制度转换模型中期权定价的直接解法

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英文标题：
《A Direct Solution Method for Pricing Options in Regime-switching Models》
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作者：
Masahiko Egami, Rusudan Kevkhishvili
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Pricing financial or real options with arbitrary payoffs in regime-switching models is an important problem in finance. Mathematically, it is to solve, under certain standard assumptions, a general form of optimal stopping problems in regime-switching models. In this article, we reduce an optimal stopping problem with an arbitrary value function in a two-regime environment to a pair of optimal stopping problems without regime switching. We then propose a method for finding optimal stopping rules using the techniques available for non-switching problems. In contrast to other methods, our systematic solution procedure is more direct since we first obtain the explicit form of the value functions. In the end, we discuss an option pricing problem which may not be dealt with by the conventional methods, demonstrating the simplicity of our approach.
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中文摘要：
在制度转换模型中，具有任意收益的金融期权或实物期权的定价是金融学中的一个重要问题。从数学上讲，它是在某些标准假设下，解决状态切换模型中最优停止问题的一般形式。在本文中，我们将两个区域环境中具有任意值函数的最优停止问题归结为一对无区域切换的最优停止问题。然后，我们提出了一种使用可用于非切换问题的技术来寻找最优停止规则的方法。与其他方法相比，我们的系统求解过程更直接，因为我们首先获得了值函数的显式形式。最后，我们讨论了一个传统方法无法解决的期权定价问题，证明了我们方法的简单性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_Direct_Solution_Method_for_Pricing_Options_in_Regime-switching_Models.pdf (351.65 KB)

2022-6-1 18:29:17 上传

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关键词：期权定价 Mathematical Conventional Quantitative mathematica

体制转换模型中期权定价的直接解法Smasahiko EGAMI和RUSUDAN KEVKHISHVILIABSTRACT。在制度转换模型中，具有任意收益的金融或实物期权定价是金融中的一个重要问题。从数学上讲，它是在一定的标准假设下，解决状态切换模型中最优停止问题的一般形式。在这篇文章中，我们将两个区域环境中具有任意值函数的最优停止问题归结为一对无区域切换的最优停止问题。然后，我们提出了一种使用可用于非切换问题的技术查找最佳停止规则的方法。与其他方法相比，我们的系统求解过程更直接，因为我们首先获得了值函数的显式形式。最后，我们讨论了一个传统方法无法解决的期权定价问题，证明了我们方法的含蓄性。关键词：最优停止、马尔可夫切换、扩散、凹度、永久期权JEL分类：C610、C630、G130、G300数学学科分类（2010）：60G40、60J60、90C39、90C40MASAHIKO EGAMI：日本京都大学经济研究生院，Sakyo Ku，京都，606-8501。电子邮件：egami@econ.kyoto-u、 ac.jpRUSUDAN KEVKHISHVILI：日本京都大学经济研究生院，东京坂谷，606-8501。日本科学促进会研究员。电子邮件：keheisshuiri。鲁苏丹。73m@st.kyoto-u、 ac.jp1。引言制度转换模型早在20世纪70年代就引起了经济学家的兴趣，因为描述经济数据的参数会随着时间的推移而变化（参见H amilton[9]）。

由于这个原因，区域切换也被纳入了最优停止问题中，使得潜在的扩散具有不同的参数，这些参数取决于区域。这种最优停止问题有各种各样的应用，例如公司金融中的期权定价和实物期权分析。分析具有区域切换的最优停止问题的值函数的一种方法是将其描述为相关Hamilton-Jacobi-Bellman方程的粘性解。例如，Pemy【18】将此方法用于状态切换L'evy过程的有限时间范围最优停止问题，而Leliu【15】分析了有限时间范围内状态相关的状态切换问题。此类研究使用数值格式来证明结果的应用，但并没有提供明确确定值函数的通用方法。BoyarchenkoFirst草稿中讨论了评估值函数的数值方法：2017年11月24日；本版本：2018年9月11日。这项工作的早期版本以“关于区域切换模型中线性ar扩散的最优停止问题”为题分发。第二作者部分得到了JSP KAKENHI Grant N umber JP 17J06948.2 EGAMI和KEVKHISHVILIand Levendorskiˇi【2】、Huang等人【10】、Babbin等人【1】的支持。另一种方法是通过构建最优策略来猜测解决方案，然后证明候选函数确实是一个值函数（例如，seeGuo和Zhang[8]）。这种方法有时被称为“猜测和验证”方法。这种方法的成功取决于潜在的扩散过程和问题的回报函数；因此，存在着这种方法无法应用的问题。

因此，剩下的问题是推导出价值函数的通用表达式，并提出一种技术，用于显式评估一般类别的奖励函数和潜在扩散。在本文中，我们研究了满足线性增长条件的任意连续奖励函数的有限时间范围制度切换最优停止问题，这是文献中的一个标准假设（参见Pham[20，Sec.5.2]）。我们将此问题简化为一对非切换问题，并对值函数进行了有效评估。这个想法值得在这里讨论。假设我们有两个状态i=1和i=2。状态变量X从X（1）切换到X（2），反之亦然（有关严格的问题公式，请参见第2节）。我们首先将该问题简化为几个一维问题，无需切换（第3.1小节）。因此，对于每个区域，状态空间I被划分为连续区域cian和停止区域ΓI，I=1,2。然后，定义A：=Γ∩Γ，A：=C∩Γ，A：=C∩Γ，A：=C∩C、 我们可以写∩Γ) ∪（C）∩Γ) ∪（C）∩Γ) ∪（C）∩C） =A∪A.∪A.∪A、 接下来，（1）我们以明确的方式描述问题的值函数（见第3.2和3.3小节）。利用可用的值函数的形式，我们提出了一种求解第4节最优停止问题的方法。具体地说，基于结果（1），（2），我们通过变换空间中的最小非负凹主元获得了每个区域中的值函数：Dayanik和Karatzas提出的非切换问题的方法【5】。由于（1）和（2），最优性的证明大大减少：我们意味着需要检查相关函数的某些几何性质。因此，我们的方法比较直接，不同于文献中关于状态切换最优停止的所谓“猜测和验证”方法。

由于我们的解决方案的直接性质，它不需要进行通常需要独创性才能证明某些不等式的硬分析，这些不等式被称为验证引理（参见，例如，Oksendal[17，Theorem10.4.1]）。此外，该方法适用于参数满足Lipschitz和lineargrowth条件（第2.2节）的任何扩散和满足上述条件的任何连续奖励函数。因此，它可以应用于常规方法无法处理的问题。我们用制度转换模型中的有上限看涨期权的工作示例来演示第5节。应该注意的是，在Le和Wang【13】中也讨论了将状态切换问题简化为非切换问题的问题。他们考虑了具有区域切换几何布朗运动（GBM）的连续非递增非负凸支付函数的有限时间范围最优停止问题，并将该问题分解为一系列常数系数GBM过程的最优停止问题。Le和Wang【13】推导了一种迭代方法，用于逼近原始问题的值函数。他们的方法与我们的不同之处在于，我们将原始的状态切换最优停止问题转化为一对非切换问题，并显式找到解决方案。我们强调，这是一种新颖的方法。在我们的研究中，我们还处理了广泛的奖励函数和潜在的扩散。政权转换模型中期权定价的直接解法32。数学框架2.1。基本事实。让我们考虑概率空间(Ohm,F，P），其中Ohm 是随机经济的所有可能实现的集合，P是定义在F上的概率度量。我们用F={Ft}t表示≥0过滤满足通常条件，并考虑一个适用于F的规则时间均匀扩散过程X。

设px表示从X开始时与X相关的概率度量∈ 我X的状态空间为I=(l,r）∈ R、 在哪里l 和r都是自然边界。也就是说，X不能从开始或退出l 或r。我们假设X满足以下随机微分方程：dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dBtand X=X，其中B={Bt:t≥ 0}是标准布朗运动，u：I→ R和σ：I→ R+满足以下Lipschitz和线性增长条件（见Karatzas和Shreve【12，定理2.9，第5章】）|u（x）-u（y）|+|σ（x）-σ（y）|≤\'K | x-y |x、 y型∈I（2.1）u（x）+σ（x）≤ K1+x具有正常数K和K。第二个条件由第一个条件暗示。这些条件确保了给定初始条件的强解的存在性和唯一性。一维最优停车问题由（2.2）V（x）=supτ表示∈性别【e】-qτh（Xτ）]，其中q>0，τ≥ 0，S是F和h的一组停止时间：(l,r）→ R是I上的连续Borel函数。为了回顾线性扩散最优停止的一般理论，我们陈述了一些基本事实：在过程X的连续函数v的微型生成器G中，gv（·）=limt↓0t（Ptv（·）-v（·）），其中Pti是X的转移半群。方程Gv-qv=0有两个基本解：ψq（·）和Дq（·）。我们将ψq（·）设为递增解，将ψq（·）设为递减解。它们是线性独立的正解，并且在乘法下唯一确定。众所周知，对于Hz：=inf{t≥0：Xt=z}，Exe-qHz=ψq（x）ψq（z），x≤ z、 Дq（x）Дq（z），x>z。有关ψ（·）和Д（·）的完整特征，请参阅It^o和McKean【11，第4.6节】。现在让我们定义（x）：=ψq（x）Дq（x），x∈ 我（2.3）那么F（·）是连续且严格递增的。

接下来，继Dynkin[6]（附录第8节）之后，我们对函数关于F的必要性定义如下：如果对于任何[c，d]，实值函数u称为I上的F-凹 我，我们每x∈ [c，d]u（x）≥ u（c）F（d）-F（x）F（d）-F（c）+u（d）F（x）-F（c）F（d）-F（c）。4 EGAMI和KEVKHISHVILIWhen两个边界l r是自然的，V（x）<+∞ 对于所有x∈ (l,r） 当且仅当ξl:= limsupx公司↓lh+（x）Дq（x）和ξr：=limsupx↑rh+（x）ψq（x）（2.4）都是有限的（Dayanik和Karatzas【5，命题5.10】）。这里h+（x）=max{h（x），0}。让W：[0，∞) → R是（2.5）H（y）的最小非负凹主参数：=hИqoF-1（y）如果y>0，ξl如果y=0，其中F-1是F的倒数。那么对于所有x，我们有（2.6）V（x）=Дq（x）W（F（x））∈ (l,r） 最后，当ξl=ξr=0，最佳停止和延续区域为Γ：={x∈ (l,r） ：V（x）=h（x）}和C：={x∈ (l,r） ：V（x）>h（x）}。具有最佳停止时间τ*:= inf{t≥ 0:Xt∈ Γ}. 见Dayanik和Karatzas【5，命题5.12和5.13】。请注意，对于本文的其余部分，“转换”一词应理解为（2.5）。2.2. 制度转换模型。给定概率空间，本文中的扩散形式为dxt=u（Xt，ηt）dt+σ（Xt，ηt）dBt，X=X，其中ηt∈{1,2}是一个适应于F的两态连续时间马尔可夫链，独立于B，并且具有以下形式的生成器-λλλ-λ!,λi>0时，i=1,2。我们假设u（x，i）和σ（x，i）满足每个i的Lipschitz和线性增长条件（2.1）。然后，上述区域切换微分方程存在唯一的强解XT（Mao andYuan【16，定理3.13】）。为简洁起见，我们将漂移u（·，i）和扩散参数σ（·，i），i=1,2的扩散称为扩散X（i），当不出现混淆时。那么我们的问题是解决（2.7）v*（x，i）：=supτ∈东南[东]-qτh（Xτ）| X=X，η=i]=supτ∈性别-qτh（Xτ）]，i=1，2。设停止区和延续区分别为Γiand和Ci。

为了获得对解决实际问题有用的具体结果，我们设置了以下假设：假设2.1。（1） 报酬h是满足线性增长条件的连续函数：| h（x）|≤对于某些严格正常数C<∞.（2） 贴现率q>β，其中β是满足xu（x，i）+σ（x，i）的常数≤β（1+x）（x，i）∈I×{1,2}（参见Pham[20，引理5.2.1]和Pham[19，L emma 3.1]的类似陈述）。制度转换模型中期权定价的直接解法5注意，我们对参数u（·，i）和σ（·，i）的假设保证了β的存在。此外，对于每个i=1,2，我们有（2.8）Exi[Xt]≤（1+x）eβtt型≥ 从It^o公式和Gronwall引理。本节的其余部分是对与tonon切换问题（2.2）相关的一些有用结果的回顾，因为我们可以将它们应用于我们的区域切换问题（2.7）。当假设2.1满足非交换问题时，我们有以下命题：命题2.1。在假设2.1下，（2.2）中的值函数V是（2.9）min[qV]的唯一解-GV，V-h] =0满足线性增长条件。证据方程（2.8）在这种情况下成立，我们有Ex[e-qt | Xt |]≤e-qt（1+| x |）eβt≤1+| x |t型≥这意味着V的线性增长，因为V≤ Ex[支持≥0e-qth（Xt）]≤CEx[支持≥0e-qt（1+| Xt |）]≤C+C（1+| x |），一些常数大于0。（2.9）的证明直接来自Pham【20】中的定理5.2.1、引理5.2.2和备注5.2.1。对于实值q>0，让我们回忆一下预解算子（2.10）U（q）f（x）：=ExZ∞e-qtf（Xt）dt对于连续函数f。考虑到命题2.1和假设2.1，我们确保（2.11）U（q）h（x）<∞ 和U（q）V（x）<∞ x个∈ Ifor V in（2.2）。

在下一节中，我们将在假设2.1下，借助F-凹性特征和值函数的变分不等式（2.9），解决状态切换模型（2.7）中的最优停止问题。3、值函数的表征在本节中，我们将逐步得到（2.7）的值函数的显式形式。在第3.1小节中，我们将原问题改写为一对一维最优停止问题，对值函数进行定量分析。然后，我们将状态空间I划分为多个区域，这取决于状态变量所在的区域，以及I中的一个点是属于连续区域还是停止区域。我们为每个区域提供了值函数的形式。这在第3.2小节中进行。最后，在第3.3小节中，我们分析了其中一个区域出现的ODE。3.1. 简化为一对一维问题。我们主要考虑v*（x，1）=supτ∈性别【e】-qτh（Xτ）]自v起*（x，2）可以以相同的方式处理。让我们定义一个泊松过程N=（Nt）t≥0速率λ与B无关。N的首次到达时间（用T表示）具有指数分布，其密度isp（T）=λe-λt，t≥ 0,0，否则。同样，我们定义了泊松过程的首次到达时间，其速率λ与B和N无关。然后，这是一个指数随机变量，参数λ与B和T无关。在后半部分中，我们将我们的6 EGAMI和KEVKHISHVILIoriginal问题（2.7）转化为一对无区域切换的最优停止问题。为此，我们引入了表示法“v（·，j）”，表示从XTi开始时获得的最佳值，i 6=j（见引理3.1）。在命题3.1中，我们将证明v（·，j）与v相同*（·，j）。引理3.1。

对于每个i，状态切换问题（2.7）中的值函数是连续的，满足线性增长条件和以下动态规划原则（DPP）：（3.1）v*（x，i）=supτ∈性别-qτh（Xτ）1lτ<Ti+e-qTi'v（XTi，j）1lτ>Ti]i 6=j，i，j=1,2，其中'v（x，j）=supτ∈SExj[e-qτh（Xτ）]，X在XTi处计算。此外，对于每个i，τ上的（2.7）中的上确界∈ 当τ是集合{x的命中时间时，就得到了S∈ I：v*（x，i）=h（x）}。证据线性增长条件的证明与命题2.1中的证明相同。事实上，从（2.8）开始，wehaveEx[e-qt | Xt |]≤ e-qtqEx[（Xt）]≤e-qteβt（1+| x |）≤ （1+| x |）t型≥ 因此，由于h，v的线性增长*（x，1）≤ Ex[支持≥0e-qth（Xt）]≤CEx[支持≥0e-qt（1+| Xt |）]≤C+CEx[支持≥0e-qt | Xt |]≤C+C（1+| x |），常数C>0，证明了这一说法。接下来，我们证明了v的连续性*（x，1）。由于每个区域扩散参数的Lipschitz和线性增长条件，以下适用于所有t≥ 0（见Pham【20，公式（1.19）】）：E【sup0≤u≤t | Xxu-Xyu |]≤rE[支持0≤u≤t | Xxu-Xyu |]≤eβt | x-y |（3.2），其中β满足度（u（x，i）-u（y，i））（x-y） +（σ（x，i）-σ（y，i））≤β| x-y |，我和x、 y型∈ 我（3.2）的证明是It^o公式和Gronwall引理的直接应用，其技术对于三元交换和非交换扩散都是相同的：上标x和y表示起始位置。假设初始状态为1，取任意序列（xn）n∈Nin I收敛到x并考虑随机变量Yn：=sup0≤u≤t | h（Xxnt）-h（Xxt）|对于（3.2）中的任何固定t，我们知道sup0≤u≤t | Xxnu-Xxu |→ 所有t的概率为0≥ 0as n→ ∞. 因为h是连续的，所以我们有| h（Xxnu）-h（Xxu）| p→ 0表示任何0≤ u≤ t使用C,inlar[4，第3章，命题3.5]。因此，Yn→ 0的概率为n→ ∞.