制度转换模型中期权定价的直接解法

区域A=C中的值函数vp（x）和vp（x）∩Care以A为界。此外，当区间的任何端点都不是自然边界时，对于以A为界的某些连续函数z，（3.18）的解为vp（x）=kz（x）（vp将同时找到）。这适用于任何基本扩散x，其参数u（·，i）和σ（·，i）对于每个i=1,2都满足（2.1），并且只需要确定一个权重k。证据我们首先展示了supx∈Avpi（x）<∞, 通过使用矛盾，i=1,2。让我们假设对于stoppingregionΓi，h（x）<supx∈Avpi（x）用于 x个∈ Γi.这意味着停止区域Γi不存在，我们排除这种情况。因此，如果存在停止区域Γi，则存在x∈ Γisuch that supx∈Avpi（x）≤ h（x）<∞.让我们假设Ais的一个端点是左边界l. 当Ais r的一个端点时，证明是相似的。定义C是很自然的*(l,b] ，上的一组有界连续函数(l,b] 对于某些b<r，我们知道C*(l,b] 是关于sup范数| | f的完全度量空间-g | |：：=supx∈(l,b] | f（x）-g（x）|（见鲁丁[22，第150-151页]）。我们有λλU（q+λ）U（q+λ）f（x）=Exhe-qTEXThe公司-qTf（XT）iif∈C*(l,b] 此外，E·he-αTi=R∞e-αtλe-λtdt=λα+λ，α>0。然后，limα↓0E·he-αTi=1和T<∞ 几乎可以肯定。同样，T<∞ 几乎可以肯定。通过采用足够大的b，我们可以确保-qTf（XT）i≤||f | |·外部-qTialmost said和A (l,b] 。那么，对于f，g∈C*(l,b] ，我们有λλU（q+λ）U（q+λ）f-λλU（q+λ）U（q+λ）g≤Exhe公司-qT | | f-g | |外部-qTii=| | f-g | | Exe-qTλq+λ= ||f-g | |λq+λλq+λx∈ (l,b] 16 EGAMI和KEVKHISHVILISinceλq+λq+λ<1，因此λλU（q+λ）U（q+λ）是C*(l,b] 。然后，由于收缩映射定理（见Royden和Fitzpatrick【21，第10.3节】），只有一个固定点f∈C*(l,b] 满足λλU（q+λ）U（q+λ）f=f。

特别是，对于（3.18）中的第一个方程，我们只有一个解。4、寻找最优解的方法在第3节中，我们描述了问题（2.7）在Aj的每个区域的值函数，j=1,2,3,4定义为asI=（Γ∩Γ) ∪（C）∩Γ) ∪（C）∩Γ) ∪（C）∩C） ：=A∪A.∪A.∪A、 基于这个特征，我们将展示如何获得值函数。我们在第3节（命题3.2）中对价值函数的描述没有假定Aj的任何特定顺序或形式，j=1,2,3,4。因此，在复杂结构的情况下，例如，断开的停止区域，状态空间I的每一种划分模式仍然可以写成Aj的组合。因此，下文讨论的必要和充分条件以及估算程序适用于所有模式。因为我们知道，从命题3.2，v的形式*（x，i），i=1,2在每个区域中，我们可以借助于每个区域中的命题2.1，应用Dayanik和Karatzas[5，命题5.11和5.12]的凹度表征结果。变换：让我们按照（2.3）F（x）：=ψq+λ（x）Дq+λ（x）和F（x）：=ψq+λ（x）Дq+λ（x）的值函数的F-凹度特征来定义，对于每个i=1,2，我们需要找到变换空间中相应奖励函数的最小非负凹面主分量，用Wi（Fi（x））表示。回想一下（2.5）中的转换。同时，我们需要确保满足下面命题4.1中的必要条件。让我们首先强调，这种方法不同于所谓的“猜测和验证”方法，后者需要一些通常针对特定问题的不同代数计算。相比之下，我们的方法是使用凹度的几何参数系统地找到解决方案。我们分析了Aj地区之间的临界点，如表1所示。

该表不包括A/A和A/A区域之间的阈值，因为我们的设置中不存在这些阈值，如下所示。首先，假设A和A是相邻的区域。因为对于X（1），Ais是连续区域，Ais是停止表1。阈值点和每个点分隔的两个区域的摘要。我们的设置中不存在A/AandA/Ado的阈值。阈值分离区域阈值分离区域A/Ab A/Ac A/Ad A/A区域，存在y∈ A和z∈ a使h（y）<h（z）。这反过来又与Ais是X（2）的停止区域和延续区域这一事实相矛盾，因为奖励h是相同的。接下来，假设Ais与区域转换模型17A中期权定价的直接解法相邻，并将阈值设为s。在不丧失一般性的情况下，我们得到了vp（x）-h（x）>vp（x）-对于某些x，h（x）>0∈ Ain是s的邻域（x<s）。这表明通过等待获得的值高于x（1）。为了让副总裁-h（s）=vp（s）-h（s）=0，关系必须颠倒，且vp（y）-h（y）<vp（y）-h（y）必须保持一些x<y≤ s、 由于所有其他设置都保持不变，因此无法发生这种情况。我们将这些发现总结为备注，以供将来参考。备注4.1。以下两种说法是正确的：（1）区域A不能与区域A相邻。（2）区域A不能与区域A相邻。通过对称性，阈值A和b以及c和d具有相同的特征；因此，在不失去一般性的情况下，我们将只讨论a和c。由于（3.9）的相互作用性质，我们需要在各自的变换空间中同时找到W（F（x））和W（F（x）），以及a和c。区域AJ可能断开连接，导致多个a和c阈值；然而，命题4.1的必要条件对于任何这样的a和c都是相同的，无论它们的数量如何。

为了分析阈值，我们构建了以下表2和表3：表2。（3.9a）中的奖励函数和价值函数v*（x，1）。请注意，最后一行中的vp（·）是（3.14）区域A前进函数h的解-λU（q+λ）h（h）h-λU（q+λ）h（h）h-vp（H）值函数H u+λu（q+λ）hvpn注意，括号中的H1 j，j=1,2（表2）表示由F（x）转换的奖励函数的名称。H（y）=H-λU（q+λ）hДq+λoF-1（y），y∈ F（A）∪F（A），H（y）=H-λU（q+λ）vpДq+λoF-1（y），y∈ F（A）。（4.1）表3。（3.9b）中的奖励函数和价值函数v*（x，2）区域A正向函数h-λU（q+λ）h（h）h-λU（q+λ）[U+λU（q+λ）h]（h）h-vp（H）值函数H H vp=λU（q+λ）vp注意，括号中的H2 j，j=1,2，3（表3）表示由F（x）转换的奖励函数的名称。H（y）=H-λU（q+λ）hДq+λoF-1（y），y∈ F（A），H（y）=H-λU（q+λ）[U+λU（q+λ）h]Дq+λoF-1（y），y∈ F（A），H（y）=H-vpДq+λoF-1（y），y∈ F（A）。（4.2）以下命题基于命题3.2.18 EGAMI和KEVKHISHVILIProposition 4.1。必要条件。（N-1）值函数的连续性（引理3.1）提供了两个条件：u（c）+λu（q+λ）h（c）=vp（c），（4.3）h（c）=vp（c）=λu（q+λ）vp（c）。（4.4）如果h在{x上处处可微∈ I:h（x）>0}，也需要满足以下条件才能获得最优：（4.5）（h（c）-vp（c））′=h′（c）-λU（q+λ）vp（x）′x=c=0。条件（4.4）和（4.5）等同于H（F（c））=0，H′（F（c））=0。（4.6）无论h是否可微，我们必须选择c，使得F（A）上的h（y）的最大值在y=F（c）和h（F（c））=0时达到。（N-2）在区域中，u（x）=Дq+λ（x）W（F（x）），其中W（F（x））=AF（x）+B是Hin F（A）的最小非负凹角∪F（A）和一些A，B∈ R待定。阈值a被确定为W（F（a））=H（F（a））的点。

由于值函数的连续性，以下条件保持在a：（4.7）u（a）=h（a）-λU（q+λ）h（a）。如果h在{x上处处可微∈ I:h（x）>0}，也必须满足以下最优性：（4.8）u′（a）-h′（a）-λU（q+λ）h（x）′x=a= 条件（4.5）和（4.8）与著名的平滑条件一致。在可微和不可微的情况下，c和a分别通过求变换方向H的最小非负凹主元来获得。证据方程（4.3）、（4.4）和（4.7）是引理3.1和命题3.2的直接结果。对于（4.5），让我们考虑函数M（x）：=h（x）-λU（q+λ）vp（x）（见（3.5））。第一项是在x处立即停止时获得的奖励。第二项是在x处不停止时可以预期的贴现值。它可以被视为停止的机会成本，因此最优性的一阶条件′（x）=0。对于变换空间中的奖励函数H2·（y），我们有dh2·（y）dy=“F′（h-vp）′Дq+λ-（h）-vp）Д′q+λДq+λ#oF-1（y）。设置y=F（c），条件（4.4）和（4.5）表示（4.6）。u函数求解（3.10）并考虑（2.6），（4.9）u（x）=φq+λ（x）W（F（x））=Aψq+λ（x）+BДq+λ（x），其中A，B∈R待定。因此，W（F（x））的形式为：F（x））=AF（x）+BA直接解方法，用于在F（A）上的制度转换模型19中对期权进行定价，并优化奖励函数H。因为A点是A和A区域之间的阈值，并且处于v的停止区域*（x，2），v的奖励函数*（x，1）是h（x）-λU（q+λ）h（x）在两个aanda区域。因此，我们可以通过找到H（x）的最小非负凹主分量来确定边界点a-λU（q+λ）h（x）由F（A）中的F（x）变换∪F（A）。条件（4.8）的推导类似于（4.5）。

下面的命题导出了满足最优性的几何条件。这正是为了证明，在必要条件下，价值函数是每个区域中各自报酬的最小非负凹主函数。提案4.2。充足的条件。假设满足命题4.1中的必要条件，我们有以下四个充分条件来保证值函数的最优性：（S-1）h（x）-λU（q+λ）vp（x）=h（x）-由F（x）变换的vp（x）由F（A）中的水平轴进行主化。（S-2）h（x）-由F（x）变换的λU（q+λ）vp（x）主要由F（A）中的水平轴来表示。由F（x）变换的（S-3）u（x）是h（x）的最小非负凹主元-λU（q+λ）h（x）在F（A）和h（x）中由F（x）变换-由F（x）变换的λU（q+λ）h（x）在F（A）中是凹的。（S-4）h（x）-由F（x）变换的λU（q+λ）h（x）在F（A）和h（x）中是凹的-由F（x）变换的λU（q+λ）[U+λU（q+λ）h]（x）在F（A）中是凹的。证据命题3.2证明，在区域内，^u（x）=Дq+λ（x）W（F（x））≡0、然后奖励功能-λU（q+λ）vp（x）必须通过F（x）在变换空间中的水平轴进行优化。奖励函数h也是如此-λU（q+λ）vp（x），因为A中的^U（x）=0。声明（S-3）由U的定义确定。最终声明（S-4）很明显，注意到X（2）位于A和A的停止区域。

我们总结了查找值函数的过程。程序：（1）给定扩散及其参数和λi，i=1,2，计算（ψq+λ，Дq+λ），（ψq+λ，Дq+λ）和F，F。（2）通过（3.18）求解vp（x）的（3.14），从而得出vp（x）。（3） 确定表1中满足命题4.1必要条件的临界点。（4） 确保充分的条件（S-1）~（S-4）在命题4.2中得到满足。一旦获得v*（x、1）和v*（x，2）满足命题3.2和4.1中的条件，使用我们描述的方法，如果条件（S-1），则该对是一个解~ （S-4）在命题4.2中得到了满足。无需证明最优性的验证引理（Oksendal[17，定理10.4.1]）。我们只需要检查条件（S-1）~ （S-4）几何。为了说明这一点，我们将在下一节中解决一个实际问题。例如，我们研究了股息支付股票上的美式上限看涨期权（Broadie和Detemple[3]和Dayanikand K aratzas[5]）。股票价格由DXT=（r）驱动-Δηt）Xtdt+σηtXtdBt，ηt∈ {1,2}，常数σηt>0，r>0，Δηt>0。常数r和δ分别表示无风险利率和dividendrate。这个过程是一个状态空间I=（0，∞) 20 EGAMI和KEVKHISHVILIboth边界是自然的。具有执行价的永久美式看涨期权的最优停止问题≥ 0和状态切换环境中的cap L>K isv*（x，i）=supτ∈性别-rτ（Xτ∧L-K） +]在风险中性概率测度下，h（x）=（十）-K） +，0<x≤ 五十、 （L）-K） +，x>L。我们可以验证（2.4）中的数量是有限的。

很自然地假设漂移项r-每个i的δi>0。步骤（1）：使用最小生成器Gi：=σixddx+（r-δi）xddx，（r+λi）v（x）的基本解-Giv（x）=0表示φr+λi（x）=xγi，1和ψr+λi（x）=xγi，2，i=1,2，其中γi，1<0，γi，2>0表示i=1,2。这些是二次方程（1/2）σix+（r）的根-δi-（σi/2））x-（r+λi）=0。在（2.3）中定义FIA：Fi（x）=xθi，θi=γi，2-γi，1>0，x>0，i=1,2。步骤（2）：通过求解（3.14），值函数v*（x，1）在formv的Ais区域*（x，1）=k xβ*其中β*是（3.19）的两个正根中较小的一个，其中ji（β）=r+λi-r-δi-σiβ-σiβ，i=1,2，k是待确定的常数。我们丢弃（1）两个负根，因为当x→ 0和（2）由于v的预解的完整性条件，正两个根中的较大者*（x，1）。注意β*> 确实，让我们设置f（β）：=j（β）j（β）-λλ，其中f（β*) = 0保留。由于δi，λi>0，我们得到f（1）=（λ+δ）（λ+δ）-λλ>0且f′（1）=-（λ+δ）（r-δ+σ) -（λ+δ）（r-自r起δ+σ）<0-当i=1,2时，δi>0。f的连续性意味着β*> 1、步骤（3）：该步骤是关于识别A/A区域之间的阈值c。从奖励h的形式来看，很明显区域的左边界为0。使用命题4.1和设置D：=λj（β*), 我们用h（y）=h来解（4.6）-λU（r+λ）kxβ*^1r+λoF-1（y）=-Dkyβ*θy-γ2,1θ，y∈ （0，F（K）]，yθ-K-Dkyβ*θy-γ2,1θ，y∈ （F（K），F（L）]，L-K-Dkyβ*θy-γ2,1θ，y∈ （F（L），∞).（4.6）中的两个条件提供了（5.1）k=c-KDc公司-β*> 0和c=β*Kβ*-1> 制度转换模型中期权定价的KA直接解法*> 从第二个方程中，我们得到（5.2）c<L<=>β*>陆上通信线-K、 假设c<L成立。我们希望证明F（c）是唯一满足（4.6）的点。由于D>0，k>0，我们看到H（F（x））<0，并且在x上递减∈ （0，K）。

我们有H（F（K））<0，它可以证明H′（y）在最多两点处消失。方程H′（y）=0简化为（1-γ2,1）yθ-Dk（β*-γ2,1）yβ*θ= -γ2,1K>0。右手边是一个常数，很容易看出左手边只有一个极值点，这证明H′（y）最多消失两次。我们在每个步骤中显示图表将是有益的。此处设置的参数为（r、δ、δ、λ、λ、σ、σ）=（0.3,0.2,0.225,1,1,0.5,0.3），K=5，L=15。我们发现β*= 1.85235以及（γ1,1，γ1,2）=(-3.1265,3.3265）和（γ2,1，γ2,2）=(-5.7185,5.0518). 从（5.1）中，我们得到c=10.8661<L，k=0.0770。图2显示，H（y）主要由水平轴控制，并与c相切。因此，最小的非负凹主W（y）≡ 0和命题4.2中的条件（S-2）被确认为满足。图2。[F（K）上的H（y）图，∞) 当L=15时。当选择c作为（5.1）的解决方案时，我们可能会遇到两种类型的问题。首先，由于（5.1）没有考虑约束L，因此得到的c可能比L大。其次，当将c设置为（5.1）的解时，结果值函数可能不可行。可行性意味着对于某些x∈ I，v*（x，i）≤ h（x）必须保持所有x∈ A、 i=1,2。当L=15时，我们不会遇到这些问题。我们在第5.1节中设置了L=11.3，并演示了当（5.1）的解导致不可行值函数时的求解方法。当（5.1）的解大于L时，可以使用相同的方法。现在让我们回到原始参数集，其中L=15。我们已经确定了L=15时的阈值Cw，并证明只有一个c点满足（4.6）。从备注4.1中，Ais与A相邻。在下一步中，我们将找到分隔A和A区域的关联点A。

让我们通过设置与第4节中类似的表4和表5进行准备。让我们首先写下：（5.3a）λU（r+λ）kxβ*=λj（β*)kxβ*=: Dkxβ*, D>0,22 EGAMI和KEVKHISHVILITABLE 4。（3.9a）中的奖励函数和价值函数v*（x，1）区域A：（0，c）A向函数h-kxβ*（H） H类-λU（r+λ）h（h）h-λU（r+λ）h（h）值函数kxβ*u+λu（r+λ）hh表5。（3.9b）中的奖励函数和价值函数v*（x，2）区域A：（0，c）A向函数h-λU（r+λ）kxβ*（H） H类-λU（r+λ）[U+λU（r+λ）h]（h）h-λU（r+λ）h（h）值函数λU（r+λ）kxβ*h hλiU（r+λi）h（x）=λixλi+δi-Kλi+r, K<x≤ 五十、 λiλi+r（L-K） ，x>L，（5.3b）（5.3c）λU（r+λ）U（x）=λAψr+λ（x）j（γ1,2）+λBДr+λ（x）j（γ1,1）和λU（r+λ）λU（r+λ）h（x）=λλx（λ+δ）（λ+δ）-K（λ+r）（λ+r）, K<x≤ 五十、 λλ（λ+r）（λ+r）（L-K） ，x>L.（5.3d）注意，通过直接计算，我们得到j（γ1,2）>0和j（γ1,1）>0，这证实了（5.3c）是有限的。图3显示了在L=15的情况下，转换空间中表5中的奖励函数。虽然我们应该等到下一步完成后再在右面板（b）中绘制函数，但为了方便起见，我们还是将它们与左面板一起显示在这里。左侧面板（a）聚焦于区域y∈ （0，F（c）），并显示正向函数h（x）-变换空间（即H（y））中的λU（r+λ）vp（x）和最小非负主分量W（y）≡ 因此，^u（x）=0和V*（x，2）=λU（r+λ）vp（x）=λU（r+λ）kxβ*= Dkxβ*, x个∈ （0，c），其中k和c在（5.1）中给出。经证实，区域x∈ （0，c）是扩散X（2）的连续区域。步骤（4）：该步骤涉及识别阈值a。由于v的连续性*（x，1）在x=c时，我们有u（c）=kcβ*-λU（r+λ）h（c）来自（4.3）。