时间一致性与嵌套公式的等价性

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英文标题：
《Equivalence Between Time Consistency and Nested Formula》
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作者：
Henri G\\\'erard (CERMICS), Michel de Lara (CERMICS), Jean-Philippe
  Chancelier (CERMICS, MATHRISK)
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  You are a financial analyst. At the beginning of every week, you are able to rank every pair of stochastic processes starting from that week up to the horizon. Suppose that two processes are equal at the beginning of the week. Your ranking procedure is time consistent if the ranking does not change between this week and the next one. In this paper, we propose a minimalist definition of Time Consistency (TC) between two (assessment) mappings. With very few assumptions, we are able to prove an equivalence between Time Consistency and a Nested Formula (NF) between the two mappings. Thus, in a sense, two assessments are consistent if and only if one is factored into the other. We review the literature and observe that the various definitions of TC (or of NF) are special cases of ours, as they always include additional assumptions. By stripping off these additional assumptions, we present an overview of the literature where the contribution of each author is enlightened.
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中文摘要：
你是一名金融分析师。在每周开始时，您可以对从该周开始到地平线的每对随机过程进行排序。假设一周开始时两个过程相等。如果排名在本周和下一周之间没有变化，那么你的排名过程是时间一致的。在本文中，我们提出了两个（评估）映射之间的时间一致性（TC）的一个极简定义。通过很少的假设，我们能够证明时间一致性和两个映射之间的嵌套公式（NF）之间的等价性。因此，在某种意义上，两种评估是一致的，当且仅当一种评估被纳入另一种评估时。我们回顾了文献，发现TC（或NF）的各种定义都是我们的特例，因为它们总是包含额外的假设。通过剥离这些额外的假设，我们对每一位作者的贡献都有所启发的文献进行了概述。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Equivalence_Between_Time_Consistency_and_Nested_Formula.pdf (306.25 KB)

2022-6-1 18:23:42 上传

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关键词：一致性 Quantitative Optimization Applications Contribution

时间一致性与嵌套公式Henri G'erarda，b之间的等效性*, Michel De Laraa+和Jean-Philippe ChancelieraaUniversit\'e Paris Est，CERMICS（ENPC），F-77455 Marne la Vall\'ee，FrancebUniversit\'e Paris Est，Labex B\'ezout，F-77455 M arne la Vall\'ee，FranceMay 20，2019年摘要列出一个标准，其中，在每周开始时，从该周开始到地平线的每对随机过程都要进行存储。假设一周开始时两个过程相等。如果排名在本周和下一周之间没有变化，则排名程序是时间一致的。在本文中，我们提出了两个（评估）映射之间时间一致性（TC）的最低定义。通过几个假设，我们能够证明时间一致性与两个映射之间的嵌套公式（NF）之间的等价性。因此，在asense中，当且仅当一个评估被纳入另一个评估时，两个评估是一致的。我们回顾了文献，发现TC（或NF）的各种定义都是我们的特例，因为它们总是包含额外的假设。通过剥离这些附加假设，我们对作者的具体贡献受到启发的文献进行了概述。此外，我们还提出了两类在适当假设下显示时间一致性的映射，即tr-an-slation不变映射和Fenchel-Moreau共轭映射。关键词：动态风险度量、时间一致性、嵌套公式*hgerar d。pro@gmail.com+米歇尔。delara@enpc.frjean-philippe。chancelier@enpc.fr1引言在“时间一致性”和“嵌套公式”这两个词背后，我们可以找到大量的文献，这些文献涉及经济学、动态风险度量和随机优化。让我们从经济学开始。在动态谈判问题中，一群代理人必须就共同的行动方式达成一致。

随着时间的推移和信息的逐步披露，他们都可以重新考虑过去的协议，并可能做出新的评估，从而采取新的行动。稳定性是代理人将坚持其先前承诺的属性。时间一致性是一种稳定的形式，当个人在不同的自我（代理人）之间长期达成交易时。“始终如一的行动方针”（Seeeleg和Yaari，1973）的概念在经济学领域广为人知，Strotz（1955-1956）的开创性工作就是：如果一个人在以后重新评估他的计划时没有偏离最初选择的计划，那么他计划的消费轨迹是始终如一的。这种“坚持自己的计划”的一致性思想可以扩展到不确定的情况，即计划被决策规则取代（“这样做，如果你发现自己在这部分状态空间中还有这么多时间”，Richard Bellman引用inDreyfus（2002））；哈蒙德（1976）提到了“一致性”和“连贯的动态选择”，克雷普斯和波特乌斯（1978）提到了“时间一致性”。经济学中的另一个经典参考文献是isEpstein和Schneider（2003）。在动态风险度量的背景下引入了动态或时间一致性（seeRiedel，2004；Detlefsen和Scandolo，2005；Cheridito等人，2006；Art-zner等人，2007，连贯和一致动态风险度量的定义和性质）。在随机优化领域，Ruszczy'nski（2010）研究了马尔可夫决策过程的时间一致性。这些时间一致性的不同起源促成了不同的文献。首先，由于嵌套公式自然会导致时间一致性，一些作者研究了获得嵌套公式的条件，而另一些作者则关注时间一致性的公理并获得嵌套公式。

第二，许多定义同居。例如，Ruszczy'nski（2010）用AdditiveLiterion添加了平移不变性，Shapiro（2016）；Artzner、Delbaen、Eber、Heath和Ku（2007）补充了一致性风险度量的假设，许多作者专注于特定的信息结构（过滤）。在这种脱节的情况下，De Lara和Lecl\'ere（2016）试图将最优控制问题（经济学、随机优化）的“动态一致性”与动态风险度量的“时间一致性”联系起来。在本文中，我们将重点关注时间一致性，这是由动态风险度量所激励的，其中对流程尾部的未来评估与对整个流程（首尾）的初始评估一致，但不限于此。下面，我们简要介绍了TC和NF的定义。我们的主要贡献将是证明它们的等效性。设H和T为两组，分别称为头组和尾组。设A，F为两组，A和F为两个映射，如下所示：A:H×T→ A、F:T→ F（1） 映射A称为聚合器，它将H×t中的head-t-ail聚合为A的一个元素。映射F称为因子，因为有嵌套公式（NF）。时间一致性公理化。我们开始简单地介绍时间一致性公理。根据作者的不同，被操纵的对象要么是过程（Riedel，2004；Detlefsen和Scandolo，20 05；Cheridito，Delbaen和Kupper，2006；Artzner，Delbaen，Eber，Heath，a和Ku，2007）要么是彩票（Kreps和Porteus，1978；Epstein a和Schneider，2003）。这些物体被分为两部分：前h和尾部t。一方面，我们有一种方法通过映射F（因子）来评估任何尾部t，得到F（t）。

另一方面，我们有一种通过映射a（聚合器）得到ssessany对头尾（h，t）的方法，得到a（h，t）。我们寻找这两个排序映射F和a之间的一致性：如果尾部t等价于尾部t′，那么共享相同头部的两个元素（h，t）和（h，t′）必须是（h，t）等价于（h，t′）。这可以用数学公式表示为F（t）=F（t′）=> A（h，t）=A（h，t′），（h，t，t′）∈ H×T.（TC）公理，用于公式的嵌套ed。一些作者关注有效条件以获得嵌套公式（Shapiro，2016；Ruszczynski和Shapiro，2006）。在嵌套公式中，通过代理映射SA，任何尾部t的评估F（t）在任何头部t的评估A（h，t）内分解，Fas如下：A（h，t）=SA，Fh、 F（t）. （NF）当然，（NF）意味着（TC）。我们将证明相反的：（TC）意味着存在一个映射SA，Fsuch，（NF）ho lds true。在第节中。2、我们查阅文献，目的是提取以下组成部分：处理什么样的对象，头和尾是什么，这些对象是如何排序的。在第节中。3、我们正式陈述了时间一致性（TC）和嵌套式公式（NF）的定义，并证明了它们的等价性。我们还提供了获得嵌套公式中映射SA的解析性质的条件，如单子性、连续性、凸性、正齐性和平移不变性。在第节中。4、我们表明，我们的框架涵盖了第节中所述的不同的框架。2、最后，在第。5，我们给出了两类映射，变换不变映射和Fenchel-Moreau共轭，它们在适当的假设下表现出时间一致性。2文献综述我们筛选了一系列数学和经济学论文，涉及不同背景下的时间一致性和嵌套公式。

根据设置，我们确定以下组件，如第节所述。1： 处理什么样的对象，头和尾是什么，这些对象是如何排列的。表1总结了我们的调查。Article Objects Head-Tail assessment Kreps and Porteus（1978）LotteryLotteryfrom 1 to sLottery from s+1 to TExpected u tilityEpstein and Schneider（2003）LotteryLotteryfrom 1 to sLottery from s+1 to TNot necessarilyexpected utilityRuszczczy\'nski（2010）processfrom 1 to sProcess from s+1 to TDynamicrisk measureArtzner，Delbaen，Eber，Heath，Ku（2007）ProcessProcessfrom 1 toτProcess fromτto T，τstopping timeCoherentrisk measureShapiro（2016）ProcessProcessfrom 1 to sProcess from S+1 to TCoherentrisk measureRuszczynski and Shapiro（2006）ProcessProcessfrom 1 to sProcess from S+1 to TCoherentrisk measureDe Lara and Lecl\'ere（2016）Processfrom 1 to sProcess from S+1 to Tdynamic Risk Measurement表1：根据时间一致性和嵌套公式s2.1公理化选择的论文草图时间一致性（TC）第一组作者分为处理彩票和偏好的经济学家和处理随机过程和动态风险度量的概率论者。2.1.1彩票和优惠Sinkreps和Porteus（1978）、Kreps和Porteus（1979）以及Epstein和Schneider（2003），作者处理彩票和优惠。偏好是一种整体的、传递的和反射的关系。适当的假设使得偏好关系可以用数值评估来表示。还对单调性和凸性进行了假设。InKreps和Porteus（1978）提出了公理，使引用由公式的预期效用表示。相比之下，inEpstein和Schneider（2003）研究了更一般的数值表示，即使作者添加了一个加性标准的假设。

假设总结见表2.2.1.2动态风险度量和过程Inruszczy'nski（2010）和Artzner、Delbaen、Eber、Heath和Ku（2007），作者处理了通过动态风险度量评估的随机过程。在Ruszczy\'nski（2010）中，作者研究了一系列单调、平移不变和齐次的条件风险度量。标准是可加的。Inatzner、Delbaen、Eb-er、Heath和Ku（2007年），作者专注于最后一个时间步的随机过程的价值。他们使用特定类别的风险度量作为评估，即所谓的一致风险度量。2.2 Shapiro（2016）、Ruszczynski和Shapiro（2006）以及De Lara和Lecl\'ere（2016）中的嵌套公式公理化（NF），重点在于展示获得嵌套公式的有效条件。

所有作者都研究随机过程，并假设评估是单调的，但存在一些差异。在Ruszczynski和Shapiro（2006）中，作者研究了对偶形式的相干r isk测度（因此具有凸性、平移不变性和加法准则）。InShapiro（2016年），作者着重于在最后一步用一致的风险度量评估流程的价值。在De Lara和Lecl\'ere（2016）中，作者研究了时间聚合器和不确定性聚合器之间的交换特性如何使获得嵌套公式成为可能。Article MonotonicityTranslationVarianceConvexityKreps and Porteus（1978）Yes No YesKreps and Porteus（1979）Yes No YesEpstein and Schneider（2003）Yes No YesRuszczy\'nski（2010）Yes Yes NoArtzner，Delbaen，Eber，Heath，Ku（2007）Yes Yes Shapiro（2016）Yes YesRuszczynski和Shapiro（2006）Yes YesDe Lara和Lecl\'ere（2016）Yes No引人注目的2：关于时间一致性和嵌套公式的论文选择中最常见的假设3主要结果：时间一致性和嵌套公式之间的等效性。1、我们勾勒出了时间一致性和嵌套公式的概念。现在，在§3.1中，我们用最小假设正确定义了弱时间一致性，并证明它等价于一个嵌套公式。在§3.2中，我们将定义和结果扩展到通常和强时间一致性：通过添加顺序结构，我们获得了附加属性。在§3.3中，我们提供了获得嵌套公式中出现的映射的分析特性的条件，如单调性、连续性、凸性、正齐性和平移方差。让我们介绍一下基本符号。设H和T为两组，分别称为头集和尾集。设A，F为两个集合，A和F为两个映射，如下所示：A:H×T→ A、F:T→ F

（2） 映射A称为聚合器，它将H×t中的head-t ail聚合为A的元素。映射F称为因子，因为第节中的嵌套公式（NF）。1.定义3.1。利用（2）中的耦合聚合器fa-ctor（A，F），我们将集值映射sa，F:H×Im（F）关联起来=> A（h，f）7→ SA，F（h，F）=A（h，t）| t∈ F-1（f）,（3） 式中，Im（F）=F（T）。我们称SA为这对夫妇（A，F）的子集合体。3.1弱时间一致性定义3.2（弱时间一致性）。如果F（t）=F（t′，则（2）中的耦合聚合器事实r（A，F）满足弱时间一致性y（WTC）=> A（h，t）=A（h，t′），h类∈ H（t，t′）∈ T、 （4）这里是我们的主要结果，我们在（3）中描述了WTC在亚骨料方面的特性。定理3.3（WTC映射的嵌套分解）。（2）中的耦合聚合因子（A，F）是WTC当且仅当子聚合器se t值映射SA，Fin（3）是映射。在这种情况下，映射之间的以下嵌套公式为真：A（h，t）=SA，Fh、 F（t）, h类∈ Ht型∈ T（5） 证明。注意，我们总是通过方程式（3）得出a（h，t）∈ SA，Fh、 F（t）. (6)1. 我们假设这对（A，F）是弱时间一致的。考虑（h，f）固定在h×Im（f）中。我们将通过证明（3）中定义的集SA，F（h，F）被简化为一个单态来证明集值映射SA，F实际上是一个映射。我们在集SA，F（h，F）中考虑两个元素a=a（h，t）和a′=a（h，t′）。通过定义（3），我们得到F（t）=F（t′）=F。然后，利用弱时间一致性性质（4），我们推导出A（h，t）=A（h，t′）。因此，对于F，SA，F（h，F）减小为一个值∈ Im（F）。因此，集值映射SA，Fis是一个映射，利用方程（6），我们得到a（h，t）=SA，Fh、 F（t）.2、我们现在假设（3）中定义的集值映射SA，F是一个映射。

由于SA，Fis是一个映射，我们通过方程（6）推导出a（h，t）=SA，Fh、 F（t）对于所有t∈ T、 因此，我们有以下含义：F（T）=F（T′）=> SA，Fh、 F（t）= SA，Fh、 F（t′）=> A（h，t）=A（h，t′）。我们得出的结论是，弱时间一致性性质（4）是满足的。在这两种情况下，我们都证明了方程（5）是正确的。例3.4（夫妻(AV@Rβ[· + ·] , AV@Rβ[·| F]）不是弱时间一致的）。我们现在给出一个受（P flug和Pichler，2014，第5.3.2节，第188页）启发的例子，涉及众所周知的平均风险值。这有助于说明主要结果和我们引入的概念。允许Ohm = （ω，ω，ω，ω），我们装备有统一的概率分布p=Δω+Δω+Δω+Δω。我们引入集合H=T=R|Ohm|= R、 在这个有限的空间上Ohm, 平均风险值为β级（0≤ β ≤ 1） 随机变量X的：Ohm → R由Rockafellar和Uryasev（2000）定义AV@Rβ（X）=最小α∈Rα +1 - βEP[X- α ]+. （7） 让F=, {ω, ω}, {ω, ω}, Ohm成为空间上的σ场Ohm. 随机变量X的条件平均风险值为β级：Ohm → R关于σ-场F的定义如下（Ruszczy'nski（2010），示例3）：AV@Rβ（X | F）=infUF（U+1- βEP[X- U]+F), （8） 其中，在F可测量的所有随机变量U中，从点的角度理解了最小值，并且β级可能是一个F可测量函数，其值在一个区间[βmin，βmax] [0，1）。我们定义了两个映射a:H×T→ R F：T→ R（9a）（h，t）7→ AV@R0.5【h+t】，t 7→ AV@R0.5[t | F]。（9b）考虑四个要素：头部h=（0，0，0，0）∈ H、 第一尾t=（3，3，2，1）∈ T、 第二条尾巴T′=（1，3，2，2）∈ T和因子图像的一个元素f=（3，2）∈ F、 一方面，元素F（t）和F（t′）相等，becauseAV@R0.5[t | F]=（3；2）{z}F=AV@R0.5[t′| F]。