随机短期利率的预期信息估值

尤其是Gholds中的（FLVR）条件为true。5非线性类型信息在本节中，G-agent不像以前那样知道精确的信息，我们假设她只知道利率的最终值是否在某个设定值内。第4节开头所做的开发（为了给出过程αG的显式表达式）现在无效，因为此类信息与过程br不是线性的。让G：(Ohm, FRT）-→ （R，B（R））是L（FRT，P）内的一个FRT可测实随机变量，不一定是gaussian，其中B（R）表示Borelσ-代数。然后存在一个过程∈ L（dt×dP，F），使得可预测表示性质（PRP）成立，G=E[G]+ZTДt（ω）dBRt。我们在ω中规定了可能的相关性∈ Ohm. 让B∈ B（R）是一个子集，考虑以下PRP，{G∈B} =P（G∈ B） +ZTДt（B）dBRt，（5.1），其中通过可预测过程Д（B）=（Дt（B）：0≤ t型≤ T）我们表示Hilbert空间L（dt×P，F）中唯一的一个满足（5.1）的P（G）的任何固定b∈ B） >0。在下面的引理5.2中，我们证明了Д（·）是一个向量测度，关于向量测度理论的细节和一般背景，我们参考了[28]。我们将作出以下假设，以便将支配收敛定理应用于Д（·）。可以证明，在我们的示例中，这一假设成立。假设5.1。工艺φ：[0，T]×B（R）-→ L（dt×P，F）几乎肯定是有界的P。引理5.2。设置功能B-→ ^1（B），带B∈ B（R），是一个可数相加的L（dt×P，F）-值向量测度。证据

设{Bi}∞i=1 B（R）是满足B：=∪∞i=1Bi， = ∩∞i=1Bi。5非线性类型信息17通过【28，示例3】我们知道{G∈B} =P∞i=1{G∈Bi}在L（dt×P，F）中几乎肯定保持P。然后，{G∈B}=∞Xi=1{G∈Bi}=P（G∈ （B）+∞Xi=1ZTДt（Bi）dBRt=ZT∞Xi=1хt（Bi）dBRt。通过表示的唯一性、概率测度的可加性、It^o积分的线性性和支配收敛定理，我们推导出：Д（B）=P∞i=1Д（Bi），结果如下。注意，从（5.1）我们得到了p（G∈ B） （1）- P（G∈ B） ）=Eh{G∈B}- P（G∈ （B）i=E“ZTИt（B）dBRt#= EZTДt（B）dt= kД（B）k。我们应假设向量测度Д是有界变化的，即|Д（R）|<+∞ 根据【28，定义4】。在引理5.3中，我们陈述了HilbertValue随机测度ν的Radon-Nikodym导数。接下来，我们用PG表示由G引起的度量，即PG（·）=P（G∈ ·) 关于σ（G）。引理5.3。在之前的设置中，存在一个过程ψg=（ψgt，0≤ t型≤ T）带G∈ Supp（G）且在L（dt×PG）范围内，使得ψt（B）=ZBψgtPG（dg），B∈ B（R）。（5.2）证明。如果B∈ B（R）满足PG（B）=0，则随机变量{G∈B} P-几乎可以肯定等于零，通过PRP的唯一性，我们知道φ（B）=0，我们得出φ PGonσ（G）。我们通过应用[29，命题2.1]得到结果。We fix g公司∈ Supp（G），还不需要二进制。通过引理5.2和5.3，我们知道存在一个过程ψgsuch，{G∈dg}=PG（dg）+ZTψgsPG（dg）dBRs。（5.3）当G是纯原子时，PRP（5.3）被还原为{G=G}=P（G=G）+ZTψgsP（G=G）dBRs。（5.4）引理5.4。让G∈ L（FRT，P）是FRT可测的随机变量，过程αG=（αGt，0≤ t<t）由αGt给出：=ψGtpGt，（5.5）是这样的BR·-R·αGsds是G-布朗运动。证据

与前面一样，我们计算过程pgt，其中g∈ Supp（G），pgt=P（G∈ dg | Ft）PG（dg）=E[{G∈dg}Ft]PG（dg）=PG（dg）+RtψgsPG（dg）dBRsPG（dg）=1+RtψgsPG（dg）dBRsPG（dg）。5非线性类型信息18从It^o意义上区分，我们得到dpgt=ψgtdBRtand最终得到thbr，pGiFspGs-=ZtψGspGs-ds。定理5.5。在前面的上下文中，如果G是二元随机变量，则αGt=ДtG- E[克|英尺]V[克|英尺]证明。请注意，G={G=1}，然后是Дt=Дt。利用{G=0}+{G=1}=1，我们得出结论，Дt=-^1t.使用thatE[克|英尺]=P（克=1 |英尺），V[克|英尺]=P（克=1 |英尺）（1- P（G=1 | Ft）），结果如下。5.1半有界间隔我们首先假设G-agent知道Rt是否小于或大于给定值C∈ R、 为此，我们引入了随机变量A={RT≤ c} ，以及以下过滤EG=F∨σ（A）。该示例在[1]中提出，与风险资产相关。提案5.6。设A={RT≤ c} ，则αat=(-1） aψT（bψ-1） （t）fRT | Rt（c | Rt）P（A=A | Ft），A∈ {0,1}，t<t，（5.6），其中通过fRT | Rt（c | Rt）我们表示高斯密度，其参数在引理3.1中给出。证据利用（3.2）中给出的过程R的显式解，我们可以重写A给出的关于布朗运动BR的信息。注意{RT≤ c} =nZT（bψ-1） （t）dBRt≤ co，其中▄c=cψT- R-ZT（aψ-1） （t）dt。因此，过程αA=（αAt，0≤ t<t）满足以下关系：pAt=pAtαAtdBRt，pAt=P（A=A | Ft）P（A=A），A∈ {0, 1} .为{A=1}计算的A的条件概率质量函数可表示为高斯分布ΦasP（A=1 | Ft）=Φc-Rt（bψ-1） （x）dBRxqRTt（bψ-1） （x）dx.5非线性类型信息19通过It^o引理，我们可以计算其导数dP（A=1 | Ft）=-（bψ）-1） （t）qRTt（bψ-1） （x）dxΦc-Rt（bψ-1） （x）dBRxqRTt（bψ-1） （x）dxdBRt=-ψT（bψ-1） （t）fRT | Rt（c | Rt）dBRt，最终，dptpt=-ψT（bψ-1） （t）fRT | Rt（c | Rt）P（A=A | Ft）dBRt，我们得到了结果。

大小写{A=0}在同一行上。备注5.7。设A={YT≤ c} ，Y在（2.3）中定义，则α在=(-1） aσe-k（T-t） fYT | Yt（c | Yt）P（A=A | Ft），A∈ {0，1}，t<t。推论5.8。随机变量{RT≤ c} 允许以下可预测表示{RT≤ c} =P（RT≤ c）-ψTZT（bψ-1） （t）fRT | Rt（c | Rt）dBRt。证据我们需要应用定理5.5和（5.3）给出的表示。示例5.9。如果c=E【RT | R】，则随机积分ψTZT（bψ-1） （t）fRT | Rt（c | Rt）DBRTI是一个纯原子分布，具有两个等概率的可能结果：-1/2和1/2。备注5.10。如果我们将同样的推理直接应用于随机变量{BRT≤ c} ，我们将得到以下表达式{BRT≤ c} =P（BRT≤ c）-ZTp2π（T- t） 经验值-（c）- BRt）2（T- t）dBRt。应用命题2.3，我们得出结论，存在aeG布朗运动WRsuchthatdRt=a（t）Rt+a（t）+b（t）αdt+b（t）dWRt，t<t。上述表达式和第3.1小节的参数允许以命题3.2中出现的相同方式在信息流下写出投资组合的动态，但我们省略了这个结果。我们现在准备好陈述随机变量A的有限值。我们宁愿给出一个自包含的证明，而不是参考[2]中的结果。定理5.11。信息的价值V▄GTis有限公司。证据对于二元随机变量，利用定理5.5，我们得到了αG | Ft= 0且第4.1小节中的计算结果仍然有效，V▄GT=ρZTEhαGxidx。5非线性类型信息20那么，我们只需要计算过程αAis是否在L（dt×P，G）之内。通过重写αAti=EhαtP（A=0 | Ft）+αtP（A=1 | Ft）i，来自（5.6），并使用以下定义u（z，t）：=ψt（bψ-1） （t）V【RT | RT】Φ(-z） +(R)Φ（z）Φ(-z)z（r）：=（E[RT | RT=r]- c） /pV【RT | RT=r】（5.7）我们有EhαAti=E[u（z（Rt），t）]和E[u（z（Rt），t）]=pV[Rt | R]z∞-∞u（z（r），t）Φr- E【Rt | R】pV【Rt | R】！博士请注意，Φ（z）=1- Φ（z）。

用r（z）应用（5.7）中的变量变化=c- ψTZTt（aψ-1） （x）dxΨ-1t，T+zpV【RT | RT】ψ-1t，Ta（z）=r（z）- E[Rt | R]pV[Rt | R]，我们有E[u（z，t）]=ψt（bψ-1） （t）pV【Rt | R】V【Rt | Rt】Z∞-∞Φ（z）+Φ(-z）Φ(-z） Φ（a（z））dz≤√2πψT（bψ-1） （t）pV【Rt | R】V【Rt | Rt】Z∞-∞Φ（z）+Φ(-z）Φ(-z） dz公司=√2πψ（t）i这里我们用Φ（z）≤ 1/√2π，我们使用了以下定义，ψ（t）：=ψt（bψ-1） （t）pV【Rt | R】pV【Rt | Rt】（5.8a）bI：=Z∞-∞Φ（z）+Φ(-z）Φ(-z）dz。（5.8b）根据附录中引理A.1和引理A.2，bI以常数为界，函数ψ（t）可在[0，t]中积分。ThereforeZTEh公司αAtidt=中兴通讯[u（z（Rt），t]dt<∞信息的价值是有限的。备注5.12。在这种情况下，αA∈ L（dt×P，G），所以我们可以进行优化，直到问题适定。然而，使用[16，命题4.10和推论4.12]中的行，可以验证信息漂移α在G.5非线性类型信息215.2有界区间内产生（FLVR）条件。在本小节中，我们假设交易者知道RTI是否在某个有界区间内，即我们使用过滤G=F∨ σ（L）和L={c≤ RT公司≤ c} 。提案5.13。设L={c≤ RT公司≤ c} ，则αlt=(-1） lψT（bψ-1） （t）fRT | Rt（c | Rt）- fRT | Rt（c | Rt）P（L=L | Ft），L∈ {0，1}，t<t。备注5.14。设L={c≤ 年初至今≤ c} ，在（2.3）中定义Y，然后αlt=(-1） lσe-k（T-t） fYT | Yt（c | Yt）- fYT | Yt（c | Yt）P（L=L | Ft），L∈ {0，1}，t<t。（5.9）证明。证明遵循命题5.6中与之前相同的行。推论5.15。随机变量{c≤ RT公司≤ c} 接受以下表示{c≤ RT公司≤ c} =P（c≤ RT公司≤ c）- ψTZT（bψ-1） （t）fRT | Rt（c | Rt）dBRt+ψTZT（bψ-1） （t）fRT | Rt（c | Rt）dBRt。最后，我们得出以下结论。定理5.16。信息的价值VGTis文件。证据在类似的框架中，可以参考[16，定理4.9]中的证明。

利用公式（4.10），我们只需要计算过程αLis是否在L（dt×P，G）之内。P（Rt∈ dr，RT∈ （c，c））=fRt | R（R）P（RT∈ （c，c）| Ft）dr，P（Rt∈ dr，RT6∈ （c，c））=fRt | R（R）P（RT6∈ （c，c）| Ft）dr。我们可以得到所需期望的上限。呃αLti=ZRfRt | R（R）ψT（bψ-1） （t）fRT | Rt（c | r）- fRT | Rt（c | r）P（RT∈ （c，c）| Ft）P（RT6∈ （c，c）| Ft）dr≤√2πb（t）ψt，TpV[Rt | R]pV[Rt | Rt]××ZRψt，t[Φ（z）- Φ（z）]pV[RT | RT][Φ（z）- Φ（z）][Φ(-z） +Φ（z）]dr=√2πψ（t）ψt，t'I，其中我们定义了以下项，z（r）：=c- E【RT | RT=r】pV【RT | RT】，z（r）：=c- E【RT | RT=r】pV【RT | RT】，’I：=ZRψt，t【Φ（z）- Φ（z）]pV[RT | RT][Φ（z）- Φ（z）][Φ(-z） +Φ（z）]dr5非线性类型信息22和ψ（t），如（5.8a）所示。根据附录中的引理A.3，’I以常数为界，函数ψ（t）在[0，t]中可积。ThereforeZTEh公司αLtidt<∞信息的价值是有限的。备注5.17。我们可以如备注5.12所述进行论证，以得出结论，在G.5.3中存在（NFLVR）持有的信息示例。在本小节中，我们假设交易者知道BRT是否在某个单位间隔内。我们与filtrationbg=F合作∨σ（bG），bG=nBRT∈ ∪+∞k级=-∞[2k- 1，2k]o.（5.10）以下命题给出了信息漂移的表达式。提案5.18。

LetbG如（5.10）所示，然后是αgt=(-1） g级√T- t P（bG=g | BRt）+∞Xk公司=-∞Φ2公里- 快速公交√T- t型- Φ2公里- 1.- 快速公交√T- t型!,使用0≤ t<t，g∈ {0，1}和更明确的αgt=√T- tP+∞k级=-∞Φ2公里-快速公交√T-t型- Φ2公里-1.-快速公交√T-t型P+∞k级=-∞Φ-2公里-快速公交√T-t型+ Φ2公里-1.-快速公交√T-t型当g=0时，√T- tP+∞k级=-∞Φ2公里-1.-快速公交√T-t型- Φ2公里-快速公交√T-t型P+∞k级=-∞Φ2公里-快速公交√T-t型- Φ2公里-1.-快速公交√T-t型当g=1时。（5.11）其中Φ表示标准高斯随机变量的分布。最后，我们得出以下结论，与前面的例子相反，在这种情况下，不存在套利的可能性。定理5.19。信息的价值VbGTis定义和（NFLVR）条件保持不变。证据an（ELMM）的存在性遵循[16，定理4.16]。在同一声明中，证明αbG验证了Novikov的条件，尤其是αbG∈ L（dt×P，G）。备注5.20。该示例的重要性在于，它构成了过滤的扩大，保持了（NFLVR）inbG的性质，仅满足[0，T]中绝对连续性的Jacod假设和[0，T]中的等价性。有关第一类套利的类似讨论，请参见[30]。6个数值例子236个数值例子为了澄清之前的计算，我们给出了一些数值例子。我们确定时间范围T=1，为了模拟随机过程，我们将时间间隔离散化为100步，称为交易周期。对于资产的动态，我们将市场系数设置如下，dDt=DtYtdt，dSt=St0.05 dt+0.3 dBSt,其中，对于所有0，我们施加了值ηt=0.05和ξt=0.3≤ t型≤ 1、进程B=（BSt，0≤ t型≤ 1） 是标准的布朗运动。

关于利率，我们假设Y=（Yt，0≤ t型≤ 1） 是由以下SDE驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程，dYt=0.1（0.125- Yt）dt+0.3 dBYt，Y=0.005，其中我们选择了参数，k=0.1，u=0.125，σ=0.3。进程BY=（BYt，0≤ t型≤ 1） 标准布朗运动满足E吗BStBYt公司= ρ、 其中，常数ρ暂时未指定。我们的模拟中考虑了三个信息不对称的不同交易者。第一位投资者是自然投资者，她利用自然过滤F={Ft，0≤ t型≤ 1} 生成人（BS，by）。第二个是部分知情的，她用随机变量L={c放大过滤≤ Y≤ c} ，即过滤G=F∨ σ（{Y∈ （c，c）}）。第三个有关于时间范围内利率值的精确信息，她用G=F∨σ（Y）。在本节中，我们只使用对数效用，U（x）=ln x。我们要提醒的是，优化问题的公式是vh=supπ∈A（H）E[ln Xπ]，X=1，H∈ {F，G，G}。根据前面几节中提出的论点，我们知道解决前面优化问题的最佳组合如下，πFt=0.05- Yt0.3πGt=0.05- Yt0.3+ρ0.3αLtπGt=0.05- Yt0.3+ρ0.3αYt，其中α定义于（5.9）和αYin（4.6）。我们模拟了资产（D，S）的100条轨迹，并用（D（k），S（k））表示，其中k∈ {1, 2..., 100}. 我们用k计算每个信息水平πHt（k）的最优策略∈ {1，2…，100}和H∈ {F，G，G}以及根据（3.10）计算的相应效用增益lnxπH（k）。表1显示了一个结果摘要，其中使用过滤F、G和G的代理分别表示为自然、间隔和精确。

行增益指100模拟的平均增益，即增益（H）=Xk=1ln XπH（k）。为了量化代理在每一级信息中接受的风险，我们计算^πt（H）=maxk{πHt（k）}-水貂{πHt（k）}，0≤ t型≤ 16个数值例子24，我们给出了四分位数和^π（H）的范围。为了说明相关性在我们的设置中的重要性，我们在表1中比较了不同ρ值的最优投资组合和效用∈ {0.75, 0.25, -0.75}. 自然因素只出现一次，因为她的结果不依赖于ρ的值。对于区间代理，我们假设区间（c，c）等于（0.3* Y、 1.7* Y） 或者，换句话说，投资者不知道利率的正确最终值，但总是知道利率周围的一个区间，而该区间的边界是利率值的±70%。ρ = 0.75 ρ = 0.25 ρ = -0.75自然层段精细层段精细层段精度0.13 1.88 4.07 0.47 0.77 1.95 4.30Q（πG）9.03 15.06 21.05 11.04 11.11 12.25 20.68Q（πG）11.16 20.18 22.66 14.04 13.59 14.61 24.23Q（πG）16.66 23.81 29.10 18.11 18.56 19.53 29.84范围（πG）21.92 73.11 101.80 27.42 37.43 105.85 127.28表1：具有差异的结果ρ相关的不同值。对于表1中出现的数据，我们在图1中绘制了maxk{πHt（k）}和mink{πHt（k）}的值。在图2中，我们绘制了每次效用增益的平均值，ln XπHt=Xk=1ln XπH（k）。注意增益（H）=\\lnxπH。我们只显示ρ=0.75和ρ=0.25的情况，因为与ρ=-0.75与ρ=0.75非常相似。图1：自然交易者为黑色，区间1为中间灰色，精确区间为浅灰色。我们绘制了maxk{πHt（k）}和maxk{πHt（k）}。模拟结果表明，如果布朗运动与BY强相关，则对数效用增益更大。

如果相关性为负，代理可以获得相同的收益，因为允许对风险资产进行投资。研究还表明，如果投资者拥有更准确的信息，她会通过进行风险更高的投资获得更多收益。7结论25图2：自然交易者为黑色，区间1为中间灰色，精确区间为浅灰色。我们比较了ρ=0.75（左）和ρ=0.25（右）的对数增益平均值。在表2中，我们确定ρ=0.75，并研究了过滤G的区间信息。我们假设该区间始终为以下形式（c，c）=（（1- v） Y，（1+v）Y），0<v<1。每当v接近0时，区间代理的行为与精确代理的行为更相似，因为herinformation更精确，而当v接近1时，she播放与自然代理相似，因为她的信息更不精确。我们再次省略ρ=-0.75.ρ=0.75v=0.1 v=0.25 v=0.5 v=0.75 v=2获得4.65 3.55 2.47 2.03 3.14Q（πG）24.18 20.29 17.83 16.63 12.79Q（πG）26.27 25.24 24 24 24.51 20.63 16.41Q（πG）34.49 38.61 28.89 29.35 21.90范围（πG）139.72 107.97 70.33 65.98 41.54表2：区间信息不同值的结果。7结论在本文中，我们展示了如何在投资组合中包含随机利率过程的预期信息，以及如何确定修改后的最优策略。为利率选择的模型是一个通用的差异，一个允许进行完整分析的类，尤其包含Vasicek模型中使用的Ornstein-Uhlenbeck过程。附加信息的模型是在线性类型信息类中选择的。在这些假设下，根据不同类型的公用事业计算最优投资组合，即：对数、CRRA和指数。