随机短期利率的预期信息估值

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英文标题：
《Valuing the anticipative information on the stochastic short interest
  rates》
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作者：
Bernardo D\'Auria and Jos\\\'e Antonio Salmer\\\'on
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  Portfolio optimization is an important financial tool in particular to price financial derivatives. However the standard techniques do not apply when it is needed to extend the model by including insight information and one has to recur to more sophisticated tools such as the enlargement of filtrations.   We show how to apply this technique to value the anticipative information about the short interest rate. We model the short rates by an affine diffusion process and compute the optimal portfolio for a large class of insight information and different utility functions. We conclude with a more detailed analysis of the Vasicek model and with some numerical examples.
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中文摘要：
投资组合优化是一种重要的金融工具，尤其是对金融衍生品进行定价。然而，当需要通过包含洞察信息来扩展模型，并且必须使用更复杂的工具（如扩大过滤）时，标准技术并不适用。我们展示了如何应用这种技术来评估有关短期利率的预期信息。我们利用仿射扩散过程对短期利率进行建模，并针对一大类洞察信息和不同的效用函数计算最优投资组合。最后，我们对Vasicek模型进行了更详细的分析，并给出了一些数值例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Valuing_the_anticipative_information_on_the_stochastic_short_interest_rates.pdf (652.31 KB)

2022-6-1 16:33:57 上传

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关键词：短期利率 Anticipative Applications Quantitative Optimization

评估随机短期利率的预期信息Bernardo D\'Auria*Jos'e A.Salmer+2021年11月4日抽象投资组合优化是一种重要的金融工具，尤其是对金融衍生品进行定价。然而，当需要通过包含洞察信息来扩展模型，并且需要借助更复杂的工具（如扩大过滤）时，标准技术并不适用。我们展示了如何应用这种技术来评估有关短期利率的预期信息。我们通过一个有效的差分过程对短期利率进行建模，并计算一大类洞察信息和差分函数的最优投资组合。最后，我们对Vasicek模型进行了更详细的分析，并给出了一些数值例子。关键词-随机规划；最优投资组合；扩大过滤；瓦西塞克利率模型；信息的价值。1引言我们在不完全市场中的最优投资组合问题的框架内工作，其中投资代理人持有一些预期信息。在文献中，额外信息通常指的是一些交易资产的未来趋势，而在这项工作中，重点是在特殊情况下，当预期信息指的是短期利率的未来趋势。这种情况造成了市场的不对称，我们假设有两个代理，一个拥有额外的信息，另一个单独拥有USU。将最优投资组合问题扩展到预期信息的情况通常采用扩大过滤的技术，通过扩大过滤可以创建包含预期信息的新过滤。

为了确保在新过滤中，所有以前的鞅都至少保留为半鞅，假设新信息满足所谓的Jacod假设，请参见下面的假设2.2。第一种类型的扩大过滤——本文中讨论的一种——是所谓的初始扩大，即从一开始就向知情代理人披露额外信息。这个过程最初应用于[1]中的最优投资组合问题。*UC3M，统计部，28911，Legan\'es，Spain&UC3M-BS，Institute of Financial BigData，28903 Getafe，Spain（bernardo。dauria@uc3m.es).+UC3M，统计部，28911，Legan\'es，西班牙（joseantonio。salmeron@uc3m.es).1导言2他们假设预期信息由一个满足theJacod假设的随机变量建模，并在各种示例中明确求解最优投资策略。文献[2]表明，当用原子随机变量表示时，通过期望对数效用测量的附加信息的值等于其熵。他们还表明，每当这个随机变量不是纯原子时，附加增益总是无界的。在[3]中，最优投资组合问题是针对不同于对数（CRRA和指数）的效用函数求解的。信息价格是指投资者在开始获取额外信息时应支付的公平价格。在[4]中，通过Malliavin演算解决最优投资组合问题削弱了Jacod的假设，而在[5]中，讨论了拥有额外信息与套利金融机会之间的关系。

计算附加信息的价值是一个活跃的研究主题，如最近的结果所示，如[6]，其中作者在一般半鞅背景下量化了任意地理机会的价值，以及[7]，其中作者分析了与泊松过程跳跃相关的信息的价值。另一种类型的过滤放大，本研究中没有考虑到这一点，但我们之所以提到这一点，是因为它最近在文献中吸引了很多人的兴趣，这就是渐进式放大，其中的信息由一个随机时间表示，该时间在放大的过滤中是一个停止时间。我们请读者参阅[8]及其参考文献，以便进行最新调查。我们还提到了[9]，它通过随机过程引入了一种额外的放大类型，以及[10]，它展示了一种通过应用随机最大值原理来处理预期信息的替代技术。一般来说，上述所有参考文献都假设附加信息直接指向某些交易资产，而在本研究中，我们关注的是信息指向随机利率的情况。顺便提一下，这个问题在[1]中被描述为开放的。我们的目标是计算一个代理人在她知道一些有关利率未来价值的信息的情况下可以获得的预期效用收益。我们假设利率模型是一个一般的差异过程，因为这种结构非常灵活，在许多情况下可以得到非常明确的表达式。此外，作为特例，这一分类包括奥恩斯坦-乌伦贝克过程，该过程允许非常详细地分析著名的Vasicek模型，该模型在[11]中介绍。请注意，此利率过程可以以正概率达到负值。一些作者试图在几个方面修改这种情况，例如参见[12]。

然而，为了简化涉及过程分布的计算，我们采用了通常的Vasicek模型。随机利率在市场中创造了完整性，正如在[13]中所发生的那样，尽管在该参考文献中，它是由于利率的突然跳跃，在本文中，它是由于其随机性的来源。我们计算了初始扩张条件下非贴现财富的最优效用，并给出了最优策略的显式方程。我们对不同类型的效用函数（对数、CRRA和指数）进行此操作，并假设信息为线性类型（见第4节）。除了对数效用，cfr。例3.12和3.13中，最优策略是以隐式形式给出的，因为经典的Merton参数并不像已经注意到的那样有效[14]。顺便提一下，我们还显式地计算了一些特殊随机变量的可预测表示性质，并解决了一些常规技术无法处理的随机积分。本文的组织结构如下。在第2节中，我们将更详细地介绍将利率过程建模为一个函数的通用模型，并说明数学符号。在第三节中，我们解决了不完全市场中的效用最大化问题。在第4节中，我们使用积分型随机变量分析了扩大过滤条件下的利率过程。我们显式地计算了非折扣价格的半鞅分解和最优效用期望。在第5节中，我们引入了一个较弱的2模型和D表示法3信息类型，首先假设利率的最终值有一个已知的下限，然后又有一个上限。

最后，我们给出了一个例子，其中（NFLVR）保留在仅满足[0，T]中绝对连续性的Jacod假设和[0，T]中的等价性的扩大过滤中。在第6节中，我们给出了一些数值示例，最后在第7节中，我们以一些结论结束。2模型和符号作为一般设置，我们假设在概率空间中工作(Ohm, F、 F，P），其中F是eventsigma代数，F={Ft，t≥ 0}是由（BR，BS）=（（BRt，BSt），t≥ 0），这是一个二维过程，其分量具有常数相关性ρ6=0，并且每个分量都是F-布朗运动。有时，我们使用旋转FR（FRT）来表示由过程BR生成的过滤（西格玛代数）。Wealso fix一个交易者可以投资的有限期限时间T>0。为了简化我们的分析，我们考虑一个仅由两种资产组成的简单投资组合，一种是风险资产，S=（St，0≤ t型≤ T），另一个无风险，D=（Dt，0≤ t型≤ T），并且这两个过程在定义的概率空间中都是半鞅自适应的。特别是其动态由以下SDE确定，dDt=DtRtdt，D=1（2.1a）dSt=Stηtdt+ξtdBSt, S=S>0（2.1b），其中R=（Rt，0≤ t型≤ T）是瞬时利率，有时也称为短期利率。风险资产的漂移和波动率由过程η=（ηt，0）给出≤ t型≤ T）和ξ=（ξT，0≤ t型≤ T），假设可预测自然过滤F，并满足以下条件ηt- Rtξtdt#<+∞ .我们假设过程1/ξ是有界的。假设利率过程R为无差异，满足以下SDE，dRt=[a（t）Rt+a（t）]dt+b（t）dBRt，R=R>0，（2.2），其中确定性函数a、a非常平滑。

请注意，市场是不完整的，因为只有一个可交易资产，而有两个随机性来源（BR、BS）。这类过程包括作为特例的Ornstein-Uhlenbeck过程，在本文中用Y=（Yt，0≤ t型≤ T）。它满足众所周知的SDEdYt=k（u-Yt）dt+σdBYt，Y=Y>0，（2.3），k，u，σ给定参数满足某些条件。自[11]引入以来，它一直用于为其均值回复特性的利率建模。在上述假设下，我们假设投资者采用可接受的策略π=（πt，0≤ t型≤ T）目的是在最终时间T>0时优化给定的效用函数。定义2.1。我们定义了一组可接受的策略A（H），其中包含所有自我融资投资组合π=（πt，0≤ t型≤ T）这样，oπ就过滤H2模型和D表示法4oRTξTπtdt<+∞, P-几乎可以肯定，其中π是时间t时投资于风险资产的资本比例。表示为Xπ=（Xπt，0≤ t型≤ T）投资者投资组合的财富在可接受策略π下，我们可以将其动力学写成以下SDE的解，对于0≤ t型≤ T，dXπtXπT=（1- πt）dDtDt+πtdStSt，X=X>0。使用（2.1），它可以用以下形式表示dxπt=（1- πt）XπtRtdt+πtXπtηtdt+ξtdBSt, X=X.（2.4）通常假设策略π在每一时刻都对代理的所有信息进行了最佳利用，通常我们将假设代理的信息流由过滤H=（Ht，0≤ t型≤ T），可能大于filtrationf，即F H、 我们确定了最佳投资组合πH=（πHt，0≤ t型≤ T）作为以下优化问题的解决方案，VHT：=supπ∈A（H）E[U（XπT）]=EhUXπHTi、 （2.5）在给定信息流的情况下，VHT定义为时间T时投资组合的最佳价值。

函数U:R+→ R表示效用函数，假设它在其域中是连续的、递增的和凹的，并且满足U（x）=-∞ 对于x<0。此外，假设它是连续可微的，是严格递增且凹的初始域，并且满足INDA条件，U（0）：=limx→0+U（x）=+∞ （2.6a）U(+∞) := 林克斯→∞U（x）=0。（2.6b）为了分析放大的信息流，在下面的章节中，我们考虑了一些通过在西格玛代数FT中添加随机变量G来构建的初始放大的例子。我们定义了放大的过滤G={Gt，t≥ 0}如下所示，Gt=\\s>t（Fs∨ σ（G））。（2.7）简而言之，我们将G写为最小过滤，它是正确连续的，包含SF∨σ（G）。在我们的论文中，由于随机变量G的知识产生的不对称性，我们将假设存在一个从一开始就知道G的G-agent和一个与自然信息流F打交道的F-agent。我们的结果依赖于以下文献中通常称为Jacod\'shypothesis的假设。假设2.2（Jacod假设）。随机变量G的分布为σ-fite，而规则Ft条件分布验证了等效条件P（G∈ ·|英尺）P（G∈ ·), P-几乎可以肯定t∈ [0，T）。2模型和D表示法5该假设确保存在由pg=（pgt，0）表示的联合可测量F-适应过程≤ t<t），带g∈ Supp（G），且P（A | Ft）=RApgtP（G∈ dg）对于任何A∈ σ（G）。特别是，pgt=P（G∈ dg | Ft）P（G∈ dg），0≤ t<t。下面的命题允许计算任意F连续局部鞅的G-半鞅分解，它最初在[15，定理2.1]中阐述过。

过程pg，forany g∈ Supp（G）是一个F-鞅，参见[2，引理2.1]，因此hX，pgiF=（hX，pgiFt，0≤t<t）对于任何F-局部鞅X都有很好的定义。此外，我们定义了hX，pGiFs：=hX，p·iFso G提案2.3。设X=（Xt，0≤ t型≤ T）是一个F-连续的局部鞅，并设G为满足Jacod假设的可测随机变量。然后，进程bxt=Xt-ZtdhX，pGiFspGs-, 0≤ t<t（2.8）是G-局部鞅。当（2.8）中出现的过程X的补偿器相对于Lebesgue测度是绝对连续的时，其密度通常被称为信息漂移，它在我们的计算中起着至关重要的作用。我们将使用符号αG=（αGt，0≤ t<t）与过程BR相关的信息漂移，即ZtαGsds：=ZtdhBR，pGiFspGs-, 0≤ t<t，更多详情请参见提案4.4。虽然套利机会不是本文的中心问题，但我们提到了一个结果，该结果将αgw上的Novikov条件与G∈ 第一次。在[16]中可以找到一个简单的证明，我们参考[17]了解套利理论的一般背景。提案2.4。使用之前的设置，如果G∈ F了解过程αGsatis经验值ZT（αGt）dt< +∞ , （2.9）则G中的（NFLVR）条件成立。2.1附加符号给定两个随机变量X和Y，我们写X≈ Y表示它们具有相同的分布。符号N（u，σ）表示具有平均u和方差σ的高斯随机变量。Φ（z）表示标准高斯随机变量的累积分布。用fX（x）表示x在x处的密度函数，用fX | Y（x | Y）表示给定{Y=Y}的x处条件密度函数的值。P和V表示概率和方差运算符。E是指P下的期望算子，即E=EP。

如果我们在另一个度量下考虑期望，例如Q，我们将指定为等式。如果H是σ-代数，那么用E[·| H]和V[·| H]表示条件期望和3个优化问题6个条件方差算子。我们定义空间L(Ohm, H、 P），或仅当(Ohm, H） 很明显，H-可测随机变量F与E[F]<+∞, i、 e.，L（P）={F:e[F]<+∞} .我们将L（J，H，dt×P，H）或简称L（J，dt×P，H）定义为所有H适应过程的空间，具有以下可积性条件，L（J，dt×P，H）=nX=（Xt，t∈ J） ：ZJEXs型ds<+∞o、 当J=[0，T]时，我们只写L（dt×P，H）。（fg）（x）有时用于表示产品f（x）g（x）。3优化问题结合方程（2.2）和（2.4），我们得到以下随机微分方程组，（dXπt=（1- πt）XπtRtdt+πtXπtηtdt+ξtdBStdRt=[a（t）Rt+a（t）]dt+b（t）dBRt（3.1），根据过滤F进行求解，得出利率过程和投资组合财富的演变，如F代理所见。为了分析适用于（2.7）中定义的扩大过滤的相同过程，我们采用了通过查找对的G-半鞅分解（BR，BS）来扩大过滤的标准技术。命题3.2中获得了新的代表性。假设函数a、a和bin（2.2）的可积性，通过应用it^o引理很容易看出，可以参考[18，示例1.5.4.8]，过程R允许以下显式解RT=ψtR+Zt（aψ-1） （x）dx+Zt（bψ-1） （x）dBRx, 0≤ t型≤ T，（3.2），其中ψT：=expRta（x）dx和ψs，t：=expRtsa（x）dx. 有时，我们会使用旋转ψ（t）：=ψtwhenψ-1涉及。当RisGaussian分布时，过程R是马尔可夫和高斯的。假设R是一个马尔可夫过程，我们首先研究0的（Rs | Ru）分布≤ u≤ s