艾森伯格Noe清算向量对单个银行间同业的敏感性

这意味着，i银行的风险轨道是所有可能受到i银行违约影响的银行的集合。如果每个风险轨道都是盈余集，则系统是正则的。清除向量的唯一性对函数p的连续性有重要影响，这反过来对我们的敏感性分析很重要。因此，我们将假设我们的财务系统是正常的。提案2.1。考虑一个常规金融系统（π，x，\'p），其中x和\'p是固定的。通过（2）定义的函数p相对于∏是连续的∈ ∏n.我们通过考虑一个简单的Eisenberg示例来完成这些初步说明——在n=4家银行的系统下，无清算支付。我们将作为一个简单的说明性案例研究返回这个例子。示例2.2。考虑以下由四家银行组成的网络示例，其中银行的名义银行间负债由byL给出=0 7 1 13 0 3 31 1 0 11 1 1 0,如图1（a）所示。假设银行的外部资产由向量x=（0，2，2，2）>给出。由于净值为0，负债为正，第一银行最初违约。Eisenberg–Noe clearingvector（2）可以很容易地计算为p=（4.5，7.5，3，3）>，表明银行2也会通过传染违约。已实现的银行间支付如图1（b）所示。没有过错的银行被涂成红色，偿还金额少于全部的付款也被涂成红色。

边线与付款规模成比例。这与以下假设相对应：所有银行间债权和外部债权都可以合并到一家配置银行，并且违约银行的所有债权人都得到了同等的支付。（a） 名义银行间负债（b）清算银行间付款图1：示例2.22.1中定义的初始网络量化（相对）负债矩阵中的估计误差我们假设一些估计误差附加到相对负债矩阵的条目中，导致清算向量偏离“真实”清算向量p（π）。用∏和let∏+h表示真实的相对负债矩阵 对于扰动矩阵，表示包含一些估计误差的负债矩阵 和尺寸h∈ R、 首先我们考虑一类微扰矩阵，n（π），在此情况下，我们假设监管机构已知两家银行之间存在或不存在联系，因此，误差仅限于该联系大小的错误指定。在实践中，当以较低的频率收集数据时，就会出现这种不确定性，这可能导致风险敞口自然演变，以及银行试图在监管报告日期之前改善资产负债表的组成。备注2.9、推论3.2和推论3.17将利用本节中的结果为一般扰动误差提供边界，而无需预先确定链路的存在或不存在。定义2.3。对于固定的“p”∈ Rn+，定义相对责任扰动矩阵集n（π）：= ∈ Rn×ni：δii=0，nXj=1δij=0，nXj=1δji'pj=0，和（πij=0）=> （δij=0）j.求和条件确保各银行的总负债和总资产分别保持不变。当然，不可能有∏+h ∈ ∏对于任何h∈ R

在这项工作中，我们考虑了有界区间内的扰动量，h∈ (-h类*, h类*), 其中*:= 最小值最小δij<0，(R)pi>0-πijδij，最小δij>0，(R)pi>01- πijδij> 例如，可以从欧洲银行的资产负债表缩减以及由此导致的美联储反向回购贷款利用率的相应飙升中看到季度末此类行为的证据，参见：http://libertystreeteconomics.newyorkfed.org/2017/08/regulatory-incentives-and-quarter-end-dynamics-in-the-repo-market.html.for任何 ∈ n（π）确保∏+h ∈ πn。我们不计算h*任何银行I的'pi=0，因为这对结果没有影响。在单位球上考虑方向导数是很自然的，因此我们关注有界扰动集nF（π）：=n（π）∩ ∈ Rn×nkkF公司≤ 1.,其中k·kf是Frobenius范数，即kkF=qPni=1Pnj=1 |δij |。备注2.4。可以考虑一种更一般的情况，即允许在没有链接的地方创建错误，或者在有连接的地方删除连接。该集合定义如下：对于固定的p∈ Rn+，n（π）：= ∈ Rn×ni：δii=0，nXj=1δij=0，nXj=1δji'pj=0，和（πij=0）=> （δij≥ 0) j.我们将特别考虑有界扰动集nF（π）：=n（π）∩ ∈ Rn×nkkF公司≤ 1..因此，这种扰动允许对网络进行“重新布线”。通常，允许添加或删除边会增加清除向量中的潜在错误。然而，敏感性分析的微小本质必然会限制重新布线以创建新链接；任何严格的积极责任都不能通过微小的干扰来删除。

我们在推论3.2中更详细地讨论了这个问题，其中我们将我们的方法应用于整个网络，以及在图11（a）中，它显示了在银行间网络重新布线的情况下向社会分配的支出。2.2 Eisenberg–Noe清算向量的方向导数接下来，我们分析了使用扰动责任矩阵的清算向量p（π+h）时的误差),对于小扰动h，代替原始责任矩阵的清除向量p（π）, 具有 ∈ n（π）。定义2.5。允许 ∈ n（π）。在存在以下极限的情况下，我们定义了清除向量p（π）在扰动矩阵方向上的方向导数 asD公司p（π）：=limh→0p（π+h) - p（π）h.p关于∏givesp（π+h）的一阶泰勒展开式) - p（π）=hDp（π）+Oh类.以下定理为固定金融网络的clearingvector的方向导数提供了一个明确的公式。定理2.6。设（π，x，’p）为正规金融系统。清除向量p（π）在扰动矩阵方向上的方向导数 ∈ n（π）几乎无处不在，是比亚迪给出的p（π）=我- 诊断（d）∏>-1图（d）>p（π），（3），其中diag（d）是定义为diag（d，…，dn）的对角矩阵，其中di：=1{xi+Pnj=1πjipj（π）<π}。这里，（3）保持在度量零集{x之外∈ Rn+|我∈ N s.t.xi+Pnj=1πjipj（π）=π}，其中一些银行正处于违约边缘。术语（I- 诊断（d）∏>）-1陈等人（2016）也提出了这一观点，作者称之为“网络乘数”该乘数出现在以艾森伯格-诺伊清算向量为特征的线性规划的双重公式中，作者引入该乘数来研究清算向量对（违约银行的）资本和（非违约银行的）总负债的敏感性。

上述方向导数的计算可视为该结果对任意扰动的推广。在我们的案例中，解释保持不变：“网络乘数”描述了估计误差如何通过网络传播。2.3艾森伯格-Noe清算付款的泰勒级数同样，我们可以定义高阶方向导数。定义2.7。对于k≥ 1，我们定义了清除向量相对于扰动矩阵的K阶方向导数 asD（k）p（π）：=limh→0D（k-1)p（π+h) - D（k-1)p（π）h，（4）当极限存在时，和d（0）p（π）=p（π）。值得注意的是，正如定理2.8所示，所有高阶导数也都有一个显式公式，这使我们能够获得清除向量的精确泰勒级数。我们对容许扰动h施加了额外的假设 因此矩阵diag（d）（如定理2.6所定义）是∏+h的函数 就h而言是固定的，即我们要求h足够小，以便当负债矩阵为∏+h时，相同的银行子集处于违约状态 当责任矩阵为∏时。勒思**:= 啜饮h类≤ h类*xi+Pnj=1πjipj（π）<π<=> xi+Pnj=1（πji+hδji）pj（π+h) < “”pi我∈ N,h类**:= inf公司h类≥ -h类*xi+Pnj=1πjipj（π）<π<=> xi+Pnj=1（πji+hδji）pj（π+h) < “”pi我∈ N,h类**:= 最小值{-h类**, h类**}. （5） 我们必须有h**> 0，因为我们排除了度量零集{x∈ Rn+|我∈ N s.t.xi+Pnj=1πjipj（π）=π}，其中银行正处于违约边缘。定理2.8。设（π，x，’p）为正规金融系统。然后用于 ∈ n（π），对于所有k≥ 1： D（k）p（π）=k我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k-1)p（π）（6）=k！我- 诊断（d）∏>-1图（d）>kp（π），图2：近似误差的对数曲线图，| | p（π）- p（π+h)||针对例2.2中引入的网络随机扰动的扰动h的大小。其中D（0）p（π）=p（π）。

此外，对于h∈ (-h类**, h类**), 泰勒级数（π+h）) =∞Xk=0hkk！D（k）p（π）（7）收敛并具有以下表示p（π+h) =我- h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>-1p（π）（8）在测量零点集{x）之外∈ Rn+|我∈ N s.t.xi+Pnj=1πjipj（π）=π}。将方向导数（3）与完整的泰勒级数（7）进行比较，可以使我们对“网络乘数”的解释更加精确：网络乘数在实际默认算法的最后一轮中捕捉到错误传播的初始效应。错误传播的K阶效应由提高到K阶功率的网络乘数捕获。最后，固定点的泰勒级数是这些kthorder网络乘数的有限级数；由于这是一种类似的形式，因此可以将其解释为网络乘数的乘数。备注2.9。我们可以将泰勒级数展开的结果推广到更一般的微扰矩阵空间n（π）而不是n（π）。在这样一个域上，泰勒级数（8）只能保证收敛于∈0，最小值h类**,ρ（一）- 诊断（d）∏>）-1图（d）>,因为负扰动是不可行的。3摄动误差在本节中，我们根据前一节讨论的方向导数，在Eisenberg–Noe框架中详细研究估计误差。具体而言，我们计算最大误差以及误差分布，假设对银行间负债的错误估计存在特定分布，尤其是均匀分布和高斯分布。我们首先在原始的Eisenberg–Noe模型中这样做，将清除向量的欧几里德范数作为目标。

然后，我们转向一个增强模型，该模型包含一个额外的代表社会的节点，并研究估计错误对社会支出的影响。3.1结算向量的偏差我们首先关注实际结算向量与估计结算向量的L偏差。3.1.1清算向量的最大偏移我们返回到一阶方向导数，以量化清算向量的最大偏移，从而得出相对责任矩阵中的估计误差，这些误差由n（π）。允许 ∈ n（π），并假设对于给定的h∈ R：∏+h ∈ πn.那么，最坏情况下的估计误差为n（π）为最大值∈n（π）kp（π+h）) - 为了消除对h的依赖性和, 相反，我们考虑方向的有界集nF（π）和整体扰动，最大值∈nF（Ⅱ）limh→0kp（π+h) - p（π）kh=最大值∈nF（π）kD在这一节中，我们称为kDp（π）k估计误差和最大值∈nF（π）kDp（π）k清除向量中的最大偏差nF（π）。因为 通过（3）中的线性项出现，这允许我们以优雅的方式使用扰动矩阵的基础来量化扰动空间下艾森伯格-诺埃清除向量的偏差nF（π）。在下面的结果中，我们将利用空间的正交基E（π）=（E，…，Edn（π）。附录A.2中给出了该空间的更多详细信息。提案3.1。设（π，x，’p）为正规金融系统。最坏情况下的一阶估计误差nF（π）由max给出∈nF（π）kDp（π）k=kD~E（π）p（π）ko（9） 对于基E（π）的任意选择，其中k·kodenotes是矩阵的谱范数。此外，清除向量的最大偏移通过以下方式实现*（π）：=±dXk=1zkEk，其中zk是（归一化）特征向量的分量，对应于D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）。证据

首先注意，任何扰动矩阵 ∈ n（π）可以写成基本扰动矩阵的线性组合，即：。， =Pdk=1zkEk。因此，kDp（π）k=dXk=1zkDEkp（π）= z>D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）z。这立即意味着，用λmax（a），max表示矩阵a的最大特征值∈nF（π）kDp（π）k=maxkzk≤1z>D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）z=λmaxD~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）=kD~E（π）p（π）ko.最后，解与基E（π）的选择无关是命题a.3的直接结果。因此，如果真实责任矩阵在*（π），这将在清除向量中产生最大的一阶估计误差。所谓误差，我们指的是标准艾森伯格-诺埃框架中的“真实”清算向量与扰动负债矩阵下的清算向量之间的欧几里德距离。这通常不等于最快更改默认设置的方向。此外，如果监管专家的判断有助于估计合理的绝对扰动，那么我们的最小方法在达到这种绝对估计误差之前，在贪婪的方法中可能会非常有用。我们可以在以下条件下对清除向量的最大偏差使用此结果nF（π），以提供最坏情况扰动误差的界，而无需预先确定链路的存在或不存在。推论3.2。设（π，x，’p）为正规金融系统。在所有扰动下，最坏情况下的一阶估计误差为kD~E（π）p（π）ko≤ 最大值∈nF（π）kDp（π）k≤kD~E（πC）p（π）ko（10） 对于上述正交基~E（π）和任何完全连通网络∏C的~E（πC）的任意选择。如果∏本身是完全连通网络，则得到该上界。证据

对于所有∏和所有完全连通网络∏C，我们有nF（π） nF（π） nF（πC）。因此，使用（3），得到一个最大值∈nF（π）kDp（π）k≤ 最大值∈nF（C）kDp（π）k=maxkzk≤1.（一）- 诊断（d）∏>）-1图（d）dXk=1zkEk>p（π）=kD~E（πC）p（π）ko,最大值∈nF（π）kDp（π）k≥ 最大值∈nF（π）kDp（π）k=kD~E（π）p（π）ko,其中~E（πC）：=（E，…，Ed）是空间的正交基n（πC）。如命题3.1所示，解与基E（πC）的选择无关是命题a的直接结果。3、备注3.3。我们的实证分析表明，这一界限非常明显（见图11（b））。示例3.4。我们回到例2.2，考虑由四家银行组成的同一玩具网络，其中每家银行的名义负债如图1（a）所示。清除向量（9）在以下条件下的最大偏移如命题3.1所述，F（π）由矩阵给出*(Π) =0 0.3230 -0.1615-0.1615-0.0381 0 0.0190 0.01900.0571 -0.4845 0 0.42740.0571 -0.4845 0.4274 0.由于该网络是完整的，因此这也是最坏情况下扰动的优化问题（9）和（10）的解决方案。此外，还得到了推论3.2中的上界。图3描述了这种扰动。和以前一样，违约的银行被涂成红色。边缘标记为实现该最大估计误差的各个组之间链路的扰动。如果扰动集下的最大估计误差，则将一个节点连接到另一个节点的边为红色nF（π）发生在我们高估该链接的值时，如果我们低估了它，则为绿色。注意，由于最优估计误差问题的对称性，-*（π）也是最佳的，因此图3中红色和绿色链接的解释可以颠倒。事实上，在研究清除向量的偏差时*（π）和-*（π）是等效的。

在第3.2节中分析对社会的付款不足时，情况将不再如此。边缘宽度与entriesin的绝对值成比例*(Π). 虽然我们的泰勒展开结果（定理2.8）是针对h∈ (-h类**, h类**)仅当h**表示新组默认的扰动大小，而不是删除连接时的扰动大小。所以当h=h时**≈ 0.688，我们得到*=0 9 0 02.76 0 3.12 3.121.12 0 0 1.881.12 0 1.88 0,具有清除向量^p≈ (4.11, 6.11, 3, 3)>.可以立即验证*每个银行的银行间资产和负债总额确实相同，但分布方式不同。因此，在本例中，对于仍与总资产和总负债一致的网络，清算向量的相对标准偏差可能高达15%。备注3.5。可能需要通过清算付款或名义负债总额等标准化一阶估计误差，而不是考虑绝对误差。在一般形式中，让a∈ Rn×ndente归一化矩阵（例如，a=diag（p（π））-1或A=诊断（(R)p）-1). 然后我们可以将命题3.1和推论3.2的结果推广到max∈nF（π）kADp（π）k=kAD~E（π）p（π）ko最大值∈nF（π）kADp（π）k≤kAD~E（πC）p（π）ko对于任何完全连接的网络∏C，同样地，通过考虑AD~E（π）p（π）而不是D~E（π）p（π），可以将下面给出的分布结果简化。图3：最坏情况下的网络扰动示例3.43.1.2中定义的nF（π）清除均匀分布估计误差的向量偏差在本节中，我们将上述分析扩展到估计误差均匀分布的情况。这是通过考虑在d维欧氏单位球上均匀选择扰动矩阵基础的线性系数z来实现的。