艾森伯格Noe清算向量对单个银行间同业的敏感性

然后 =Pdk=1zkek是一个摄动矩阵。提案3.6。设（π，x，’p）为正规金融系统。当扰动在L-单位球中均匀分布时，估计误差的分布由P给出kD公司p（π）k≤ α=卷w∈ 研发部w> w≤ 1，w>∧w≤ αΓd+1πd/2，α≥ 0，其中∧是对角线矩阵，元素由D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）对于任意选择的正交基E（π），vol表示体积算子，Γ表示gammafunction。证据设z在d维单位球上是均匀的。然后 =Pdk=1zkek是一个扰动矩阵。获得一个SPkD公司p（π）k≤ α=PDp（π）>Dp（π）≤ α=Pz>D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）z≤ α.矩阵D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）是对角化的，因为它是实对称的。因此我们可以写D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）=V>∧V，其中∧是特征值的对角矩阵，V是正交矩阵。结合上述方程，我们得到z>D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）z≤ α=Pz> V>λV z≤ α.那么，由于z在单位球上是一致的，V V>=I，w=V z在单位球上也是一致的，因此我们有z> V>λV z≤ α=Pw> ∧w≤ α=卷ww> w≤ 1，w>∧w≤ α卷ww> w≤ 1.=卷ww> w≤ 1，w>∧w≤ αΓd+1πd/2。如命题3.1所示，分布与基E（πC）选择的独立性是命题A.3的直接结果。备注3.7。如果α≤ 水貂λkorα≥ 最大值λkthen PkD公司p（π）k≤ α可通过αdQdk=1明确给出√λkand 1，其中{λk | k=1，…，d}是D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）。

在minkλk<α<maxkλk的情况下，概率kD公司p（π）k≤ α可通过命题3.6中提供的体积公式给出，作为d嵌套整数，Γd+1πd/2Z-1Z√1.-x个-√1.-x···Zq1-下午-1k=1xk-第一季度-下午-1k=1xkZsα-Pmk=1λ[k]xkλ[m+1]-sα-Pmk=1λ[k]xkλ[m+1]···Zsα-Pd公司-1k=1λ[k]xkλ[d]-sα-Pd公司-1k=1λ【k】xkλ【d】dxd··dx，其中λ【m】≤ α ≤ λ[m+1]和λ[m]是特征值的重新排序，使得0≤ λ[1]≤ λ[2]≤··· ≤ λ[d]。示例3.8。我们再次回到示例2.2来考虑扰动 从均匀分布中取样。图4显示了相对估计误差kD的密度和CDF估计p（π）k/kp（π）k，对应于我们的风格化四银行网络。概率是从100000个模拟均匀扰动中估计出来的。3.1.3清除正态分布估计误差的向量偏差我们通过考虑正态分布扰动扩展了上一小节的分析。为此，我们考虑扰动矩阵基的线性系数z按照标准d维多元标准高斯分布进行分布。Pdk=1zkek是一个摄动矩阵. 虽然我们之前关于结算付款偏差的结果在单位范围内nF（π），在高斯分布下，扰动矩阵的大小不再以1为界，因此估计误差可以超过命题3.1和推论3.2中确定的最坏情况误差。提案3.9。设（π，x，’p）为正规金融系统。

扰动相对于标准正态分布的估计误差分布由动量生成函数m（t）：=det给出我- 2∧t-1/2，其中∧是对角线矩阵，元素由D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）表示任意正交基E（π）。图4：相对估计误差kD的概率密度（左）和CDF（右）均匀扰动下的p（π）k/kp（π）k 如示例3.8“证明”中所述。设z为d维标准正态高斯随机变量。然后 =Pdk=1zkek是一个摄动矩阵。正如命题3.6，我们可以写>D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）z=z>V>∧V z，其中∧是D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）和V是正交的。自z起~ N（0，I）和V V>=I，我们有w=V z~ N（0，V V>=I）。因此，z>V>∧V z=w>∧w=w>∧1/2∧1/2w。则y=∧1/2w~ N（0，λ）等各分量yk~ N（0，λk）和yk是独立的。因此，前>1/2∧1/2w=y>y=dXk=1yk。ykisΓ（1/2，2λk）的分布，因此sumPdk=1yk具有力矩生成函数m（t）=dYk=11.- 2λkt-1/2，其中λkar是D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）。如命题3.1所示，分布与基E（πC）选择的独立性是命题a.3的直接结果。备注3.10。命题3.9中发现的分布密度的闭合形式在Mathai（1982）的方程（7）中给出。图5：估计误差的估计概率密度（左）和CDF（右），kD标准高斯扰动下的p（π）k/kp（π）k 如例3.11所述。示例3.11。我们再次回到示例2.2来考虑扰动 从标准正态分布中取样。图5显示了相对估计误差kD的密度和CDF估计p（π）k/kp（π）k，对应于我们的风格化四银行网络。

概率由100000个模拟高斯扰动估计。3.2对社会支出的影响在本节中，我们假设除了银行间负债外，银行还对社会负有责任。在这里，社会被用作总交易方，包括所有非金融交易对手，企业、个人或ZF。因此，机构集变为N={0}∪ N、 在不丧失一般性的情况下，我们假设所有银行∈ N欠至少一个交易对手的钱j∈ N在系统中。否则，没有欠款的银行可以被societynode吸收，因为它在模型结构中扮演着相同的角色。因此，人们关心的问题是，如果相对负债矩阵中存在估计误差，那么对社会的支出如何可能被错误估计（尤其是高估）。例如，Glasserman and Young（2016）在引入外部负债的情况下研究了这种情况。我们采用他们的框架来分析这个问题。上一节的银行间负债矩阵L扩展为L∈ R（n+1）×（n+1）给定基=0···L1nL。。。。。。。。。。。。Ln1···0 Ln00···0=L l0···0 0 0,其中l=五十、 ···，Ln0>是社会责任的载体。我们要求至少有一家银行具有社会责任，即对于某些银行，Li0>0≤ 我≤ n、 银行i的总负债现在由“pi=Pnj=0Lij”给出。如上所述，我们还要求每家银行至少欠系统中的一个交易对手（可能是社会），即“pi>0代表所有i”∈ N、 相对责任矩阵∏相应地进行了转换，即∏ij∈ [0，1]和πij=Lij'pi。因此，容许相对责任矩阵∏属于所有右随机矩阵的集合，其条目在[0，1]，所有对角线条目为0，并且至少有一个πi0>0:n：=Π∈ [0，1]（n+1）×（n+1）i：πii=0，nXj=0πij=1和i s.t。

πi0>0.因此，可容许的银行间相对责任矩阵∏属于∏nI：=Π ∈ [0，1]n×ni：πii=0，nXj=1πij≤ 1和i s.t.nXj=1πij<1,其性质与（1）中定义的原始银行间相对负债矩阵∏相同，但行和小于或等于1，且至少有一个严格小于1。以下结果将在后续部分中隐式使用。这使我们能够，例如，在不考虑社会节点（假设等于0）的情况下，考虑金融公司支付的定向衍生工具。提案3.12。如果（π，x，(R)p）是正则网络，则I- diag（d）π是可逆的。证据这紧接着我- 诊断（d）∏>=我- 诊断（d）∏>-diag（d）π>,其中π=π、 ···，πn0>dis是默认指标的向量（长度为n+1，包括社会节点）。特别是，由于det（I-diag（d）∏>）6=0（如定理2.6的证明所示），我们可以得出以下结论：我- 诊断（d）∏>6= 0.示例3.13。现在，我们在第2节的示例中包括一个社会节点。名义上的银行间负债和每家银行对社会的负债如图6（a）所示。请注意，至少有一家银行对社会负有义务，而社会不欠任何银行任何债务。如上所述，银行的外部资产由向量x=（0，2，2，2）>。图6（b）给出了清算付款或每家银行能够偿还的债务金额。

无过错的银行被涂成红色，未全额偿还的债务也被涂成红色。3.2.1社会支出的最大减少下一步，我们使用方向导数来量化估计误差银行间相对负债矩阵中的nF（π）可能会导致对社会支出的高估。事实证明，使用附录A.2中讨论的扰动矩阵的基础，这个问题也有一个优雅的解决方案。我们假设（π，x，’p）是一个规则的金融系统，此外，对社会的相对负债π=（π，…，πn0）>和总负债’p都是精确已知的。定义3.14。设（π，x，’p）为正规金融系统。对社会的支出定义为数量π>p（π），其中p（π）是n公司的清算向量。（a） 名义银行间负债（b）清算银行间付款图6：示例3.13中定义的初始网络在此，我们认为相对负债矩阵∏是对真实相对负债的估计。因此，我们考虑估计清算向量的扰动，以确定可能高估社会支出的最大金额。为了研究社会支出最小化的优化问题，我们假设至少有一家银行违约，但并非所有银行都违约。下面的命题表明，这一假设只排除了微不足道的情况。提案3.15。设（π，x，(R)p）是具有银行间相对负债矩阵∏的正则系统∈ ∏nIand ∈ n（π）。如果所有银行都违约，或者没有银行违约，那么对于任意容许的扰动，对社会的支付保持不变.证据允许 是任意扰动矩阵。我们证明在这两种情况下π>Dp（π）=0.1。假设没有银行违约。然后diag（d）=0，结果保持为dp（π）=0.2。假设所有银行都违约。那么diag（d）=I。

因此，π>Dp（π）=π>我- Π>-1.>p（π）。注意π>我- Π>-1=1>，因为定义π>=1>我- Π>. 使用此和D的定义p（π）和, 它遵循π>Dp（π）=Pni=1Pnj=1δjipj（π）=0。允许 ∈ n（π），并假设对于给定的h∈ R：∏+h ∈ πnI。那么，对社会的最低支出是∈n（π）π>p（π+h).为了消除对h的依赖性和, 我们减去常数项π>p（π），然后考虑insteadmin∈nF（Ⅱ）limh→0π>p（π+h) - p（π）h=最小值∈nF（π）π>Dp（π）。如第3.1.1节所述，使用n（π）（见附录A.2），我们可以计算由于相对责任矩阵中的扰动而导致的社会短缺nF（π）。提案3.16。设（π，x，’p）为正规金融系统。年，由于负债矩阵中的估计错误，给社会带来了最大的工资缺口nF（π）由min给出∈nF（π）π>Dp（π）=-kπ>D~E（π）p（π）k。此外，对社会的最大缺口是通过*(Π) := -dXk=1π>DEkp（π）kπ>D~E（π）p（π）kEk。此外，最大短缺量和获得该短缺量的扰动矩阵都与所选基E（π）无关。证据由于问题minπ>D~E（π）p（π）z s.t.kzk≤ 1，有一个线性目标，它等价于tominπ>D~E（π）p（π）z s.t.z>z=1。通过必要的Karush–Kuhn–Tucker条件，我们知道这个问题的任何解决方案都必须满足D~E（π）p（π）>π+2uz=0，z>z=1，对于某些u∈ R、 第一个条件意味着z*= -（D~E（π）p（π））>π2u。将其插入第二个表示u=±kπ>D~E（π）p（π）k。

通过两种可能的解决方案，我们将其重新插入原始目标，以发现在u=kπ>D~E（π）p（π）kF处达到最小值，最佳值为：π>D~E（π）p（π）z*= -π> D~E（π）p（π）π> D~E（π）p（π）>kπ>D~E（π）p（π）k=-kπ>D~E（π）p（π）k。因此，解为*（π）=dXk=1z*kEk=-dXk=1π>DEkp（π）kπ>D~E（π）p（π）kEk。根据命题A.4，该结果与基矩阵的选择无关。推论3.17。设（π，x，’p）为正规金融系统。最严重的社会缺口是-kπ>D~E（πC）p（π）k≤ 最小值∈nF（π）π>Dp（π）≤ -kπ>D~E（π）p（π）k，其中~E（πC）是任何完全连通网络∏C的扰动矩阵的任何正交基。如果∏本身是完全连通网络，则得到该上界。图7:nF（π），为样本3.18中定义的社会产生最大缺口。证据通过包含，这遵循与推论3.2相同的逻辑nF（π） nF（π）对于任何完全连通网络∏C，nF（∏C）。该结果与正交基~E（∏）的选择无关，如命题3.16所示。示例3.18。我们继续讨论例3.13：如命题3.16所述，导致社会支出最大缺口的扰动由矩阵给出*=0 0.16 -0.46 0.300.11 0 0.16 -0.270.06 0.04 0 -0.10-0.26-0.34 0.60 0.图7描述了这种扰动。每一条边缘都被贴上了银行间相互关联的扰动的标签，从而最大程度地减少了对社会的支出。和以前一样，违约的银行被涂成红色。如果我们高估了一个节点的价值，那么将一个节点链接到另一个节点的边将变为红色，如果在最坏的情况下nF（π），我们低估了这一联系的价值。

边缘宽度与中输入的绝对值成比例*(Π). 与示例3.4相比，请注意-*（π）不再是解决方案。由于该网络已完成，这也等于最坏情况下的短缺-1.4513，几乎占整个社会预计付款的32%。3.2.2均匀分布估计误差对社会的亏空在本节中，我们计算扰动均匀分布时对社会的支出减少。为此，我们考虑从d维欧氏单位球中均匀选择扰动矩阵基的线性系数z。然后 =Pdk=1zkek是一个摄动矩阵。提案3.19。设（π，x，’p）为正规金融系统。扰动均匀分布在单位球上的社会支付变化分布由P给出π> Dp（π）≤ α=+αD~E（π）p（π）>πΓ（1+d）√πΓ（1+d）F，1- dαD~E（π）p（π）>π!对于α∈ [-D~E（π）p（π）>π,D~E（π）p（π）>π] α为0≤ -D~E（π）p（π）>πα和1≥ kD~E（π）p（π）>πk。在上述方程中，Fis是标准的超几何函数。此外，该分布适用于任何基矩阵E（π）的选择。证据设z是Rd中以原点为中心的单位球上的均匀随机变量。然后 =Pdk=1zkek是一个摄动矩阵。注意，通过方向导数的线性，我们得到π> p（π）= π> D~E（π）p（π）z，其中D~E（π）p（π）=判定元件p（π）, . . . , DEd公司p（π）.

由于z在单位球上是均匀的，PDπ> p（π）≤ α= Pπ> D~E（π）p（π）z≤ α=卷z∈ 研发部π> D~E（π）p（π）z≤ α、 z>z≤ 1.体积（{z∈ Rd | z>z≤ 1} ）（11）=体积新西兰∈ 研发部D~E（π）p（π）>π>z≤ α、 z>z≤ 1个体积（{z∈ Rd | z>z≤ 1} ）=体积z∈ 研发部（D~E（π）p（π））>πk（D~E（π）p（π））>πk>z≤αk（D~E（π）p（π））>πk，z>z≤ 1.体积（{z∈ Rd | z>z≤ 1} ）=体积z∈ 研发部e> z≤αk（D~E（π）p（π））>πk，z>z≤ 1.体积（{z∈ Rd | z>z≤ 1})(12)=如果α<0，则为0-D~E（π）p（π）>πIθ（1+d，）如果α∈D~E（π）p（π）>π× [-1, 0]1 -Iθ（1+d，）如果α∈D~E（π）p（π）>π×[0，1]1如果α>D~E（π）p（π）>π, θ =D~E（π）p（π）>π- αD~E（π）p（π）>π=如果α<0，则为0-D~E（π）p（π）>π+αk（D~E（π）p（π））>πkΓ（1+D）√πΓ（1+d）F,1.-dαk（D~E（π）p（π））>πk如果α∈D~E（π）p（π）>π× [-1，1]1如果α>D~E（π）p（π）>π,其中，Iθ（a，b）是正则化的不完全β函数（参见，例如，（DLMF，第8.17章）），fis是标准超几何函数（参见，例如，（DLMF，第15章））。方程式（11）是根据概率计算得出的，即满足概率事件的单位球的体积分数与单位球的全部体积之比。方程式（12）后面是单位球的对称性和自D~E（π）p（π）>π/kD~E（π）p（π）>πkhas单位标准值。最终结果直接来自球形帽的体积（参见，例如，（Li 2011，等式图8：社会支出相对减少的估计概率密度（左）和CDF（右），π>Dp（π）π>p（π），在均匀扰动下 如例3.20（2））所述）。最终结果来自正则化的不完全贝塔函数的性质（例如，参见（DLMF，第8.17章）），即iθ1+d，= 1.- 2.√1.- θΓ（1+d）√πΓ（1+d）F,1.- d1.- θ,带θ=D~E（π）p（π）>π-αD~E（π）p（π）>π, 注意到α正和负的情况可以用标准的超几何函数写在同一个方程下。