多目标风险规避两阶段随机规划问题

，ρm（k）I）∈ m级(-Иβ）（m（k））；10： F（k）←圆周率∈Ohm~fi（m（k）i，λ（k）i）-β（m（k））-圆周率∈Ohm（m（k）i）Tv；11： 如果F（k）<π∈Ohmθ（k）i+η（k）-圆周率∈Ohm（m（k）i）Tv然后12:L← L∪ {k} ；13： 结束if14：如果（k=1）或（k≥ 2和F（k）≥ (1 - γ） \'F（k）+γ（Pi∈Ohmθ（k）i+η（k）-圆周率∈Ohm（m（k）i）Tv）然后15:m（k）← m（k），？λ（k）← λ（k）；16： 其他17:m（k）← \'m（k-1） ，(R)λ（k）←(R)λ（k-1);18： 结束if19：解决主问题。设（m（k+1）、λ（k+1）、θ（k+1）、η（k+1））为最优解；20： （可选）删除主问题解决方案中对偶变量为零的所有切割；21:F（k+1）←圆周率∈Ohmfi（(R)m（k）i，(R)λ（k）i）-β（(R)m（k））-圆周率∈Ohm（(R)m（k）i）Tv；22:untilPi∈Ohmθ（k+1）i+η（k+1）-圆周率∈Ohm（m（k+1）i）Tv=(R)F（k+1）；23：返回\'F（k+1）：最佳值P（v）；（\'m（k），\'λ（k））：一个（D（v））的最优解；接下来，我们提供了计算次梯度gmi，gλi，ρm的方法mi，λifi（mi，λi）函数fi（·，·）在点（mi，λi）处的次微分∈ RJ+×RM和bym级(-β）（m）函数的次微分-m点处的▄β（·）∈ LJ+。在下一个命题中，我们将演示如何计算mi，λifi（mi，λi）和函数的次梯度ρmof-~β(·).提案5.13。（a） 对于i∈ Ohm, 惯性矩∈ RJ+，λi∈ RM，letAi（mi，λi）：=arg min（xi，yi）∈金融机构（mi）T（Cxi+Qiyi）+pi（λi）Txi.然后mi，λifi（mi，λi）=con（Cxi+Qiyi，pixi）|（xi，yi）∈？Ai（mi，λi）o.（b）回想一下，集合A=u∈ LJ | 0∈ R（u）是m的R验收集∈ LJ+，let▄B（m）：=arg maxu∈AXi公司∈Ohm（mi）tuian并假设▄B（m）6=. 然后m级(-β）（m） conu=（u，…，uI）| u∈B（m）o.证明。这个命题的证明类似于命题5.2和5.3的证明。因此，它承诺。5.2.3原始解的恢复原始Benson算法需要问题（P（v））的最优解（x（v），y（v），α（v））。因此，在定理5.14中，我们建议一种从主问题（M P（v））的解中恢复最优原始解的方法。定理5.14。设L={1。

，k}是对偶丛方法最后一次迭代时的指数集，对于某些ε>0，具有近似停止条件（5.29）。设n+1为满足近似停止条件后的第一次下降迭代，并设L={1，…，n}。对于中心为？M（k），？λ（k）且指数集为L的（M P（v）），设τ=（τ（`）i）i∈Ohm,`∈五十、 θ=（θ（`））`∈五十、 σ∈ RM，ψ∈ R、 ν=（νi）i∈Ohm分别为分配给约束（5.23）、（5.24）、（5.25）、（5.26）、（5.27）的拉格朗日双变量，带τ（`）i≥ 0, θ(`)≥0，νi∈ RJ+用于每个i∈ Ohm, ` ∈ 五十、 设（x（`）i，y（`）i）为算法4第6行中每个i的子问题的最优解∈ Ohm 和`∈ 五十、 让τ（n+1）=（τ（`，n+1）i）i∈Ohm,`∈五十、 θ（n+1）=（θ（`，n+1））`∈五十、 σ（n+1），ψ（n+1），ν（n+1）=（ν（n+1）i）∈Ohm是（MP（v））的对偶最优解。设x（v）=（（x（v））i）i∈Ohm, y（v）=（（y（v））i）i∈Ohm定义为（x（v））i：=x`∈Lτ（`）ix（`）i，（y（v））i：=X`∈Lτ（`）iy（`）i.Letα（v）：=inf{α∈ R | v+α1∈ R（C'x+Q'y）}。那么，（x（v），y（v），α（v））是（P（v））在以下意义上的近似最优解：（a）（（x（v））i，（y（v））i）∈ 每个i的F∈ Ohm.（b） v+α（v）1∈ R（Cx（v）+Qy（v））。（c） Asε→ 0，它保持（x（v））i- σ（n+1）→ 每个i 0∈ Ohm.（d） Asε→ 0，它保持α（v）→ P（v）。定理5.14的证明见附录B.5.2.4（LD（v））的解的恢复除了原始最优解（x（v），y（v），α（v）），原始Benson算法还需要对偶问题（LD（v））的非最优解γ（v）（见第4.1节）。因此，在定理5.15中，我们提出了一个从主问题（MP（v））的解中恢复此解的过程。定理5.15。在定理5.14的设置中，设γ（v）=Xi∈Ohmm（n+1）i.（5.30）那么，γ（v）是（LD（v））在以下意义上的近似最优解：作为ε→ 0，有效inf（x，y）∈十、 α∈Rα+infz∈R（Cx+Qy）-v-α1γT（v）z- P（v）→ 0

（5.31）附录C.6计算研究给出了定理5.15的证明。为了检验我们的方法，我们解决了交易成本下的多目标风险规避投资组合优化问题。我们考虑一个具有J个风险资产的单期市场。每个资产j∈ J={1，…，J}具有随机返回rj∈ 五十、 期初成本θjk∈ R资产j的单位，以便代理人购买一个资产k的单位∈ J期末，购买一单位资产的随机交易成本为πjk∈ L资产j的单位。风险规避代理人有资本c∈ 投资于J资产的资产1的R++单位。让xj∈ R+表示代理人购买的资产j的实物单元数；因此，她在此次购买中花费了xjθ1junits的资产1。在期末，代理人观察每项资产的随机回报以及资产之间的随机交易成本。每项资产j的价值为（1+rj）xjan，交易成本为πjk的资产k购买j项资产。让qjk∈ L+表示通过出售部分资产j购买的资产k的物理单位数量。让yk∈ L+表示代理人购买的资产k的物理单位总数，因此yk=Pj∈Jqjk。目标是最小化随机成本向量的风险-y∈ l使用多元凸风险测度R。该问题可以如下公式计算：min z w.R.t.RJ+s.t.z∈ R(-y） Xj公司∈Jθ1jxj=c（1+rji）xj=Xk∈Jπjkiqjki，j∈ J，i∈ Ohmyji=Xk∈Jqkji，j∈ J，i∈ Ohmz∈ RJ，x∈ RJ+，彝语∈ RJ+，qi∈ RJ×J+，我∈ Ohm.请注意，x∈ RJ+是第一阶段，易∈ RJ+，qi∈ RJ×J+，i∈ Ohm 是第二阶段的决策变量。所有计算实验均在一台具有8.00 GB RAM和Intel（R）Core（TM）i7-4790的PC上进行CPU@3.60GHz处理器。

我们使用算法3和4的Matlab实现，其中CVX 1.22用于解决主问题，CPLEX 12.6用于解决子问题。我们生成两类实例，其中资产J的数量为2或3。在这两种情况下，weassume c=1。我们设置θ=1.0815，θ=0.9094。资产1的收益均匀分布在-0.1和0.2，用r表示~ U型[-0.1, 0.2]. 同样，我们假设r~ U型[-0.05、0.1]和r~ U型[-0.15, 0.3]. 假设资产之间的随机交易成本具有以下分布：π~ U[1，1.1]，π~ U[0.9，1]，π~ U[0.9，1]，π~ U[1，1.1]，π~ U[0.8，1]，π~ U[1，1.2]，π=π=π=1。首先，在示例6.1中，我们将我们的对偶束方法与CVX在加权和标量化问题（P（w））上进行了比较。我们的对偶束方法利用了场景分解的优势，而CVX将该问题作为一个标准的凸优化问题来解决，没有分解。示例6.1。我们比较了双束方法和CVX解算器在（P（w））实例上的CPU时间（秒），以及二维和三维多元熵风险度量和不同数量的场景（I）。在每种情况下，我们都使用固定权重向量w。如表1和表2所示，CVX解算器对少量场景的性能优于双束方法。然而，随着场景数量的增加，双束方法的性能超过了CVX解算器。例如，对于表1中的I=10000，由于amemory错误，CVX解算器无法解决该问题。表2中I=500时观察到相同的情况。对于本节的其余部分，我们使用多变量CVaR（见示例2.2）和多变量回归风险度量（见示例2.3）来选择R。对于每个风险度量，我们考虑生物目标（J=2资产）和三个目标（J=3资产）情况。

我们使用不同的误差参数运行原始和对偶Benson算法() 并报告求解的标量优化问题总数Di Dual Bundle Method CVX1000 869.22 75.982500 2130.85 588.855000 4170.55 3091.4410000 8452.47**表1：权重向量w=（1/2，1/2）I Dual Bundle Method CVX50 56.39 35.22100 252.73 98.73250 1838.38的二维多元熵风险度量实例的Dual Bundle Method和CVX计算性能346.87500 6309.39**表2：权重向量w=（1/3，1/3，1/3）（#opt.）的三维多元熵风险度量实例的双束法和CVX的计算性能，最终外部近似中的顶点数（#vert.）以及CPU时间（秒）。示例6.2。（二维多元CVaR）我们考虑I=500情景下的J=2资产。多元CVaR的参数选择为ν=0.8，ν=0.9。我们使用错误参数值 ∈-2, 10-3, 10-4.. 计算结果如表3所示。可以看出，原始算法和对偶算法的性能非常接近。图1和图2中给出了上部图像P和下部图像的内部（红线）和外部（蓝线）近似值。这些图是通过原始算法获得的。由于对偶算法的对应图相似，因此省略了它们。显然，该算法在以下情况下为上下图像提供了近似 从10减少-3至10-4. #选择#垂直。

时间原始算法-25 3 2675.69-311 6 10513.06-423 13 11391.12双重算法-25 4 2819.92-313 8 7021.55-425 15 10007.75表3：二维多元CVaR-0.024-0.022-0.02-0.018-0.016-0.014-0.012-0.01-0.008-0.006-0.004-0.002-0.898-0.896-0.894-0.892-0.89-0.888-0.886（P）0.482 0.484 0.486 0.488 0.49 0.492-0.471-0.4705-0.47-0.4695-0.469-0.4685-0.468（D）（a）上部图像（b）下部图像的内外近似值图1：由原始算法获得的内近似和外近似 = 10-3-0.024-0.022-0.02-0.018-0.016-0.014-0.012-0.01-0.008-0.006-0.004-0.002-0.898-0.896-0.894-0.892-0.89-0.888-0.886（P）的内外近似值0.482 0.484 0.486 0.488 0.49 0.492-0.471-0.4705-0.47-0.4695-0.469-0.4685-0.468（D）（a）上部图像（b）下部图像的内外近似图2：通过原始算法获得的 = 10-4示例6.3。（二维多元熵风险度量）我们考虑i=500情景下的J=2资产。多元熵风险度量的参数选择为δ=δ=0.1，锥C由向量（2，1）和（1，2）生成。我们使用错误参数值 ∈ {0.1, 0.05, 0.01}.计算结果如表4所示。在本例中，对偶算法比原始算法解决了更多的优化问题，并在更短的时间内枚举了更多的顶点。图3和图4给出了原始算法获得的上图像P和下图像D的内外近似值。由于对偶算法的对应图相似，因此省略了它们。 #选择#垂直。

timePrimal算法0.1 25 13 37706.900.05 37 19 84730.810.01 83 42 144848.62双重算法0.1 31 17 13955.430.05 47 14088.080.01 85 44 17121.26表4：二维多元熵风险度量的计算结果0 1 2 3 5 6 8-3.5-3-2.5-2-1.5-1内近似值和外近似值（P）0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78-1.2-1.15-1.1-1 1.05-1-0.95-0.9-0.85-0.8-0.75-0.7内外（D）（a）上部图像（b）下部图像的近似值图3：原始算法获得的内部和外部近似值 = 0.050 1 2 3 4 5 6 7 8-3.5-3-2.5-2-1.5-1（P）0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78-1.2-1.15-1.1-1.05-1-0.95-0.9-0.85-0.8-0.75-0.7（D）（a）上部图像（b）下部图像的内部和外部近似图4：通过原始算法获得的内部和外部近似值 = 0.01示例6.4。（三维多元CVaR）我们考虑I=250情景下的J=3资产。多元CVaR的参数选择为ν=0.8，ν=0.9。我们使用错误参数值 ∈-2, 10-3, 10-4..计算结果如表5所示。对于 = 10-2和 = 10-3，原始算法在较短的时间内终止，而对于 = 10-4、对偶算法速度更快。图5-7给出了通过原始和对偶算法获得的上部图像P和下部图像D的外部近似值。请注意，这些点表示一些多面体的顶点，即使它们没有通过线段连接。正如在这些图中所观察到的，与对偶算法相比，原始算法可以更好地逼近较低的图像。

然而，对偶算法提供的上图像的近似性优于原始算法。多元CVaR根据分段线性的正部分函数（·）+定义。因此，问题的上下图像是多面体集，图5-7中它们的外近似顶点通常围绕某些线段密集。 #选择#垂直。时间原始算法-221 9 16856.84-382 32 67555.09-4468 162 319862.68双重算法-224 11 20303.43-398 36 79397.49-4448 152 249081.86表5：三维多变量CVaRUpper图像下图像的计算结果（a）原始算法上图像下图像（b）双重算法图5：原始和双重算法获得的I=250和 = 10-2上图像下图像（a）原始算法上图像下图像（b）双重算法图6：I=250和 = 10-3上图像下图像（a）原始算法上图像下图像（b）双重算法图7：I=250和 = 10-4示例6.5。（三维多元熵风险度量）我们考虑I=100情景下的J=3资产。多元熵风险度量的参数选择为δ=δ=δ=0.1，锥C由向量（1，2，3），（3，2，1）生成。我们使用错误参数值 ∈ {0.1, 0.05, 0.01}.计算结果如表4所示。我们无法使用primalalgorithm解决此问题，因为（P（v））的对偶束方法对某些顶点v不收敛。这与（L¨ohne et al.，2014，示例5.4）中关于具有多元熵测度的四目标问题的报告一致。

对偶算法的结果如表6和图8所示。由于多元熵风险度量是根据指数效用函数定义的，该函数是严格凸的，因此上下图像是非多面体集。因此，与多元CVaR的外近似相比，这些集合的多面体外近似在其曲面上具有更均匀的顶点密度。 #选择#垂直。timeDual算法0.1 196 61 48742.570.05 319 99 82237.890.01 670 211 168460.45表6：三维多元熵风险度量的计算结果5050-50-5-50.5-1.4-1.20.80.6-10.40-0.80-0.6-0.4上图像下图像（a） = 0.1上图像下图像（b） = 0.05上图像下图像（c） = 0.01图8：通过对偶算法获得的I=100ReferencesM的外部近似值。Abbas，F.Bellahcene，《多目标随机整数线性规划的切割平面法》，欧洲运筹学杂志，168（3），967–984（2006）S.Ahmed，《平均风险随机规划的凸性和分解》，数学规划，106（3），433–446（2006）C.D.Aliprantis，K.C.Border，《有限维分析：搭便车指南》。德国海德堡斯普林格（2006）C,。Ararat，A.H.Hamel，B.Rudloff，《集值短缺和分歧风险度量》，国际理论与应用金融杂志，doi:10.1142/S0219024917500261（2017）H.P.Benson，《在多目标线性规划问题结果集中生成所有有效极值的外近似算法》，全球优化杂志，13（1），1–24（1998）J.R.Birge，F.V.Louveaux。两阶段随机线性规划的多切分算法，《欧洲运筹学杂志》，34（3），384–392（1988）J.R.Birge，F.V.Louveaux，《随机规划导论》。

美国纽约州斯普林格（1997）J.M.Borwein，《分析与优化中的凸关系》，载于：S.Schaible，W.T.Ziemba（编辑）《优化与经济学中的广义凹》，学术出版社，纽约，335–377（1981）Y.Cardona Vald\'es，A.Alvarez，D.¨Ozdemir，《具有不确定性的双目标供应链设计问题》，运输研究C部分：新兴技术，19（5），821–832（2011）R.A.Collado，D.Papp，A.Ruszczy'nski，《风险规避多级随机规划问题的情景分解》，《运筹学年鉴》，200（1），147–170（2012）D.Dentcheva，A.Ruszczy'nski，《多元随机优势约束优化》，数学规划，117（1），111–127（2009）D.Dentcheva，E.Wolfhagen，具有多元随机顺序约束的两阶段优化问题，运筹学数学，41（1），1-22（2016）M.Ehrgott，L.Shao，A.Sch¨obel，凸多目标规划问题的近似算法，全球优化杂志，50（3），397-416（2011）C.I.F'abi'An，处理两阶段随机模型中的CVaR目标和约束，《欧洲运筹学杂志》，191（3），888–911（2008）H.F¨ollmer，A.Schied，《风险和交易约束的凸度量，金融和随机》，6（4），429–447（2002）W.J.Gutjahr，A.Pichler，《随机多目标优化：非标度化方法调查》，《运筹学年鉴》，236（2）475–499（2016）A.H.Hamel，F.Heyde，集值风险度量的对偶性，《暹罗金融数学杂志》，1（1），66–95（2010）A.H.Hamel，F.Heyde，A.L¨ohne，B.Rudlo off和C.Schrage，《集优化-相当简短的介绍》，载于：（ed.）A.Hamel，F.Heyde，A.L¨ohne，B.Rudlo off和C。