时间一致性与嵌套公式的等价性

（10） 另一方面，元素A（h，t）和A（h，t′）不相等，因为3=AV@R0.5[h+t]6=AV@R0.5[h+t′）=2.5。（11） 子集料器SA，Fin（3）不是映射sinceSA，F（h，F）=AV@R0.5【h+t】|AV@R0.5[t | F]=F {2.5；3}，（12），因此，（9）中的偶（A，F）不是弱时间一致的。3.2对通常和强时间一致性的扩展，在聚合器A的图像集A和F以及因子F的图像集A和F上，以及可能在头集H上，我们定义了额外的时间一致性概念，通常和强。3.2.1通常时间一致性（UTC）假设图像集A和F配有命令，表示为≤.定义3.5（通常时间一致性的定义）。如果我们有F（t），则（2）中的耦合aggrega t orfactor（A，F）可以满足通常的时间一致性（UTC）≤ F（t′）=> A（h，t）≤ A（h，t′），h类∈ H（t，t′）∈ T、 （13）我们将定理3.3的结果推广如下。命题3.6（UTC映射的嵌套分解）。（2）中的偶（A，F）是UTC当且仅当集值映射SA，Fin（3）是映射且在其第二个参数中是递增的。在这种情况下，嵌套公式（5）为true。proo f留给读者，因为它遵循定理3.3的证明，但变化很小。3.2.2强时间一致性（STC）假设头集H和图像集A和F具有顺序，表示为≤.定义3.7（强时间一致性定义）。如果有F（t），则称偶（A，F）不等式（2）满足强时间一致性（STC）≤ F（t′）h≤ h′型=> A（h，t）≤ A（h′，t′），（h，h′，t，t′）∈ H×T.（14）我们将定理3.3的结果扩展如下。命题3.8（STC映射的嵌套分解）。（2）中的偶（A，F）是STC，当且仅当se t值映射为SA，Fis A映射为增加的初始值和第二值。

在这种情况下，嵌套公式（5）成立。proo f留给读者，因为它遵循定理3.3的证明，但变化很小。3.2.3总结关于W T C、UTC和STCIn§3.1和§3.2的结果，我们引入了从最弱到最强的三个时间一致性概念。当然，我们有一个强的时间一致性偶也是通常的时间一致性偶，通常的时间一致性偶也是弱的时间一致性偶。我们在表3中总结了不同的定义和结果。设X和Y是赋有以下顺序的集合：≤. A映射M:X→ 如果x≤ x′=> M（x）≤ M（x′）。弱（4）<= 普通（13）<= 强（14）定义F（t）=F（t′）A（h，t）=A（h，t′）F（t）≤ F（t′）A（h，t）≤ A（h，t′）h≤ h′，F（t）≤ F（t′）A（h，t）≤ A（h′，t′）特征iz在子集合方面A，Fis A mappingSA，Fis A mappingincreasing在其第二个参数中A，Fis A mappingincreasing在两个参数中都是稳定的3：时间一致性在子集合方面的表征3.3时间一致性映射器的分析特性。我们研究子集合或SA，Fin（3）在映射时继承的特性，即，当耦合（A，F）弱时间一致时（见定理3.3）。我们坚持认为，在这一部分中，我们将研究如何从ag gregator A和因子F的特性中推断出子集料器SA、Fc的特性。因此，我们的方法不同于文献中的其他方法，如Eruszczynski和Shapiro（2006），其中A的属性是从SA、Fand和F的属性推导出来的。我们关注单调性、连续性、凸性、正同质性和平移方差。3.3.1单调性我们假设（2）中所示的头集H、图像集T以及图像集A和F具有顺序，表示为≤.

以下命题的证明留给读者，作为嵌套公式（5）的直接应用。命题3.9（单调性）。让这对（A，F）弱时间一致，如定义3.2所示。如果映射A在其第一个参数中增加，则子聚集器SA，Fin（3）在其第一个参数中增加。3.3.2连续性我们假设头集H、尾集T和图像集A和F为辐射空间。提案3.10（连续性）。让这对夫妇（A，F）在定义3.2中保持弱时间一致。假设尾集T是紧的。如果因子F是连续的，并且如果聚合器A与紧凑图像Im（A）=A（H×T）连续，则子聚合器SA，Fin（3）在H×Im（F）上是连续的。证据利用度量空间上连续性的序列刻画，证明了子聚集子SA，fonh×Im（F）的连续性。为此，我们一方面考虑h×Im（f）的（\'h，\'f）元素，另一方面考虑（hn）n∈H元素的Na序列收敛到H和（fn）n∈Im（F）元素的Na序列收敛到“F”。我们将证明SA，F（hn，fn）收敛到A，F（\'h，\'F）。我们引入符号L{un}表示fa序列（un）n的极限点集∈N、 作为fn∈ Im（F），存在元素tn∈ T使得F（tn）=fn对于每个n。通过嵌套公式（5），我们推导出a（hn，tn）=SA，Fhn，F（tn）= SA，Fhn，fn. （15） 现在我们将显示集合LA（hn，tn）极限点的个数减少到singleton{SA，F（\'h，\'F）}。证明分为以下几个步骤：1。LA（hn，tn）6= ,2、LA（hn，tn） A.\'h，L（{tn}）,3、A\'\'h，L（{tn}）减少到单态{SA，F（\'h，\'F）}，4。LA（hn，tn）= {SA，F（\'h，\'F）}。这是证据。1、按顺序A（hn，tn）n∈在紧集Im（A）中取值，我们有LA（hn，tn）6= .2、我们证明A（hn，tn） A.\'\'h，L（{tn}）.

设a为集合L的一个元素{A（hn，tn）}. 根据后一组的定义，存在一个子序列A（hΦ（n），tΦ（n））n∈现在，我们知道（hΦ（n））n∈Nconvergesto？h，但不一定是（tΦ（n））n∈Nconverges。然而，根据尾集T的相似性，存在一个子序列（TψoΦ（n））n∈正在转换为特定的∈ L{tn}. 作为序列A（hΦ（n），tΦ（n））n∈Nis收敛到a，子序列A（hψoΦ（n），tψoΦ（n））n∈Nis也收敛到a。既然两个内部子序列都收敛，我们使用映射a的连续性，得到a=limn→∞A（hψoΦ（n），tψoΦ（n））=A（\'h，\'t）∈ A.\'\'h，L（{tn}）.3、证明等式A\'\'h，L（{tn}）= {SA，F（\'h，\'F）}。从集合L开始{tn}T的紧性不是空的，我们考虑（\'T，\'T′）∈ L{tn}序列（tn）n的任意两个极限点∈N、 作为F（tn）=fn和limn→∞fn=\'f，通过因子映射f的连续性，我们推断f（\'t）=\'f=f（\'t\'。嵌套的公式（5）给定SA（\'h，\'t）=SA，F\'h，F（\'t）\'= SA，F（\'h，\'F）=SA，F\'h，F（\'t\'）= A（\'h，\'t\'）。这证明了\'\'h，L（{tn}）= {SA，F（\'h，\'F）}。4、综合前面的结果，我们得出 6=LA（hn，tn） A.\'\'h，L（{tn}）= {SA，F（\'h，\'F）}。（16） 我们的结论是A（hn，tn）= {SA，F（\'h，\'F）}。从等式（15）中，我们得到等式LSA，Fhn，fn= LA（hn，tn）= {SA，F（\'h，\'F）}。因此，序列SA，F（hn，fn）收敛到SA，F（\'h，\'F）。证据到此为止。3.3.3凸性当我们处理凸性时，我们假设（2）中的集H、t和F是向量空间。我们还假设聚合器a:H×t→ （2）中的A取趋势实值，即A=R∪ {-∞, +∞ }.提案3.11。让这对（A，F）是弱时间相关性，如定义3.2所示。

如果存在非空凸集 T使得F（(R)T）=Im（F），并且限制函数F |(R)是一个函数，如果聚合器a是联合凸的，则子聚合器SA，Fin（3）在H×Im（F）上是联合凸的。在开始证明之前，让我们强调一点，即即使限制函数F |'Tbe a ffe看起来很强的假设，它也是非常现实和普遍的。事实上，例如，如果因子映射F是F上的同一映射，则它满足命题3.11的条件：因此，条件期望或条件平均风险值包含在该框架中。证据我们引入符号epi（M）来表示映射M的题记。我们通过证明子聚集子SA，Fis的题记是联合凸的来证明它是联合凸的。允许（h，f），a和（h，f），a是子集料器铭文epi（SA，F）的两个元素。因此，我们有一个≥ SA、F（h、F）和a≥ SA，F（h，F），通过与λa+（1）相加- λ） a≥ λSA，F（h，F）+（1- λ） SA，F（h，F），（17），其中λ是[0，1]的n元素。假设F（\'T）=Im（F），则存在两个元素（\'T，\'T）∈\'Tsuch thatF（\'t）=fand F（\'t）=F.（18）我们有连续的等式和不等式λa+（1- λ） a≥ λSA，F（h，F）+（1- λ） SA，F（h，F），（根据公式（17），）=λSA，Fh、 F（(R)t）+ (1 - λ） SA，Fh、 F（(R)t）, （根据公式（18），）=λA（h，’t）+（1- λ） A（h，’t），（根据公式（5），）≥ A.λh+（1- λ） h，λ′t+（1- λ） \'\'t, （通过A的凸性，）=SA，Fλh+（1- λ） h，Fλ′t+（1- λ） \'\'t, （根据公式（5），）=SA，Fλh+（1- λ） h，λF（(R)t）+（1- λ） F（(R)t）,（按T上的F单位表示，）=SA，Fλh+（1- λ） h，λf+（1- λ） f级, （根据公式（18）。）我们推断元素λh+（1- λ） h，λf+（1- λ） f级, λa+（1- λ） a位于subaggr egator的铭文epi（SA，F）中。证据到此为止。设X为一个集合。

映射M:X的题记→ R∪ {-∞, +∞} 由epi（M）定义=（x，y）∈ X×R:M（X）≤ y其中y是实数r。注意，如果因子F只是凸的，我们不能在一般情况下得出结论。例如，设A（h，t）=h+t为聚合器，设F（t）=exp（t）为因子。然后，偶（A，F）是弱时间一致的，与相关的非凸子集orSA，F（h，F）=h+ln（F）是弱时间一致的。3.3.4同质性在处理同质性时，我们假设（2）中的集合H、T、A和F具有与标量场R的外部乘法。命题3.12（正同质性）。让这对夫妇（A，F）保持弱的经济一致性，如定义3.2所示。如果映射A是联合正同质的，如果映射F是联合正同质的us，那么子聚集子SA，fis是联合正同质的us。证据设（h，t）为h×t的元素o。设λ∈ R+。我们有以下等式a，Fλh，λF（t）= SA，Fλh，F（λt）, （通过F的正同质性）=A（λh，λt），（通过嵌套式（5））=λA（h，t），（通过A的正同质性）=λSA，Fh、 F（t）, （通过嵌套公式（5）。）证据到此为止。3.3.5平移不变性我们处理的是平移不变性，我们假设（2）中的集合H、T、A和F具有加法+。我们还假设存在一组Iof不变量，它是H、T、a和F的公共子空间，如下所示。定义3.13。设X和Y为带加法+。让我 十、∩ Ybe是X和Y的公共子集。a映射M:X→ Y被称为I-翻译变体ifM（x+I）=M（x）+I，x个∈ 十、我∈ 我（19） 提案3.14。让这对（A，F）是弱时间相关性，如定义3.2所示。如果映射A是联合平移不变的，如果映射F是非平移不变的，则子聚集器SA、Fis是联合平移不变的。证据

设（h，t）是h×t的一个元素。设i∈ 一、 我们有以下等式：SA，Fh+i，F（t）+i= SA，Fh+i，F（t+i）, （通过F的平移不变性）=A（h+i，t+i），（通过嵌套公式（5））=A（h，t）+i，（通过A的平移不变性）=SA，Fh、 F（t）+ i，（根据嵌套公式（5））我们得出结论，子聚合器SA、Fis联合翻译入侵。4重温升土教派。2、我们已经选择了一系列参数，涉及时间一致性和各种设置下的嵌套公式。在第节中。3、我们正式陈述了时间一致性（TC）和嵌套公式（NF）的（抽象）定义，并证明了它们的等价性。我们还提供了条件，以获得嵌套公式中出现的映射SA的分析性质，如单调性、连续性、凸性、正齐性和平移不变性。现在，我们回到第节简要回顾的文献。2，以及我们如何应用我们的框架。

为此，我们阅读了每一篇文章，并试图回答两个问题。首先，与时间一致性或嵌套公式的最小概念相关的核心假设是什么？特别是，头和尾是什么，时间一致性是如何形成的？我们将发现，选择中的各种定义都是我们的特例。第二，核心TC或NF公式之外的假设是什么，它们对嵌套公式中的子集计意味着什么？我们将提取特定于每位作者的额外假设，并强调他们的额外贡献。4.1时间一致性公理化（TC）我们从阐述时间一致性公理化的一组作者开始调查。这一群体又分为处理彩票和偏好的经济学家和处理随机过程和动态风险度量的概率论者。4.1.1彩票和优惠SKREP和Porteus（Kreps和Porteus（1978），Kreps和Porteus（1979））在第一篇论文中陈述了时间一致性（公理2.1）。在第二篇论文中，他们关注的是两阶段问题的特殊情况。他们的公理是我们通常时间一致性定义3.5的一个实例。利用我们的命题3.6，我们直接推导出了在其第二个参数和aNested公式中存在一个递增的子聚集子，而它们在更强的假设下得到了更强的结果。事实上，他们增加了连续性、替代性（与凸性相关）的假设，并将重点放在通常的时间一致性和严格不等式上。

这使他们能够获得一个在第二个参数中连续且严格递增的子聚集器，并分别由（（引理4，定理2）和命题1）定义：uyt：（z，γ）∈ Zt×R：γ=Uyt，对于某些x，z（x）∈ Xt+1→ R、 Epstein、SchneiderEpstein和Schneider（2003年2月）提出了一个动态一致性公理（公理4:DC），这是我们定义的3.5一般时间一致性的一个特例。利用我们的命题3.6，我们直接推导出子集计在其第二个参数和嵌套公式中增加的存在性，而它们在强er假设下得到的结果更强。事实上，他们引入了四个额外的公理——条件偏好（CP）、多重优先权（MP）、风险偏好（RP）和完全支持（FS）——这些公理确保了子集合的部分形式。MP和CP确保子集合或可以表示为闭合且凸的矩形r概率集上的最小期望。MP和RP确保标准随时间的推移而增加。FSF确保概率度量得到充分支持。Epstein a和Schneider获得以下与时间一致性相关的嵌套公式（定理3.2）：Vt（h，ω）=minm∈P+1t（ω）Rhuht（ω）+ βVt+1（h）idm。4.1.2动态风险度量和过程Ruszczy'nsky研究Ruszczy'nski（2010）动态风险度量{ρs，T}Ts=1。时间一致性（他的定义3）是我们通常的时间一致性定义3.5的一个特例。利用我们的命题3.6，我们直接推导出子聚集子在其第二个参数和一个嵌套公式中增加的存在性，其中Ruszczy'nsky在stronger a假设下得到了一个更强的结果。事实上，他添加了一些假设，这些假设诱导了子集料器的部分形态。根据条件风险度量ρs，T，定义ρs，s′与s的映射≤ s′≤ T

利用我们对聚集器A和因子F的符号，他接着关注初始评估为A=ρs，未来评估为F=ρs′，T的情况。通过平移和归一化（ρs，T（0）=0）对不变性的两个附加假设，Ruszczy\'nsky能够声明子聚集器或具有m的特定值（定理1）：SA，F=ρs，s′。Inatzner、Delbaen、Eb er、Heath和Ku（2007）、Artzner、Delbean、Eber、Heath和Ku当前时间一致性（定义4.1），这是我们通常时间一致性定义3.5的一个实例。利用我们的命题3.6，我们直接推导出子集计在其第二个参数和嵌套公式中的存在性，而它们在更强的假设下得到了更强的结果。实际上，他们研究了mψt=supP∈PEP[·| Ft]，其中Pis是概率的子集，（Ft）Tt=0是过滤比n。他们在给出嵌套公式之前进行中间步骤。他们使用一种工具，通过粘贴概率分布集P的（矩形性）来命名稳定性。通过我们对ag gregator A和因子F的标记，这使他们能够获得≤ s′，即如果A=ψ和F=ψs′，则子集料器具有特定形式（定理4.2）：SA，F（h，·）=ψs（h+·）。4.2 Axiomatic for Nested formulas（NF）Shapiro和R uszczy'nskiRuszczynski和Shapiro（2006）研究了一系列条件风险映射ρt=ρX | Xo · · · o ρXt | Xt-1（方程式（5.8））。每个ρtis递增并与σ-代数Ft相关，其中（Ft）Tt=2是过滤。由于这些映射ρtar是我们的嵌套公式（5）中映射的实例，因此使用我们的命题3.6，它们通常是一致的。