制度转换模型中期权定价的直接解法

此外，由于h满足线性增长条件，E[Yn]=E[sup0≤u≤t | h（Xxnu）-h（Xxu）|]≤3CE[支持0≤u≤t（1+| Xxnu |）]+3CE[sup0≤u≤t（1+| Xxu |））]，常数C>0。我们有supnE[Yn]<∞ 由于E[sup0≤u≤t | Xxu |]≤（1+2x）eC′t用于任何x∈ I具有常数C′，取决于Lipschitz和参数的线性增长条件（Mao和Yuan[16，Thm 3.24]）。这意味着（Yn）是一个一致可积序列，因此在lsion中收敛到0，在概率上也收敛到0。由于我们在定义Yn时使用了任意t，因此我们得到了limn→∞E[支持≥0e-qt | h（Xxnt）-h（Xxt）|]=0。那么，limn→∞|v（xn，1）-v（x，1）|≤ 画→∞supτ∈东南[东]-qτ| h（Xxnτ）-h（Xxτ）|]≤ 画→∞E[支持≥0e-qt | h（Xxnt）-h（Xxt）|]=0体制转换模型7中期权定价的一种直接解法，证明了v（x，1）在I上是连续的。最后，我们证明了动态规划原理。因为我们知道值函数满足线性生长条件，所以我们有'v（XTi，j）<∞ 对于每个j 6=i；因此，对于任何XTi，我们可以取ε-最优停止时间τε∈ 是这样的-qτεh（Xτε）]≥ ？v（XTi，j）-ε>0时的ε。为了表明τε的选择取决于起始状态和状态，我们写下τε（XTi，j）。使用移位运算符θ，设置τ′：=τ1lτ<T+（T+τε（XT，2）oθT）1lτ>T，其中τ是F-停车时间，τε表示当位置XTis已知n时选择的ε-最佳停车时间。即，EXT[e-τε（XT，2）qh（Xτε（XT，2））]≥ \'\'v（XT，2）-ε几乎可以肯定。自{T≤t}∈ Ft，{τ′≤t}∈ Ftandτ′是F-停止时间。然后，我们有*（x，1）≥ Ex[e-qτ′h（Xτ′）=Ex[e-qτh（Xτ）1lτ<T+e-q（T+τε（XT，2）oθT）h（XT+τε（XT，2）oθT）1lτ>T]=Ex[e-qτh（Xτ）1lτ<T+e-qTEXT[e-qτε（XT，2）h（Xτε（XT，2））]1lτ>T]≥Ex[e-qτh（Xτ）1lτ<T+e-qT'v（XT，2）1lτ>T]-ε，其中我们在第二行中使用了强马尔可夫性质。

由于τ是任意的停止时间，我们得到（3.3）v*（x，1）≥ supτ∈性别【e】-qτh（Xτ）1lτ<T+e-qT'v（XT，2）1lτ>T]。接下来，我们有-qτh（Xτ）1lτ<T+e-qτh（Xτ）1lτ>T]=Ex[e-qτh（Xτ）1lτ<T+1lτ>TE[e-qτh（Xτ）| FT]]=Ex[e-qτh（Xτ）1lτ<T+1lτ>Te-qTE[e-q（τ-T） h（Xτ）| FT]]≤ Ex[e-qτh（Xτ）1lτ<T+1lτ>Te-qT'v（XT，2）]，由于'v的定义。因此，我们得到*（x，1）≤ supτ∈性别【e】-qτh（Xτ）1lτ<T+e-这与（3.3）一起证明了动态规划原理（3.1）。对于v，线性增长条件、连续性和DPP保持类似*（x，2）。我们已经证明了v*（x，i）是一维最优停止问题（3.1）的解，从中可以看出，对于每个i，最优τ是集合{x的命中时间∈ I：v*（x，i）=h（x）}，通过引用Dayanik和Karatzas【5，命题5.13】。在引理3.1中，我们已经证明τ上的上确界可以在X的第一次命中次数上取下。我们进一步使用（2.10）中定义的预解算子进行处理（注意'v（·，j）≥ 0，j=1,2）和setExhe-qT'v（XT，2）i=Z∞前任e-qt？v（Xt，2）1lT∈dt公司=Z∞前任e-qt’v（Xt，2）|T∈ dt公司Px（T∈ dt）=Z∞Ex[e-qt'v（Xt，2）]·Px（T∈ dt）=ExZ∞e-qt'v（Xt，2）λe-λtdt= 前任λZ∞e-（q+λ）t'v（Xt，2）dt=λU（q+λ）(R)v（x，2）=：(R)g1,2（x）（3.4）8 EGAMI和Kevkhishvili在这里，我们使用XT和TF的独立性来表示第三个等式。同样，我们定义（3.5）’g2,1（x）：=λU（q+λ）’v（x，1）=ExλZ∞e-（q+λ）t'v（Xt，1）dt= Exhe公司-qT'v（XT，1）i。由于它与参数λ呈指数分布，我们可以进一步将第一项写在（3.1）asExh1l{τ<T}e中-qτh（Xτ）i=Z∞前任1l{τ<t}e-qτh（Xτ）1lT∈dt公司=Z∞前任1l{τ<t}e-qτh（Xτ）| T∈ dt公司·Px（T∈ dt）=Z∞前任1l{τ<t}e-qτh（Xτ）·Px（T∈ dt）=ExZ∞1l{τ<t}e-qτh（Xτ）λe-λtdt= 前任Z∞τe-qτh（Xτ）λe-λtdt= 前任λe-qτh（Xτ）Z∞τe-λtdt= Ex[e-（q+λ）τh（X（1）τ）]，过程X（1）具有漂移u（t，1）和扩散参数σ（t，1），因为所有实现都在{ω∈ Ohm :τ（ω）<T（ω）}。

此外，鉴于（3.4），（3.1）的第二项简化为xh1l{T<τ}e-qT'v（XT，2）i=Z∞前任1l{t<τ}e-qt？v（Xt，2）1lT∈dt公司=Z∞前任1l{t<τ}e-qt’v（Xt，2）|T∈ dt公司·Px（T∈ dt）=Z∞前任1l{t<τ}e-qt？v（Xt，2）·Px（T∈ dt）=ExZ∞1l{t<τ}e-qt'v（Xt，2）λe-λtdt= 前任Zτλe-（q+λ）t'v（Xt，2）dt= 前任λZ∞e-（q+λ）t'v（Xt，2）dt-前任λZ∞τe-（q+λ）t'v（Xt，2）dt= \'g1,2（x）-前任e-（q+λ）τEX（1）τλZ∞e-（q+λ）t'v（Xt，2）dt= \'g1,2（x）-Ex[e-（q+λ）τ′g1,2（X（1）τ）]。（3.6）注意，τ<Tin是（3.6）中第四行的第二项。鉴于（3.4），-\'g1,2（X（1）τ）=-EX（1）τhe-qT'v（XT，2）i.现在，“\'g1,2（X（1）τ）是由X（1）在停止时间τ处的漂移u（·，1）和扩散参数σ（·，1）的位置评估的期望值，是如果（1）在时间τ处不停止，并在时间Tand（2）处切换到状态2，并且从时间T开始表现最佳，则将上述（3.1）的第一项和第二项组合起来，并强调事实上，这个方程与X（1）的命中时间有关，我们写道*（x，1）=supτ∈塞克斯-（q+λ）τ（h- \'g1,2）（X（1）τ）i+\'g1,2（X）。同样，我们可以*（x，2）：=supτ∈塞克斯-（q+λ）τ（h- \'g2,1）（X（2）τ）i+\'g2,1（X）区域切换模型9中期权定价的直接解法，τ是过程X（2）的命中时间，漂移u（·，2）和扩散参数σ（·，2）。到目前为止，我们已经建立了耦合最优停止问题SV*（x，1）=supτ∈塞克斯-（q+λ）τ（h- \'g1,2）（X（1）τ）i+\'g1,2（X），（3.7a）v*（x，2）=supτ∈塞克斯-（q+λ）τ（h- \'g2,1）（X（2）τ）i+\'g2,1（X），（3.7b），其中\'g1,2和\'g2,1为（3.8）\'g1,2（x）=Exhe-qT'v（XT，2）i=λU（q+λ）'v（x，2），'g2,1（x）=Exhe-qT'v（XT，1）i=λU（q+λ）'v（x，1）。见（3.4）和（3.5）。在这个约化完成后，我们证明了这个小节的主要结果。提案3.1。

区域切换问题（2.7）等价于以下一对一维问题v*（x，1）=supτ∈塞克斯-（q+λ）τh（X（1）τ）-λU（q+λ）v*（X（1）τ，2）i+λU（q+λ）v*（x，2），（3.9a）v*（x，2）=supτ∈塞克斯-（q+λ）τh（X（2）τ）-λU（q+λ）v*（X（2）τ，1）i+λU（q+λ）v*（x，1）。（3.9b）换句话说，v（x，i），i=1,2 In（3.8）可以用v代替*（x，i），i=1,2。函数值v*（3.9a）中的（X（1）τ，2）表示以下内容：我们在τ处停止X（1），并计算v*（x，2）在x=x（1）τ时。类似地，函数值v*（3.9b）中的（X（2）τ，1）表示我们在τ处停止X（2），并计算v*（x，1）在x=x（2）τ时。证据通过对称性，可以证明（3.7a）和（3.9a）的等价性。将（3.9a）的右侧设置为J（x，1）。设（3.7a）和（3.9a）的最佳时间分别为'τ和'τ。根据v（·，2）的定义，我们有j（x，1）≤ v*（x，1）（见引理3.1）。在这个证明中，我们写下v（x）：=”v（x，2）和v*（x，2）：=v*（x） 为简洁起见。我们将显示J（x，1）≥ v*（x，1）：J（x，1）-v*（x，1）=λU（q+λ）（v*（十）- \'\'v（x））+排气-（q+λ）'τh类-λU（q+λ）v*（X（1）'τ）-e-（q+λ）(R)τh类-λU（q+λ）(R)v（X（1）’τ）i≥λU（q+λ）（v*（十）- \'\'v（x））+排气-（q+λ）(R)τh类-λU（q+λ）v*（X（1）’τ）-e-（q+λ）(R)τh类-λU（q+λ）(R)v（X（1）(R)τ）i=λU（q+λ）（v*（十）- 五（x））-λExZ∞？τe-（q+λ）tv*（X（1）t）dt-Z∞？τe-（q+λ）t'v（X（1）t）dt其中，第三行中的不等式是由'τ的定义引起的，第五行中的等式由强马尔可夫性质决定。自v起*（·，2）是原问题（2.7）的值函数，我们有v*（x，2）≥ (R)v（x，2）。因此，我们有j（x，1）-v*（x，1）≥λU（q+λ）（v*（十）- 五（x））-前任Z∞？τe-（q+λ）t（v*（X（1）t）- \'v（X（1）t））dt=λExZ？τe-（q+λ）t（v*（X（1）t）- \'v（X（1）t））dt≥ 0，这完成了证明。10 EGAMI和KEVKHISHVILIRemark 3.1。如果我们假设q的值也会随着制度的变化而变化，那么只要q满足每个i的假设2.1，命题3.1仍然成立，q由qin（3.9a）和qin（3.9b）代替。

文中的所有子序列分析也都认为，用q和qin代替w是一种明显的方式。3.2. 值函数的形式。现在我们将研究状态空间I=(l,r） 。我们定义A：=Γ∩Γ，A：=C∩Γ，A：=C∩Γ，A：=C∩C、 那么，I=（Γ∩Γ) ∪（C）∩Γ) ∪（C）∩Γ) ∪（C）∩C） =A∪A.∪A.∪A、 下面，我们写下每个区域的值函数的形式。E每个AJ可能断开；然而，在Aj的所有部分中，下面导出的值函数的形式仍然是正确的。让我们用Gi表示，i=1,2具有漂移u（·，i）和扩散参数σ（·，i）的发生器。首先，请注意（3.9）必须同时求解，并且值函数为v*（x，i）在Aj中有不同的形式，j=1,2,3,4。因此，奖励函数in（3.9）在I上不是连续的，但在每个Aj上是分段连续的。利用这一事实，我们将证明以下命题：命题3.2。区域A=Γ∩Γ，（3.9）的值函数为v*（x，1）=v*（x，2）=h（x）。区域A=C∩Γ，值函数为v*（x，1）=u（x）+λu（q+λ）h（x），v*（x，2）=h（x），其中usatis fies（3.10）（q+λ-G） u=0。对于区域A=C∩Γ，我们替换i=1和i=2的角色以及usatis FIES（3.11）（q+λ-G） u=0。区域A=C∩C、 值函数为v*（x，1）=^u（x）+λu（q+λ）vp（x），v*（x，2）=^u（x）+λu（q+λ）vp（x），其中^uisolves（q+λi-Gi）^ui=0，i=1,2，vp（x）满足度（q+λ-G） （q+λ-G） vp（x）=λλvp（x），vp（x）满足度（q+λ-G） （q+λ-G） vp（x）=λλvp（x）。此外，^u（x）=^u（x）≡ A.Proof上的0。第一句话很明显。（3.9a）中的奖励函数为h（x）-λU（q+λ）v*（x，2）对于x∈ 我为x重新调用∈A、 五*（x，2）=h（x），对于x∈A、 五*（x，2）：=M（x）6=h（x），其形式在本证明后面确定。对于函数M，由于v的连续性和非负性*（x，2），我们可以取一个与v重合的连续非负函数*（x，2）在A上。

因此，v的奖励函数*（x，1）变为（x）-λU（q+λ）h（x），x∈ A和h（x）-λU（q+λ）M（x），x∈ A.政权转换模型中期权定价的直接解法11因此，它在I上不是连续的。注意，我们需要以λU（q+λ）M（x）<∞, x个∈ I（见第3.3小节）。类似地，我们取一个与v重合的连续非负函数M（x）*（x，1）ONA和满意度λU（q+λ）M（x）<∞, x个∈ 我设Pit表示X（i）的转移半群。对于x，y∈ 我，我们有U（q+λ）h（x）-U（q+λ）h（y）≤Z∞e-（q+λ）tEx【h（X（1）t）】-Ey【h（X（1）t）】dt=Z∞e-（q+λ）tPth（x）-Pth（y）数据与U（q+λ）M（x）-U（q+λ）M（y）≤Z∞e-（q+λ）tEx[米（X（1）吨）]-Ey【M（X（1）t）】dt=Z∞e-（q+λ）tPtM（x）-PtM（y）dt，由于h和M的连续性，解的连续性随之出现。与假设的h的连续性一起，这显示了奖励函数h的连续性-λU（q+λ）h和h-λU（q+λ）Mon I。此外，由于假设2.1，U（q+λ）h（x）满足线性增长条件。这是因为U（q+λ）h（x）≤ 前任Z∞e-（q+λ）t | h（X（1）t）| dt≤CEx公司Z∞e-（q+λ）t（1+| X（1）t |）dt≤CZ公司∞e-（q+λ）t1+rExh（X（1）t）i！dt公司≤CZ公司∞e-（q+λ）t1+qDeDt（1+x）dt公司≤CZ公司∞e-（q+λ）t1 +√DeDt（1+| x |）dt=Cq+λ+C√D（1+| x |）q+λ-D≤C√Dq+λ-D+Cq+λ！（1+| x |），x∈ 其中C和D是正常数（见Karatzas和Shreve【12，定理2.9，第5章】和Pham【19，Lemm a3.1】）。这保证了奖励函数h-λU（q+λ）h满足线性增长条件。

由于MandMare函数是非负函数，我们看到奖励函数h-λU（q+λ）和h-λU（q+λ）Malso满足线性增长条件。既然已知（3.9）中的奖励函数满足线性增长条件，我们引用命题2.1得出以下结论：supτ∈性别【e】-（q+λ）τ（h（X（1）τ）-λU（q+λ）v*（X（1）τ，2））]解（q+λ-G） A和A中的u=0。类似地，我们可以显示supτ∈性别【e】-（q+λ）τ（h（X（2）τ）-λU（q+λ）v*（X（2）τ，1））]解（q+λ-G） u=0 ina和A。自（q+λ-G） λU（q+λ）v*（x，2）=λv*（x，2），通过应用（q+λ-G） 关于（3.9a），我们从命题3.1（q+λ）得到-G） 五*（x，1）=λv*（x，2）x∈ A、 x∈ AIn A，v*（x，2）=h（x），我们有（q+λ-G） 五*（x，1）=λh（x）。因此，我们获得*（x，1）=u（x）+λUq+λh（x）x∈ A使用（q+λ-G） u（x）=0英寸x∈ A、 同样，对于v*（x，2）首先我们有（q+λ-G） 五*（x，2）=λv*（x，1）对于x∈A、 x个∈ A、 在A、v中*（x，1）=h（x）。因此，我们得到v*（x，2）=u（x）+λUq+λh（x）x∈A、 其中usatis fies（q+λ-G） u（x）=0表示x∈ A、 这就完成了区域A和A.12 EGAMI和Kevkhishvilifally的证明，对于x∈ A、 值函数可以作为以下成对最优停止问题的解来找到：v*（x，1）=supτ∈塞克斯-（q+λ）τh（X（1）τ）-λU（q+λ）M（X（1）τ）i+λU（q+λ）M（x）v*（x，2）=supτ∈塞克斯-（q+λ）τh（X（2）τ）-λU（q+λ）M（X（2）τ）i+λU（q+λ）M（x）让我们设置vp（x）：=λU（q+λ）M（x）和vp（x）：=λU（q+λ）M（x）。对于i=1,2（3.12）v*（x，i）=^ui（x）+vpi（x），x∈ A、 此外，（3.13a）（q+λ-G） vp（x）=λM（x）和（3.13b）（q+λ-G） vp（x）=λM（x）。应用（q+λ-G） 在（3.13a）上，我们有x∈ A（q+λ-G） （q+λ-G） vp（x）=λ（q+λ-G） M（x）=λ（q+λ-G） （^u（x）+vp（x））=λλM（x），其中我们在最后一个等式中使用了^u（x）和（3.13b）的定义。这意味着，通过定义^u（x），（q+λ-G） （q+λ-G） 五*（x，1）=λλM（x）=λλv*（x，1），x∈ A、 （3.14），其中（3.15）vp（x）=λλU（q+λ）U（q+λ）M（x）x∈ A规定可以确定解决方案，并且解决方案是确定的。

同样，我们得到（q+λ-G） （q+λ-G） 五*（x，2）=λλv*（x，2），x∈ A、 （3.16）然后在A区，我们有*（x，1）=^u（x）+λu（q+λ）M（x）=^u（x）+λu（q+λ）u（x）+λu（q+λ）vp（x）=^u（x）+λu（q+λ）u（x）+λu（q+λ）u（q+λ）M（x）=^u（x）+λu（q+λ）u（x vp）+x，我们在上一等式中使用了（3.15）。为了保持最终等式，鉴于（3.12），我们需要λU（q+λ）^U（x）=0。由于λ>0，因此区域A中几乎每x的^u（x）=0。但v的连续性*（x，2）和henceof^u（x）意味着对于区域A中的所有x，^u（x）=0。相同的参数还表明，对于区域A中的所有x，^u（x）=0。制度转换模型中期权定价的直接解法13我们将表示v*（x，i），i=1,2，区域Aby vpi（x）。从^ui（x）看≡ 0，i=1,2，（3.17）v*（x，1）=vp（x）=λUq+λvp（x）v*（x，2）=vp（x）=λUq+λvp（x）和vpi（x）求解（3.14）和（3.16）。3.3. 关于（3.14）的解。一旦我们解出（3.14）来找到vp（x），我们就可以立即得到vp（x），前提是预解式λU（q+λ）vp（x）<∞. 由于值函数是连续的，并且满足I上的线性增长条件，因此预解式的完整性应该是找到解的必要条件之一。此外，（3.17）变成vp（x）=λλU（q+λ）U（q+λ）vp（x），vp（x）=λλU（q+λ）U（q+λ）vp（x）。（3.18）为了描述（3.14）的解，让我们以区域切换几何布朗运动Xt为例，满足dXt=uηtXtdt+σηtXtdBt，作为我们的状态变量（见Guo和Zhang[8]）。

（3.14）的溶液变成SVP（x）=∑i=1kixβ和β是方程（3.19）j（β）j（β）=λλ的根，其中j（β）=q+λ-u-σβ-σβ，j（β）=q+λ-u-σβ-σβ.虽然我们有四个不同的根β<β<0<β<β，但我们有一个限制：因为vp（x）=λU（q+λ）vp（x），vp（x）=λExZ∞e-（q+λ）tk（X（2）t）β+k（X（2）t）β+k（X（2）t）β+k（X（2）t）βdt公司.使用Xβit=Xβi·expβi（u-σ） t+βiσBt, 我们有exh（X（2）t）βii=Xβi·expβi（u-σ） t+βiσtandvp（x）=λ∑i=1kixβiZ∞e-j（βi）tdt.对于该函数，我们需要每个i的j（βi）>0。如果违反此条件，则需要为i设置ki=0，以便j（βi）<0。如上所述，我们首先找到vp（x），然后导出必要条件j（βi）>0i、 如果我们第一次发现vp（x），必要条件将变成j（βi）>0i、 这意味着任何溶液β必须同时满足j（β）>0和j（β）>0。如下所示，满足此条件的j（β）j（β）=λλ只有两个解，它们的符号相反。14 EGAMI和KEVKHISHVILIProposition 3.3。对于几何布朗运动，来自（3.19）的j（β）j（β）=λλ只有两个解（β），使得j（β）>0和j（β）>0。对于满足dXt=uηtdt+σηtdBt的任何区域切换扩散，情况也是如此，其中bt是标准布朗运动，ui∈ R、 σi>0是i=1，2的任意常数。此外，这两种解决方案有相反的迹象。证据该证明使用了郭[7]中备注2.1中的技巧。Letf（β）=j（β）j（β）-λλ.首先，让我们找到j（x）=q+λ的解-u-σx个-σx=0。这个二次方程有两个根x+=-(u-σ） +q（u-σ） +2σ（λ+q）σ>0，x-=-(u-σ) -q（u-σ） +2σ（λ+q）σ<0。此外，j（x）>0 on（x-,x+。类似地，j（x）=0有两个解x+=-(u-σ） +q（u-σ） +2σ（λ+q）σ>0，x-=-(u-σ) -q（u-σ） +2σ（λ+q）σ<0，且j（x）>0 on（x-,x+。现在，f（x-) = f（x+）=f（x-) = f（x+）=-λλ< 0. 同样，我们有f（0）>0，f(∞) > 0和f(-∞) > 图1是f的一个示例图。

横轴上的蓝点表示x的值-,x+，x-,x+。它们的大小关系不影响证明。最大负x之间的红色区域-·最小的正x+·是x的面积，其中j（x）>0，j（x）>0。基于f的上述特征，以及f仅与水平轴相交四次的事实，我们知道f在红色区域仅与水平轴相交两次，从而得出两个相反符号的解。关于带漂移的布朗运动的证明是相似的，jand Jad使用（3.14）进行了相应的调整。由于命题3.3中的两个适当解具有相反的符号，根据A的形式，可以直观地看出，由于A上的值函数的有界条件，其中一个可能会被消除（例如，seeGuo和Zhang[8]，其中正根被消除）。有界条件在下面的命题3.4中得到证明。请注意，在处理Ornstein-Uhlenbeck过程或其指数形式时，基本解ψqandψqare特殊函数：抛物线圆柱函数和第二类对流超几何函数，分别（见Lebedev【14，第10.2节和第9.9节】），因此不容易计算β的根满足j（β）>0和j（β）>0的数量，以及应该消除的数量。下一个建议克服了这一技术困难，首先表明，对于任何基础扩散X，值函数必须在AFO上有界。然后，它扩展了命题3.3的结果，确保在Ais的一个端点为自然边界的情况下，解为（3.18）是一个函数的倍数；因此，只需确定一个权重k。政权转换模型中期权定价的直接解法15图。命题3.3和命题3.4证明中f的一个示例图。