时间一致性与嵌套公式的等价性

Shapiro和Ruszczy'nski利用我们对聚合器a和因子F的表示，以及对单调性、翻译不变性、凸性和同质性的其他假设，得出了以下结论：如果初始方程是Epstein和Schneider（2003）中公式的原始转录，那么我们将向读者提供更好的理解。通过列出它，我们只想强调所求的公式是Vt和Vt+1之间的公式。评估值为A=ρ，未来评估值为F=ρt+1，然后是子集合（定理5.1）SA，F=ρXt+1 | Xt。Shapiro（Shapiro（2016））专注于未来的评估和表格（定义2.1）的子集合F=支持∈政治公众人物· · · 支持∈PEP[·|英尺-1]F, SA，F=支持∈政治公众人物[·]。对于聚合器A和因子F，这个嵌套公式是嵌套公式（5）的一个实例。我们可以使用我们的命题3.6确定一个自然的初始评估，该评估通常与未来的评估时间一致。通过对不确定性的其他假设，Sha piro得出可能性分布存在有界的倒退，因此初始评估具有特定形式（定理2.1）A=支持∈bPEP[·]。此外，在附加假设（定理2.2）P是凸的、有界的和弱闭的情况下，Shapiro建立了P=^P.De Lara和Lecl\'ereDe Lara和Lecl\'ere（2016）研究单时间步聚合器s的组成。他们区分了不确定性聚合器和时间步聚合器，并编写了一个嵌套公式（方程（11）），这是我们公式（5）的一个实例。我们可以通过使用我们的提案3.6，自然地确定此合成操作的初始评估，该操作的时间与一次性聚合器一致。他们在不确定性聚合器和时间聚合器之间添加了一个额外的单调性定理和一个交换定理。

他们认为，初始评估可以定义为一次性步骤聚合器（子聚合器）和未来评估之间的组合（定理9）。5两类时间一致性映射在本节中，我们提供了两类在适当假设下显示时间一致性的映射。我们在门派学习。5.1 t翻译不变映射通过表示接受集的风险度量来激活。然后，在Sect中。5.2，我们研究了被定义为Fenchel-Moreau共轭的映射，这些映射由凸风险度量的双重重新构造所驱动。5.1时间一致平移不变映射我们研究在有序群上定义的平移不变映射。我们将每个这样的映射关联到一个接受集，它是级别0的级别集。我们证明了两个平移不变映射之间的时间一致性等价于接受集之间的包含。5.1.1组上的平移不变映射我们在此提供平移不变映射和接受集的定义。基于这些理念，我们将陈述我们的贡献。我们首先重新定义了有序群的定义。定义5.1。三重态（F，⊕, ≤) 如果F是一个集合，（F，⊕) 是一个群，（F，≤) 是一个有序集≤ 与兼容⊕,i、 e.f≤ f=> f⊕ f≤ f⊕ f（f，f，f）∈ F、 （20）我们现在提供了群上平移不变映射的定义。定义5.2。Let（T，⊕) 是交换群且（F，⊕) 是（T，⊕), 我们用（F，⊕)  （T，⊕) . （21）A（T，F）-平移不变映射pin g是映射F:T→ F满足要求F（t⊕ f） =f（t）⊕ ft型∈ Tf∈ F

（22）此外，如果（F，⊕, ≤) 是一个有序群，我们引入符号afandaft来处理（T，F）-T翻译映射的特定水平集：T→ F： 自动对焦=t型∈ T | F（T）≤ 0, （23a）AF | F=f∈ F | F（F）≤ 0= 空军∩ F（23b）5.1.2 UTC在验收设置方面的特征给定定义5.2中的两个转换不变值F和ρ，我们将构建一个ag gregator Aρ，以使该对（Aρ，F）与定义3.5中的时间一致。H×T AH×FAρFSA，图1：属性映射之间联系的表示5.3下一个命题是F¨ollmer a and Schied（2016）引理11.14和命题11.15的推广，我们用符号表示，因为我们不是指概率空间上的风险度量，而是指更一般的集合。提案5.3。Let（T，⊕) 是一个交换群。给定两个子群（H，⊕)  （T，⊕) 和（A，⊕)  （T，⊕) , （24）和a（T，a）-平移不变性T映射ρ：T→ A、 我们定义了映射Aρ：H×T→ A byAρ：H×T→ （A），⊕, ≤) , （25）（h，t）7→ ρ（h⊕ t） 。（26）设F:T→ （F），⊕, ≤) 是（T，F）-平移不变量映射。如果我们有o（H，⊕)  （A），⊕)  （F），⊕)  （T，⊕),o （T，A）-平移变分映射ρ：T→ A在增加，o（T，F）-变换不变映射F:T→ 满足F（0）=0（其中0是（T，⊕)),那么这对映射（Aρ，F）通常是时间一致的当且仅当ifAF⊕ Aρ| F=Aρ，（27），其中（23a）和（23b）中定义了AF、Aρ| Fand和Aρ。证据我们请读者参阅附录A以获取证据。方程（27）在原始映射ρ和“条件”映射F的接受集之间建立了良好的关系。

然而，当变量是映射ρ：T时，仍然很难解决→ A和F:T→ F在建议5.3中给出，因为它是ρ中的隐式方程。5.2时间一致性凸映射。我们关注定义为Fenchel-Moreauconjugates映射的时间一致性。我们的动机是关于凸风险映射的对偶表示的结果（Artzner、Delbaen、Eber和Heath，1999）。我们首先回顾具有一般耦合的Fenchel-Moreau共轭（不一定是经典对偶对）。然后，我们陈述了我们的主要定理，这些定理提供了一个被定义为Fenchel-Moreauconjugates的映射的时间一致性公式。5.2.1处理Fenchel-Moreau共轭的基本工具耦合和Fenchel-Moreau共轭的正式工具在Moreau的论文（1970）中介绍。我们记得R=[-∞, +∞] = R∪ {-∞, +∞}.当我们使用inR值操作函数时，我们采用方程式（28a）和（28b）中定义的Moreau下限或上限加法，这取决于我们处理的是sup操作还是inf操作。我们只会回忆起有用的定义，以使文章独立。在续集中，u、v和w是R的任何元素。Moreau下加法和上加法扩展了通常的加法(+∞)·+ (-∞) = (-∞)·+ (+∞) = -∞ , （28a）(+∞)  (-∞) = (-∞)  (+∞) = +∞ . （28b）并显示以下属性：- （u） v） =(-u） ·+(-v） ，则，-（u·+v）=(-u） (-v） 。（29a）supa∈Af（a）·+supb∈Bg（b）=supa∈A、 b类∈Bf（a）·+g（b）, （29b）关于耦合的Fenchel-Moreau共轭的背景。设两组C和C. 考虑耦合函数Φ：C×C→[-∞, +∞]. 我们还使用符号CΦ<-> C对于联轴器，CΦ<-> C<==> Φ：C×C→ [-∞, +∞] . （30）定义5.4。

函数f:C的Fenchel-Moreau共轭→ [-∞, +∞],对于联轴节Φin（30），函数fΦ：C→ [-∞, +∞] 定义BYFΦ（c) = supc公司∈CΦ（c，c)·+- f（c）, c∈ C. （31）5.2.2主要结果：Fenchel-Moreau共轭物的嵌套公式我们提供了定义为Fenchel-Moreau共轭物的材料之间的嵌套公式。我们引入了可分解耦合的概念。定义5.5。设X，Y，Z和Y′为四个集，设θX×Z，θZandθXbe三个值为Y′θX×Z的映射：X×Z→ Y′，（32a）θZ:Z→ Y′，（32b）θX:X→ Y′。（32c）LetД：Y′×Y→ [-∞, +∞] 是Y′和Y之间的耦合。我们说耦合是（θX×Z，θX，θZ）-如果θX（X），y= supz公司∈锌ДθX×Z（X，Z），y·+- φθZ（Z），yo、 （33）（x，y）∈ X×Y。这是我们的结果，为芬切尔-莫罗共轭物提供了嵌套公式。提案5.6。设X，Y，Z和Y′为s和g:Y→ [-∞, +∞] 是数字函数。Le tИ：Y′×Y→ [-∞, +∞] be（θX×Z，θX，θZ）-可分解asin定义5.5。让我们定义联轴器Φ：X×（Y×Z）→ [-∞, +∞] 按Φx、 （y，z）= φθX×Z（X，Z），y, （x、y、z）∈ X×Y×Z，（34）和函数G:Y×Z→ [-∞, +∞] byG（y，z）=g（y） φθZ（Z），y, （y，z）∈ Y×Z。（35）那么，我们在芬切尔-莫罗共轭物之间有以下嵌套公式：GΦ=GДo θX.（36）证明。我们请读者参阅附录A以了解证明的详细信息。XY′RθXgИGΦ图2：嵌套公式（36）XX′=Y×ZY′ΦИθXθZ的表示图3：定义映射之间联系的表示5.56结论时间一致性是经济学（动态优化、讨价还价）和数学（动态风险度量、多级随机优化）中讨论的一个概念。

我们已经阅读了一系列代表不同领域的论文；我们试图将与时间一致性相关的共同核心要素与每个作者的特定贡献相关的其他假设分开。我们提出了一个弱时间一致性框架，它允许我们在最小假设下证明与嵌套公式的等价性。通过制定核心框架公理，我们希望阐明时间一致性这一概念，它通常与文献中的其他概念融为一体。我们相信这会使这个概念更加透明，并且我们展示了它为可能的扩展开辟了道路。实际上，我们在命题5.3中建立了原始映射ρ的接受集与“条件”映射F之间的精确关系。在命题5.6中，我们揭示了一种有趣的关系，这当然需要她的进一步调查。确认。作者要感谢巴黎大学和Labex B’ezout的财政支持。第一作者特别感谢他们为他的博士项目提供资金。附录我们在这里提供了Sect的两个命题的证明。A.1命题证明5.3证明。证明分为以下三个步骤：1。首先，我们表明∈ 空军⊕ Aρ| F<=> F（t）∈ Aρ| F，t型∈ T、 2。然后我们使用前面的断言来证明以下两个陈述：Aρ 空军⊕ Aρ| F<=> ρF（t）≤ ρ（t），t型∈ T，（37a）Aρ 空军⊕ Aρ| F<=> ρF（t）≥ ρ（t），t型∈ T，（37b）3。最后，我们将所有要素结合在一起得出结论。现在我们详细介绍每个步骤。1、证明了蕴涵t∈ 空军⊕ Aρ| F=> F（t）∈ Aρ| Fand和反向陈述F（t）∈ Aρ| F=> t型∈ 空军⊕ Aρ| f成功。o让t∈ 空军⊕ 给出了ρ| Fbe。根据定义，t可以分解为ast=tF⊕ 带tF的tρ∈ af和tρ∈ Aρ| F。

我们依次得到F（t）=F（tF）⊕ tρ，（作为tρ∈ F和F是（T，F）-翻译输入）≤ tρ（作为tF∈ AF={t∈ T | F（T）≤ 0}），这导致ρF（t）≤ ρ（tρ），（通过ρ的单调性）≤ 0，（通过定义tρ∈ Aρ| F），因此F（t）∈ Aρ| F.o我们现在假设F（t）∈ ρ| Fand回想一下∈ T、 F级t型F（t）= F（t）F（t）=0乘以（t-F） -映射F的平移不变性。相反的含义紧接着来自分解t=t F（t）⊕ F（t）自F（t）起∈ ρ| Fby假设和t F（t）∈ AF.2。我们依次证明语句（37a）和（37b）。o首先，我们关注方程（37a）：Aρ 空军⊕ Aρ| F<=> ρF（t）≤ ρ（t），t型∈ T，（38）我们假设该方程的左侧满足，即Aρ空军⊕ρ| F，我们证明它意味着方程的右手边。为此，我们∈ T、 我们记得ρ（T）∈ A. F通过定义映射ρ：T→ A和假设（A，⊕)  （F），⊕) 我们有F（t） ρ（t）=Ft型 ρ（t）by（T，F）-映射F的平移不变性。作为t ρ（t）∈ Aρ 空军⊕ Aρ| Fwe通过恰好在F上方的项1获得t型 ρ（t）∈ Aρ| Fand然后F（t） ρ（t）∈ Aρ| F。这意味着ρF（t） ρ（t）=ρF（t） ρ（t）≤ 0 . （39）假设ρF（t）≤ ρ（t）表示所有t∈ T和let▄T∈ Aρ。然后通过定义（23a）一个接受集，我们得到ρ（~t）≤ 0.It followsthatρF（￠t）≤ 0和F（￠t）∈ ρ| Fand so，通过上面的第1项，即∈ 空军⊕ Aρ| F.o其次，我们关注方程（37b）Aρ 空军⊕ Aρ| F<=> ρF（t）≥ ρ（t），t型∈ T，（40）我们假设ρ 空军⊕ Aρ| F.让我们x t∈ T、 然后，通过添加和删除项F（T），我们得到 ρF（t）= t型 F（t）{z}∈空军⊕ F（t） ρF（t）|{z}∈Aρ| F∈ 空军⊕ Aρ| F.（41）它紧跟在（37b）t的左侧 ρF（t）属于ρ。这意味着，再加上映射ρ：t的（t，A）-t变换不变性→ Aρ（t） ρF（t）= ρt型 ρF（t）≤ 0 .

（42）为了证明方程（37b）的反向含义，取t∈ 空军⊕ Aρ| Fand假设ρF（a）≥ ρ（a）。使用步骤1，我们得到F（t）∈ ρ| f，我们得到ρ（t）≤ ρF（t）≤ 0，（43）表示t∈ 验收集的定义ρ（23a）。3、我们最终将所有元素结合在一起。我们从定理3.6中知道，当且仅当（3）中定义的子聚集子SAρ，Fde是在其第二个参数中增加的映射时，映射偶（Aρ，F）通常是时间一致的，并且我们有嵌套公式Aρ（h，t）=SAρ，Fh、 F（t）.在这种情况下，根据定义3，我们得到了aρ，F（h，F）=Aρ（h，t）| F（t）=F, （h、f）∈ H×F。（44）作为集值映射SAρ，Fis a mapping，选择一个元素t∈ t F（t）=F足以确定SAρ，F（h，F）的值。我们注意到，对于每个元素f∈ F、 以下语句适用于trueF（t）=F（0）⊕ t。（45）通过（T，F）-平移不变性性质（22），我们得到Ff F（0）=F（0）⊕f F（0）= f代表所有f∈ F、 我们推导出saρ，F（h，F）=Aρh、 f级 F（0）, （h、f）∈ H×F。（46）因此，嵌套公式Aρ（h，t）=SAρ，Fh、 F（t）readsAρ（h，t）=Aρh、 F（t） F（0）, （by（46））ρ（h⊕ t） =ρh类⊕ F（t） F（0）, （由（25）定义ρ）h⊕ ρ（t）=h⊕ ρF（t） F（0）, （按（T，A）-平移不变性）ρ（T）=ρF（t） F（0）, （通过兼容性⊕ 具有≤)ρ（t）=ρF（t）（如F（0）=0。）ρ（t）=ρ的事实F（t）结合方程式（37）的两个陈述给出了想要的结果。证据到此为止。A、 2命题证明5.6证明。

我们有，对于任何x∈ 十、 以下等式gΦ（X）=sup（y，z）∈Y×ZnΦx、 （y，z）·+- G（y，z）o、 （47）通过表达式（31），表示G的Φ-共轭，=sup（y，z）∈Y×ZφθX×Z（X，Z），y·+- g（y）·+- φθZ（Z），y, （48）通过表达式（34）和（35）表示Φ和G的部分形式，以及通过Moreau加法的联合性质（29a），=supy∈Y- g（y）·+supz∈锌ДθX×Z（X，Z），y·+- φθZ（Z），yo, （49）根据Moreau添加的属性（29b），=supy∈Yn公司- g（y）·+ДθX（X），yo、 （50）通过表达式（33）表示上确界，=g^1θX（X）, （51）定义5.4 Fenchel-Moreau共轭物。证据到此为止。参考SP。Artzner，F。Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。《数学金融》，1999年9:203–228。P、 Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber、D.Heath和H.Ku。相干多周期调整值和Bellman原理。运筹学年鉴，152（1）：5–22，2007年。P、 Cheridito、F.Delbaen和M.Kupper。有界离散时间过程的动态货币风险度量。《概率电子杂志》，11（3）：57–1062006。M、 德拉拉和V·莱克尔。建立风险度量和动态优化的时间一致性。《欧洲运筹学杂志》，249（1）：177–1872016。K、 Detlefsen和G.Scandolo。条件和动态凸风险度量。《金融与随机》，9（4）：539–5612005年10月。S、 德雷福斯。理查德·贝尔曼关于动态规划的诞生。《运营研究》（OperationsResearch），50（1）：48–512002年。五十、 爱泼斯坦和施耐德。递归多优先级。《经济理论杂志》，113（1）：1–31，2003年。H、 F¨ollmer和A.Schied。随机融资：离散时间介绍。第四修订版和扩展版。Walter de Gruyter，2016年。P、 哈蒙德。不断变化的品味和连贯的动态选择。《经济研究杂志》，第43（1）：159–173页，1976年2月1日。D、 Kr eps a和E.Porteus。

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