奈特条件下具有离散策略的非洞穴鲁棒优化

注意，鲁棒无套利条件是（弱）无套利条件加上一个附加条件。进一步朝着更一般的交易成本的方向发展，人们意识到市场允许套利机会是很自然的；例如，这是本文的结论之一[30]。如果是这样的话，有人会说，如果“市场中存在大量头寸”，没有套利机会，那么市场模型就满足了无套利条件。不同的是，要求每个策略H都是无轨策略，即ψ（H）≥ 0，存在一个n≥ 0，这样当n≥ n、 这就是地平线功能进入故事的地方。根据定义，地平线函数是正齐次函数。因此，这足以理解此类地图的无套利理论。地平线函数之所以有用，是因为它为地图ψ提供了一个方便的上限。为了理解这句话的意义，首先考虑一个函数f:R的简单示例→ R为上半连续且满足f∞（x） 当x 6=0且f（0）=f时<0∞(0) = 0;这是一个满足无套利条件的市场模型。自函数f起∞是正齐次的，存在一个连续的正齐次函数g:R→ R使得f∞（x） <g（x）<0表示所有x 6=0。此外，还存在一个∈ R、 使得f（x）≤ 所有x的a+g（x）∈ R事实上，我们首先注意到，根据[28]中的命题3.23，{x|（f- g） （十）≥ α}∞ {x |（f- g）∞（十）≥ 0}  {0};第二个假设是（f- g）∞（x） <0 on x 6=0。我们用A表示∞, 其中A Rn，集合{x |（χA）∞（x） =0}，其中如果x，则χA（x）=0∈ A和∞否则由于左侧的集合对于适当选择的α是非空的，因此所有包含实际上都是相等的。

根据[28]中的定理3.5，我们得到{x |（f-g） （十）≥ α} 是有界集，因此是紧集。函数（f- g） 在紧集上是上半连续的，因此在上有界；在紧集之外，它受假设的限制。通常，水平有界性和水平函数之间的关系在[28]中的定理3.31中进行了解释。虽然这个简单例子中的陈述很明显，但这一想法延伸到了本文所考虑的情况：本文的关键技术步骤是证明我们所考虑的无套利条件K={0}转化为局部条件，定义见以下页面。综上所述，我们提出的无套利条件K={0}，由以下更自然的条件隐含：存在一个映射Υ：Ohm ×RdT→R、 使得Υ（ω，·）是正齐次的，连续的，Υ（ω，x）>ψ∞（ω，x）P-q.s.图Υ满足以下条件Υ（H）≥ 0 P-q.s==> Υ（H）=0 P-q.s.，即图Υ满足弱形式的无套利条件。有人说mapΥ支配着ψ。这一条件让人想起具有比例交易成本且摩擦充分的市场中的稳健无套利条件。条件K={0}也由以下内容暗示：存在满足无套利条件的无摩擦市场模型（St），即无套利且无冗余资产，以及一个随机变量a，使得ψ（H）≤ 因此，选择这样一个抽象条件作为无套利条件的原因仅仅是因为它将各种情况置于同一屋檐下。备注2.8。为什么无套利是P-q.s.条件，还有待提及。背后的想法很简单：以无摩擦市场模型为例。如果我们不知道股票价格过程增量的概率分布，我们会考虑最坏的情况。

对于给定的战略，最坏的情况是在所有衡量指标的最终价值范围内。然而，由于可测量性问题，这不是一个明确的对象。因此，市场模型可以允许对每个元素P进行套利f∈ P、 但仍然是无套利的；参见示例3.1.3示例3.1整数值策略和半静态交易考虑S=（S，…，Sd）一个d维股票价格过程，其组件对于每个t都是可测量的。考虑U：Ohm ×R→ R∪ {-∞} 一个随机（不一定是连续的）效用函数；精确地说，U（ω，·）是一个连续函数，对于每个ω，它的上界是常数C∈ Ohm. 此外，假设（ω，x）7→ U（ω，x）是下半解析的。我们还假设交易者只允许在风险资产中有整数头寸，即ht（ω）∈ zd对于所有ω，t。我们定义了一个映射ψ（h）：=Ux+T-1Xt=0hht，St+1- Sti公司- χZdT（h），其中x∈ R是交易者固定的初始财富，χA（x）是x时取0的函数∈ A和∞ 否则让我们证明ψ满足假设2.2。首先，网格条件是明确的。下半解析性也很清楚，因为它是下半解析f函数和Borel函数的组合。上面的边界由U上的相同假设遵循。最后，如果infP∈PEP[U（x）]>-∞, 最后一个条件成立，因此ψ确实满足假设2.2。我们还可以考虑半静态投资组合的效用最大化，其中besidea头寸h在股票中也可以持有静态资产的头寸{fi | i=1，…，i}，可在市场上免费获得。

策略（h，g）的值由v（h，g）=x+T给出-1Xt=0hht，St+1- Sti+IXi=1gifi。以与上述类似的方式，可以看出ψ（h，g）：=Ux+T-1Xt=0hht，St+1- Sti+IXi=1gifi- χZdT（h）- χZI（g）满足假设2.2.3.2给定过程g的最优停止问题：=（Gt）t=0，。。。，T、 对于每个T的Gtan-Ft可测随机变量，我们考虑一个最优停止问题。用T表示F-停止时间集；问题是∈PEP【Gτ】-→ 最大超过τ∈ T要将其转换为标准形式，请注意，τ是一个停止时间，当且仅当{τ=t}∈ Ft对于所有t，即如果过程[[0，τ]）被适应。等效地，每个适应的{0，1}值递减过程h定义了一个停止时间τ：=inf{t | ht=0}。我们定义了以下映射ψ（h）：=TXt=0（ht-1.- ht）燃气轮机- χD（h），其中D ZT+2定义如下=x=（x-1.xT）xt公司-1.≥ xt，xt∈ {0, 1} t、 x个-1=1，xT=0.集合D显然是闭合的；因此，mapχ降低了尿毒症持续性，henceBorel。因此，映射（ω，x）7→ ψ（ω，x）与Gtare一样是下半解析的。函数ψ（ω）的域是有限的；这也意味着ψ满足网格条件。只要Gt，就存在一个上界C≤ C P-q.s。。最后，如果在fP中∈政治公众人物[G]>-∞, 最后一个条件也成立。我们还可以建立最优清算问题模型，其中交易者的仓位为h，交易者的仓位为h-1=米∈ N，需要在最终时间之前进行清算，即hT=0；见。g、 [1]。3.3非流动性的Roch–Soner模型我们给出了一个更复杂的限额订单bo ok的例子。有关建模注意事项的更多信息，请参见[27]；关于模型的离散时间版本，另请参见【30】。“均衡股价”过程S：=（St）表示无交易时的价格；交易时，交易期结束后，价格由St+lt；lt表示交易的影响。

如果一个大交易者执行交易H在时间t，他或她移动价格，因此交易后的价格由mt改变ht。模型如下lt+1=（1- κ)lt+2mt+1ht+1Vt+1=Vt+htSt+1- κltht公司- mt+1htV=l= 0对于某些常数κ∈ （0，1），捕捉价格影响的衰减l, 和一个严格正过程（mt），对1/2mt的限制订单簿的“深度”进行编码。让U：Ohm ×R→ R∪ {-∞} 是一个随机效用函数。Setbψ（h）：=U（VT）。可以显示映射h 7→ VT不是凹面。接下来，我们将交易限制为整数，即定义ψ（h）=bψ（h）- χZT（h）。现在让我们检查条件。很容易看出网格条件满足映射ψ。同样地，对于上界的存在性：对于所有ω，只要U（ω，·）成立，它就成立∈ Ohm. 映射（ω，x）7→ ψ（ω，x）将是下半解析的，如果站在mtare Borel可测量的随机变量和映射（ω，x）7→ U（ω，x）是下半解析的。最后一个条件在infP时保持不变∈政治公众人物[U（0）]>-∞.3.4集合示例示例3.1。考虑可测空间上的一步无摩擦市场模型Ohm = [0,] ∪ [，1]与西格玛代数F={, Ohm}. 考虑股票价格S，givenby S=1，S（ω）=2ω。考虑家族p={δx | x∈ Ohm},其中，通过δxwe表示Dirac测度，所有质量都在x中Ohm 显然，无量纲空间是R的子集，而随机变量Sis Borel是可测的。让h∈ Rbe战略；假设h 6=0。如果h>0且P=δx，且x>时，策略h为无轨策略P[h（S- S） ]=h（2x- 1) > 0.然而，如果x<，h不是套利策略。对于h<0，可以重复分析。这表明，市场模型可能允许每一个P∈ P、 但仍然是无套利的。

可以看出，无套利的经典定义与我们正在考虑的定义相同；见备注2.7。让我们证明概率测度集Phas解析图（P）={（ω，P）|ω∈ Ohm, P∈ P（ω）}。鉴于此Ohm是一个单态且集Pclearly闭的，它也是解析的。对于其他示例，可以重复前面示例中的类似分析。因此，让我们只关注P中的度量集。事实上，我们只需要关注单步对应ωt7→ Pt（ωt）与解析图。其中的一个例子是与Borel、closed或opengraph的对应关系，如上半连续和下半连续的对应关系。另一种诱导概率测度集PTI“猜测”真转移函数ωt7的方法→ Pt（ωt）并定义Pt（ωt）为其邻域，例如使用连续函数F：Ohmt×P(Ohm) ×P(Ohm) → [0, ∞) 如下pt（ωt）：=P∈ P(Ohm)Fωt，P，Pt（ωt）≤ ε对于某些ε>0。函数F的示例包括测量空间之间的各种距离，例如F（ωt，P，Q）=kP- QkT V.示例3.2。让我们在一个示例上勾画另一个指定度量集P的过程：P确定一个具有未知参数的概率度量的参数族。考虑一个无摩擦的市场模型Ohm = [0, 1]. 股票价格由S=1和S（ω）=2ω给出的假设。我们想指定集P，这样在每个度量值P下∈ P股票价格为二叉树模型，其中初始股票价格过程S=1；股票价格以概率p上涨∈ [0.3，0.7]并在[1.4，1.6]中取值，或者股价下跌并在[0.4，0.6]中取值。这可以建模如下：SetOhm:= [0.4, 0.6] ∪ [1.4，1.6]，S（ω）=ω和定义：=pδu+（1- p） δdd∈ [0.4，0.6]，u∈ [1.4，1.6]，p∈ [0.3, 0.7];其中，通过δx，我们表示所有质量都在x中的狄拉克量度。

在每项措施下∈ P市场模型S在P下是无套利的；事实上，备注2.7中的无套利条件在本例中非常正确。最后，我们需要证明图（P）是解析的。但很明显，它是依次关闭的；由于P是紧度量空间的子集，因此它也是闭的，hencealso分析。[2]中的第2.3节对集合P.4单周期模型4.1 SetupLet的构造进行了更详细的讨论(Ohm, F） P是一个可测空间，P可能是其上的一组非支配概率测度。固定函数ψ：Ohm ×Rd→ R∪ {-∞} 并考虑优化问题∈HinfP公司∈政治公众人物ψ（h）; （4.1）此处的策略集仅为H=Rd。假设4.1。映射ψ：Ohm ×Rd→ R∪ {-∞} 满意度（1）地图x 7→ ψ（ω，x）对于所有ω都是上半连续的∈ Ohm 和映射（ω，x）7→ ψ（ω，x）是F B（Rd）-可测量。（2） 存在一个常数C∈ R使得ψ（ω，x）≤ C表示所有ω∈ Ohm, x个∈ Rd；（3） 我们有那个infP∈PEP[ψ（0）]>-∞.备注4.2。请注意，假设4.1（1）比涉及集合D的假设2.2（1）弱得多 RDT满足电网条件；另见引理5.9。此外，在单周期模型中，我们不需要可测空间上的任何结构性质(Ohm, F） 也不在概率测度集P上。特别是，我们没有假设映射（ω，x）7→ ψ（ω，x）是下半解析的。在多周期模型中，为了确保动态规划过程中出现的映射具有较低的半解析性，需要更强的假设2.2，以便可以应用可测量的截面结果；见提案证明5.1中的（3）。我们在以下无套利条件下工作：=h类∈ HΨ∞（h）≥ 0 P-q.s。= {0}. （4.2）定理4.3。让无套利条件（4.2）和假设4.1成立。然后就有了一个战略∈ Rd这样的INFP∈政治公众人物ψ（bh）= suph公司∈RdinfP∈政治公众人物ψ（h）.

（4.3）定理4.3的证明将在以下第4.2.4.2小节中提供一个周期优化问题的证明。我们用来证明一个周期优化问题的[28]的主要结果如下：命题4.4。设f:Rm×Rn→ R∪ {-∞} 适当，上半连续K：={x∈ Rn | f∞（0，x）≥ 0} = {0}. 然后函数p（u）=supx∈Rnf（u，x）是适当的，上半连续的，并且对于每个u∈ dom（p）存在一个最大化子x（u）。此外，我们有p∞（u） =supx∈Rnf公司∞（u，x），只要u∈ dom（p∞).证据这只是对[28，定理3.31，p.93]和[28，定理1.17，p.16]的总结。考虑函数Φ：h 7→ 在fP中∈PEP[ψ（h）]。观察Φ作为上半连续函数的一部分是上半连续的。它也是正确的，即不等同于-∞, 根据假设4.1（3）。此外，我们还有以下几点。引理4.5。设ψ：Ohm ×Rd→ R∪ {-∞} 满足假设4.1。然后ψ∞（ω，h）≤ 0和Φ∞（h）≤ infP公司∈PEP[ψ∞（h） ]≤ 0ω ∈ Ohm, h类∈ Rd.此外，如果无套利条件（4.2）成立，则Φ∞（h） =0<==> Ψ∞（h） =0 P-q.s。<==> h=0。证据取Φ表达式中n的极限∞与服用infn相同∈N、 通过单调收敛定理，如ψ≤ C根据假设，我们有Φ∞（x） =infn∈Nsupδ>n，| x-y |<nδinfP∈政治公众人物ψ（δy）≤ infP公司∈品脱Fn∈NEP公司supδ>n，| x-y |<nΔψ（δy）= infP公司∈政治公众人物画→∞supδ>n，| x-y |<nΔψ（δy）= infP公司∈政治公众人物Ψ∞（十）.由于ψ从上面是一致有界的，我们有ψ∞≤ 0，通过上述不等式也意味着Φ∞≤ 0、特别是Φ∞= 0表示ψ∞= 0 P-q.s，因此定义为h∈ K、 无套利条件（4.2）现在意味着h=0。对于另一个方向，设h=0。然后作为ψ≤ C和infP∈PEP[ψ（0）]>-∞ 假设我们有Φ∞（0）=limn→∞supδ>n，| y |<nδinfP∈政治公众人物ψ（δy）≥ 画→∞supδ>nδinfP∈政治公众人物Ψ(0)= 0、备注4.6。

注意，在引理4.5中，假设映射x 7→ ψ（ω，x）对于所有ω都是上半连续的∈ Ohm 没有必要。定理4.3的证明。通过无套利条件（4.2）和引理4.5，我们可以看到命题4.4的条件完全满足f≡ Φ，它给出了amaximizerbh的存在性，如假设4.1（3）suph∈RdΦ（h）=suph∈RdinfP∈PEP[ψ（h）]≥ infP公司∈PEP[ψ（0）]>-∞.5多周期模型我们用ωt表示t￠ω对（ωt，￠ω）∈ Ohmt+1，其中ωt∈ OhmtandΩ∈ Ohm, 并定义以下映射序列：设置ψT：=ψ，对于T=T- 1.0和ωt∈ Ohmtde FINEΦt（ωt，xt+1）：=infP∈Pt（ωt）EP[ψt+1（ωtt·，xt+1）]，ψt（ωt，xt）：=supx∈RdΦt（ωt，xt，~x）。（5.1）对于每个t∈ {0，…，T- 1} ，用Ht表示所有F自适应Rd值进程的集合Ht：=（H，…，Ht-1); 这些只是H到第一时间步骤的策略限制。同样，对于任何集合D RdTde定义子集Dt RDT是D在第一个t分量上的投影，即第一个dt坐标。我们从以下简单但重要的结果开始。提案5.1。如果ψ满足假设2.2，则对于任何t∈ {0，…，T- 1} 此外，函数ψt+1和Φt满足假设2.2。接下来，以自然的方式确定截至时间t的无套利条件，表示为NA（P）t，表示为映射（ψt），表示为kt：=Ht公司∈ Ht公司Ψ∞t（Ht）≥ 0 P-q.s。= {0}.条件NA（P）是关于一组策略的陈述，因此还不能用来证明我们需要它的东西。我们需要的是无套利条件的本地版本。定义5.2。对于每个t∈ {0，…，T- 1} 和ωt∈ Ohmtde fine a setKt（ωt）：={h∈ Rd |Φ∞t（ωt，0，…，0，h）≥ 0}. （5.2）我们说，如果ωt∈ Ohmt型Kt（ωt）={0}具有P-full度量值。示例5.3。为了简单地勾勒出这种情况的含义，请考虑t=t的无摩擦市场模型- 1，首字母大写x>0，U：（0，∞) → R

在这种情况下，效用定义为ψ（H）：=U（x+PtHt（St+1- St））=ψT（H）。假设效用函数是凹的且在上面有界，我们在假设Inada条件下得到ψ∞T（H）=0，当T（St+1- St）≥ 0和-∞ 否则因此，通过定义，Kt（ωt）={h∈ Rd | h（St+1（ωt，·））- St（ωt））≥ 0 Pt（ωt）- q、 s.}。我们请读者参考[19]，以了解有关该条件的更多详细信息和讨论。提案5.4。让t∈ {0，…，T- 1}. 假设ψt+1符合假设2.2。如果无套利条件NA（P）t+1在时间t+1之前成立，则局部无套利条件成立。有了这个结果，就可以像一步到位的情况一样继续。以下是直接后果。提案5.5。让t∈ {0，…，T-1}. 假设ψt+1满足假设2.2，NA（P）t+1成立。然后对于每个Ht∈ HTSUPX∈RdΦt（ωt，Ht（ωt-1） ，x）>-∞ P-q.s.存在Ft可测量的映射BHT：Ohmt型→ Rd满足Φt（ωt，Ht（ωt-1） ，bht）=ψt（ωt，Ht（ωt-1） ）对于P-q.e.ωt∈ Ohmt、 备注5.6。与优化仅在Rd上的一步情况相比，还有一个额外的技术问题，optimizerbht（ωt），它的逐点存在性可以从第4节的一步情况中获得，是可测的i nωt。对这个所谓的可测选择问题有帮助的一个关键观察结果是引理5.9中的观察结果，即作为假设2.2的直接结果，ψ和Φtar都是正态被积函数。证明我们主要结果的重要步骤是观察到无套利条件NA（P）tup到时间t在动态规划递归下表现良好。提案5.7。让t∈ {0，…，T- 1} 让ψt+1满足2上的Ass umpti。2.