随机短期利率的预期信息估值

我们可以通过方便地处理显式表达式（3.2）来计算它，如下面的引理所示。引理3.1。设R为（2.2）定义的过程。对于0≤ u≤ s、 条件随机变量（Rs | Ru）具有以下分布（Rs | Ru）≈ Nψu，sRu+ψsZsuaψ-1.（x） dx，ψsZsubψ-1.（x） dx公司.证据利用方程（3.2），我们可以用以下方式表示Rsin在时间u的值，Rs=ψuψu，shR+Zuaψ-1.（x） dx+Zsuaψ-1.（x） dx+Zubψ-1.（x） dBRx+Zsubψ-1.（x） dBRxi=ψu，sRu+ψsZsu公司aψ-1.（x） dx+Zsubψ-1.（x） dBRx公司. （3.3）3优化问题7然后通过确定公式（3.3）的确定性和随机性部分得出结果，后者通过应用It^o等距给出方差。3.1最佳投资组合上述分析允许将SDE（3.1）改写为过滤F，再改写为过滤G，如下所示。提案3.2。在过滤G下，过程Xπ=（Xπt，0≤ t<t）和R=（Rt，0≤t型≤ T）满足以下SDE：dXπt=（1- πt）XπtRtdt+πtXπt（ηtdt+ξtdBSt）dRt=a（t）Rt+a（t）+b（t）αGtdt+b（t）dWRtdBSt=ραGtdt+ρdWRt+p1- ρdBt，0≤ t<t。（3.4）式中，WR=（WRt，0≤ t<t）和B=（Bt，0≤ t型≤ T）是e[WRtBt]=0的G-布朗运动。证据由于品牌Bs具有恒定的相关性ρ，我们可以写下Bst=ρBRt+p1- ρBt，（3.5），其中B=（Bt，0≤ t型≤ T）是独立于BR的F-布朗运动。注意Ft=σ（BRs、Bs）：0≤ s≤ t型and（BR，B）在F.Letg中具有可预测的表示属性∈ Supp（G），使用（4.5）计算HB，pgiFt=ZtpgxαgxdhB，BRiFx=0。然后我们得出结论，B是G-布朗运动。最后，E[WRtBt]=E快速公交-ZtαGxdx英国电信= E【BRtBt】-中兴通讯αGxBtdx=-中兴通讯EαGxBt | Gtdx=-中兴通讯αGxE[Bt | Gt]dx=0。注意，对于G代理，风险资产的动态由DSTST给出=ηt+ξtραGtdt+ξtρdWRt+ξtp1- ρdBt，其中（WR，B）是一个二维G-布朗运动。

财富过程的解xπ=（Xt，0≤ t<t）作为G-半鞅，由xπt=XDtexpnZtπx（ηx）给出- Rx+ρξxαGx-ξxπx）dx+ρZtξxπxdWRx+p1- ρZtξxπxdBxo，（3.6），其中D在（2.1a）中定义。考虑以下策略πGt：=ηt- Rtξt+ραGtξt，0≤ t<t，（3.7）3优化问题8在[0，t]中可接受。对于G-代理，我们将看到该信息在整个交易周期内通过对数效用实现有限的预期（见命题4.9）。很容易检查Ln x≤xγγ+γ-γ, γ ∈ （0，1），因此功能EhXπGtγ/γII与策略πG不同。由于当G-agent在地平线时间T附近投资时，效用问题不适定，我们将优化问题限制在区间[0，T]内。由于[2，引理2.1]，我们可以使用[19，推论2.10]，以确保空气（WR，B）具有强可预测表示性（PRP），即。，Mloc（P，G）=nζ+ZTbλxdWRx+ZTbγxdBx：ζ∈ σ（G），bλ，bγ∈ L（dt×P，G）o，其中Mloc（P，G）表示（P，G）-局部鞅集。设Z=（Zt，0≤ t型≤ T）是正的G-局部鞅，使得Z=1，那么，当前面的表示成立且Z为正时，我们可以重新定义过程λx=-λx/Zx，γx=-^γx/zx，并得到以下表示，其中我们在符号中强调对参数Zλ，γt的依赖：=exp-ZtλxdWRx-ZtγxdBx-Zt（λx+γx）dx, 0≤ t型≤ T在【20】之后的下一个引理中，我们将构造一系列指数局部鞅，通常称为deflicators，请参见【8，第1.4节】或【21，定义3.1】。为此，我们将需要定义卵泡过程θρ，Gt：=ηt- Rtρξt+αGt，0≤ t<t。（3.8）引理3.3。

（3.4）中定义的金融市场允许指数局部鞅族{Zν}，因此D-1ZνS是[0，T]中的P-局部鞅，其中zνT=Et-Z·θρ，Gx-p1级- ρρνxdWRx！Et公司-Z·νxdBx, 0≤ t<t，（3.9），其中Et（·）表示Dol\'eans Dade指数和ν∈ L（dt×P，G）。证据通过It^o演算，我们得到zλ，γtD-1tSt=SexpnZtηx- 接收-ξx+ρξxαGx-（λx+γx）dx+Zt（ξxρ- λx）dWRx+Ztξxp1- ρ- γxdBxo，然后我们在其^o意义上进行微分，d（Zλ，γtD-1tSt）Zλ，γtD-1测试=ηt- Rt公司-ξt+ρξtαGt-（λt+γt）+（ξtρ- λt）dt公司+ξtp1- ρ- γtdt+（ξtρ- λt）dWRt+ξtp1- ρ- γtdBt=ξtηt- Rtξt+ραGt- （ρλt+p1- ργt）dt+（ξtρ- λt）dWRt+ξtp1- ρ- γtdBt。3优化问题9通过在前面的表达式中施加漂移部分为零，我们得到γt=νtand条件λt=ηt- Rtρξt+αGt- νtrρ- 1.请注意，表达式（3.9）可以使用以下约尔公式（M·）Et（N·）=Et进行缩减M·+N·+hM，NiG·, M、 N个∈ Mloc（P，G）。我们还可以给出财富过程Xπ的显式解，其动力学由（2.4）给出。此表达式在以下计算中很有用。可以将其视为【20】中方程式（8.6）的公式。提案3.4。对于每个π∈ A（G）和ν∈ L（dt×P，G），财富过程的显式解Xπ=（Xπt，0≤ t<t）由Xπt=xDt（Zνt）给出-1cZνt（π），0≤ t<t，（3.10），其中czνt（π）定义为ascZνt（π）：=EtZ·ξxρπx- θρ，G+p1- ρρνx！dWRx！Et公司Z·ξxp1- ρπx- νxdBx公司, 0≤ t<t。（3.11）证明。紧接着是（3.6）和（3.9）。我们陈述了[22，引理4.5]中给出的以下结果。推论3.5。贴现过程D-1ZνXπ是每个π的正（P，G）-局部鞅∈ A（G）。由效用函数U满足的INDA条件（2.6）确保uh是一个逆函数，用I表示，因此I（0+）=∞ 而我(∞) = 0

我们定义了UaseU（y）的极函数：=maxx>0{U（x）- xy}=U（I（y））- yI（y），0<y<+∞ ,并提出了一些类似于[20]的假设（另见[23]）。第一个排除了对数效用，但在示例3.11中，我们将看到它可以显式求解。假设3.6.oU（0）：=limx→0+U（x）>-∞.o 函数h（x）：=xU（x）在R+上不递减存在α∈ （0，1）和β∈ (1, +∞), 使得αU（x）≥ U（βx），每x∈ R+.o存在ν=（νt，0≤ t<t）∈ L（dt×P，G）使得E[eU（yD-1tZνt）]<+∞ 预测t<t和y∈ R+。3优化问题10So，（2.5）的对偶问题表示为如下ev（t，y）：=infνE[eU（yD-1tZνt）]。（3.12）最后，我们引入以下随机变量族ξνt（x）：=IYνt（x）D-1tZνt, 0≤ t<t，ν∈ L（dt×P，G），（3.13），其中Yνt（x）是满足G-可测函数D-1tZνtIYνt（x）D-1tZνt|G= x、 （3.14）【20】中证明的以下结果表明，存在一个可对冲或有目标（3.13）且预期得以保持的偏差。提案3.7。在假设3.6下，存在一个过程λ，使得对于任何νEhD-1tZνtξλt（x）i≤ x=EhD-1tZλtξλt（x）i，0≤ t<t。（3.15）此外，随机变量ξλt（x）是可对冲的，λ是带参数（t，Yλt（x））的问题（3.12）的解。证据这是[20]中定理8.5、定理9.4和定理12.3的结果。定理3.8。最优投资组合问题的解是ss-supπ∈A（G）E[U（Xπt）| G]=E[U（ξλt（X））| G]，0≤ t<t，（3.16），其中Xπ=（Xπt，0≤ t<t）满意度（3.4）。最优投资组合由策略πG获得∈ A（G）对冲随机变量ξλt（x）=I（Yλt（x）D-1tZλt）和xπGs=ED-1tZλtD-1sZλsξλt（x）| Gs, 0≤ s≤ t<t，（3.17），其中Zλ和λ在命题3.7中定义。证据

利用命题3.7，我们知道存在πG∈ A（G）使得XπGt=ξλt（X）P-几乎可以肯定（仅在时间t），然后过程D-1·Zλ·XπG·是真（P，G）-鞅，（3.17）如下。由于效用函数是凸函数，它满足以下不等式u（b）≥ U（a）+U（b）（b）- a） ，对于任何a、b∈ R+。因此，用X^πt表示某些策略的财富过程∈ A（G），我们得到了XπGt≥ U（X^πt）+Yλt（X）D-1tZλtXπGt- X^πt.取两边的条件期望E[·| G]，EhUXπGt|Gi公司≥ E[U（X^πt）| G]+EhYλt（X）D-1tZλtXπGt- X^πt|Gi公司≥ E[U（X^πt）| G]+Yλt（X）x个- E【D】-1tZλtX^πt | G]≥ E[U（X^πt）| G]，其中，在最后一步中，我们使用了-1·Zλ·XπG·和D-1·Zλ·X^π·分别是区间0内的a（P，G）-鞅和a（P，G）-超鞅≤ t<t。3优化问题11推论3.9。在之前的设置中，如果过程αG∈ L（[0，T]，dt×P），然后WR=（WRt，0≤ t型≤ T）是[0，T]中的G-布朗运动，最优投资组合问题的解是ss-supπ∈A（G）E[U（XπT）| G]=E[U（ξλT（X））| G]。（3.18）证明。第一部分接着应用【24，定理3.2】。然后，我们可以通过包含地平线时间T来扩展引理3.3中的微分器族，参见[2，命题3.4（2）]，以获得关于完全市场情况的参考。利用定理3.8的证明，结果如下。备注3.10。如果过程αgS满足Novikov条件，则（NFLVR）成立，并且定义了一系列等效局部鞅测度（ELMM），见【21，命题3.2】。即使最优策略πGdepends也使用效用函数U来简化符号，我们也只明确指定对G的依赖。示例3.11。由于对数效用不能验证假设3.6，因此我们在这里展示了如何使用过程ln（Xπt）的显式表达式来解决最优投资组合问题。

使用（3.6）我们得到了自然对数Xπtx= Dt+中兴通讯πx（ηx- Rx+ρξxαGx-ξxπx）dx。按照专论[25]中定理16.54的行，我们对每个固定值（s，ω）进行最大化∈[0，t]×Ohm 泛函j（π）：=πηs- Rs+ρξsαGs-ξsπ.然后，J满足度的驻点0=J（π）=ηs- Rs+ρξsαGs- ξsπ，我们得到候选πGt=ηt- Rtξt+ραGtξt∈ A（G），0≤ t<t。（3.19）由于J是凹的，因此策略πGis是优化问题的最大值。示例3.12。对于CRRA实用程序，U（x）=xγ/γ，带γ∈ （0，1），我们计算I（y）=y1/（γ-1） 设λ为对偶问题的解。那么，x=EhD-1tZλtI（Y（x）D-1tZλt）| Gi=EhD-1tZλt（Y（x）D-1tZλt）1/（γ-1） | Gi=Y（x）1/（γ）-1） Eh（D-1tZλt）γ/（γ-1） | Gi，我们得到，Y（x）=xγ-1EhD-1tZλtγ/(γ-1） | Giγ-1.4线性类型信息12根据（3.16），我们可以计算最佳预期CRRA值，如下所示SUPπ∈A（G）E（Xπt）γγ| G= Eh（Y（x）D-1tZλt）γ/（γ-1） | Gi=xγγED-1tZλtγ/(γ-1） | G1.-γ.我们还通过方程xπGt=I（Y（x）D得到了CRRA效用下最优策略的隐式方程-1tZλt）和（3.6）。最后，优化策略πG∈ A（G）由满足以下表达式czλt（πG）的过程给出=D-1tZλtγ/(γ-1） 呃D-1tZλtγ/(γ-1） | Gi。示例3.13。对于指数效用，U（x）=-经验值(-γx）带γ∈ （0，1），我们计算（y）=-（1/γ）ln（y/γ），设λ为对偶问题的解。

那么，x=E[D-1tZλtI（Y（x）D-1tZλt）| G]=-lny（x）γE[D-1tZλt | G]-γE[D-1tZλtlnD-1tZλtγ|G] 我们可以计算Y（x）asln Y（x）的显式表达式=-γx- ED-1tZλtlnD-1tZλt|G+ lnγED-1tZλt | G.最后，使用U（I（y））=-y/γ，我们计算最优效用如下supπE[U（Xπt）| G]=-E“D-1tZλtexp-γx- ED-1tZλtln D-1tZλt | G+ lnλE[D-1tZλt]|G#=-经验值(-γx）E“D-1tZλtexp-ED-1tZλtln D-1tZλt | G- lnλE[D-1tZλt]|G#。最优策略πG∈ A（G）由满足以下表达式的过程给出D-1tZλt-1cZλt（πG）=x+γE[D-1tZλtlnD-1tZλt|G] E【D】-1tZλt | G]-γlnD-1tZλt,其中，右侧是I（Y（x）D的显式表达式-1tZλt）。在接下来的章节中，我们将展示一些不同性质的初始放大的特定示例，对于每种情况，我们将分析投资组合优化是否可以进行到时间t或仅进行到时间t<t。4线性类型信息在本节中，我们展示了如何计算二维过程（BR，BS）=（（BRt，BSt），0≤ t型≤ T）在过滤G中，只要随机变量G4线性类型信息13是FRT可测量的随机变量。特别地，我们从一个随机变量开始，该随机变量可以用以下积分形式表示：g=ZTД（x）dBRx，（4.1），其中Д：[0，T]-→ R是验证以下假设的确定函数。假设4.1。函数Д在L（[0，T]，dt）范围内，且满足k{[T，T]}Дk：=ZTtД（x）dx>0，t<t。通过采用（4.1）中所有随机变量的线性组合，我们得到以下集合<BRt:0≤ t型≤ T>=nZT（x）dBRx:Д∈ L（[0，T]）o，其中<·>表示线性跨度的L（FRT，P）-闭合。它由一组高斯随机变量G，FRT可测量，因此E[G | FRT]仍然是高斯的[26，引理3.1]。假设ν（t）存在于t的邻域中，并且当t→ T-.备注4.2。

非高斯随机变量（如BRT）不属于上述集合，因为它们的表示依赖于非确定性被积函数。例如，（BRT）=T+2ZTBRtdBRt。一般来说，给定一个随机变量G，不容易计算其分解。在下一节中，我们将给出一些明确的例子，说明如何在某些特定情况下计算它。备注4.3。请注意，根据构造，参见（4.1），E[克|英尺]=E[克|英尺]。下面我们将使用第二种表示法。在下一个命题中，我们明确计算了命题2.3中定义的信息漂移。这个问题已经在[15]的第二章：“Grossissement Gaussien dela filtration Browninne”中进行了研究。类似的结果也出现在[27，推论3.3]中，其中使用了更复杂的发展，涉及Hida Malliavin微积分和Donsker deltafunctionals。[8，示例4.16]处理案例T=∞.提案4.4。设G如（4.1）所示，过程αG=（αGt，0≤ t<t）由αGt=Д（t）RTtД（x）dBRxRTtД（x）dx=Д（t）G给出- E[克|英尺]V[克|英尺]。（4.2）是指WR·：=BR·-R·αGxdx是G-布朗运动。此外，放大过滤G中R的动力学由dRt给出=a（t）Rt+a（t）+b（t）αGtdt+b（t）dWRt，0≤ t<t。（4.3）证明。根据（4.1），我们得到了G≈ N0，RTД（t）dt通过应用以下关系式[h（G）| Ft]=ZRh（G）P（G∈ dg | Ft），4线性类型信息14我们得出结论P（G∈ dg | Ft）是N的密度RtД（x）dBRx，RTtД（x）dx. 我们计算过程pg=（pgt，0≤ t<t），g∈ Supp（G），如下Pgt=P（G∈ dg | Ft）P（G∈ dg）=VuuttД（x）dxRTtД（x）dxexpgRTД（x）dx-g级-RtИ（x）dBRxRTtД（x）dx, （4.4）定义明确（见假设4.1），t为非零∈ [0，T）。因此，随机变量g满足Jacod的假设。将其应用于（4.4）微积分，我们得到dpgt=pgtД（T）g-RtД（x）dBRxRTtД（x）dxdBRt。

（4.5）然后将信息漂移计算为ZTDHBR、pGiFspGs-=ZtД（s）G-RsД（x）dBRxRTsД（x）dxds。由于保留了可预测的二次变化，我们得出结论，WRI实际上是一个G-布朗运动，结果如下。示例4.5。通过取φ（t）=1，得出G=BRT，我们得到了布朗桥的表达式，dBRt=BRT- BRtT公司- tdt+dWRt。示例4.6。取ψ（t）=ψt（bψ-1） （t），知情代理知道RTin（3.2）的随机部分，然后σ（G）=σ（RT）。我们得出结论，G=F∨ σ（RT）。在这种情况下，αRTt=bψ-1.（t） RTt（bψ-1） （x）dBRxRTt（bψ-1） （x）dx。如果利率由Ornstein-Uhlenbeck过程建模，如（2.3）所述，我们得到以下过程，αYTt=k/σsinh（k（T- t） （）(u - Yt）e-k（T-t）- (u - YT）. （4.6）4.1线性信息的对数价格在本小节中，我们计算G代理在对数效用下从（4.1）中定义的随机变量G的附加信息中获得的收益，即我们计算G在市场中产生的不对称值。我们仅针对对数效用和初始放大重新定义公式（2.5）。VHt：=supπ∈A（H）E[ln（Xπt）]=EhlnXπHti、 0个≤ t<t，H∈ {F，G}。（4.7）这允许确定G携带的额外信息的优势，即相对于仅使用F.4线性类型信息15定义4.7中可访问的信息构建的最优投资组合的预期价值的增量。

过滤信息的对数价格G 时间t处的F，由下式给出VGt：=VGt- VFt。其中右侧的数量在（4.7）中定义。根据（3.19），使用由扩大过滤G建模的附加信息，我们得出对数效用下的最优策略为πGt=ηt- Rtξt+ρξtαGt，0≤ t<t。本节的结果令人惊讶地表明，G所携带的信息非常强大，即使它是指唯一的利率过程，也意味着一个不确定的价值。我们可以使用方程（3.10）和（3.16）计算最佳期望对数值。下面是SUPπ∈A（G）ElnXπtX=中兴通讯Rx+（ξxπGx）dx=supπ∈A（F）ElnXπtX+ρZtEhαGxidx，我们在那里使用了tower属性和factEαGt | Ft= E“Д（t）RTtД（x）dBRxRTtД（x）dx | Ft#=Д（t）RTtД（x）dxEZTtД（x）dBRx | Ft= 0 . （4.8）因此VGt=ρZtEhαGxidx。（4.9）提案4.8。如果ρ6=0，则VGt<+∞ 对于0≤ t<t。证据利用方程（4.9），我们只需要计算过程α是否在L（[0，t]，P×dt）之内。中兴通讯[（αGs）]ds=中兴通讯^1（s）RTsД（x）dxRTs^1（x）dBxRTsИ（x）dxds=ZtД（s）RTsД（x）dxds≤ZtД（s）RTtД（x）dxds=RTtД（x）dxZtД（s）ds<+∞ ,我们使用假设4.1。通过将时间T的对数价格定义为极限T→ T-, 我们得到VGT：=ρZTEhαGtidt。（4.10）提案4.9。如果ρ6=0，则VGT=+∞.5非线性类型信息16证明。使用命题4.8的行，中兴通讯[（αGt）]dt=ZTД（t）RTtД（x）dxdt=+∞ ,其中，我们通过将比较标准与散度函数1/（T）相结合，得到最后一步- t） 如下所示，limt→T+Д（T）/RTtД（x）dx1/（T）- t） =限制→T+Д（T）（T- t） RTtД（x）dx=1- 2极限→T+（T- t） Д（t）Д（t）=1。在最后一步中，当t→ T-.备注4.10。前面的结果告诉我们，优化在时间T不是适定的，因此我们只能在T<T之前应用定理3.8。