奈特条件下具有离散策略的非洞穴鲁棒优化

如果无套利条件NA（P）t+1大于时间t+1，则无套利条件NA（P）t大于时间t。命题5.1和5.4–5.7的证明将在第5.1.5.1小节中给出。命题5.1和5.4–5.7的证明我们首先从提供ψt+1和Φt.引理5.8之间关系的有用引理开始。让t∈ {0，…，T- 1} ψt+1满足假设2.2。然后1）Φtsatis fies假设2.2（4）；2） 对于所有（ωttΩ，xt+1）∈ Ohmt+1×Rd（t+1）我们有ψ∞t+1（ωttΩ，xt+1）≤ 0和Φ∞t（ωt，xt+1）≤ infP公司∈Pt（ωt）EP[ψ∞t+1（ωtt·，xt+1）]≤ 0.证明。对于第一部分，让Ht+1∈ Ht+1此类影响∈政治公众人物ψt+1（Ht+1）]>-∞.我们还声称∈政治公众人物Φt（Ht+1）]>-∞.要看到这一点，请注意，根据[5，命题7.50]，对于任何ε>0，都存在一个普遍可测量的核Pεt：Ohmt型→ M级(Ohm) 使得Pεt（ωt）∈ 所有ωt的Pt（ωt）∈ OhmtandEPεt（ωt）[ψt+1（ωtt·，Ht+1（ωt））]≤（Φt（ωt，Ht+1（ωt））+ε如果Φt（ωt，Ht+1（ωt））>-∞,-ε-1其他方面。然后，我们有epεt（ωt）[ψt+1（ωtt·，Ht+1（ωt））]- ε ≤ (-ε-1) ∨ Φt（ωt，Ht+1（ωt））。取任意P∈ 并表示其限制为Ohmtby Pt公司。整合上述不平等YieldSept[(-ε-1) ∨ Φt（Ht+1）]≥ EPt公司Pεt[ψt+1（Ht+1）]- ε ≥ infP′型∈PEP′[ψt+1（Ht+1）]- ε.出租ε→ 0，通过Fatou引理，我们得到thatEP[Φt（Ht+1）]≥ infP′∈PEP′[ψt+1（Ht+1）]>-∞.因此P的任意性∈ P、 该主张已被证实，因此Φtsatis fies假设2.2（4）。第二部分是引理4.5。我们继续证明命题5.1。命题5.1的证明。我们使用（5.1）中定义的递归进行反向论证。编号指假设2.2中的相应编号。（1） 由于ψ=ψTsatis fies假设2.2（1），关于某些集合D RDT为满足网格条件（2.2），我们直接从其定义中得出Φ和ψ皮重均等于-∞ 分别位于Dt+1和Dt之外。的确，如果ψt+1等于-∞ 在Dt+1之外，也会通过其定义进行Φtb。

此外，如果xt6∈ Dtthen适用于所有▄x∈ Rd我们有（xt，~x）/∈ Dt+1，因此我们得到ψtis也等于-∞ Dt之外。因此，由于每个数据都满足网格条件（2.2），地图x 7→ ψt（ω，x）和x 7→ Φt（ω，x）是上半连续的；见备注2.3。（2） 由于ψ=ψt从上方以常数C为界，对于相同的常数C，同样的定义也适用于Φtandψtb。（3）我们证明，如果ψt+1的方式与[19，引理5.9]中的方式完全相同，则Φt是下半解析的；因此，省略了证明。现在假设Φtis lowersemanianalysis；我们将讨论ψtis。用Dt+1表示t+1到其最后一个分量的投影，即D到其t+1分量的投影。那么，由于Dt+1最多是可数的，因此Dt+1也是如此。根据（1），Φt等于-∞ 在Dt+1之外，我们有任何xt∈ Rdtthatψt（ω，xt）：=supx∈RdΦt（ω，xt，x）=supx∈Dt+1Φt（ω，xt，x）。因此，作为下半解析函数的可数上确界，映射（ω，xt）7→ ψt（ω，xt）是下半解析的。请注意，在这里，我们以非常重要的方式使用网格条件；另见备注4.2。（4） 在引理5.8中，我们表明，如果ψt+1，Φtsatis fies假设2.2（4）。那么，通过定义，这也意味着ψtsatis fies假设2.2（4）。下面的引理证明，对于每个t∈ {0，…，T- 1} ，ψt+1和Φtarenormal被积函数。这是命题5.5证明中可测量选择论证所需的关键属性，另见备注5.6。引理5.9。让D Rmbe满足网格条件（2.2）的集合，f：Ohmn×Rm→R∪ {-∞} 是（ω，x）7的函数→ f（ω，x）是普遍可测的，对于所有ω∈ Ohmndom f（ω，·） D、 那么f是Fn正规被积函数。特别是mapx 7→ f（ω，x）对于每个ω都是上半连续的∈ Ohmn、 证明。

通过定义Fn正态被积函数，我们需要证明它的次方函数（ω）是闭值的，Fn在[28，定义14.1，p.643]的意义上是可测量的。为了证明hypof（ω）是闭值的，fix anyω∈ Ohmnand let（xk，αk） Rm×Rc接近于满足f（ω，xk）的每个k的某些（x，α）≥ αk，我们需要证明f（ω，x）≥ α. 通过假设dom f（ω，·）观察 D、 我们有（xk） D、 因此，根据集合D的网格条件（2.2），序列（xk）最终等于所有k的x。特别是，对于足够大的k，我们有f（ω，x）≥ αk，这意味着期望的不等式f（ω，x）≥ α.要知道hypof（ω）是一个Fn可测量的对应关系，请首先注意，假设dom f（ω，·） D和D满足网格条件（2.2），地图x 7→ f（ω，x）对于每个ω都是上半连续的。因此，我们从[28，命题14.40，p.667]中推断，对于任何K Rmbeing compact，函数g（ω）：=supx∈Kf（ω，x）是Fn可测的。为此，fix任意K Rmbeing紧凑型，然后固定任何常数∈ R、 我们需要证明集合{ω| g（ω）>c}∈ Fn。作为dom f（ω，·） D、 如果D∩ K=. 因此，从现在开始，假设D∩ K 6=. 通过K的紧性和D的网格条件（2.2），我们得到了D∩ K={K，…，kj}是有限的。因此，通过定义g（ω），我们得到{ω| g（ω）>c}=j[i=1{ω| f（ω，ki）>c}，这是Fn可通过[5，引理7.29，p.174]测量的。在我们开始证明命题5.4之前，我们需要看到集值映射Kt（ωt）具有一些理想的性质。引理5.10。让t∈ {0，…，T- 1}. 假设ψt+1满足2上的Ass umpti。（5.2）中定义的s集值映射KT是一个闭值的Ft可测对应，且ωt∈ Ohmt型Kt（ωt）={0}∈ Ft.证明。

AsΦ∞在xt+1中是正齐次上半连续的，Kt（ωt）是每个ωt的闭值锥。我们强调，由于ψ不是凹的，Kt（ωt）不一定是凸的。根据引理5.9和命题5.1，Φ是Ft正规被积函数，因此Φ也是∞t、 因此，集值映射kt是Ft可测对应；见[第28号提案14.33，第663页]和[第28号提案14.45（a），第669页]。根据[28，定理14.5（a），p.646]，kt承认一个Castaing表示{xn}。因此ωt∈ Ohmt型Kt（ωt）={0}=\\n∈N{ωt∈ Ohmt | xn（ωt）=0}∈ Ft.（5.3）引理5.11。让t∈ {0，…，T- 1}. 假设ψt+1符合假设2.2。此外，让X：Ohmt型→ Rdbe任何Ft可测量的随机变量。那么以下是正确的。X（ωt）∈ Kt（ωt）P-q.a.ωt∈ Ohmt型==> （0，…，0，X）∈ Kt+1顶。让X∈ KtP-q.s.然后对于任意P∈ P、 回想一下，其限制Pt+1到Ohmt+1为Pt形式 Pt对于某些选择器Pt∈ Pt。因此，通过引理5.8EP[ψ∞t+1（0，…，0，X）]=EPt（dωt）hEPt（ωt）Ψ∞t+1ωtt·，0，0，X（ωt）我≥ EPt（dωt）Φ∞t型ωt，0，0，X（ωt）≥ 0、P的任意性∈ P、 我们得出结论（0，…，0，X）∈ Kt+1。现在我们能够证明提案5.4。命题5.4的证明。从引理5.10的证明中回想一下，KT允许Castaingrepresentation{xn}。然后使用引理5.11和（5.3），我们得到Na（P）t+1到时间t+1都成立==> n∈ N： （0，…，0，xn）=0 P-q.s。<==> 集合\\n∈N{ωt∈ Ohmt | xn（ωt）=0}具有P-拟满测度<==> NAtholds没错。命题5.5的证明。通过引理5.9，我们得到Φ是Ft正规被积函数。然后，对于任何固定策略Ht∈ Ht，[28，命题14.45（c），p.669]给出了映射ΦHt（ωt，x）：=Φt（ωt，Ht（ωt-1） ，x）也是Ft正规被积函数。

因此，我们从[28，定理14.37，p.664]得出集值映射Υ：Ohmt型=> rddefinedbyΥ（ωt）：=argmaxΦHt（ωt，·）允许在Ft可测集{6=}. 在{Υ=}. 仍然需要争论的是{Υ=} 是P极集合。为此，我们要显示map（xt，xt）7→ Φt（ωt，xt，xt）满足命题4.4的条件。引理5.1证明了它是真的和上半连续的；另见备注2.3。此外，由于命题5.4的局部无套利条件NAtholds为真，我们对P-q.a.ωt∈ OhmtthatK（ωt）：=h类∈ 研发部Φ∞t（ωt，0，…，0，h）≥ 0= Kt（ωt）={0}。因此，提案4.4的条件确实满足。因此，我们通过假设supx从提案4.4得出结论∈RdΦt（ωt，Ht（ωt-1） ，x）>-∞ P-q.s.，即{Υ=} 是P极集合。结果如下。现在我们继续证明命题5.7。命题5.7的证明。矛盾地假设Kt6={0}。然后，在P中存在一个可能性度量∈ P和HT∈ Ht使ψ∞t（eHt）≥ 0 P-q.s.和P【eHt6=0】>0。（5.4）步骤1：我们声称存在一个Ft可测量的mapeht：Ohmt型→ Rd使Φ∞t（eHt，eHt）=ψ∞t（eHt）P-q.s.（5.5）的确，首先注意Φ∞t（0）≥ 0 P-q.s.，尤其是Φ∞这是正确的P-q.s。。要看到这一点，请观察引理5.8，Φtsatis fies假设2.2（4），因此Φt（0）>-∞ P-q.s。。因此，我们得到P-q.s.，Φ∞t（0）=极限→∞supδ>n，| y |<nδΦt（δy）≥ 画→∞supδ>nδΦt（0）=0。此外，观察（Φ∞t）∞= Φ∞通过一个上半连续且正齐次的地平线函数的性质；见[28，第87页]。因此，通过假设NA（P）t+1在时间t+1之前成立，我们从命题5.4中知道，本地无套利条件也成立。因此，通过与命题5.5证明中相同的论证，映射（xt，xt）7→ Φ∞t（xt，xt）满足命题4.4P-q.s的条件。。

根据假设ψ∞t（eHt）≥ 0 P-q.s.，我们从命题4.4得出结论，集值映射m（ωt）：=h类∈ 研发部Φ∞t（ωt，eHt，h）=ψ∞t（ωt，eHt）=h类∈ 研发部Φ∞t（ωt，eHt，h）=supx∈RdΦ∞t（ωt，eHt，x）对于P-q.e.ωt不是空的。此外，根据引理5.9和[28，练习14.54（a）P.673]，函数Φ∞这是一个正规的被积函数。因此，[28，定理14.37，p.664]提供了M的Ft可测量选择器的存在性。步骤2：让我们证明eHt+1：=（eHt，eHt）∈ Ht+1满意度ψ∞t+1（eHt+1）≥ 0 P-q.s.，即eHt+1∈ Kt+1。对于P-q.e，ωtwe有（5.4），（5.5），引理5.80=ψ∞t（ωt，eHt（ωt-1)) = Φ∞t（ωt，eHt+1（ωt））≤ infP公司∈Pt（ωt）EP[ψ∞t+1（ωtt·，eHt+1（ωt））]≤ 0，这反过来意味着对于P-q.e.ωtwe，0=infP∈Pt（ωt）EP[ψ∞t+1（ωtt·，eHt+1（ωt））]作为每个P′∈ P满意度P′|Ohmt+1=P′|Ohmt型 P′t对于某些选择P′t∈ 我们直接从Fubini定理得到结果。但现在，我们已经构建了HT+1∈ Kt+1带P[eHt+16=0]≥ P[eHt6=0]>0，这与NA（P）t+1与时间t+1相矛盾。因此，我们必须有Kt={0}。5.2定理2.6的证明本小节的目标是给出定理2.6的证明，这是本文的主要结果。我们将构建最优策略bH：=（bH，…，bHT-1) ∈ H从时间t=0向上递归，在每个时间t应用命题5.5，给定受限策略bHt：=（bH，…，bHt-1) ∈ Ht。我们按照[20]检查BH是否确实是一个优化器（2.3）。定理2.6的证明。首先，让我们检查定理4.3中的条件是否满足函数ψ。根据命题5.1和命题5.7，我们知道单周期模型中的无轨道条件（4.2）是成立的。此外，根据命题5.1，我们知道ψ满足假设2.2。这与引理5.9一起表明ψ满足假设4.1。

因此，根据定理4.3，存在SBH∈ Rd这样的INFP∈PEP[ψ（bH）]=supx∈RdinfP∈PEP[ψ（x）]>-∞.现在，我们声称∈ {0，…，T- 1} 我们有SUPX∈RdΦt（ωt，bHt（ωt-1） ，x）>-∞ P-q.s.，（5.6），其中bHt：=（bH，…，bHt-1） 从时间t=0向上递归定义。我们用归纳法论证。事实上，我们刚才讨论的基本情况t=0。对于归纳步骤，假设（5.6）在时间t时成立- 1、然后，根据命题5.5，存在anFt-1-可测随机变量BHT-1对于P-q.e.ωt-1它认为- ∞ < supx公司∈RdΦt-1（ωt-1，bHt-1（ωt-2） ，x）=Φt-1（ωt-1，bHt-1（ωt-2） ，bHt-1（ωt-1)). （5.7）我们写下：=（bHt-1，bHt-1) ∈ Ht。注意，通过定义（5.1）中定义的递归，我们得到了每个ωt-1.∈ Ohmt型-1那是Φt-1（ωt-1，bHt（ωt-1） ）=infP∈Pt公司-1（ωt-1） EP[ψt（ωt-1.t型-1·，bHt（ωt-1))].这和（5.7）确保P-q.e.ωt-我们有ψt（ωt-1.t型-1·，bHt（ωt-1)) > -∞ Pt公司-1（ωt-1） -q.s。。（5.8）此外，每P∈ P其限制PttoOhmPt形式的tis-1. Pt公司-1对于某些选择器Pt-1.∈ Pt公司-因此，（5.8）意味着∈ 聚丙烯ψt（bHt）>-∞= EPt公司-1（dωt-1） hEPt公司-1（ωt-1){ψt（ωt-1.t型-1·，bHt（ωt-1))>-∞}i=1。因此，通过对递归的定义（5.1），我们可以看到indeedsupx∈RdΦt（ωt，bHt（ωt-1） ，x）=ψt（ωt，bHt（ωt-1)) > -∞ 因此，对于P-q.e.ωt，我们可以应用命题5.5来找到一个Ft可测量的随机变量bhtsuch，它影响P∈Pt（ωt）EP[ψt+1（ωtt·，bHt（ωt-1） ，bHt（ωt））]=ψt（ωt，bHt（ωt-1） ）对于P-拟每ωt∈ Ohmt、 对于所有t=1。T- 1、我方声明BH∈ H是最优的，即满意度（2.3）。我们首先展示了INFP∈PEP[ψT（bH）]≥ Ψ. （5.9）为此，让t∈ {0，…，T-1}. 让P∈ P我们写P=P· · · PT公司-1使用kernelsPs：Ohms→ M级(Ohm) 满足Ps（·）∈ Ps（·）。因此，通过应用富比尼定理和hep[ψt+1（bH。

，bHt）]≥ E（P···Pt公司-1） （dωt）hinfP′∈Pt（ωt）EP′ψt+1（ωtt·，bHt（ωt-1） ，bHt（ωt））i=E（P···Pt公司-1） [ψt（bHt）]=EP[ψt（bHt）]。从t=t重复使用此不等式- 1到t=0产生EP[ψt（bH）]≥ Ψ. AsP∈ P是任意选择的，证明了权利要求（5.9）。仍然需要证明ψ≥ supH公司∈HinfP公司∈PEP[ψ（H）]查看thatbH∈ H是最佳值。所以，fix任意H∈ H、 它必须表明∈ {0，…，T- 1} infP公司∈PEP[ψt（Ht）]≥ infP公司∈PEP[ψt+1（Ht+1）]。（5.10）实际上，通过重复使用从t=0到t=t的不等式- 1我们得到ψ≥ infP公司∈PEP[ψT（H）]。此外，作为H∈ H是任意的，ψT=ψ，我们得到了期望的不等式。现在，为了证明（5.10）中的不等式，fix anε>0。根据[19，引理5.13]，参见[5，命题7.50]，存在一个核Pεt：Ohmt型→ M级(Ohm) 对于所有ωt∈ OhmtEPεt（ωt）[ψt+1（ωtt·，Ht+1（ωt））]- ε≤ (-ε-1) ∨ infP公司∈Pt（ωt）EP[ψt+1（ωtt·，Ht+1（ωt））]≤ (-ε-1) ∨ supx公司∈RdinfP∈Pt（ωt）EP[ψt+1（ωtt·，Ht（ωt-1） ，x）]=(-ε-1) ∨ ψt（ωt，Ht（ωt-1)).取任意P∈ 并表示其限制为Ohmtby Pt公司。综合上述不平等因素[(-ε-1) ∨ ψt（Ht）]≥ EPt公司Pεt[ψt+1（Ht+1）]- ε ≥ infP′型∈PEP′[ψt+1（Ht+1）]- ε.出租ε→ 0，通过Fatou引理，我们得到thatEP[ψt（Ht）]≥ infP′型∈PEP′[ψt+1（Ht+1）]。参考文献【1】R.Almgren和N.Chriss。投资组合交易的最佳执行。J、 风险，3:5–392000。[2] D.巴特尔。无界禀赋模型不确定性下的指数效用最大化。安。应用程序。概率。，29(1):577–612, 2019 .[3] E.Bayraktar和S.Yao。非线性期望的最优停止第一部分：随机过程。应用程序。，121(2):185–211, 2011.[4] E.Bayraktar和S.Yao。非线性期望的最优停止第二部分。随机过程。应用程序。，121(2):212–264, 2011.[5] D.P.Bertsekas和S.E.Shreve。随机最优控制。离散时间情况。学术出版社，纽约，1978年。[6] S.Biagini和M.Pinar。

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