多目标风险规避两阶段随机规划问题

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英文标题：
《Multi-objective risk-averse two-stage stochastic programming problems》
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作者：
\\c{C}a\\u{g}{\\i}n Ararat, \\\"Ozlem \\c{C}avu\\c{s}, Ali \\.Irfan
  Mahmuto\\u{g}ullar{\\i}
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider a multi-objective risk-averse two-stage stochastic programming problem with a multivariate convex risk measure. We suggest a convex vector optimization formulation with set-valued constraints and propose an extended version of Benson\'s algorithm to solve this problem. Using Lagrangian duality, we develop scenario-wise decomposition methods to solve the two scalarization problems appearing in Benson\'s algorithm. Then, we propose a procedure to recover the primal solutions of these scalarization problems from the solutions of their Lagrangian dual problems. Finally, we test our algorithms on a multi-asset portfolio optimization problem under transaction costs.
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中文摘要：
我们考虑一个具有多元凸风险测度的多目标风险规避两阶段随机规划问题。我们提出了一种具有集值约束的凸向量优化公式，并提出了Benson算法的扩展版本来解决这个问题。利用拉格朗日对偶，我们发展了场景分解方法来解决Benson算法中出现的两个尺度化问题。然后，我们提出了一种从这些标量化问题的拉格朗日对偶问题的解中恢复其原始解的方法。最后，我们在一个交易成本下的多资产组合优化问题上测试了我们的算法。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Multi-objective_risk-averse_two-stage_stochastic_programming_problems.pdf (1.1 MB)

2022-6-1 17:15:04 上传

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关键词：规划问题 随机规划 风险规避 多目标 两阶段

多目标风险规避两阶段随机规划问题c,agin Ararat*+¨Ozlem C,avu,s*+阿里˙伊凡·马穆托古拉i*2017年11月15日摘要我们考虑一个具有多元凸风险测度的多目标风险规避两阶段随机规划问题。我们提出了一种具有集值约束的凸向量优化公式，并提出了Benson算法的扩展版本来解决这个问题。利用拉格朗日对偶，我们发展了场景分解方法来解决Benson算法中出现的两个尺度化问题。然后，我们提出了一种从这些标度化问题的拉格朗日对偶问题的解中恢复其原始解的方法。最后，我们将我们的算法应用于交易成本下的多资产组合优化问题。关键词和短语：多元风险度量、多目标风险规避两阶段随机规划、风险规避标度化问题、凸Benson算法、非光滑优化、捆绑法、情景分解数学学科分类（2010）：49M27、90C15、90C25、90C29、，91B30.1引言我们考虑一个多目标风险规避的两阶段随机规划问题，其一般形式为Min z w.r.t.RJ+s.t.z∈ R（Cx+Qy）（x，y）∈ X，z∈ RJ。在此公式中，x是第一阶段决策变量，y是第二阶段决策变量，x是由线性约束定义的有限维集。C、 Q是成本参数，是适当维度的矩阵。我们假设C是确定性的，Q是随机的。R（·）是一种多元凸风险度量，它是从J维随机向量空间到RJ幂集的集值映射（见Hamel和Heyde（2010））。

换句话说，R（Cx+Qy）是确定性成本向量sz的集合∈ RJ，其中Cx+Qy- z在某种意义上是可以接受的。上述问题是一个向量优化问题，解决它被理解为计算问题的上图像P，由P=cl定义z∈ RJ | z∈ R（Cx+Qy），（x，y）∈ 十、,其边界是所谓的有效边界。这里，cl表示闭包运算符。人们会感兴趣的是，用Z找到一组弱有效解（x，y，Z）∈ R（Cx+Qy），对于某些（x，y）∈ X这样就没有z了∈ R（Cx+Qy）带（x，y）∈ X和z<z。此处，“<”表示RJ中的组件严格顺序。这些解决方案的z分量处于有效前沿。此外，集zi应该在P=cl co的意义上构造P(z∈ RJ |（x，y，z）∈ Z+ RJ+，*土耳其安卡拉比尔肯特大学工业工程系+C,。阿拉拉特和奥古斯都对这项工作做出了同样的贡献。其中co表示凸包算子。我们的目标是使用一组有限的弱有效解近似计算P。计算向量优化问题上图像的算法在文献中得到了广泛的研究。Benson（1998）在该领域的一个重大贡献是线性向量优化问题的算法，该算法计算问题的所有弱有效解集，并致力于上图像的外部近似，而不是可行区域本身。最近，Ehrgott et al.（2011）和L¨ohne et al.（2014）对（普通的）凸向量优化问题，即具有向量值目标函数和向量值约束的优化问题进行了归纳，这些优化问题相对于某些基础锥是凸的，例如，各自维度中的正正正角。而Ehrgott等人的算法。

（2011）依赖于所涉及函数的可微性，L¨ohne et al.（2014）对可微性不作任何假设，并通过利用所谓的几何对偶问题获得上部图像的更近似值。在文献中，对多目标两阶段随机优化问题的研究数量有限。Abbas和Bellahcene（2000）、Cardona等人（2011）就是这些研究的一些例子，其中决策者是风险中性的，即取R（Cx+Qy）=E[Cx+Qy]+RJ+。原则上，具有线性约束和连续变量的多目标风险中性两阶段随机优化问题可以表示为线性向量优化问题，并且可以使用Benson（1998）中的算法进行求解。如果场景数量不是太多，那么问题可以在合理的计算时间内解决。否则，人们应该寻找一种基于场景分解的有效方法。据我们所知，对于风险规避的情况，还没有关于多目标两阶段随机规划问题的研究。然而，单目标平均风险型问题可以被视为两个目标随机规划问题的标度化（例如，参见Ahmed（2006）、Miller Andruszcy'nski（2011））。另一方面，Dentcheva和Wolfhagen（2016），Noyan等人（2017）研究了具有多元随机排序约束的单目标问题。正如Gutjahr和Pichler（2016）最近的调查所指出的，需要一种通用方法来制定和解决多目标风险规避随机问题。本研究的主要贡献可以总结如下：1。据我们所知，这是第一次在一般情况下研究多目标风险规避两阶段随机规划问题。2.

我们使用多元凸风险度量为我们的问题提出了一个向量优化公式。此类风险度量包括但不限于多变量一致性风险度量和基于多变量的风险度量。为了解决我们的问题，我们提出了L¨ohne等人的凸Benson算法的一个扩展版本。（2014）针对具有向量值约束的凸向量优化问题开发。与L¨ohne等人（2014）不同的是，我们处理集值风险约束，并使用多元凸风险度量的双重表示（见Hamel和Heyde（2010））和集值约束的拉格朗日性（见Borwein（1981））对其进行二元化。4、L¨ohne et al.（2014）中的凸Benson算法不能用于某些多元风险度量，尤其是高阶非光滑风险度量。另一方面，我们的方法是通用的，可以用于任何可以计算次梯度的风险度量。这种风险度量的一个例子是高阶平均半偏差（见Shapiro等人（2009）及其参考文献）。5、在凸Benson算法的过程中，必须解决两个风险规避的两阶段随机标量化问题，即加权和标量化问题和参考变量标量化问题。随着场景数量的增加，这些问题无法在合理的计算时间内得到解决。因此，基于拉格朗日对偶，我们提出了这些标度化问题的场景可分解对偶问题，并提出了基于捆绑算法的解决程序（见Lemar\'echal（1978），Ruszczy\'nski（2006）及其参考文献）。我们针对标量化问题的场景分解算法可以嵌入到使用相同类型标量化问题的其他算法中。

参见（Jahn，2004，第12章）了解此类算法的示例。我们提出了一种从标量化问题的拉格朗日对偶问题的解中恢复其原始解的方法。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们提供了多元凸风险度量的一些初步定义和结果。在第3节中，我们提供了问题公式，并回顾了最优性的相关概念。第4节介绍凸Benson算法。第5节分别讨论了该算法中的两个标量化问题。特别是，我们提出了场景智能分解算法和过程来恢复原始解。计算结果见第6节。附录中收集了与第5节相关的一些证据。2个多元凸风险度量我们在有限概率空间上工作Ohm = {1，…，I}带I≥ 2、对于每个i∈ Ohm, 设pi>0为基本事件{i}的概率，使pi∈Ohmpi=1。让我们介绍（随机）向量和矩阵的表示法。让J≥ 1是给定的整数，J={1，…，J}。RJ+和RJ++表示欧氏空间RJ的所有元素集，其分量分别为非负和正。对于w=（w，…，wJ）T，z=（z，…，zJ）T∈ RJ，其scalarproduct和Hadamard产品定义为WTZ=Xj∈Jwjzj∈ R、 w·z=（wz，…，wJzJ）T∈ 分别为RJ。对于集合Z RJ，其相关指标函数（在凸分析意义上）定义为byiz（z）=（如果z为0∈ Z+∞ 否则，对于每个z∈ RJ。我们用ljt表示所有J维随机代价向量u=（u，…，uJ）T的集合，它明显同构于空间RJ×Iof J×I维实矩阵。我们写L=LF或J=1。福鲁∈ LJ，我们用ui=（ui。

，uJi）T∈ RJits在i的实现∈ Ohm, 并确定u asE[u]=Xi的预期值∈Ohmpiui∈ RJ。类似地，给定另一个整数N≥ 1，我们用所有J×N维随机矩阵的LJ×Nn集表示Q，气。LJ的元素将用于表示随机成本向量；因此，较低的值更可取。为此，我们引入了LJ+，即LJ中所有元素的集合，其分量为非负随机变量。给定u，v∈ LJ，我们写u≤ v当且仅当uji≤ VJI对于每个i∈ Ohm 和j∈ J，即v∈ u+LJ+。我们调用集值函数R:LJ→ 2RJa多元凸风险度量是否满足以下公理（见Hamel和Heyde（2010））：（A1）单调性：u≤ v表示R（u） 每u，v的R（v）∈ LJ。（A2）平动性：R（u+z）=R（u）+z，每u∈ LJand z公司∈ RJ。（A3）有限性：R（u）/∈, RJ公司对于每个u∈ LJ。（A4）凸度：R（γu+（1- γ） 五） γR（u）+（1- γ） 每u，v的R（v）∈ LJ，γ∈ (0, 1).（A5）封闭性：验收集A：=u∈ LJ | 0∈ R（u）是一个闭集。如果多元凸风险度量R也满足以下公理，则称其为相干：（A6）正同质性：R（γu）=γR（u）对于每个u∈ LJ，γ>0。备注2.1。很容易检查多元凸风险测度R的值是否在RJ的所有闭凸上子集的集合中，即G=E RJ | E=cl co（E+RJ+）,其中cl和co分别表示闭包和凸包算子。换句话说，对于每一个u∈ LJ，集R（u）是一个性质为R（u）=R（u）+RJ+的闭凸集。集合G，当配备超集关系时, 是一个完整的格，在这个意义上，G的每个非空子集E都有一个inf E=cl coSE唯一给出的上确界（也是一个上确界）∈EE作为G的一个元素（参见Hamel et al.（2016）中的示例2.13）。

G的完全格性质使得研究具有G值目标函数和约束的优化问题成为可能，这在本文的方法中也是至关重要的。多元凸风险测度R可以用概率测度的向量u和锥RJ+{0}中的权重向量w表示，称为其对偶表示。为了说明这种表述，我们提供了以下定义和符号。设MJbe上概率测度的所有J维向量u=（u，…，uJ）的集合Ohm, 也就是说，对于每个j∈ J，概率测度uJ将概率ujit指定为i的基本事件{i}∈ Ohm.对于u∈ MJ和i∈ Ohm, 我们还写ui：=（ui，…，uJi）T∈ RJ。最后，对于u∈ MJ和u∈ LJ，我们在ubyEu[u]下定义了u的期望值=Eu【u】，EuJ【uJ】T=Xi∈Ohmui·ui。多元凸风险度量R具有以下对偶表示（见Hameland Heyde（2010）中的定理6.1）：对于每个u∈ LJ，R（u）=\\u∈MJ，w∈RJ+\\{0}Eu【u】+z∈ RJ | wTz≥ -β（u，w）=\\w∈RJ+\\{0}（z∈ RJ | wTz≥ supu∈MJ公司wTEu[单位]- β（u，w）),式中，β是由β（u，w）=supu定义的最小惩罚函数∈AwTEu[u]=辅助wTEu[u]| 0∈ R（u），u∈ LJ公司, （2.1）对于每个u∈ MJ，w∈ RJ+\\{0}。注意，β（·，w）和β（u，·）是凸函数，因为它们是线性函数的上确界。权向量w对R的标度化∈ RJ+\\{0}定义为功能U 7→ ^1w（u）：=infz∈LJ上的R（u）wTz（2.2）。作为R的双重表示的直接结果，我们还获得了其标度化的双重表示：νw（u）=supu∈MJ公司wTEu[单位]- β（u，w）. （2.3）多元一致和凸风险度量的一些例子分别是多元条件风险值（多元CVaR）和多元熵风险度量。例2.2（多元CVaR）。

让C RJbe具有RJ的多面体闭凸锥+ C 6=RJ。多元条件风险值由R（u）定义=CV aRν（u），CV aRνJ（uJ）T+C，（2.4），其中Cv aRνj（uj）=infzj∈Rzj+1- νjE（uj- zj）+,对于每个u∈ LJand j∈ J（见Hamel et al.（2013）中的定义2.1和备注2.3）。给，νj∈ （0，1）是arisk厌恶参数，x的（x）+：=max{x，0}∈ R、 R的最小惩罚函数由β（u，w）=（0，如果w∈ C+和ujipi≤1.-νj，我∈ Ohm, j∈ J、+∞ 否则，其中C+是由C定义的C的正对偶锥+=w∈ RJ | wTz≥ 0, z∈ C.注意，（2.4）是众所周知的条件风险值的多元扩展（见Rockafellar和Uryasev（2000），Rockafellar和Uryasev（2002））。示例2.3（多元熵风险度量）。考虑向量值指数效用函数u:RJ→ rj定义为U（x）=（U（x），UJ（xJ））T，其中UJ（xJ）=1- eδjxjδj，对于每个x∈ RJ和j∈ J这里，δj>0是一个风险规避参数。注意，Uj（·）是一个凹递减函数。让C RJbe具有RJ的多面体闭凸锥+ C 6=RJ。多元熵测度R:LJ→ 2RJis定义asR（u）=z∈ RJ | E[U（U- z） ]∈ C, （2.5）对于每个u∈ LJ（见Ararat et al.（2017）第4.1节）。自RJ起+ C、 期望效用值越大越好。此外，由于每个Uj（·）是一个递减函数，z∈ R（u）表示z∈ 每z的R（u）≥ z、 最后，R的最小惩罚函数由（见Ararat et al.（2017）中的命题4.4）β（u，w）=Xj给出∈JwjδjH（uj | | p）- 1+对数wj+ infs公司∈C+Xj∈JδJsj公司- wjlog sj公司,式中，H（uj | p）是uj相对于H（uj | p）=Xi定义的p的相对熵∈Ohmujilogujipi！。注意，（2.5）是众所周知的熵风险度量的多变量扩展（见F¨ollmer and Schied（2002））。3问题公式我们考虑一个多目标风险规避两阶段随机规划问题。

决策变量和问题参数由确定性和随机向量以及不同维度的矩阵组成。为此，让我们确定一些整数J、K、L、M、N≥ 1和确定性参数A∈ RK×Mand b∈ RK。在第一阶段，决策者选择确定性向量x∈ RM+与associatedcost Cx，其中C∈ RJ×M。在第二阶段，决策者选择一个随机向量y∈ LN+基于第一阶段决策x∈ RMas以及随机参数W∈ LL×N，T∈ LL×M，h∈ 陆上通信线。与y相关的随机成本为Qy∈ LJ，其中Q∈ LJ×N。给定决策变量x的可行选择∈ RMAD y公司∈ LN，与第二阶段成本向量Qy相关的风险∈ LJI通过多元凸风险度量R：LJ量化→ 2RJ。集合R（Qy）由rj中的确定性成本向量组成，可以使Qy在以下意义上可接受：R（Qy）=z∈ RJ | Qy- z∈ A.,其中A=u∈ LJ | 0∈ R（u）是风险度量的接受集。因此，R（Qy）从Qy收集确定的成本减少，这将为产生的随机成本带来可接受的风险水平。与确定性成本向量Cx一起，与x和y相关的总体风险由集合Cx+R（Qy）={Cx+z | Qy给出- z∈ A} ={Cx+z | z∈ R（Qy）}=R（Cx+Qy），其中，由于可平移性属性（A2），最后一个等式成立。我们的目标是计算“最小”向量z∈ R（Cx+Qy）在x和y的所有可行选择上。使用向量优化，我们将我们的问题表述为：min z w.R.t.RJ+（PV）s.t.z∈ R（Cx+Qy）Ax=bTix+Wiyi=hi，我∈ Ohmz∈ RJ，x∈ RM+，彝语∈ RN+，我∈ Ohm.LetX：=（x，y）∈ RM+×LN+| Ax=b，Tix+Wiyi=hi，我∈ Ohm.我们假设X是一个紧集。