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因此p-1[U]闭合，函数pis相对于∏连续。定理2.6的证明我们注意到，我们的证明并没有先验地假定清除向量是可微的；我们在下面对这个更简单的案例进行评论。证据我们假设净外部资产位于x个∈ 注册护士+@我∈ N s.t.xi+nXj=1πjipj（π）=π.表示α（1）=x+π>p（π）=（α（1），····，α（1）n）>和α（2）=x+（π+h)>p（π+h) = （α（2），···，α（2）n）>。通过p关于∏的连续性（命题2.1），我们得到了所有i∈ N、 α（2）i→ α（1）iash→ 0，因此1{{α（1）i<\'pi}∩{α（2）i>\'\'pi}}→ 0，1{{α（1）i>\'\'pi}∩{α（2）i<\'pi}}→ 0和1{{α（1）i<\'pi}∩{α（2）i<\'pi}}→{α（1）i<\'pi}。证明D的存在p（π），我们将显示以下两个极限，Dp（π）i=lim suph→0pi（π+h) - pi（π）handDp（π）i=直线infh→0pi（π+h) - 每个组件的pi（π）相等。考虑上限p（π）i=lim suph→0pi（π+h) - pi（π）h=lim suph→0小时“”pi∧ （xi+nXj=1（πji+hδji）pj（π+h))-“”pi∧ （xi+nXj=1πjipj（π））!= lim suph公司→00×1{{α（1）i>\'pi}∩{α（2）i>\'pi}}+\'pi- （xi+Pnj=1πjipj（π））h{{α（1）i<\'pi}∩{α（2）i>\'pi}}+xi+Pnj=1πjipj（π+h) + hPnj=1δjipj（π+h) - \'pih{{α（1）i>\'pi}∩{α（2）i<\'pi}}+Pnj=1πjipj（π+h) - pj（π）+ hPnj=1δjipj（π+h)h{{α（1）i<\'pi}∩{α（2）i<\'pi}}=nXj=1πjiDp（π）j+nXj=1δjipj（π）{α（1）i<\'pi}=dinXj=1πjiDp（π）j+dinXj=1δjipj（π）=：ψiDp（π）对于某些函数ψ：Rn→ 注册护士。同样，我们得到p（π）i=dinXj=1πjiDp（π）j+dinXj=1δjipj（π）=ψiDp（π）.因此，Dp（π）和Dp（π）是相同映射ψ的固定点。假设这个定点问题有唯一的解决方案p（π）i=Dp（π）i，对于所有i∈ N

因此，在此假设下，Dp（π）定义良好，是固定点方程D的解p（π）=ψDp（π）= 诊断（d）∏>dp（π）+diag（d）>p（π）。接下来，我们继续展示我- 诊断（d）∏>是可逆的，这建立了固定点和方向导数（3）的唯一性，从而得出证明。首先，假设diag（d）π>是不可约的，即具有邻接矩阵diag（d）π>的图在任意两个顶点i 6=j之间的两个方向上都有定向路径。然后，通过Perron–FrobeniusTheorem（参见，例如，（Soft 2007，第8.7.2节）），diag（d）π>的特征向量v>0对应于特征值ρ（diag（d）π>），其中ρ（·）是矩阵的谱半径。由于特征向量只有一个乘法常数，我们可以假设kvk=1。在规则系统的假设下，至少有一家银行必须是有偿付能力的，即存在一些i，使得diag（d）ii=0。这意味着存在一列，使得diag（d）∏>的列和严格小于1。事实上，任何对银行i负有义务的破产机构j的diag（d）π>列总和将严格小于1。如果所有银行都有偿付能力，diag（d）是零矩阵，结果很简单。因此有一些矩阵M≥ 0，M 6=0，因此diag（d）∏>+M的每列和为1，即>诊断（d）∏>+M= 1>.请注意，由于∏的每一行和为1，因此diag（d）∏>的列和最多为1。因此，diag（d）∏>的光谱半径必须小于或等于1。此外，我们必须使ρ（diag（d）∏>）小于1。否则，ρ（diag（d）∏>）=1，随着特征向量躯干的缩放，kvk=1意味着1=1>v=1>诊断（d）∏>+Mv=1>（v+Mv）=1+1>Mv>1，根据特征值定义∏>v=1v。

因此，我们可以得出结论，在diag（d）π>不可约的情况下，ρ（diag（d）π>）<1。现在假设diag（d）∏>是可约的，即diag（d）∏>类似于块上三角矩阵d，具有不可约的对角块Di，i=1，对于某些m<n。在正则系统的假设下，每个Di至少有一列的和严格小于1。与递减情况一样，这意味着每个i的ρ（Di）<1，因此ρ（diag（d）∏>）=ρ（d）<1。由于diag（d）∏>的最大特征值严格小于1，0不能是i的特征值- 诊断（d）∏>。这表明我- diag（d）∏>是可逆的。备注A.1。如果假设p相对于相对负债∏是可微分的，则可直接从表达式p（∏）=（I）的隐式微分中获得定理2.6的结果- diag（d））(R)p+diag（d）[x+π>p（π）]。定理2.8的证明。我们用归纳法证明了结果。定理2.6给出了k=1的结果。现在我们假设方程（6）适用于k，我们继续证明它适用于k+1。如定理2.6所示，我们通过计算两个极限来证明（4）的存在性：D（k+1）p（π）i=lim suph→0D（k）p（π+h)我- D（k）p（π）i和d（k+1）p（π）i=直线infh→0D（k）p（π+h)我- D（k）p（π）ih。矩阵逆的一阶泰勒近似由X，Y的矩阵逆的微分规则（参见（Soft 2007，p.152））给出∈ Rn×nand h足够小：（X+hY）-1.≈十、-1.- hX公司-1年X月-1.

将此事实应用于X=I- 诊断（d）∏和Y=-诊断（d）T、 我们有我-诊断（d）（π+h)>-1.≈我-诊断（d）∏>-1+小时我-诊断（d）∏>-1图（d）>我-诊断（d）∏>-此外，我们注意到，与所有低阶导数类似，k阶导数与相对负债矩阵∏是连续的，因为（根据归纳假设）D（k）p（π）=k！我- 诊断（d）∏>-1图（d）>kp（π），其中p（π）和我- 诊断（d）∏>-1关于∏都是连续的（见命题2.1和矩阵逆的连续性）。考虑上限D（k+1）p（π）=lim suph→0D（k）p（π+h) - D（k）p（π）h=lim suph→0公里我- 诊断（d）（π+h)>-1图（d）>D（k-1)p（π+h)-我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k-1)p（π）= lim suph公司→0公里我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k-1)p（π+h) - D（k-1)p（π）h+lim suph→0k小时我- 诊断（d）∏>-1图（d）>我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k-1)p（π+h)= k我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k）p（π）+k我- 诊断（d）∏>-1图（d）>我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k-1)p（π）=k我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k）p（π）+我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k）p（π）=（k+1）我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k）p（π）。同样，我们得到D（k+1）p（π）=（k+1）我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k）p（π）。极限的存在性和所有k的结果（6）如下≥ 根据上述所有K阶方向导数的结果，我们现在考虑完整的泰勒展开。首先，通过定义h**如（5）所示，diag（d）表示h∈ (-h类**, h类**). 根据清算付款p（见第（2）款）和违约公司diag（d）（见第2.6款）的定义，以及以下事实：- 诊断（d）（π+h)>是可逆的（如定理2.6的证明所示，因为∏+h, x、 (R)p）仍然是h的常规系统∈ (-h类**, h类**)  (-h类*, h类*)), wehavep（π+h）) = 诊断（d）x+（π+h）)>p（π+h)+我- 诊断（d）\'\'p=我- 诊断（d）（π+h)>-1.诊断（d）x+我- 诊断（d）\'\'p.（13） 同样，我们发现P（π）=我- 诊断（d）∏>-1.诊断（d）x+我- 诊断（d）\'\'p.

（14） 通过组合（13）和（14），我们立即发现P（π+h) =我- 诊断（d）（π+h)>-1.我- 诊断（d）∏>p（π）。此外，我们可以证明我- 诊断（d）（π+h)>-1.我- 诊断（d）∏>=我- h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>-1直接由我- 诊断（d）（π+h)>-1.我- 诊断（d）∏>我- h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>=我- 诊断（d）（π+h)>-1.我- 诊断（d）∏>- h诊断（d）>=我- 诊断（d）（π+h)>-1.我- 诊断（d）（π+h)>= 一、 因此，对于任何h∈ (-h类**, h类**), 我们发现P（π+h) =我- h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>-1p（π），即（8）。现在让我们考虑邻域h中尺寸h的扰动：=h类∈ R|h |<分钟（h**,ρ我- 诊断（d）∏>-1图（d）>).我们将使用矩阵逆的以下性质（参见（Meyer 2000，第126页））：如果X，Y∈ Rn×nso该X-1存在和限制→∞（十）-1Y）k=0，然后（X+Y）-1=∞Xk=0-十、-1年kX公司-我们取X=I- 诊断（d）∏>和Y=-h诊断（d）>. 自ρ起h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>=|h |ρ我- 诊断（d）∏>-1图（d）>< 1假设| h |<ρ我-诊断（d）∏>-1图（d）>,我们有Limk→∞hh小时我- 诊断（d）∏>-1图（d）>ik=0，使用光谱半径的特性（请参见（Meyer 2000，第617页））。因此，通过将这个结果与（13）结合，我们得到了p（π+h) =我- 诊断（d）（π+h)>-1.诊断（d）x+我- 诊断（d）\'\'p=∞Xk=0h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>k我- 诊断（d）∏>-1.诊断（d）x+我- 诊断（d）\'\'p=∞Xk=0h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>kp（π）=∞Xk=0hkk！D（k）p（π）。上述倒数第二个等式直接来自（14）。最后一个等式直接来自上述K阶方向导数的定义。因此，我们已经证明了fullTaylor展开式在H上是精确的 (-h类**, h类**).最后，因为我们已经证明（8）对于任何h都是精确的∈ (-h类**, h类**) 和-h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>对于至少一个元素h是单数的∈-ρ（（I-诊断（d）∏>）-1图（d）>),ρ（（I-诊断（d）∏>）-1图（d）>)通过构造，必须遵循h**≤ρ（（I-诊断（d）∏>）-1图（d）>).