艾森伯格Noe清算向量对单个银行间同业的敏感性

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英文标题：
《Sensitivity of the Eisenberg-Noe clearing vector to individual interbank
  liabilities》
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作者：
Zachary Feinstein, Weijie Pang, Birgit Rudloff, Eric Schaanning,
  Stephan Sturm, Mackenzie Wildman
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We quantify the sensitivity of the Eisenberg-Noe clearing vector to estimation errors in the bilateral liabilities of a financial system in a stylized setting. The interbank liabilities matrix is a crucial input to the computation of the clearing vector. However, in practice central bankers and regulators must often estimate this matrix because complete information on bilateral liabilities is rarely available. As a result, the clearing vector may suffer from estimation errors in the liabilities matrix. We quantify the clearing vector\'s sensitivity to such estimation errors and show that its directional derivatives are, like the clearing vector itself, solutions of fixed point equations. We describe estimation errors utilizing a basis for the space of matrices representing permissible perturbations and derive analytical solutions to the maximal deviations of the Eisenberg-Noe clearing vector. This allows us to compute upper bounds for the worst case perturbations of the clearing vector in our simple setting. Moreover, we quantify the probability of observing clearing vector deviations of a certain magnitude, for uniformly or normally distributed errors in the relative liability matrix.   Applying our methodology to a dataset of European banks, we find that perturbations to the relative liabilities can result in economically sizeable differences that could lead to an underestimation of the risk of contagion. Our results are a first step towards allowing regulators to quantify errors in their simulations.
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中文摘要：
我们量化了艾森伯格-诺伊清算向量对程式化环境下金融系统双边负债估计误差的敏感性。银行间负债矩阵是计算清算向量的关键输入。然而，在实践中，央行行长和监管者必须经常估计该矩阵，因为很少有关于双边债务的完整信息。因此，清算向量可能会在负债矩阵中出现估计错误。我们量化了清除向量对此类估计误差的敏感性，并表明其方向导数与清除向量本身一样，是不动点方程的解。我们利用表示允许扰动的矩阵空间的基来描述估计误差，并导出艾森伯格-诺埃清除向量最大偏差的解析解。这允许我们在简单设置中计算清除向量最坏情况下扰动的上界。此外，对于相对责任矩阵中的均匀或正态分布误差，我们量化了观察到一定量级的清除向量偏差的概率。将我们的方法应用于欧洲银行的数据集，我们发现，相对负债的扰动可能会导致经济上的巨大差异，从而导致对传染风险的低估。我们的结果是朝着允许监管机构量化模拟误差迈出的第一步。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Sensitivity_of_the_Eisenberg-Noe_clearing_vector_to_individual_interbank_liabilities.pdf (1.21 MB)

2022-6-2 14:47:27 上传

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关键词：Noe 银行间 敏感性 Perturbation Mathematical

Eisenberg–Noe清算向量对个人银行间负债的敏感性。*Zachary Feinstein+、Weijie Pang、Birgit Rudlo off§、Eric SchaanningPk、Stephan Sturm、Mackenzie Wildman**我们量化了Eisenberg–Noe清算向量对金融系统双边负债估计误差的敏感性。银行间负债矩阵是计算清算向量的关键输入。然而，在实践中，央行行长和监管机构必须经常估计该矩阵，因为很少有关于双边债务的完整信息可用。因此，清除向量可能会抵消责任矩阵中的估计误差。我们量化了清除向量对此类估计误差的敏感性，并表明其方向导数与清除向量本身一样，是固定点方程的解。我们利用表示容许扰动的矩阵空间的基来描述估计误差，并推导出Eisenberg–Noecleasing向量最大偏差的解析解。这允许我们计算清除向量最坏情况下扰动的上界。此外，对于相对责任矩阵中的均匀或正态分布误差，我们量化了观察到一定程度的清除向量偏差的概率。将我们的方法应用于欧洲银行的数据集，我们发现相对负债的扰动可能会导致经济上的巨大差异，从而导致对传染风险的低估。

我们的结果是允许监管机构量化模拟误差的第一步。关键词：系统性风险、模型风险、艾森伯格-Noe清算向量、敏感性分析、银行间网络、传染。*本作品中表达的观点是作者的观点，并不一定反映挪威银行的观点。本材料基于国家科学基金会第1321794号拨款支持的工作。+圣路易斯华盛顿大学电气与系统工程系，地址：美国密苏里州圣路易斯市格林豪尔布鲁金斯大道1号2160B室，邮编：63130，zfeinstein@ese.wustl.edu.伍斯特理工学院，数学科学系，100 Institute Road，Worcester，MA01609-2280 USA，wpang@wpi.edu和ssturm@wpi.edu.§奥地利维也纳1020号D4栋Welthandelsplatz 1号维也纳经济和商业大学，brudloff@wu.ac.at.P挪威银行研究，Bankplassen 2，0107奥斯陆，挪威，埃里克。schaanning@norges-银行。编号：kRiskLab，ETH Z¨urich，数学系，R¨amistrasse 101，8092 Z¨urich。这项工作的一部分是在埃里克·夏宁（EricSchaanning）就读于伦敦帝国理工学院期间完成的。**加利福尼亚大学圣巴巴拉分校统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉市南大厅，邮编93106-3080。这项工作的一部分是在麦肯齐·威尔德曼（MackenzieWildman）就读于麦肯齐利海大学时进行的。wildman@gmail.com.1导言一些关于网络传染的重要文献集中在银行间传染，建立在Eisenberg和Noe（2001）的网络模型上。中央银行和监管机构已应用该模型研究其辖区银行系统中的违约级联。（Anandet al.（2014）、Ha laj和Kok（2015）、Boss et al.（2004）、Elsinger et al.（2013）、Upper（2011）、Gai et al.（2011））。H¨user（2015）对银行间传染文献进行了全面而详细的回顾。

Hurd（2016）提出了一个统一的数学框架来建模这些传染通道。最近，英格兰银行扩展了该模型，以分析英国金融体系中的偿付能力传染（Bardocia et al.（2017））。该模型的多个扩展已被开发，以包括o破产成本：Elsinger（2009）、Rogers和Veraart（2013）、Elliott等人（2014）、Glasserman和Young（2015）、Weber和Weske（2017）、o交叉所有权：Elsinger（2009）、Elliott等人（2014）、Weber和Weske（2017）oFire sales：Cifuntes等人（2005）、Nier等人（2007）、Gai和Kapadia（2010），Chen等人（2016年）、Amini等人（2016b，c）、Weber和Weske（2017年）、Feinstein（2017a）、Feinstein-andEl-Masri（2017年）、Feinstein（2017b）、Di Gangi等人（2015年）和o多重到期：Capponi和Chen（2015年）、Kusnetov和Veraart（2016年）、Banerjee等人（2018年）。此外，许多论文更详细地分析了网络拓扑对系统风险的影响。Amini等人（2016a）得出了网络特征方面违约级联规模的严格渐近结果，并发现具有较大连通性和大量“传染链接”的机构对传染的贡献最大。Detering等人（2016）表明，如果网络的度分布没有第二个时刻，局部冲击可以传播到整个网络。这是相关的，因为现实的金融网络通常显示出具有不均匀度分布的核心-外围结构（Cont et al.（2013））。

Chong和Kl¨uppelberg（2018）描述了金融系统在所有可能网络结构下的联合违约分布，并展示了贝叶斯网络理论如何应用于检测传染渠道。监管机构已确定将此类传染机制纳入压力测试是一项关键优先事项（巴塞尔银行监管委员会（2015），Anderson（2016））。此外，最近的研究表明，考虑反馈效应和传染可以改变个别机构压力测试的通过/失败结果（Cont和Schaanning（2017））。在这些模型中，估计传染所需的一个关键因素是所谓的负债矩阵，其中Lij是银行i对银行j的名义负债。通常，确切的双边风险敞口未知，因此需要进行估计（Ha laj和Kok（2013），Anand et al.（2015），Elsingeret al.（2013），Ha laj和Kok（2015））。尽管危机后为改善数据收集做出了大量努力，但数据差距尚未缩小。除了后勤问题，如报告格式的标准化和创建唯一和通用的机构标识，还存在其他障碍，如限制监管机构只能访问与其各自管辖区相关的数据的法律限制。因此，特定双边风险敞口的估计仍然是一个重要的组织（Lang field et al.（2014），Anand et al.（2015，2017），Financial Stability Board and International Monetary Fund（2015））。早期文献经常使用熵最大化技术，根据银行的总资产和负债（即L的行和列之和），在负债矩阵中“填补空白”。

然而，越来越多的实证文献表明，真实世界的银行间网络看起来与使用此类技术获得的同质网络截然不同（Bech和Atlay（2010），Mistrulli（2011），Cont et al.（2013），Soram¨aki et al.（2007））。Gandy和Veraart（2016）提出了一种基于总负债和潜在其他先验信息的新贝叶斯方法来估计双边负债，并将其应用于重建Gandy和Veraart（2017）的CDS市场。特别是，Mistrulli（2011年）、Gandy和Veraart（2016年）表明，在估计现实世界和异构网络与统一网络的传染时，系统性风险的估计可能会产生多大的影响。这突出了双边风险敞口矩阵在计算违约级联时量化传染程度方面所起的关键作用。除了上述限制监管机构访问其管辖范围以外数据的法律障碍外，由于数据收集和压力测试运行之间的时间间隔，银行间风险敞口中的另一个重要不确定性示例也出现了：对于一些监管压力测试（如多德-弗兰克压力测试），每年收集数据，这既可能导致银行的粉饰行为，也可能导致风险敞口随时间自然变化。在这种情况下，两家银行之间是否存在风险敞口将是已知的，其不确定性主要围绕其规模。Capponi等人（2016年）通过使用基于优化的工具，研究了网络拓扑对系统风险的影响。据我们所知，Liuand Staum（2010）是迄今为止唯一一篇对Eisenberg-Noe模型进行敏感性分析的论文。

他们的分析侧重于清算向量对每家银行初始净值的敏感性。本文的主要贡献是在标准艾森伯格-诺埃框架下，对清算向量对银行间负债进行详细的敏感性分析。为此，我们定义了与“扰动矩阵”相关的清理向量k阶方向导数，这量化了相对责任矩阵中的估计误差。这使我们能够导出清除向量的精确泰勒级数。此外，我们还引入了一组“基矩阵”，它们指定了方向导数的基本方向的概念。我们证明了清除向量的方向导数可以写成这些基矩阵的线性组合。我们继续利用这一结果研究两个优化问题，这两个优化问题量化了清除向量与其“真”值的最大偏差，并获得了这两个问题的显式解。这些分析结果还提供了（一阶）最坏情况扰动误差的上限。当估计误差是均匀分布或正态分布时，我们通过计算观测到给定量级偏差的概率来扩展这些结果。最后，我们用一个小型的四家银行网络和一个欧洲银行数据集来说明我们的结果。我们的结果表明，尽管违约银行在不同的双边银行间网络中可能保持稳定（校准到相同的数据集），但清除向量与相对负债扰动的偏差可能很大。

虽然我们的程式化设置忽略了Eisenberg–Noe框架的其他扩展（例如破产成本或零售），但它为量化清算向量对负债矩阵的敏感性提供了第一步，这在之前的文献中尚未解决。在本文中，我们偶尔会考虑外部负债和银行间负债。将所有外部负债合并为一个单一的外部“社会企业”这家额外的“银行”是金融网络中未包含的整个经济体的替身。如Glasserman和Young（2015）对此进行了详细讨论。特别是，如inFeinstein等人（2017）所述，对社会企业财富的影响可以作为整体金融网络健康状况的综合衡量指标。我们将以类似的方式利用社会FIRM来研究银行间负债估计误差对外部利益相关者的影响。我们将文献综述主要局限于接近艾森伯格-诺伊方法论的论文。毋庸置疑，自金融危机以来，已经有大量论文使用不同的方法来衡量系统风险，如基于代理的建模（Bookstaberet al.（2014））、计量经济学（Brownlees and Engle（2016））、平均场博弈（Carmona et al.（2015））或经济分析（Brunnermeier and Cheridito（2014））、Hellwig（2009））。系统风险公理化度量和集合论方法已在（Chen et al.（2013）、Kromer et al.（2016）、Biagini et al.（2015）、Feinstein et al.（2017））中开发。Bisias等人（2012年）、Fouque和Langsam（2013年）以及Duffee（2010年）对这一庞大的文献进行了广泛概述。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了Eisenberg–Noe框架，并提供了该模型的初始连续性结果。

然后，我们研究了相对负债矩阵的方向导数和艾森伯格-诺埃清算支付的泰勒级数。这些结果允许我们考虑清算付款的敏感性。在第3节中，我们使用方向导数来确定相对责任矩阵的扰动，该矩阵在结算付款的错误指定和对社会的影响方面呈现“最严重”的错误。这些结果也被推广到考虑各种估计误差的概率。在第4节中，我们对根据欧洲银行网络校准的数据进行了敏感性分析。第5节总结并讨论了我们的方法的局限性。技术证明大多归入附录，附录还提供了扰动矩阵理论基础的详细信息。2艾森伯格-Noe清算向量的敏感性分析我们考虑由n家银行组成的金融系统，n={1，…，n}。对于i，j∈ N、 丽晶≥ 0是i银行对j银行的名义负债。等效地，Lij是j银行对i银行的风险敞口∈ Rn×nis称为金融网络的负债矩阵，我们假设没有银行有自身风险敞口，即Lii=0∈ N、 银行i的总负债由“pi=Pnj=1Lij”表示。银行i对银行j的相对负债表示为πij∈ [0，1]，其中πij=Lij'pi当'pi>0时。我们允许πij∈ 当π=0且仅要求nj=1πij=1时，[0，1]为任意值。Wedenote相对责任矩阵∏∈ Rn×n.任何相对责任矩阵∏必须属于容许矩阵∏n的集合，定义为所有右随机矩阵的集合，其条目在[0，1]中，所有对角线条目为0:n：=Π ∈ [0，1]n×ni：πii=0，nXj=1πij=1. （1） 最后，用xi表示银行系统外i银行的外部资产≥ 0

然后，银行资产负债表采用表1的简化形式，财务系统由Triplet（π，x，’p）给出∈ ∏n×Rn+×Rn+。当一家银行的净外部资产和有效的银行间资产之和超过其总负债时，该银行即具有偿付能力。在这种情况下，银行将履行其所有义务。然而，如果其债务价值大于该银行的净资产加上银行间履约资产，则也可以通过引入“外部”银行0来考虑外部负债。第3.2节对此进行了详细讨论。请注意，在π=0的情况下，任意选择πij对艾森伯格-诺埃斯模型的结果没有影响，因为相对责任矩阵∏的转置乘以传入支付向量p（π），当πpj=0时，其值为0（参见（2））。资产代表负债代表银行间aIBi=Pnj=1LJI银行间lIBi=Pnj=1LIJIEXTERNAL XI外部LI0资本抵押表1：风格化银行资产负债表银行将违约并按比例偿还债务。这些规则产生一个清除向量，作为固定点问题的解p（π）=p∧x+π>p（π）. （2） 设p：∏n→ Rn+；Π 7→ p（π）是具有参数（x，(R)p）的定点函数。如（Eisenberg和Noe 2001，定理2）所证明的，如果银行系统是正则的，则清算向量是唯一的。正则性定义如下：盈余集S N是一组银行，其中集合中的任何银行均不对集合外的银行承担任何义务，集合中所有银行的外部净资产价值之和均为正值，即。，（i，j）∈ S×Sc：πij=0和π∈Sxi>0。接下来，将金融系统视为一个有向图，其中，如果Lij>0，则银行i与银行j之间存在有向链接。将银行i的风险轨道表示为o（i）={j∈ N |存在一条从i到j的有向路径}。