随机短期利率的预期信息估值

然后给出了对数效用的更详细结果和示例，其中利率模型由Ornstein-Uhlenbeck过程给出，特权信息扩展为非线性类型。尤其是在精确、半有界和有界间隔的情况下，通过显示在第一种情况下，信息的值是有限的，而在参考文献26和其他两种情况下，信息的值是有限的来计算。获得固定收益的可能性乍一看似乎令人惊讶，但当考虑到相关系数的影响时，就变得很清楚了，该系数允许在到期日附近将利率信息转移到风险资产，这是由于存在无限漂移。特别是，G-agent在接受在其拥有的知识支持的到期日附近承担无限风险时，会透露使用一些预期信息。承认该研究得到了西班牙经济与竞争部PID2020-116694GB-I00的部分支持。第一作者承认马德里社区在与卡洛斯三世马德里大学（Carlos III MadridUniversity）签订的多年协议框架内提供的财政支持，该大学的行动方针是“卓越大学”（V Plan Regionade Investigaci“on Cient'fica e Innovaci”“on Tecnol'ogica 2016-2020）。第二作者感谢西班牙因诺瓦西大学科学部FPU拨款（FPU18/01101）的财政支持。参考文献【1】Pikovsky，I.，&Karatzas，I.（1996）。预期投资组合优化。Advancesin Applied Probability，28（4），1095–1122。[2] Amendinger，J.、Imkeller，P.、Schweizer，M.（1998）。内幕人士的额外对数效用。随机过程及其应用，75（2），263–286。

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使用（5.8b）中BI的定义，我们得到BI=Z∞-∞Φ（z）+Φ(-z）Φ(-z） dz=z∞-∞Φ(-z） ？Φ（z）dz+z∞-∞Φ(-z） \'\'Φ(-z） dz=2Z-∞+Z∞Φ（z）(R)Φ（z）dΦ（z）我们有-∞Φ（z）(R)Φ（z）dΦ（z）≤ 2Z-∞Φ（z）dΦ（z）≤rπZ-∞dΦ（z）=rπΦ（0）=√2π.至于另一项，因为1/(R)Φ（z）=ez/2O（z）和Φ（z）=e-z/2O（1）我们有Φ（z）’Φ（z）=O（z），结果如下，因为| z |相对于dΦ（z）是可积的。引理A.2。ZTψT（bψ-1） （t）pV【Rt | R】pV【Rt | Rt】dt<∞证据HavingV[Rt | R]=ψtZt（bψ-1） （x）dxV[RT | RT]=ψTZTt（bψ-1） （x）根据比较标准，dxit如下：1/V【Rt | R】=O（1/√t） 1/V【RT | RT】=O（1/√T- t） 结果如下。引理A.3。ZRψt，t[Φ（z）- Φ（z）]pV[RT | RT][Φ（z）- Φ（z）][Φ(-z） +Φ（z）]dx<∞,其中，我们定义了z，zas，z（x）=c- E【RT，RT=x】pV【RT | RT】，z（x）=c- E【RT，RT=x】pV【RT | RT】A附录29证明。我们定义函数ht（x）=ψ-1t，Tx个- ψTRTt（aψ-1） （s）ds在x上单调递增，保持E[RT | RT=ht（x）]=x，让我们在单独的区间内研究积分(-∞, ht（c）），（ht（c），ht（c）），（ht（c）+∞) .在第一种情况下，我们在变量zan中应用变量变化，得到z=z+c-c√V【RT | RT】。Wede FINE st=c-c√V【RT | RT】及其在t中的最小值，s=c-c√V【RT | R】>0。

我们得到，Zht（c）-∞I（x，t）dx=Z+∞[Φ（z）- Φ（z+st）][Φ（z+st）- Φ（z）][Φ(-z- st）+Φ（z）]dz=z+∞[Φ（z）- Φ（z+st）]Φ（z+st）- Φ（z）+[Φ（z）- Φ（z+st）]Φ(-z- st）+Φ（z）！dzWe将证明这两个术语都是有限的。Z+∞[Φ（z）- Φ（z+st）]Φ（z+st）- Φ（z）dz≤Z+∞[Φ（z）- Φ（z+st）]Φz+c-cσ（T）- Φ（z）dz≤Z+∞【Φ（z）】Φz+c-cσ（T）- Φ（z）dz=z[Φ（z）]Φz+c-cσ（T）- Φ（z）dz+z+∞【Φ（z）】Φz+c-cσ（T）- Φ（z）dz第一个积分明确有界，对于第二个积分，我们采用f（z）=1/z.limz的比较标准→∞√2πz[Φ（z）]Φz+c-cσ（T）- Φ（z）=limz→∞z经验值-z/2Rz+深交所(-u/2）du=limz→∞2z经验值-z/2- 2z经验值-z/2经验值(-（z+s）/2）- 经验值(-z/2）=limz→∞2zexp-z/2- 2zexp-z/2经验值(-zs）exp(-序号2）- 1.→ 0，其中，在第二个等式中，我们使用了L\'Hopital规则，我们得出结论，积分是有限的（1+∞). 对于另一项，我们有以下界限，Z+∞[Φ（z）- Φ（z+st）]Φ(-z- st）+Φ（z）dz≤Z+∞[Φ（z）- Φ（z+st）]Φ（z）dz≤ 2Z+∞Φ（z）- Φ（z+st）dz公司≤ 2Z+∞Φ（z）dz公司=√附录30我们现在分析间隔（ht（c）+∞) 我们以同样的方式进行，但在z=c中做变化变量-u（T-t、 x）σ（t-t） 我们得到了，Z+∞ht（c）I（x，t）dx=Z-∞[Φ（z- st）- Φ（z）][Φ（z）- Φ（z- st）][Φ(-z） +Φ（z- st）]dz=Z-∞[Φ（z- st）- Φ（z）][Φ（z）- Φ（z- st）]+[Φ（z- st）- Φ（z）][Φ(-z） +Φ（z- st）]！dzWe将证明这两个术语都是有限的。Z-∞[Φ（z- st）- Φ（z）][Φ（z）- Φ（z- st）]dz≤Z-∞[Φ（z- st）- Φ（z）][Φ（z）- Φ（z- s） ]dz≤Z-∞【Φ（z）】【Φ（z）- Φ（z- s） ]DZ并应用与之前相同的推理，我们得出结论，积分是有限的。最后，Z-∞[Φ（z- st）- Φ（z）][Φ(-z） +Φ（z- st）]dz≤Z-∞[Φ（z- st）- Φ（z）]Φ(-z） dz公司≤ 2Z-∞Φ（z）dz公司=√现在我们分析最后的区间I=（ht（c），ht（c））。我们可以继续进行变量更改，例如，在z中。

转换为z（c）=c的点CI- E【RT | RT=c】pV【RT | RT】=c- cpV【RT | RT】+c- E[RT | RT=c]pV[RT | RT]=：st+RT。然后我们得到，Zht（c）ht（c）I（x，t）dx=Zst+RT（Φ（z）- Φ（z- st））Φ（z）- Φ（z- st）+（Φ（z）- Φ（z- st））Φ(-z） +Φ（z- 现在，我们要证明两个积分都是有界的，并且我们分离了[0，st]和[st，st+rt]。Zst（Φ（z）- Φ（z- st））Φ（z）- Φ（z- st）dz=2Zst/2（Φ（z）- Φ（z- st））Φ（z）- Φ（z- st）dz≤ 2Zst/2Φ（z）Φ（z）- Φ（z- s） dz公司≤ 2Z∞Φ（z）Φ（z）- Φ（z- s） Dz是有限的，在[0，1]中很小，并使用与f（z）=z的标准比较-2英寸[1+∞]. 现在我们证明，Zst+rtst（Φ（z）- Φ（z- st））Φ（z）- Φ（z- st）dz=Zrt（Φ（z+st）- Φ（z））Φ（z+st）- Φ（z）dz≤ZrtΦ（z）Φ（z+s）- Φ（z）dz<+∞.附录31现在，我们分析积分中的另一项，Zst+rt（Φ（z）- Φ（z- st））Φ(-z） +Φ（z- st）dz=Zst（Φ（z）- Φ（z- st））Φ(-z） +Φ（z- st）dz+Zst+rtst（Φ（z）- Φ（z- st））Φ(-z） +Φ（z- st）dz=2Zst/2（Φ（z）- Φ（z- st））Φ(-z） +Φ（z- st）dz+Zst+rtst（Φ（z）- Φ（z- st））Φ(-z） +Φ（z- 第二个积分是平凡有界的，最后一个等式成立，因为我们积分的函数是关于st/2的对称函数。Φ（z）- Φ（z- st）=√2π经验值-z- 经验值-（z）- st）=√2πexp-z1.- 经验值-st公司- 2zst≤√2πexp-z作为0≤ z≤ st/2，我们有st- 2zst≥ 我们可以应用最后一个不等式。ZccI（x，t）dx≤rπZst/2exp-zΦ(-z） +Φ（z- st）dz≤Zst/2exp-zΦ(-z） dz公司≤Z+∞经验值-zΦ(-z） dz=Zexp-zΦ(-z） dz+z+∞经验值-zΦ(-z） dz第一个积分是平凡有界的。我们应用f（z）=1/zt的比较标准来证明第二个也是有限的。