有限时间内均值回复项目的最优采购策略

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英文标题：
《Optimal Purchasing Policy For Mean-Reverting Items in a Finite Horizon》
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作者：
Alon Dourban and Liron Yedidsion
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this research we study a finite horizon optimal purchasing problem for items with a mean reverting price process. Under this model a fixed amount of identical items are bought under a given deadline, with the objective of minimizing the cost of their purchasing price and associated holding cost. We prove that the optimal policy for minimizing the expected cost is in the form of a time-variant threshold function that defines the price region in which a purchasing decision is optimal. We construct the threshold function with a simple algorithm that is based on a dynamic programming procedure that calculates the cost function. As part of this procedure we also introduce explicit equations for the crossing time probability and the overshoot expectation of the price process with respect to the threshold function. The characteristics and dynamics of the threshold function are analyzed with respect to time, holding cost, and different parameters of the price process, and yields meaningful practical insights, as well as theoretical insights.
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中文摘要：
在这项研究中，我们研究了具有均值回复价格过程的物品的有限期最优采购问题。在这种模式下，在给定的期限内购买固定数量的相同物品，目的是最小化其购买价格和相关持有成本。我们证明了最小化期望成本的最优策略是时变阈值函数的形式，它定义了采购决策最优的价格区域。我们使用一种基于计算成本函数的动态规划过程的简单算法构造阈值函数。作为该过程的一部分，我们还介绍了交叉时间概率和价格过程相对于阈值函数的超调期望的显式方程。从时间、持有成本和价格过程的不同参数方面分析了阈值函数的特征和动态，得出了有意义的实践见解和理论见解。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Purchasing_Policy_For_Mean-Reverting_Items_in_a_Finite_Horizon.pdf (226.65 KB)

2022-6-1 16:29:19 上传

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关键词：均值回复 Mathematical Quantitative Optimization Programming

均值回复项目的最优采购策略在有限水平下，以色列理工学院Dourban和Liron YedidsionTechnion研究了具有均值回复价格过程的项目的近期最优采购问题。在这种模式下，在给定的期限内，相同项目的固定数量将被支付，目标是使ir采购价格和相关持有成本最小化。我们证明了最小化期望成本的最优策略是以时变阈值函数的形式存在的，该函数定义了采购决策最优的价格区域。我们用一种简单的算法构造阈值函数，该算法基于计算代价函数的动态编程过程。作为该过程的一部分，我们还引入了关于thres保持函数的价格过程的交叉时间概率和超调预期的显式方程。从时间、成本和价格过程的不同参数方面分析了阈值函数的特征和动态，得出了有意义的实际见解和理论见解。本文研究了一类具有回复价格过程的物品库存管理问题。当标的物的价格是随机的并且倾向于恢复到长期平均价格时，我们找到了管理采购决策的最佳策略。我们分析了一般凸持有成本和有限截止期约束下的系统。我们的工作引入了一个简单的购买策略，该策略基于athreshold值作为时间函数。thres hold值表示是购买该项目，还是等待将来以更好的价格购买。我们研究的问题可以在许多企业的核心运营中找到。

例如，该模型可用于管理机场的燃油库存。在这一操作中，机场的照明时间表决定了燃料需求的最后期限，即燃料是以最低价格购买的。因此，需要对燃料库存采购决策进行优化管理，以最小化由燃料直接价格和持有成本组成的相关总成本。我们关注随机价格商品的动机取决于企业在物流运营中越来越需要考虑其库存采购价格的随机行为。此外，在大众商品（主要是商品）价格的随机波动中发现了许多均值回复行为的证据，例如，参见[4]、[5]、[26]、[27]、[28]、[33]。虽然我们的模型主要针对经典物流系统的最优策略，但它也可以用于在其基本过程中遇到均值回归的替代系统的优化。此类应用包括电力市场[17]、汇率[12]和成对交易[9]。最优库存控制流的研究解决了几个工厂的价格随机行为。Kalymon[21]为一个随机项目价格遵循离散马尔可夫过程ss的系统引入了一个单项目、多周期的库存系统，并构造了一个（s（p）；S（p））最优策略。Golabi【14】在独立的连续价格分布框架下考虑了类似的问题。然而，这些方法中的任何一种都是通过闭式解来计算均值回复价格过程中的最优策略。Berling和Martinez de Albeniz【3】的工作考虑了一个与我们的研究密切相关的模型，因为他们在连续审查清单中应用了一个数值程序，其中p rice遵循均值回复的Ornstein-Uhlenbeck过程（OU）。

Goel和Gutierrez[13]还考虑了OU价格过程，并提出了一项计算研究，即最优库存政策的近似值和可从现货和远期市场进行采购的多级模型。其他研究库存系统中仓促价格的论文包括Gavirneni【11】和Wang【31】，他们研究价格近视的模型，以及Li和Kouvelis【22】的工作，他们使用二项式近似法研究遵循几何布朗运动（GBM）过程的arandom价格下的风险分担合同。对于在库存优化中考虑随机p大米的其他相关工作的全面审查，seeHaks"oz和Seshadri【16】。最优库存控制中的随机价格过程分析与最优停止问题中的随机价格过程分析具有相似的挑战。最优停止方法广泛应用于与金融衍生品相关的金融文献中。Jacka[20]指出，美式看跌期权的问题等价于一个最优停止问题。自Black和Scholes的开创性工作【6】以来，金融学文献中已经形成了关于美式期权定价和建模的丰富研究流，参见【18】fora review。然而，在大多数情况下，这类问题没有封闭形式的解，因此，发展了di-e rent数值程序。大多数金融研究集中于遵循GBM过程的基础过程，但开发的一些程序也可以捕获均值回复过程。

这包括：Nelson和Ramaswamy的截尾二叉树【24】、Hahn和Dyer的二维树【15】、Hull和White的三项式树【19】以及Logsta和Schwartz的最小二乘拟合技术【23】。为了找到均值回复过程的最优策略，一些论文还讨论了我们工作中研究的子问题。这包括进程穿越某个给定值的概率，以及进程在此穿越时间的预期值。芬斯特（Finster）[10]和诺维科夫（Novikov）[25]研究了一阶自回归（AR（1））过程恒定水平的一阶交叉时间的渐近结果，Aliliet al[1]提出了三种OU过程交叉时间的近似方法。Christensen和Novikov【8】…nd条件，其中，在一个新的视界中，折扣AR（1）过程的最优停止是以常数阈值函数的形式出现的，在接下来的工作中，Christensen【7】假设了过程中的指数随机项，以及在此假设下过程的交叉时间和期望值的显式分布。在这项工作中，我们引入了一个简单的最优策略来实现具有均值回复价格过程的物品的最优库存控制。我们的结果为随机价格系统中的库存管理提供了一个实用的工具，并且对均值回复过程最优停止的理论研究有重要贡献。最优策略基于时间上不断增加的阈值函数，其计算基于过程的穿越时间概率及其期望值。我们用Bellman方程（见[2]）显式推导了这些项的方程，并求出了系统在给定时间的作用值。我们证明了在这种情况下阈值的存在性和基本性质。

阈值函数是在一个简单的二进制搜索中计算出来的，该搜索确定了购买决策和等待决策之间的独立价格。最后，我们分析了库存系统逻辑参数和价格过程参数的阈值动态。本文的其余部分组织如下：第2节描述了该模型。第3节构建了交叉时间概率和超调期望的计算，第4.2节给出了阈值动力学分析模型。在本研究中，我们研究了具有均值回复价格过程的物品采购问题。在不损失通用性的情况下，我们考虑单个项目的需求。可以在长度为T的时间范围内调用采购决策。交付周期为零，不允许积压。该项目在每个时间范围内产生持有成本，用ht表示；s、 我们的目标是在最初的计划期内最大限度地降低供应该产品的预期总成本。该项目的价格，用Xt表示，10 ds恢复为长期平均价格，,根据以下1阶自回归模型（AR（1））：Xt=  K dt+（1 K dt） Xt公司dt+  “t，（1）其中K是回复率，dt是时间间隔长度，以及 是波动的程度。该过程的随机项由一系列均值和方差为零的i.i.d随机变量表示。也就是说，“t N（0；dt）。参数K和dt被限制为保持：j1 dt公司 Kj<1，以保持价格过程稳定。

这实际上是算术OU[30]过程的离散化版本，其中过程中的变化由以下等式描述：dXt=K(  Xt公司dt）dt+  “t；（2）为了简化自然数索引的表示法，我们还定义了：n=t=dt，tn=n 0的dt n N、 其中N=T=dt：在此符号下，我们将价格过程表示为：Xt；Xt；Xt；：：：；XtN，我们用XtN表示；ti（x），过程的随机值Xti，条件是Xtn=x，对于tn<ti。根据式（1），我们得到：Xti1.ti（x）=  K dt+（1 K dt） x+  “tiXti2.ti（x）=  K dt公司 (1 + (1  K dt））+（1 K dt） x个+ “ti+”ti1. (1  K dt）=   dt公司 KXj=0（1 dt公司 K） j+（1 dt公司 K） x个+ Xj=0“tij (1  dt公司 K） j；可以递归扩展到Xtn；ti（x），对于0 tn<ti tN.这给了我们：Xtn；ti（x）=  dt公司 K我n1Xj=0（1 dt公司 K） j+（1 dt公司 K） 我n x个+ 我n1Xj=0“tij (1  dt公司 K） j；通过聚合几何级数项，in1Pj=0（1 dt公司 K） j，我们得到：Xtn；ti（x）=  dt公司 K1. (1  dt公司 K） 我n1. (1  dt公司 K） +（1 dt公司 K） 我n x个+ 我n1Xj=0“tij (1  dt公司 K） j= + （十） ) (1  dt公司 K） 我n+我n1Xj=0（1 dt公司 K） j“tij： （3）注意，我们不限制价格过程Xt；仅获得正值，因为它可能代表成对交易模型中两个相关资产的分布（Ekstrom et al.2011）。此外，我们考虑了一个相当一般的时间相关的持有成本。我们唯一的限制是持有成本在其时间范围内是凸的。然而，在我们的模型中，唯一相关的持有成本条款是htn；tN，对于0 田纳西州 田纳西州1.

因此，任何持有成本函数都可以退化为持有成本集在时间单位上的加性函数，表示为htn，其中htn在tn中（弱）增加。我们在第3节中表明，最优策略基于阈值函数，其中在每个时间点，t，存在一个单一阈值，该阈值规定了以下购买策略：如果商品价格低于阈值，则购买，否则等待。如果直到时间T才购买该项目，则无论XT的值如何，都会在时间T购买该项目：因此，购买政策 定义一组阈值，b= fb公司（t） ；：：：；b（tN）g.Let V（x；t）表示在策略下，系统在时间t和价格x的价值函数. 也就是说，V（x；t）确定系统的预期未来总成本。因此，我们的目标是…ndan最优策略，表示为; 在给定当时的市场价格的情况下，在时间范围内的任何时候，使系统的预期总成本最小化。这个最优策略用V（x；t）表示。也就是说，= 参数最小值V（x；t）；其中，我们将最佳条件定义为：b（t） ;V（x；t） 五、（x；t）：我们将时间t上高于阈值的一组价格定义为时间t上的连续区域，将时间t上低于阈值的一组价格定义为时间t上的停止区域。3基于动态规划的解决方案我们的目标是…在时间范围0的任何点上确定采购问题的最优策略 t型 T解决这个问题的一种自然方法是根据Bellman方程应用基于动态规划的解决方案，其中时间T的购买约束作为停止条件。也就是说，V（x；T）=x；（4） 在时间T，除了以x.Eq。

（4） 用于计算早期时间点的值函数，t tn<tn递归：V（x；tn）=min（EV（Xtn；tn+1（x）；tn+1）; x+dtN1Xi=nhti）：（5）最小函数内的左项，EV（Xtn；tn+1（x）；tn+1）, 表示当我们在时间t等待购买决策，并根据地平线提醒中的最优策略继续时，系统的预期总成本。我们将该期望值定义为continuationdecision下的值函数，称为VC（x；tn）。最小函数中的右项，x+dtN1Pi=nhti，表示在时间tn以价格x购买项目时系统的总成本，以及持有成本dtNPi=将NHII添加到项目价格中。在每个时间间隔，价格区域被分为连续区域，其中VC（x；tn）<x+dtN1Pi=nhti，以及其中VC（x；tn）>x+dt的停止区域N1Pi=nhti。Th ethreshold值b（tn）表示这两个决策之间的独立价格，定义为：VC（b（tn）；tn）=b（tn）+dtN1Xi=nhti=V（b（tn）；tn）：（6）注意，根据该术语，tnn时的门槛价格不存在，因为没有从延续中得出的de…nedvalue，但为了计算简单，我们将de…ne b（tn）=1。在时间范围结束前的最后一段时间内，tN1、决策者必须决定是否以x的价格购买项目并支付dt htN公司1持有成本，或等待购买决策，直到以XTN价格购买物品的时间期限结束，无额外持有成本。因此，根据等式。（2） 和（5），b（tN1） satis…esE[b（tN1） +千(  b（tN1） ）dt+  “t]=b（tN1） +dt htN公司1.（7） 当E[“t]=0时，等式。

（7） givesb（tN1） +千(  b（tN1） ）dt=b（tN1） +dt htN公司1： 因此，我们得到以下推论：推论1b（tN1) =  htN公司1=K：截止日期前一个时间间隔的阈值在推论1中以闭合形式给出。然而，早期阈值的计算过程更为复杂。首先，我们必须证明每个时间段都有一个阈值。为此，我们证明以下属性成立：1。在任何时间点，0 田纳西州 田纳西州1，存在……nite价格，xH（tn）   htN公司1=K，其中anyx xH（tn）satis…es x+dtN1Pi=nhti>VC（x；tn）。2、在任何时间点，0 田纳西州 田纳西州1，存在……nite价格，xL（tn） minnb（tn+1）dt公司K（1dt公司K） ；dt公司Kpdt公司htn公司dtdtKo，其中任意x xL（tn）satis…es x+dtNPi=nhi<VC（x；tn）。3.VC（x；tn）是凹的，并且在x中增加。然后，我们依赖于性质13，并推导出在任何时间点都存在一个阈值，b（tn）：这在以下引理中得到证明：引理1属性13保持，并且存在一个…nite单一阈值，b（tn），用于0 tn<tn<1：证明。见附录1中的证明。接下来，我们定义了用于计算值函数的初步术语：交叉时间概率和超调期望。定义1交叉时间我们定义时间tn之后的最早时间点，其中价格过程低于其各自的阈值，作为价格过程的交叉时间，表示为tn（x）。也就是说，tn（x）=inf fti>tn:Xtn；ti（x） b（ti）g，用于0 tn<ti tN：定义2交叉时间概率we…ne时间ti的交叉时间概率：tn（x）发生在时间ti。通过Ptn计算穿越时间概率；ti（x）。