有限时间内均值回复项目的最优采购策略

即Ptn；ti（x）=Pr(tn（x）=ti），对于0 tn<ti tN：定义3超调期望值我们定义了时间ti时的超调期望值：过程的期望值tn（x）条件是交叉时间发生在时间Tian，时间tn的价格为x，0 tn<ti tN.我们用Etn表示超调预期；ti（x）。即Etn；ti（x）=E（Xtn；ti（x）jtn（x）=ti）：使用Ptn；ti（x）和Etn；0的ti（x） tn<ti tn我们可以根据以下递归方程在连续区域中构建时间tn和价格x>b（tn）的值函数：V（x；tn）=VC（x；tn）=Ptn；tn+1（x）Etn；tn+1（x）+dtN1Pj=n+1hti+1. Ptn；tn+1（x） EV（Xtn；tn+1（x）；tn+1）jXtn；tn+1（x）>b（tn+1）=NPi=n+1Ptn；ti（x）Etn；ti（x）+dtN1Pj=ihti！；（8） 在时间tn和价格x的停止区域 b（tn）我们得到：V（x；tn）=x+dtN1Xi=nhti:3.1交叉时间概率和超调期望计算在定义2和3中定义了交叉时间概率和超调期望的术语之后，我们在本节中给出了它们的计算。Ptn的计算；ti（x）和Etn；ti（x）基于将这些项分解为多元正态变量的显式函数，然后计算它们的概率函数和截断期望。根据式（3），Xtn；ti（x），实际上是一个正态分布的随机变量。即Xtn；ti（x）v Nti；tn（x）；ti；田纳西州根据式（3）具有预期，tn；ti（x），等于：tn；ti（x）= + （十） ) (1  dt公司 K） 我n（9） 和方差，tn；ti，等于：tn；ti=V ar我n1Xj=0（1 dt公司 K） j“tij： （10）“tn+1；”tn+2；：：：；“tiare i.i.d随机变量的方差等于dt。因此，通过将几何过程聚合在等式中。

（10） ，我们得到：tn；ti=dt 1. (1  dt公司 K） 2（一）n） 1个 (1  dt公司 K） ：（11）与Xtn通信；ti（x），用ztn定义其相对标准正态变量；ti（x）：=Xtn；ti（x） tn；ti（x）tn；ti；（12） 其中Ztn；ti（x）v N（0；1）。随机变量集Ztn；tn+1（x）；：：：；Ztn；ti（x）与不对称协方差矩阵相关，表示为tn+1；ti。每个协方差元素cov（Ztn；tl（x）；Ztn；tk（x）），fortn+1 tl公司 tk公司 ti，在协方差矩阵中，tn+1；ti，表示Ztn之间的协方差；tl（x）和Ztn；tk（x），等于：cov（Ztn；tl（x）；Ztn；tk（x））=E[Ztn；tl（x） Ztn；tk（x）] E【Ztn；tl（x）】 E[Ztn；tk（x）]；式中，E【Ztn；tl（x）】 E[Ztn；tk（x）]=0。根据e qs。（12） 和（9）：cov（Ztn；tl（x）；Ztn；tk（x））=tn；tl公司 tn；tk公司E类@ln1Xj=0（1 dt公司 K） j“tl青年成就组织kn1Xr=0（1 dt公司 K） r“tkr！：（13） 请注意，E“tlj “tkr= tl的dtj=tkr、 和E“tlj “tkr= tl为0j6=tkr、 tl公司j=tkr形状（j；r）2 f（0；k l） ；：：：；（l） n 1.k n 1） g.因此，cov（Ztn；tl（x）；Ztn；tk（x））=dt tn；tl公司 tn；tk公司ln1Xj=0（1 dt公司 K） K级l+2j： 通过聚合几何级数，我们得到：cov（Ztn；tl（x）；Ztn；tk（x））=dt  (1  dt公司 K） K级ltn；tl公司 ttn；tk公司1. (1  dt公司 K） 2（ln） 1个 (1  dt公司 K） ；对于tn+1 tl公司 tk公司 ti：（14）接下来，我们确定各自的标准化阈值。即，调整到标准化p过程Ztn的b（tn）的对应值；ti（x）。我们……neBtn；ti（x）：=htn；tn+1（x）；tn；tn+2（x）；：：：；tn；ti（x）i；作为时间点tn+1的标准化阈值f的向量；：：；ti，其中每个元素，tn；tn+l（x），对于tn+1 tn+l ti设置为标准化过程Ztn对应的标准化值b（tn+l）；tn+l（x）。

也就是说，tn；tl（x）：=b（tl）h类 + （十） )  (1  dtK）l镍tn；tl；对于n+1 l i： （15）同样地，我们……nebBtn；ti（x）作为时间点tn+1的标准化阈值向量；：：：；ti，但与时间ti相对应的元素设置为1、即bBtn；ti（x）：=hbtn；tn+1（x）；btn；tn+2（x）；：：：；btn；ti（x）i；其中btn；tl（x）：=tn；tl（x）；对于n+1 l 我 1.1.l=i：引理2Ptn；ti（x）=F^Btn；ti（x）；tn；ti公司 F级(Btn；ti（x）；tn；ti）；（16） 其中F（an；nn） 是n阶标准多元正态变量在向量a 2Rn上的累积分布函数，其中 n协方差矩阵.证据根据定义2，Ptn；ti（x）可以表示为过程在时间ftn+1时超过阈值的概率；：：：；ti公司1g，并且低于ti的阈值。即Ptn；ti（x）=PrXtn；ti（x） b（ti）；Xtn；ti公司1（x）>b（ti1) ; :::; Xtn；tn+1（x）>b（tn+1）:像tn；tn+1（x）；：：：；tn；ti（x）表示b（tn+1）的相应标准值；：：：；b（ti），我们得到，Ptn；ti（x）=PrZtn；ti（x） tn；ti（x）；Ztn；ti公司1（x）>tn；ti公司1（x）；：：：；Ztn；tn+1（x）>tn；tn+1（x）:利用Ztn的对称性；tn+1（x）；：：：；Ztn；ti（x）和全概率定律：Ptn；ti（x）=PrZtn；ti公司1（x） tn；ti公司1（x）；：：：；Ztn；tn+1（x） tn；tn+1（x）公共关系Ztn；ti（x） tn；ti（x）；Ztn；ti公司1（x） tn；ti公司1（x）；：：：；Ztn；tn+1（x） tn；tn+1（x）= F^Btn；ti（x）；tn；ti公司 F级(Btn；ti（x）；tn；ti）：接下来，我们需要计算过程的超调预期。这是通过形成Etn来实现的；多元正态变量条件期望函数的ti（x）中介。

首先，我们定义了向量：Atn；ti:tj（x）=tn；tn+1:tj（x）；：：：；tn；tj公司1： tj（x）；tn；tj+1:tj（x）；：：；tn；ti:tj（x）; （17） 蝙蝠；ti:tj（x）=btn；tn+1:tj（x）；：：：；btn；tj公司1： tj（x）；btn；tj+1:tj（x）；：：；btn；ti:tj（x）; （18） 在哪里tn；tl:tj（x）=tn；tl（x） Cov公司Ztn；tl（x）；Ztn；tj（x） tn；tj（x）第一季度 Cov公司Ztn；tl（x）；Ztn；tj（x）;; （19） 对于n+1 l i；和n+1 j i；l 6=j；andbtn；tl:tj（xn）=tn；tl：tj（xn）；对于n+1 l 我1.和n+1 j i；l 6=j；1.对于l=i；和n+1 j i；i 6=j：（20）我们定义了矩阵Mti；tn:tj（x），作为（i n 1)  （一） n1） …的一阶偏相关矩阵Ztn；tn+1（x）；：：：；Ztn；ti（x）, 对于n+1 j i；i 6=j，当移除控制变量Ztn时；tj（x）。即ftl；tmg进入Mti；tn:tj（x），表示为tl；tm:tj（x），对于n+1 l i；n+1 m级 i；n+1 j i；l；m 6=j；等于：tl；tm：tj（x）=cov（Ztn；tl（x）；Ztn；tm（x）） cov公司Ztn；tl（x）；Ztn；tj（x） cov（Ztn；tm（x）；Zti；tm（x））q1 cov公司Ztn；tl（x）；Ztn；tj（x）第一季度 cov公司Ztn；tm（x）；Ztn；tj（x）: （21）定义这些术语后，我们使用塔利斯方程（见[29]）作为标准化正态截断多元分布的平均值，以计算时间tn时过程的预期值，条件是Xtn=x，并且相应的交叉时间在时间tj之后触发，时间为0 田纳西州tj公司 ti，表示为E（Xtn；ti（x）jtn（x）>tj）。我们得到了tj=ti，tj=ti的这一项1，并使用它们来推导Etn；ti（x）。

应用塔利斯方程Ztn；tn+1（x）；：：：；Ztn；ti（x）作为标准化正态多元变量，在坐标n上分别截断tn；tn+1（xn）；：：：；tn；tni（xn）ogives:E（Ztn；ti（x）jtn（x）>ti（22）=Pil=n+1cov（Ztn；ti（x）；Ztn；tl（x）） tn；tl（xn） F级(Atn；ti:tl（xn）；Mti；tn:tl（x））F(Btn；ti（xn）；tn；ti）；E（Ztn；ti（x）jtn（x）>ti1） （23）=Pil=n+1cov（Ztn；ti（x）；Ztn；tl（x）） btn；tl（xn） F蝙蝠；ti:tl（xn）；Mti；tn:tl（x）FbBtn；ti（xn）；tn；ti公司;哪里 （x） 是标准正态变量的概率密度函数（P DF）。采用标准化术语，E（Ztn；ti（x）jtn（x）>ti）；E（Ztn；ti（x）jtn（x）>ti1） 并将其转化为E（Xtn；ti（x）j的形式tn（x）>ti）；E（Xtn；ti（x）jtn（x）>ti1） 给出：E（Xtn；ti（x）jtn（x）>ti（24）=tn；ti（x）+tn；ti公司Pil=n+1cov（Ztn；ti（x）；Ztn；tl（x）） tn；tl（xn） F级(Atn；ti:tl（xn）；Mti；tn:tl（x））F(Btn；ti（xn）；tn；ti）；E（Xtn；ti（x）jtn（x）>ti1) (25)= tn；ti（x）+tn；ti公司Pil=n+1cov（Ztn；ti（x）；Ztn；tl（x）） btn；tl（xn） F蝙蝠；ti:tl（xn）；Mti；tn:tl（x）FbBtn；ti（xn）；tn；ti公司:Etn；ti（x）是在依赖于e（Xtn；ti（x）j）项的情况下，通过完成总期望方程导出的tn（x）>ti），E（Xtn；ti（x）jtn（x）>ti1） 在等式中。(24) ; (25). 为了建立总期望方程，我们指定了交叉时间的条件概率，用Ptn表示；ti（x jtn（x）>ti1） ：可能性tn（x）发生在时间ti，条件是tn（x）>ti1、根据Bayes规则，andeq。（16） ，我们得到那个ptn；ti（x jtn（x）>ti1） =Ptn；ti（x）FbBtn；ti（xn）；tn；ti公司: （26）最后，我们建立了总期望方程，并推导了Etn；ti（x）：Etn；ti（x）=[E（Xtn；ti（x）jtn（x）>ti1)  (1  Ptn；ti（x jtn（x）>ti1))  E（Xtn；ti（x）jtn（x）>ti）]Ptn；ti（x jtn（x）>ti1） ：（27）3.2阈值函数在本节中，我们介绍了阈值计算算法。

但是……首先，我们证明了阈值函数在时间上保持单调性，如以下引理所述：引理3 b（t）在t中单调增加，0<t<t。证据允许1将时间tn的阈值设置为时间tn+1时保持的最佳阈值的策略。也就是说，政策1可以定义为1. b1（tn）=b（tn+1），对于0<tn 田纳西州1、让V1（x；tn）定义政策下的价值函数1、根据式（8），政策下连续决策下的价值函数1，表示为VC1（x；tn），可表示为：VC1（x；tn）=NXi=n+1P1tn；ti（x）@E1tn；ti（x）+dtN1Xj=ihtjA；其中P1tn；ti（x）和E1tn；ti（x）表示交叉时间概率和超调期望欠策略分别为1。请注意，P1tn；ti（x）=Ptn+1；ti+1（x）和E1tn；ti（x）=Etn+1；ti+1（x），但购买政策1与最优策略相比，额外增加一个时间单位，并增加持有成本。因此，我们得到了thatVC1（x；tn）=VC（x；tn+1）+N1Xi=n+1Ptn+1；ti+1（x） dt公司 hti：（28）由于我们的模型限制HTT减少，我们从公式（28）中得到：VC1（x；tn） VC（x；tn+1）+dt htn；（29）并将式（6）中的VC（x；tn+1）替换为式（29），得出：VC1（b（tn+1）；tn） b（tn+1）+dtN1Xi=n+1hti+dt htn=b（tn+1）+dtN1Xi=nhti：（30）请注意，RHS等于时间tn和价格b（tn+1）时的采购决策成本。此外，作为1这是一项可行的政策，我们有风险投资1（b（tn+1）；tn） VC（b（tn+1）；tn）。将其与eq.（30）相结合，我们得到了thatVC（b（tn+1）；tn） b（tn+1）+dtN1Xi=nhti；加上阈值（引理1）的唯一性，意味着b（tn） b（tn+1），对于0<t<t。注意，引理3的一个子结果是阈值函数的一个新上界，它比引理1中建议的更紧。在方程中建立交叉时间概率和超调预测后。

（16） 和（27），可以使用简单的递归过程计算阈值。其连续区域中的值函数VC（x；tn）根据等式计算。（8） ，和（16）和（27），阈值b（tn）由满足式（6）的b（tn）值确定。然而，Ptn的计算；ti（x）和Etn；tn+1的ti（x） ti公司 tN，基于fb（tN+1）的值；：：；b（ti）g.因此，westart从时间tN的地平线末端开始计算阈值，并在时间tN+1的长度dt中按顺序向后移动。作为停止条件，在时间tN，阈值b（tN）=1，根据推论1，b（tN1) =   htN公司1=K。在每一步中，通过简单的二进制搜索方法确定阈值提醒，该方法在相应的期望精度分辨率下确定阈值，. 由于阈值是唯一的，并且保持上下界，并且增加int（引理1和引理3），二进制搜索保证收敛到最优解。此过程由以下算法表示：算法1阈值函数1。设置n=n 2.b（tN）=1；b（tN1) =   htN公司1=K；磅=dt公司Kpdt公司htn公司2.dtdtKU B=B（tN1） ，andx=（U B LB）=22。如果n 03、根据式（8）计算VC（x；tn）。3.1. 虽然x+dtN1Pi=nhti VC（x；tn）> 3.1.1. 如果x+dtN1Pi=nhti>VC（x；tn），设置UB=x3.1.2。否则，设置LB=x3.1.3。x=（UB LB）=23.1.4。根据公式（8）计算VC（x；tn）。3.2. b（tn）=x3.3。n：=n13.4. LB=最小值（tn+1）dt公司K（1dt公司K） ；dt公司Kpdt公司htn公司dtdt击倒取胜U B=B（tn+1）3.5。转至步骤24。end4阈值属性在本节中，我们介绍阈值函数的一些有趣属性。在本节中，我们使用符号b（tn； = c） ；Xtn；ti（x； = c） 在哪里 是模型的一个或多个参数，C与其值相对应。

该符号分别表示在时间tn，所注参数的特定值c下的阈值函数和价格过程，.引理4 b（tn； = ) + C=b（tn； = + C） 对于常数C和t 田纳西州 tN.证明。根据式（3）中的价格过程项，我们得到 仅通过一个常量改变价格过程：Xtn；ti（x+C； = + C） =+ C+（x+C (+ C） ）（1 dt公司 K） 我n个+我n1Xj=0（1 dt公司 K） j“tij=Xtn；ti（x； = ) + C： （31）设VC（x；ti； = ) ; b（tn； = ) 是连续决策下的值函数，是具有 = , 分别地注意，根据等式。(16) ; (24) ; (25) ; (27) ; （31）我们得到0 tn<ti tN和所有ti<t tNEtn；ti（x+C； = + Cb=b（； = ) + C） =Etn；ti（x； = ; b=b（； = )) + C和PTN；ti（x+C； = + Cb=b（； = ) + C） =Ptn；ti（x； = ; b=b（； = )) :因此，通过式（8），我们得到Vc（x+C；tn； = + Cb=b（； = ) + C） =VC（x；tn； = ; b=b（； = )) + C： 因此，asVC（b（tn； = ) ; tn； = ; b=b（； = )) = b（tn； = ) + dt公司N1Xi=nhti；然后Vc（b（tn； = ) + Ctn； = + Cb（tn）=b（tn； = ) + C） =b（tn； = ) + C+dtN1Xi=nhti：因此，我们得到b（tn； = + C） =b（tn； = ) + C、 对于0 t型 T： 图1举例说明了阈值函数b（T），时间范围为T=15，具有不同 价值观引理5 btn；h=hH btn；h=hL其中hH=nhHt；：：：；hHtN公司1o，hL=nhLt；：：：；hLtN公司1o，hLtihHti，用于n 我 N 1和1 n<n 1： 证明。让bL=bL（t）；：：：；bL（tN）表示系统预扣成本hL的最佳阈值集，并让VCx；tn；b=bL；h=hL对于持有成本为hL的系统，当遵循阈值BL（n+1）时，表示连续决策的值函数 我 N 1.

根据式（6），bL（tn）+dtN1Xi=nhLti=VCbL（tn）；tn；b=bL；h=hL: （32）让hHti hLtifor n公司 我 N1，让VCx；tn；b=bL；h=hH表示在n+1的阈值bL（ti）之后，持有成本为hH，when的系统的持续决策的值函数 我 N 1、在此设置下，根据公式（8），我们得到VC之间的差值bL（tn）；tn；b=bL；h=hL0 5 10 150246810214161820TB（t；θ=20）b（t；θ=10）b（t；θ=5）图1：阈值函数，b（t； = ) 对于T=15，dt=1，K=0:5， = 1，ht=（T t） 102，用于 = 20; 10; 5.和VCbL（tn）；tn；b=bL；h=hH仅在持有成本中。也就是说，VCbL（tn）；tn；b=bL；h=hL= VC公司bL（tn）；tn；b=bL；h=hHN1Xi=n+1Ptn；ti（bL（tn）；b=bL） dt公司N1Xj=ihHtj公司 hLtj公司: （33）然后，根据等式。（32），（33）我们得到，bL（tn）+dtN1Xi=nhLti+N1Xi=n+1Ptn；ti（bL（tn）；b=bL） dt公司N1Xj=ihHtj公司 hLtj公司= VC公司bL（tn）；tn；b=bL；h=hH: （34）此外，bL（tn）+dtN1Xi=nhLti+N1Xi=n+1Ptn；ti（bL（tn）；b=bL） dt公司N1Xj=ihHtj公司 hLtj公司(35) bL（tn）+dtN1Xi=nhHti；andVCbL（tn）；tn；b=bH；h=hH VC公司bL（tn）；tn；b=bL；h=hH; （36）作为VCbL（tn）；tn；b=bH；h=hH表示持有成本为hHti的系统的延续决策的最佳值。因此，我们从方程中得到。(34) ; (35) ; （36）thatVCbL（tn）；tn；b=bH；h=hH bL（tn）+dtNXI=nhHti:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 104.555.566.577.588.599.510tb（t，h=0.5）b（t，h=0.45）b（t，h=0.4）b（t，h=0.35）b（t，h=0.3）b（t，h=0.25）b（t，h=0.2）b（t，h=0.15）b（t，h=0.1）b（t，h=0。

05）图2：阈值函数，b（t）表示t=10，dt=1，K=0:5， = 1. = 10在不同的持有价值中，h。因此，对于持有成本为hH的系统，最好以价格bl（tn）等待，这与阈值的唯一性（引理1）一起意味着btn；h=hHbtn；h=hL对于hLti hHti；n 我 N 1和1 n<n 1： 图2举例说明了阈值函数b（t），时间范围为t=10，具有不同的保持值。4.1阈值函数性质在本节的特殊情况下，我们分析了当持有成本遵循特定形式时阈值函数的其他性质。我们将持有成本表示为一组参数h的函数(). 此外，为了提高证明的可读性，我们在本节中假设 = 注意，根据引理4，结果可以很容易地调整为一般, 像 只有一个常数会影响阈值。引理6 b（tn）与, 持有成本与, hti公司(), 对于n 我 N 1.证明。我们用归纳法证明了这个引理。首先，我们注意到，在持有成本下，htN1(), 我们得到b（tN1） 是线性的: 根据推论1，b（tN1) = htN公司1() =K（低于 = 0）与. 在归纳假设下，b（ti）与, 持有成本下，hti(), fortn+1 ti公司 田纳西州1（假设1）。接下来，我们展示了在假设1和hti下(), b（tn）也与. 我们通过在假设1下提供以下属性来证明这一点：1。根据式（14），我们得到covZtn；tl（x）；Ztn；tj（x）独立于 和hti(), 对于n+1l Nn<j N2、根据式（15），对于 = Xtn=x，我们得到了tn；tl（x； = ) =b（tl； = ) hx公司 (1  dtK）l镍tn；tl（； = ):对于常数C，我们从假设1和等式中得到。