奈特条件下具有离散策略的非洞穴鲁棒优化

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英文标题：
《Nonconcave Robust Optimization with Discrete Strategies under Knightian
  Uncertainty》
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作者：
Ariel Neufeld, Mario Sikic
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study robust stochastic optimization problems in the quasi-sure setting in discrete-time. The strategies in the multi-period-case are restricted to those taking values in a discrete set. The optimization problems under consideration are not concave. We provide conditions under which a maximizer exists. The class of problems covered by our robust optimization problem includes optimal stopping and semi-static trading under Knightian uncertainty.
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中文摘要：
我们研究了离散时间下拟确定性条件下的鲁棒随机优化问题。多周期情况下的策略仅限于在离散集中取值的策略。所考虑的优化问题不是凹的。我们提供了最大化器存在的条件。鲁棒优化问题所涉及的问题包括奈特不确定性下的最优停止和半静态交易。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

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PDF下载：
--> Nonconcave_Robust_Optimization_with_Discrete_Strategies_under_Knightian_Uncertainty.pdf (326.95 KB)

2022-6-1 16:44:14 上传

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关键词：Optimization Mathematical Quantitative Differential Applications

奈特不确定性下离散策略的非洞穴鲁棒优化Ariel Neufeld*MarioSiki'c+2019年4月25日摘要我们研究在不确定时间的准确定条件下的鲁棒随机优化问题。多周期情况下的策略仅限于在离散集中取值的策略。所考虑的优化问题不是凹的。我们提供了最大化器存在的条件。我们的鲁棒优化问题所涉及的问题包括奈特不确定性下的最优交易和半静态交易。非洞穴稳健优化；稳健效用最大化AMS 2010主题分类93 E2 0；49L20；91B161简介我们考虑以下鲁棒随机优化问题∈HinfP公司∈政治公众人物ψ（H）, （1.1）其中H是一组随机过程，代表控制变量，例如交易者的投资组合演化；P是一组建模不确定性的概率度量。本文的目的是建立一类映射ψ的极大值bh的存在性。问题（1.1）被称为稳健优化问题，因为它要求在可能的最坏情况下获得最佳性能，由概率测度P建模∈ P、 我们将在第3节中提供集合P的一个示例；另见【2】。本文的重点是分析映射ψ不一定是凹的情况。凹函数具有许多特性，使其易于使用。一个重要的特性是，如果它们的域具有非空的内部，则它们是局部Lipschitz连续的，这使得它们能够适应稳健金融中开发的技术，如[7，5]。这使得我们能够通过在一组可数的点上知道函数值来评估函数值，这与所考虑的函数无关。

这个性质，知道一个可数函数就足够了*新加坡南洋理工大学数学科学系，ariel。neufeld@ntu.edu.sg.感谢NAP赠款、ETH RiskLab和瑞士国家基金会赠款SNF 200020\\U 172815提供的财政支持。+马里奥苏黎世大学金融和保险中心。sikic@bf.uzh.ch.number对问题的分析至关重要；见【19】。尽管该近似结果对于非洞穴函数仍然有效，参见例如[29]，但通常取决于函数。由于这个原因，我们通过假设一种离散性质，在映射ψ上施加这个性质。虽然我们对这个问题的表述相当笼统，但我们将提供一些例子来说明非空腔市场模型在金融中自然产生。例如，具有整数头寸的半静态交易、最优停止和最优清算问题以及非流动性模型。在数学金融的某些问题中，我们的离散性假设也是很自然的。我们在Bouchard和Nutz[7]引入的健壮环境中工作。设计该模型是为了能够将动态规划技术应用到该模型中；见【5】。我们将遵循[13]中的动态规划公式。当考虑鲁棒动态规划过程时，如[20]中鲁棒效用最大化问题所述，可测量性是建立积极结果的主要障碍。稳健的动态规划步骤从广义上考虑：（1）在各种措施下采取有条件的期望，即采取其中的一种，以及（2）最大化。我们正在考虑的可测量性是mapψ的较低分析性。

为了证明第一步产生的是一个较低的半解析函数，需要能够通过其函数值的可数个近似函数。这甚至不适用于凹函数，除非假设域有一个非空的内部，这是[20]中的一个假设，但在[19]中也有明确的说明。因此，在[19]中考虑的凹形情况下，采取条件期望的步骤（1）起作用，因为采取条件期望的操作保持了函数的凹性，就像采取函数一样；步骤（2）有效，因为在一个参数中最大化函数时，凹度也会保持不变。即使在本文考虑的设置中，最大化步骤也有效，因为我们假设了一个适当的无套利条件，然而步骤（1）失败了，条件期望的最小值不需要是可测量的。然而，在凹的情况下，人们可以推断我是从凹中获得的，这里的条件期望没有任何可以利用的属性。考虑无摩擦市场模型时，我们假设的无套利条件比稳健的无套利条件强。我们没有考虑金融市场的具体模型和相应的无套利条件，而是选择了一种非常抽象的方法，当然，强无套利条件。然而，我们通过讨论各种例子和为手头的对象提供直觉来激励我们的选择。动态规划是一种用一系列一步决策问题代替多步决策问题的方法。如果一个人能够解决，即证明一步优化问题的优化器的存在，那么通过使用这些一步优化器，他就可以在原始问题中得到存在。

获得一步问题存在性的一种方法，在开创性的论文【24】和【20】中都采用了这种方法，即以一步问题中策略集紧凑的方式设置问题。事实上，在适当的无套利条件下，将效用函数定义在正半线上的无摩擦市场模型意味着这种紧凑性，直至预测范围内的投影。我们选择了同样的方法。这种紧致性要求，在[28]中称为局部一致的局部水平有界性，是由函数ψ上的ASSUMING ARECSSION条件施加的。我们还参考了[22]，其中在单个priorconvex最小化中，提供了衰退方向上更温和的条件。文献中已经考虑了鲁棒效用最大化。在离散时间中，最接近我们工作的是[19]。这里，在每个ω前面的映射ψ（ω，·）上假设凹性∈ Ohm. 关于在一个不确定的框架中鲁棒效用最大化问题的更多结果，我们参考了[20，2，6，8，11，14，16，17，18，31]。对于鲁棒最优停止问题，我们参考了文献[3，4，21，12]。此外，在【23、9、10、25、26】中考虑了经典设置中无模型不确定性的不相容性最大化问题。据我们所知，尚未考虑在非支配环境下非金融市场的稳健效用最大化。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了概念，列出了对ψ的假设，并陈述了主要结果。第3节提供了示例。在第四节中，我们介绍并解决了相应的单周期最大化问题。

在第5节中，我们介绍了动态编程方法所需的概念，并解释了为什么这会导致优化问题（1.1）中存在最大化器。然后，证明分为几个步骤，主要是利用下半解析函数理论。符号对于任意向量x∈ RdT，写为x=（x，…，xT-1） ，其中xi∈ Rd对于每个i，我们用xt表示对前t个条目的限制：=（x，…，xt-1). 福里∈ RdT，我们用x·y表示RdT上通常的标量积。2优化问题let T∈ N表示固定的时间范围，并让Ohm成为一个抛光空间。表示为Ohmt： =Ohmt t=0，1，…，的t倍笛卡尔积，T，这里我们使用约定Ohm是s ingleton。设F=（Ft）t=0,1，。。。，Twhere Ft：=TPB(Ohmt） Pis是Borelσ-字段B的通用完成(Ohmt） ；此处B(Ohmt） P结束P-完成B(Ohmt） 和集合M上的P范围(Ohmt） 上的所有概率度量(Ohmt、 B类(Ohmt） ）。此外，定义(Ohm, F） ：=(OhmT、 英尺）。这起到了我们最初可测量空间的作用。每t∈ {0，1，…，T- 1} 和ωt∈ Ohmtwe fix非空集Pt（ωt） M级(Ohm)概率测度；Pt（ωt）表示给定状态ωt的t+1周期的可能规律(Ohm) 用通常的拓扑诱导弱收敛，使其成为一个波兰空间；见【5，第7章】。我们假设对于每个tgraph（Pt）：={（ωt，P）|ωt∈ Ohmt、 P∈ Pt（ωt）}是Ohmt×M(Ohm).回想一下，如果波兰空间的子集是Borel可测映射下（可能不同）波兰空间的Borel子集的图像，则该子集称为分析（见[5，第7章]）；特别是，如果图（Pt）为Borel，则满足上述假设。

解析的集合图（Pt）提供了一个普遍可测的核Pt：Ohmt型→M级(Ohm) 使得Pt（ωt）∈ 所有ωt的Pt（ωt）∈ Ohmt根据扬科夫·冯·诺依曼定理，见[5，命题7.49，p.182]。给定这样一个内核Ptfor每个t∈ {0，1，…，T- 1} ，我们可以定义概率度量POhm byP（A）：=ZOhm· · ·ZOhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT-1.dωT）。P（dω），A∈ F、 其中，我们将ω：=ωT：=（ω，…，ωT）写入Ohm. 我们用P=P表示如上所述的概率测量 · · ·  PT公司-1、对于多期市场，我们考虑setP：={P · · ·  PT公司-1 | Pt（·）∈ Pt（·），t=0，T- 1}  M级(Ohm),表示法律不确定性的概率度量，其中在上述定义中，每个Pt：Ohmt型→ M级(Ohm) 是普遍可测量的，因此Pt（ωt）∈ 所有ωt的Pt（ωt）∈ Ohmt、 我们会经常翻译(Ohmt、 Ft）作为的子空间(Ohm, F） 按以下方式。任意集A Ohmt可以扩展到OhmT通过添加（T- t） 产品Ohm, i、 e.AT：=A×Ohm× · · · × Ohm OhmT、 然后，对于每个测量值，P=P · · ·  PT公司-1.∈ P、 可以将度量值Pton关联起来(Ohmt、 Ft），通过设置Pt:=P，使Pt【A】=P【AT】 · · ·  Pt公司-1、我们称集合为a Ohm P-极性if适用于所有P∈ P存在AP∈ F使A APand P[AP]=0，如果该性质在P极集合外成立，则表示一个性质保持P-准肯定，或简单地保持P-q.s；我们将使用P-q.a.ω（准all）和P-q.e.ω（q uasievery）来表示P-q.s。。A映射ψ：Ohm ×RdT→如果对应的次ρψ：Ohm => RdT×R由次ψ（ω）定义=（x，y）∈ RdT×Rψ（ω，x）≥ y在集值映射的意义上是闭值的和F-可测量的，请参见[28，定义14.1和定义14.27]。备注2.1。

我们指出，我们对正态被积函数ψ的定义不同于优化中的经典被积函数ψ，例如，【28，第14章】中定义的，因为我们的地图-ψ满足正态整数的经典定义。由于我们正在寻找函数的最大值，而不是经典优化问题中的最小值，因此我们对正常函数的定义适合我们的设置。注意，当且仅当functionx 7→ ψ（ω，x）对于每个ω都是上半连续的；见[28，定理1.6]。根据[28，推论14.34]，ψ相对于F是（联合）可测量的 B（RdT）和B（R）。在数学金融中最普遍的正规被积函数的经典示例是Caratheodory地图；参见【28，示例14.29】。用H表示所有F适应Rd值过程的集合H：=（H，…，HT-1） 离散时间指数t=0，T- 1、我们的目标是研究以下优化问题∈HinfP公司∈PEP[ψ（H，…，HT-1） ]，（2.1），其中ψ：Ohm ×RdT→R是F-可测正规被积函数。回想一下，函数f从波兰空间的Borel子集到[-∞, ∞] 如果集合{f<c}对所有c都是解析的，则称为下半解析的∈ R尤其是任何Borelfunction都是下半解析的。此外，回想一下，任何分析集都是通用σ场的一个元素，参见例如[5，p.171]。A函数f:Rn→ R∪ {-∞} 称为适当的iff（x）>-∞ 对于某些x∈ 注册护士。函数f:Rn的域dom f→ R∪ {-∞} 由DOM f定义：={x∈ Rn | f（x）>-∞}.有关可测性、选择定理和优化理论的不同概念的更多详细信息，请参阅[5]和[28]。我们说一组D RDT确定电网条件ifinfi∈{0，…，T-1} infx，y∈D、 xi6=易| xi- yi |>0。（2.2）以下条件在本文件中均有效。假设2.2。

映射ψ：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 满足以下条件：（1）存在 rdt满足网格条件，使所有ω∈ Ohm , ψ（ω，x）=-∞ 对于所有x/∈ D（2） 存在一个常数C∈ R使得ψ（ω，x）≤ C表示所有ω∈ Ohm, x个∈ RdT；（3） 映射（ω，x）7→ ψ（ω，x）为低s电磁分析；（4） 零进程0∈ H满意度影响∈PEP[ψ（0）]>-∞.备注2.3。根据假设2.2（1），根据施加在setD上的网格条件（2.2），地图x 7→ ψ（ω，x）对于每个ω都是上半连续的∈ Ohm. 事实上，我们在关键引理5.9中证明了ψ是F-正规被积函数。备注2.4。假设2.2（4）确保0∈ D、 备注2.5。乍一看，假设2.2（2）可能具有相当大的限制性。[20，例2.3]表明，对于任何（非减量，严格凹）效用函数U从上面是无界的，我们可以构造一个无摩擦市场S和一组概率测度P，使得U（x）：=supH∈HinfP公司∈PEP[U（x+HoST）]<∞对于任何初始资本x>0，但没有maximizerbHx；这里我们用HoST表示随机积分，即HoST=PT-1t=0hHt，St+1- Sti。因此，在特殊情况ψ（H）：=U（x+HoST）下，效用函数的存在可能会因为没有从上面进行边界而失效。然而，由于假设2.2（2）足以为我们的优化问题建立最大化子的存在性；见【8】。我们现在定义了地平线函数ψ∞: Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 任何函数ψ：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 按ψ∞（ω，x）=limn→∞supδ>n，| x-y |<nΔψ（ω，δy）映射ψ∞（ω，·）是正齐次且上半连续的，参见[28，定理3.21]。如果我们假设ψ是正态的，那么ψ也是正态的∞, 见[28，练习14.54（a）]。在本文中，我们施加以下条件k：={H∈ H |ψ∞（H，…，HT-1) ≥ 0 P-q.s.}={0}（NA（P）），这意味着对于任何H∈ HH小时∈ K<==> H=0 P-q.s。我们称之为无套利条件。

本文的主要定理如下。定理2.6。设ψ为满足假设2.2的m ap。如果无套利条件NA（P）成立，则存在一个过程BH∈ H s uch thatinfP公司∈PEP[ψ（bH，…，bHT-1） ]=supH∈HinfP公司∈PEP[ψ（H，…，HT-1)]. （2.3）我们将在第5节中给出该定理的证明。备注2.7。让我们来讨论为什么我们将条件K={0}称为无套利条件。首先考虑由ψ（H）=HoST给出的无摩擦市场模型。在这种情况下，条件K={0}写为asHoST≥ 0 P-q.s==> H=0 P-q.s。该条件严格强于稳健无套利条件，其中一个条件为：HoST≥ 0 P-q.s.意味着HoST=0 P-q.s。在P={P}的情况下，即在支配设置中，HoST=0意味着H=0的要求被称为“市场上没有冗余资产”。因此，我们在无摩擦市场中的无套利条件需要经典的无套利条件，此外，不存在大量资产。此外，在一般的非支配条件下，当限制于无摩擦市场模型时，条件K={0}通常严格强于鲁棒无套利条件。在有摩擦的市场模型中，形式为ψ（H）的无套利条件≥ 0 P-q.s==> ψ（H）=0 P-q.s.被证明不足以建立资产定价和对偶的基本定理，即使在讨论凸交易成本时也是如此。因此，即使在具有比例交易成本的市场模型中，也可以讨论弱无套利条件、严格无套利条件和稳健无套利条件；见【15】。事实证明，只有最后一个概念才有足够的说服力来暗示资产定价的基本定理。