制度转换模型中期权定价的直接解法

因此，我们需要找到通过F（c），u（c）Дr+λ（c）并对H（y）的第一部分进行了优化：H（y）=H-λU（r+λ）hДr+λoF-1（y）=Δλ+δyθ-rλ+rKy-γ1,1θ，y∈ （F（c），F（L）]，rλ+r（L-K） y型-γ1,1θ，y∈（F（L），∞)政权转换模型中期权定价的直接解法23（A）（b）图3。当L=15时，F（x）在变换空间中的奖励函数（表5）。（a） 最小非负主函数W（y）=0，奖励函数H（y）（0，F（c））和（b）奖励函数H（y）和H（y）（F（c）），∞), 都是凹面的；因此，最小的非负凹主函数是这些函数本身。因为变换空间中的值函数是[F（c）上H（y）的最小非负凹主函数，∞) 和a≤我必须等一下。该函数W（F（x））完全满足命题4.2中的要求（S-3）。应该强调的是，我们在[F（c），F（L）]上找到了H（y）的最小非负凹主分量。参见表4。x=c时的奖励满足H（c）-λU（r+λ）v*（c，2）=h（c）-λU（r+λ）h（c），因为c在Γ中。计算前两个方程在点c，kcβ处的差*-λU（r+λ）h（c）-（h（c）-λU（r+λ）h（c））=vp（c）-h（c）>0，其中正性是由于c∈ C和变分不等式。虽然这在所有情况下都是正确的，但我们也在本例中说明了这一点。这意味着，当我们使用F（·）变换空间时，点u（c）νr+λ（c）位于H（F（c））上方，使我们能够从点F（c）绘制最小的非负凹主曲线W（y）。请注意，H（y）第一部分的反射点为^y：=rδKθ，其中我们使用关系式γ1,1γ1,2（1-γ1,1)(1-γ1,2）=λ+rλ+δ，通过直接微分，H（y）的第二部分是凹函数。当L=15时，c>rδK=7.50，因此H（y）在[F（c）上是凹的，∞).

那么，H（y）的最小非负凹面主坐标是线W（y）=Ay+B，A=0.0001278，B=1436.5，与H（y）atF（A）相切：A=14.9651。如图4所示。确定a点后，我们返回图3的面板（b），其中显示了表5中y区域的奖励函数∈ [F（c），∞) 对于X（2）。不连续性出现在y=F（c）、y=F（a）和y=F（L）处。在y方向∈[F（c），F（a）），函数isH（y）=h-λU（r+λ）[U+λU（r+λ）h]Дr+λoF-1（y），其中分子中函数的具体形式如（5.3c）和（5.3d）所示。在y方向∈ [F（a），∞), 函数isH（y）=h-λU（r+λ）hДr+λoF-1（y），其中分子中函数的具体形式在（5.3b）中给出。由于H（y）和H（y）在各自的域中都是凹的，因此最小的非负凹主函数就是所需的函数本身（见命题4.2中的S-4）。也就是说，∞) 是扩散X（2）的停止区域。24 EGAMI和KEVKHISHVILIFig。当L=15时，[F（c），F（a））w上的H（y）图及其最小凹面主分量w（y）。为了证实条件S-1（命题4.2）是满足的，我们需要画H（y）：=H-λλU（r+λ）U（r+λ）vpДr+λoF-1（y）=h-vpДr+λoF-1（y），y∈ （0，F（c）），并查看它在（0，F（c））上是否为负值，以便H（y）被W（y）占据优势≡ A中的0。图5说明了在L=15的情况下，表4中的奖励函数在变换后的空间中。第一个面板（a）在（0，F（K））上显示H（y），第二个面板在[F（K，F（c）]上显示相同。也就是说，两个面板在（0，F（c））上显示函数H（y）及其最小的非负凹面主分量W（y）≡ 区域中为0。第三个面板（c）聚焦于区域[F（c），∞). 在变换后的空间中，报酬函数为H（y）。请注意，与H（y）相切的直线与图4所示的直线相同。

因此，最小凹面m ajorantW（y）在（0，F（c））上为零，[F（c），F（a）]上的线Ay+B和[F（a）上的线H（y）本身，∞). h（y）的不连续性对应于点F（L）。连续区域CI（0，c）∪[c，a）且停止区域为[a，∞).进一步注意，如果（F（c），F（L））上没有切点，则最小的非负凹面majorantW（y）是连接F（c），u（c）Дr+λ（c）和（F（L），H（F（L）））。在这种情况下，我们也可以用a=L来确定斜率a和截距B（见第5.1节，其中L=11.3）。现在从表4和表5中，我们得到（5.4）v*（x，2）=Dkxβ*, x个∈ （0，c），x∧L-K、 x个∈ [c，∞).（5.5）v*（x，1）=kxβ*, x个∈ （0，c），Aψr+λ（x）+BДr+λ（x）+λU（r+λ）（x-K） ，x∈ [c，a），x∧L-K、 x个∈ [a，∞).对于L=15的情况。图6总结了函数v*（x，1），v*（x，2）和（5.4）和（5.5）中的h（x）（0，∞) 当L=15时。我们有v*（x，1）≥v*（x，2）≥x上的h（x）∈(0,∞). 我们看到v*（x，1）在a=14.9651A时是平滑的，用于制度转换模型中期权定价的直接解法25（a）（b）（c）图5。当L=15时，表4中的奖励函数在f（x）变换的空间中起作用。（a） 最小的非负主成分W（y）=0，奖励函数H（y）在（0，F（K））上，和（b）在[F（K，F（c）]上相同。第三个面板（c）描绘了与[F（c）上H（y）相切的线，∞).图6：。v的图*（x，1）（最上面的，蓝色），v*（x，2）（中间，橙色）和h（x）（底部，绿色），当L=15时。和v*（x，2）在c=10.8661时是平滑的。注意，我们已经检查了4.2.26 EGAMI和KEVKHISHVILI5.1中的所有充分条件S-1、S-2、S-3、S-4。绑定约束。当L变小时，我们需要确保得到的对（v*（x，1），v*（x，2））区域中给出了适当的值。注意，当X从（0，L）中的一个点开始时，点L用作吸收边界。（5.1）的溶液可产生c≥ L

即使我们能找到K<c≤ （5.1）中的L，对于小L，当v*（c，1）>L-K、 这并不奇怪，因为（5.1）没有考虑约束L。（5.1）中的方程可视为无约束优化的必要条件。当约束L变为有约束力时，我们无法确保H′（F（c））=0（见（4.6）），但H（F（c））=0仍保持不变v*（x，2）是连续的（见命题4.1）。让p≤ L是H（F（p））=0的点。满足该方程的权重k可以表示为p的函数，使用（5.3a）：k（p）=p-KD公司p-β*. 然后我们定义nev（x，2；p）：=k（p）Dxβ*,一类随p值变化的函数。自k（p）以来≥ 0表示任何p∈ [K，L]，v（x，2；p）≥ 任意x的v（x，2；p′）∈ （0，L）当且仅当k（p）≥ k（p′）。让我们取k（p）对pddpk（p）=p的导数-β*-1((1 -β*)p+β*K） D是非负的，因为我们有β*≤聚丙烯-K： 注意，我们假设违反了（5.2）。因此，v（x，2；p）在p中增加。因此，我们应选择p的最大值，以确保可行解。此外，p应为v*（x，1）≥ v*（y，1）保持x≥ y、 x，y∈ A、 这意味着v*（x，1）是非减量的，因为x（1）的停止区域位于A的右侧，h是非减量的。只要我们把cto设为某个值，它就会给我们k（c）。使用（c，k（c）），我们可以使用与上述步骤（4）相同的步骤来查找u。我们将通过一个示例来说明这一点。让我们设置L=11.3。如果我们使用（4.6）中的条件，我们计算c=10.8661和v*（c，1）=6.3943>L-K违反约束。满足前款条件的c的最大值为c=10.7600。那么，k=0.0770，u（c）φr+λ（c）=1948.21。请注意，命题4.2中的条件（S-1）和（S-2）已满足。

H的最小非负凹主分量是通过的线F（c），u（c）Дr+λ（c）和（F（L），H（F（L））（见图7）。这条线的坡度为-0.0003062. 因此，a=L和（5.6）v*（x，1）=kxβ*, x个∈（0，c），A′ψr+λ（x）+B′Дr+λ（x）+λU（r+λ）（x-K） ，x∈[c，L]，L-K、 x个∈[L，∞),其中A′和B′是连接线的斜率和截距F（c），u（c）Дr+λ（c）和（F（L），H（F（L）））。请注意，命题4.2中的条件（S-3）已满足。命题4.2中的条件（S-4）也已满足，且[c，∞) 是X（2）的停止区域。结果值函数如图8所示。备注5.1。最后，我们指出，在给定转移概率矩阵的情况下，可以将本文的思想扩展到具有两个以上（任意数量）区域的模型。当从制度i开始时，DPP方程中的第二项（引理3.1）将涉及由制度切换到制度j时的指标加权的“v（·，j）（j 6=i）”的加权和。虽然制度数量的增加将导致更多的地区Aj，但在每个Aj中找到值函数的想法与第3.2节和第4节中所述的相同。政权转换模型中期权定价的直接解法27Fig。7、手线通过图F（c），u（c）Дr+λ（c）和（F（L），H（F（L）），对于L=11.3。由于点L是吸收边界，我们只需要考虑（0，F（L））上的区域。图8：。v的图*（x，1）（最上面的，蓝色），v*当L=11.3时，（x，2）（中间，橙色）和h（x）（底部，绿色）。此处v*（c，1）=6.2786<L-K、 从c到a=L，v*（x，1）正在增加。参考文献【1】J.Babbin、P.A.Forsyth和G.Labahn。政权转换下美式期权迭代最优停止和局部政策迭代的比较。《科学计算杂志》，58（2）：409–4302014。[2] S.Boyarchenko和S.Levendorskiˇi。

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