tn）；其中b（tn）+dtN1Pi=nhti=V（b（tn）；tn）保持。