多目标风险规避两阶段随机规划问题

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（MP（w））的拉格朗日函数，中心为？u（k），？λ（k），指数集为LisL（u，λ，θ，η，τ，θ，σ，ψ，ν）（A.6）=Xi∈Ohmθi+η-xi∈Ohm%ui- u（k）i-xi∈Ohm%λi-(R)λ（k）i+xi∈OhmX个`∈Lτ（`）ifi（u（`）i，λ（`）i，w）+gTu（`）i（ui- u（`）i）+gTλ（`）i（λi- λ（`）i）- θi+X个`∈Lθ（`）-β（u（`），w）+Xi∈OhmρTu（`）i（ui- u（`）i）- η!- σTXi∈Ohmpiλi+ψT1-xi∈Ohmui+xi∈OhmνTiui。双目标函数由h（τ，θ，σ，ψ，ν）=supu定义∈LJ，λ∈LM，θ∈五十、 η∈RL（u，λ，θ，η，τ，θ，σ，ψ，ν），对偶问题ismin h（τ，θ，σ，ψ，ν）（D- MP（w））s.t.τ（`）i≥ 0, θ(`)≥ 0, σ ∈ RM，ψ∈ RJ，νi∈ RJ+。注意，（u（n+1）、λ（n+1）、θ（n+1）、η（n+1））是（MP（w））的最佳解决方案，中心为u（k）、？λ（k）和索引集L，以及τ（n+1）=（τ（`，n+1）i）i∈Ohm,`∈五十、 θ（n+1）=（θ（`，n+1））`∈五十、 σ（n+1），ψ（n+1），ν（n+1）=（ν（n+1）i）∈Ohm是（D）的相应最优解- MP（w））。θ上拉格朗日函数的最大化∈ 土地η∈ R分别给出（A.2）和（A.3）作为对偶问题的约束条件。λ上theLagrangian的最大化∈ LM给出了一阶条件（A.4）。最后，拉格朗日覆盖u的最大化∈ LJ满足一阶条件（A.5）。引理A.2。以下陈述适用于每个i∈ Ohm:（a） Asε→ 0，xi- σ（n+1）→ 0.（b）（“xi”，“yi”）∈ 金融机构。（c） （\'x，y）将是集合{（x，y）的元素∈ F | pi（xi- E[x]=0，我∈ Ohm} asε→ 0，即（\'x，\'y）∈ F和pi（(R)xi- E[(R)x]）→ 每i 0∈ Ohm asε→ 0.证明。（a） 我们有∈ Ohm,%xi∈Ohmλ（n+1）i-(R)λ（k）i≤ φ（n+1，k）。（A.7）作为ε→ 0，我们有n→ ∞ Ruszczy\'nski（2006）中的引理7.17，φ（n+1，k）→ 因此，通过（A.4），（A.1），（A.7），（A.8），我们得到x`∈Lτ（`，n+1）ipix（`）i- σ（n+1）pi=pi（(R)xi- σ（n+1））→ 0asε→ 0。然后，声明如下。（b） 在算法3的第6行，我们有（x（`）i，y（`）i）∈ Fifor每i∈ Ohm 和`∈ 五十、 由于fi是凸的，τ（`，n+1）i≥ 0和P`∈Lτ（`，n+1）i=1，我们有（\'xi，\'yi）∈ Fifor每i∈ Ohm.（c） 请注意（\'x，\'y）∈ F对于每ε>0。

由于F是一个闭集，该点的极限为ε→ 0也是F的一个元素。另一方面，对于每个i∈ Ohm, xi- σ（n+1）→ 0为ε→ 第（a）部分为0。因此，Eσ（n+1）- \'\'x=圆周率∈Ohmpi（σ（n+1）- xi）→ 0为ε→ 因此∈ Ohm,pi（(R)xi- E[(R)x]=π（(R)xi）- σ（n+1））+piEhσ（n+1）- xi→ 0asε→ 0.回想一下ρu（`）=（ρu（`），ρu（`）I）是-u（`）处的β（·，w），对于每个`∈ 五十、 从（2.1）中，存在一些u（`）∈ A、 `∈ 五十、 使得ρu（`）i=-w·u（`）i（A.9）代表所有i∈ Ohm. 由于A是凸的，θ（`）≥ 0和P`∈Lθ（`）=1，则'u：=X`∈Lθ（`）u（`）=X`∈Lθ（`）u（`），X个`∈Lθ（`）u（`）I！∈ A、 （A.10）引理A.3。以下内容适用：（a）对于每个i∈ Ohm,θ（n+1）i=与u（n+1）i·（C'xi+Qi'yi）i+pi（λ（n+1）i）T'xi。（A.11）（b）对于每个i∈ Ohm,θ（n+1）i- fi（u（n+1）i，λ（n+1）i，w）≤ ε（n+1）。（A.12）此外，Xi∈Ohmθ（n+1）i+η（n+1）-xi∈Ohmfi（u（n+1）i，λ（n+1）i，w）+β（u（n+1），w）≤ ε（n+1）。（A.13）（c）η（n+1）+β（u（n+1），w）≤ ε（n+1）。（A.14）（d）-w·'u是ε（n+1）-次梯度-u（n+1）下的β（·，w），即，对于每u∈ MJ，- β（u，w）≤ -β（u（n+1），w）+ε（n+1）-xi∈Ohm重量（ui- u（n+1）i）·ui。（A.15）证明。考虑（MP（w）），中心为？u（k），？λ（k）和索引集L.（a）。注意，约束（5.11）可以重写为θi≤ 带ui·（Cx（`）i+Qiy（`）i）i+piλTix（`）i，我∈ Ohm, ` ∈ Lsincefi（u（`）i，λ（`）i，w）=与u（`）i·（Cx（`）i+Qiy（`）i+pi（λ（`）i）Tx（`）i=w·（Cx（`）i+Qiy（`）i），gλ（`）i=pix（`）i。

从约束（5.11）的互补松弛条件出发，利用（A.1），（A.2），我们得到θ（n+1）i=X`∈Lθ（n+1）iτ（`，n+1）i=X`∈L带u（n+1）i·（Cx（`）i+Qiy（`）i）i+pi（λ（n+1）i）Tx（`）iτ（`，n+1）i=与u（n+1）i·（C'xi+Qi'yi）i+pi（λ（n+1）i）T'xi。因此，（A.11）如下。（b） 注意，θ（n+1）i- fi（u（n+1）i，λ（n+1）i，w）- φ（n+1，k）≤xi∈Ohmθ（n+1）i+η（n+1）-xi∈Ohmfi（u（n+1）i，λ（n+1）i，w）+β（u（n+1），w）- φ（n+1，k）≤xi∈Ohmθ（n+1）i+η（n+1）-xi∈Ohmfi（(R)u（k）i，(R)λ（k）i，w）+β（(R)u（k），w）- φ（n+1，k）≤xi∈Ohmθ（k+1）i+η（k+1）-xi∈Ohmfi（(R)u（k）i，(R)λ（k）i，w）+β（(R)u（k），w）- φ（k+1，k）≤ ε.这里，第一个不等式是自θ（n+1）i≥ fi（u（n+1）i，λ（n+1）i，w）对于每个i∈ Ohm 和η（n+1）≥-β（u（n+1），w），第二个不等式遵循sinceF（n+1）=Xi∈Ohmfi（u（n+1）i，λ（n+1）i，w）- β（u（n+1），w）≥\'F（k+1）=Xi∈Ohmfi（(R)u（k）i，(R)λ（k）i，w）- β（(R)u（k），w）由于算法3第14行中的中心更新规则，第三个不等式如下，因为索引集L={1，…，k}和中心（(R)u（k），(R)λ（k））的主问题的最优值小于索引集L={1，…，n}和中心（(R)u（k），(R)λ（k））的主问题的最优值。最后，最后一个不等式是近似停止条件（5.17）。因此，（A.12）和（A.13）如下。（c） 与（b）部分类似，我们可以证明（A.14）是成立的。（d） 注意，约束（5.12）可以重写为η≤xi∈OhmρTu（`）iui，` ∈ Lsince公司-β（u（`），w）=π∈OhmρTu（`）iu（`）i通过次梯度的定义。根据互补松弛条件，η（n+1）=X`∈Lθ（`）Xi∈OhmρTu（`）iu（n+1）i=Xi∈Ohmu（n+1）iX`∈Lθ（`）ρTu（`）i.（A.16）从（A.9），（A.10），（A.16）得出η（n+1）=-wTXi∈Ohmu（n+1）i·'ui=-wTEu（n+1）[μ]。（A.17）对于每u∈ MJ，-β（u，w）≤ -wTEu[(R)u]=-wTEu（n+1）[μ]+wTEu（n+1）[μ]- Eu[(R)u]= -wTEu（n+1）[μ]-xi∈Ohm重量（ui- u（n+1）i）·ui≤ -β（u（n+1），w）+ε（n+1）-xi∈Ohm重量（ui- u（n+1）i）·ui，其中第一个不等式来自（2.1），最后一个不等式来自（A.14）和（A.17）。因此，权利要求如下。引理A.4。

以下各项适用：（a）为ε→ 0，wTEu（n+1）[立方+立方]- β（u（n+1），w）→ P（w），Xi∈Ohmfi（u（n+1）i，λ（n+1）i，w）- β（u（n+1），w）→ P（w）。（b） 设z（w）是probleminfz的极小值∈R（C’x+Q’y）wTz。然后，wTz（w）→ P（w）为ε→ 0.证明。（a） 请注意XI∈Ohmθ（n+1）i=Xi∈Ohmwu（n+1）i·（C'xi+Qi'yi）i+pi（λ（n+1）i）T'xi= wTEu（n+1）[碳x+质量y]+Xi∈Ohmpi（λ（n+1）i）T'xi，（A.18），其中第一个等式来自（A.11）。我们可以重写PI∈Ohmpi（λ（n+1）i）T’xiasXi∈Ohmpi（λ（n+1）i）T'xi=xi∈Ohmpi（λ（n+1）i）T（(R)xi- σ（n+1））+Xi∈Ohmpi（λ（n+1）i）Tσ（n+1）（A.19）=Xi∈Ohmpi（λ（n+1）i）T（(R)xi- σ（n+1）），因为σ（n+1）是确定性的，Eλ（n+1）= 0、注意xi∈Ohmpi（λ（n+1）i）T（(R)xi- σ（n+1））≤xi∈Ohmpi |λ（n+1）i | T | xi- σ（n+1）|，（A.20），其中| z |：=（| z |，…，| zJ |）表示z∈ RJ。通过Ruszczy'nski（2006）中定理7.16的证明，我们得到了|（λ（n+1）i）j |≤~C每i∈ Ohm, j∈ J，其中▄C>0是某个常数。使用（A.19）和（A.20），我们得到xi∈Ohmpi（λ（n+1）i）T'xi≤CXi∈Ohm矿井xi- σ（n+1）. （A.21）因此，引理A.2（A）、（A.18）和（A.21），xi∈Ohmθ（n+1）i- wTEu（n+1）[立方+立方]=xi∈Ohmpi（λ（n+1）i）T'xi→ 0（A.22）为ε→ 另一方面，通过（A.13）并使用θ（n+1）i，η（n+1）是fi（u（n+1）i，λ（n+1）i，w）的上近似值，-β（u（n+1），w），我们分别得到0≤xi∈Ohmθ（n+1）i- β（u（n+1），w）-xi∈Ohmfi（u（n+1）i，λ（n+1）i，w）+β（u（n+1），w）（A.23）≤xi∈Ohmθ（n+1）i+η（n+1）-xi∈Ohmfi（u（n+1）i，λ（n+1）i，w）+β（u（n+1），w）≤ ε（n+1）。由（A.8），？ε（n+1）=ε+φ（n+1，k）→ 0为ε→ 根据Ruszczy\'nski（2006）中的引理7.17，作为ε→ 0，Pi∈Ohmθ（n+1）i+η（n+1）收敛到（D（w））的最优值，即P（w）。因此，Pi∈Ohmfi（u（n+1）i，λ（n+1）i，w）-β（u（n+1），w）也收敛到P（w）作为ε→ 最后，通过三角不等式，（A.22）和（A.23）收益率wTEu（n+1）[立方+立方]- β（u（n+1），w）-xi∈Ohmfi（u（n+1）i，λ（n+1）i，w）+β（u（n+1），w）≤xi∈Ohmpi（λ（n+1）i）T'xi+ ε（n+1）。从（A.22）开始，右侧收敛为零，即ε→ 0

我们得出结论，wTEu（n+1）[C'x+Q'y]-β（u（n+1），w）也收敛到P（w）作为ε→ 0。（b）通过（2.3），我们得到了wtz（w）=supu∈MJ公司wTEu[立方+立方]- β（u，w）= supu∈LJ（重量u[立方+立方]- β（u，w）| Xi∈Ohmui=1，ui∈ RJ+，我∈ Ohm).相应的拉格朗日对偶问题由infψ给出∈RJ，ν∈LJ+supu∈LJwTEu[立方+立方]- β（u，w）+ψT1-xi∈Ohmui+xi∈OhmνTiui！。u以上的优化，一阶条件w·（C‘xi+Qi’yi）+ρui- ψ+νi=0，我∈ Ohm, （A.24）对于某些ρu=（ρu，…，ρuI）∈ u(-β） （u，w）。我们认为，（u（n+1）、ψ（n+1）、ν（n+1））在近似意义上满足（A.24）。请注意，我们可以将（A.5）改写为- 2%（u（n+1）i- u（k）i）+X`∈Lτ（`，n+1）iw·（Cx（`）i+Qiy（`）i）-X个`∈Lθ（`，n+1）w·u（`）i- ψ（n+1）+ν（n+1）i=-2%（u（n+1）i- u（k）i）+w·（C'xi+Qi'yi）- w·'ui- ψ（n+1）+ν（n+1）i（A.25）=0。如（A.15）所示，-w·'u=-w·（\'u，…，\'uI）是ε（n）-次梯度-u（n+1）时的β（·，w）。因此，存在的次梯度ρu（n+1）为-β（·，w）在u（n+1）处，对于每个n，使得-w·'u- ρu（n+1）→ 0为ε→ 另一方面，通过（A.8），u（n+1）i- u（k）i→ 0为ε→ 因此，从（A.25），（A.24）可以满足（u（n+1），ψ（n+1），ν（n+1））和-w·'u大致意思是w·（C'xi+Qi'yi）- w·'ui- ψ（n+1）+ν（n+1）i→ 0和wTEu（n+1）[立方+立方]- β（u（n+1），w）- wTz（w）→ 0在ε极限内→ 定理5.6的证明。请注意，x（w）=x和y（w）=y，其中x和y由（A.1）定义。部分（a）和（c）直接来自引理a.2。第（b）部分直接源自z（w）的定义。引理A.4的第（d）部分。B定理5.14的证明在定理5.14的设置中，设（m（n+1），λ（n+1），θ（n+1），η（n+1））是指数集L={1，…，n}的（m P（v））的最优解。

回想一下f（k）=Xi∈Ohm~fi（m（k）i，λ（k）i）-β（m（k））-xi∈Ohm（m（k）i）Tv，\'F（k）=Xi∈Ohmfi（(R)m（k-1） i，’λ（k-1） （一）-β（(R)m（k-1)) -xi∈Ohm（(R)m（k-1） i）电视。让我们重新定义φ（n+1，k）：=Xi∈Ohm%m（n+1）i- \'m（k）i+xi∈Ohm%λ（n+1）i-(R)λ（k）i,ε（n+1）：=ε+φ（n+1，k）。此外，设“x=（”xi）i∈Ohm, \'y=（\'yi）i∈Ohm定义为“xi：=X”`∈Lτ（`，n+1）ix（`）i，\'yi：=X`∈Lτ（`，n+1）iy（`）i，（B.1）对于每个i∈ Ohm.引理B.1。以下关系适用于（m（n+1）、λ（n+1）、θ（n+1）、η（n+1）、τ（n+1、θ（n+1）、σ（n+1）、ψ（n+1）、ν（n+1））：X`∈Lτ（`，n+1）i=1，我∈ Ohm, （B.2）X`∈Lθ（`，n+1）=1，（B.3）%（λ（n+1）i-(R)λ（k）i）=X`∈Lτ（`，n+1）igλ（`）i- σ（n+1）pi！，我∈ Ohm （B.4）- 2%（m（n+1）i- \'m（k）i）+X`∈Lτ（`，n+1）igm（`）i+X`∈Lθ（`，n+1）ρm（`）i- ψ（n+1）1+ν（n+1）i=0，我∈ Ohm. （B.5）证明。（MP（v））的拉格朗日函数，中心为？u（k），？λ（k），指数集为LisL（m，λ，θ，η，τ，θ，σ，ψ，ν）（B.6）=Xi∈Ohmθi+η-xi∈Ohm%惯性矩- \'m（k）i-xi∈Ohm%λi-(R)λ（k）i+xi∈OhmX个`∈Lτ（`）i~fi（m（`）i，λ（`）i）+gTm（`）i（mi- m（`）i）+gTλ（`）i（λi- λ（`）i）- θi+X个`∈Lθ（`）-β（m（`））+Xi∈OhmρTm（`）i（mi- m（`）i）- η!- σTXi∈Ohmpiλi+ψ1-xi∈OhmmTi+xi∈OhmνTimi。双目标函数由h（τ，θ，σ，ψ，ν）=supm定义∈LJ，λ∈LM，θ∈五十、 η∈RL（m，λ，θ，η，τ，θ，σ，ψ，ν），对偶问题ismin h（τ，θ，σ，ψ，ν）（D- MP（v））s.t.τ（`）i≥ 0, θ(`)≥ 0, σ ∈ RM，ψ∈ R、 νi∈ RJ+。请注意，（m（n+1）、λ（n+1）、θ（n+1）、η（n+1））是（MP（v））的最优解，中心为？m（k），？λ（k）和索引集L，以及τ（n+1）=（τ（`，n+1）i）i∈Ohm,`∈五十、 θ（n+1）=（θ（`，n+1））`∈五十、 σ（n+1），ψ（n+1），ν（n+1）=（ν（n+1）i）∈Ohm是（D）的相应最优解- MP（v））。θ上拉格朗日函数的最大化∈ 土地η∈ R分别给出（B.2）和（B.3）作为对偶问题的约束条件。λ上theLagrangian的最大化∈ LM给出了一阶条件（B.4）。最后，拉格朗日覆盖m的最大化∈ LJ满足一阶条件（B.5）。引理B.2。

以下陈述适用于每个i∈ Ohm:（a） Asε→ 0，\'xi- σ（n+1）→ 0.（b）（“xi”，“yi”）∈ 金融机构。（c） （\'x，y）最终将是集合{（x，y）的元素∈ F | pi（xi- E[x]=0，我∈ Ohm} asε→ 0表示（\'x，\'y）∈ F和pi（(R)xi- E[(R)x]）→ 每i 0∈ Ohm asε→ 0.证明。这个引理的证明类似于引理A.2的证明。因此，省略它。回想一下ρm（`）=（ρm（`），ρm（`）I）是-m（`）处的▄β（·，w），对于每个`∈ 五十、 从（5.19）中，存在一些u（`）∈ A、 `∈ 五十、 使得ρm（`）i=-所有i的u（`）i（B.7）∈ Ohm. 由于A是凸的，θ（`）≥ 0和P`∈Lθ（`）=1，则'u：=X`∈Lθ（`）u（`）=X`∈Lθ（`）u（`），X个`∈Lθ（`）u（`）I！∈ A、 （B.8）引理B.3。以下内容适用：（a）对于每个i∈ Ohm,θ（n+1）i=（m（n+1）i）T（C'xi+Qi'yi）+pi（λ（n+1）i）T'xi。（B.9）（B）对于每个i∈ Ohm,θ（n+1）i-fi（m（n+1）i，λ（n+1）i）≤ ε（n+1）。（B.10）此外，Xi∈Ohmθ（n+1）i+η（n+1）-xi∈Ohm~fi（m（n+1）i，λ（n+1）i）+~β（m（n+1））≤ ε（n+1）。（B.11）（c）η（n+1）+Иβ（m（n+1））≤ ε（n+1）。（B.12）（d）-u是ε（n+1）-次梯度-在m（n+1）处的β（·），即，对于每m∈ MJf，-β（m）≤ -β（m（n+1））+(R)ε（n+1）-xi∈Ohm（mi- m（n+1）i）T’ui。（B.13）证明。考虑中心为？m（k），？λ（k）和索引集为L.（a）的（MP（v））。注意，约束（5.23）可以重写为θi≤ mTi（Cx（`）i+Qiy（`）i）+piλTix（`）i，我∈ Ohm, ` ∈ Lsince▄fi（m（`）i，λ（`）i）=（m（`）i）T（Cx（`）i+Qiy（`）i）+pi（λ（`）i）Tx（`）i和gm（`）i=Cx（`）i+Qiy（`）i，gλ（`）i=pix（`）i。

从约束的互补松弛条件（5.23）和使用（B.1），（B.2），我们得到θ（n）i=X`∈Lθ（n+1）iτ（`，n+1）i=X`∈L（m（n+1）i）T（Cx（`）i+Qiy（`）i）+pi（λ（n+1）i）Tx（`）iτ（`，n+1）i=（m（n+1）i）T（C'xi+Qi'yi）+pi（λ（n+1）i）T'xi。因此，（B.9）如下。（b） 注意，θ（n+1）i-fi（m（n+1）i，λ（n+1）i）- φ（n+1，k）≤xi∈Ohmθ（n+1）i+η（n+1）-xi∈Ohm（m（n+1）i）Tv-xi∈Ohm~fi（m（n+1）i，λ（n+1）i）+~β（m（n+1））+Xi∈Ohm（m（n+1）i）Tv- φ（n+1，k）≤xi∈Ohmθ（n+1）i+η（n+1）-xi∈Ohm（m（n+1）i）Tv-xi∈Ohm~fi（\'m（k）i，\'λ（k）i）+~β（\'m（k））+Xi∈Ohm（(R)m（k）i）电视- φ（n+1，k）≤xi∈Ohmθ（k+1）i+η（k+1）-xi∈Ohm（m（k+1）i）Tv-xi∈Ohm~fi（\'m（k）i，\'λ（k）i）+~β（\'m（k））+Xi∈Ohm（(R)m（k）i）电视- φ（k+1，k）≤ ε.这里，第一个不等式是自θ（n+1）i≥各i的fi（m（n+1）i，λ（n+1）i）∈ Ohm 和η（n+1）≥-~β（m（n+1）），第二个不等式遵循sinceF（n+1）=Xi∈Ohmfi（m（n+1）i，λ（n+1）i）-β（m（n+1））-xi∈Ohm（m（n+1）i）Tv≥\'F（k+1）=Xi∈Ohmfi（(R)m（k）i，(R)λ（k）i）-β（(R)m（k））-xi∈Ohm（\'m（k）i）tv由于算法4第14行中的中心更新规则，第三个不等式如下，因为索引集L={1，…，k}和中心（\'m（k），\'λ（k））的主问题的最优值小于索引集L={1，…，n}和中心（\'m（k），\'λ（k））的主问题的最优值。最后，最后一个不等式是近似停止条件（5.29）。因此，（B.10）和（B.11）如下。（c） 与（b）部分类似，我们可以证明（b.12）是成立的。（d） 注意，约束（5.24）可以重写为η≤xi∈OhmρTm（`）imi，` ∈ Lsince公司-β（m（`））=π∈OhmρTm（`）im（`）ib由次梯度定义。根据互补松弛条件，η（n+1）=X`∈Lθ（`）Xi∈OhmρTm（`）im（n+1）i=Xi∈Ohmm（n+1）iX`∈Lθ（`）ρTm（`）i.（B.14）从（B.7），（B.8），（B.14），可以得出η（n+1）=-xi∈Ohm（m（n+1）i）T’ui。