极限订单簿中的复合Hawkes过程

设Xkbe是一个具有两个状态的遍历Markovchain{-δ、 +δ}和遍历概率（π*, 1.- π*).也请参见（15）。然后是SNT- N（nt）s*√n→n→+∞σqλ/（1）- ^u）W（t），（16）其中，W（t）是标准维纳过程，^u由0<u：=Z给出+∞u（s）ds<1和z+∞u（s）sds<+∞, （17） s*:= δ(2π*- 1） σ：=4δ1.- p+π*（p- p） （p+p- 2)- π*(1 - π*). （18） 这里，（p，p）是马尔可夫链Xk的转移概率。我们注意到λ和u（t）在（2）中定义。证据从（15）可以看出，snt=S+N（nt）Xk=1Xk，（19）和snt=S+N（nt）Xk=1（Xk- s*) + N（nt）s*.因此，Snt- N（nt）s*√n=S+PN（nt）k=1（Xk- s*)√n、 （20）正弦√n→n→+∞0，我们必须找到pn（nt）k=1（Xk）的极限- s*)√n时n→ +∞.考虑以下sumsRn：=nXk=1（Xk- s*) （21）andUn（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc）Rbntc+（nt- bntc）Rbntc）+1]，（22），其中b·c是FLOOR函数。根据【Swishchuk和Vadori，2015】中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中具有以下弱收敛性（参见【Skorokhod，1965】）：Un（t）→n→+∞σWt，（23），其中σ在（18）中定义，Wt是标准布朗运动。我们注意到，霍克斯过程N（t）的w.r.t LLN（参见，例如，[Daley and Vee Jones，2010]）我们有：N（t）t→t型→+∞λ1 - ^u：=(R)λ，orN（nt）n→n→+∞tλ1- ^u=？λt，（24），其中^u在（17）中定义。使用（23）中的时间变化，t→ N（nt）/N，我们可以从（23）和（24）中找到：Un（N（nt）/N）→n→+∞σWtλ/（1）- ^u),orUn（N（nt）/N→n→+∞σqλ/（1）- ^u）W（t），（25），其中Wt=W？λt/√λ. （25）中的布朗运动W（t）在分布上等价于（23）中的布朗运动W（t）。结果（16）现在由（20）-（25）得出。备注5。在指数衰减的情况下，u（t）=αe-βt（见（4）），则（16）中的极限为[σ/qλ/（1- α/β）]W（t），因为^u=R+∞αe-βsds=α/β。3.2 CHPLemma 1的LLN（CHP的LLN）。

过程Sntin（19）满足了Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见【Skorokhod，1965】）：Sntn→n→+∞s*λ1 - ^ut，（26），其中s*和^u分别在（18）和（17）中定义。证据从（19）中，我们得到snt/n=序列号+n（nt）Xk=1Xk/n。（27）当n→ +∞. 另一方面，将强LLN用于马尔可夫链（参见，例如，【Norris，1997】）nnXk=1Xk→n→+∞s*, （28）其中s*定义见（18）。最后，考虑到（24）和（28），我们得到：N（nt）Xk=1Xk/N=N（nt）nN（nt）N（nt）Xk=1Xk→n→+∞s*λ1 - ^ut，下面是（26）中的结果。备注6。在指数衰减的情况下，u（t）=αe-βt（见（4）），则（26）中的极限为s*t（λ/（1- α/β），因为^u=R+∞αe-βsds=α/β。3.3推论：点过程的扩展价格过程S表示为t=S+N（t）Xi=1Xi，t≥ 0，其中N是点过程，马尔可夫链XI在（10）中定义。假设C1：为n→ ∞, N（nt）/nP r-→λt，其中λ：=λ/（1）- ^u).注意，如果N（t）=max{N:Vn≤ t} ，然后N（nt）/nP r-→？λt=？vi ff Vn/nP r-→ v.该表示法尤其适用于更新过程，其中Vn=Pnk=1τk，τki。i、 d.平均值v假设C2:Un（t）W，其中W是布朗运动，Un（t）在（22）中定义。然后根据假设C1和C2得出-1/2{Snt- S- s*N（nt）}}=σUn（N（nt）/N=N-1/2N（nt）Xi=1{Xi-s*}   σq'λWt，其中W是布朗运动，s*在（18）中被拒绝。事实上，无论如何≥ 0，Wt=W|λt/√λ.极限方差σ′λ可以通过求增量Snti的平方来近似- Snti公司-1.- s*（N（nti）- N（nti-1)). 在任何情况下，(R)λcab很容易通过N（T）/T来估计，σ可以通过价格增量的分布来估计。现在假设点进程N也有一个CLT。

更准确地说，假设C3:n1/2N（nt）N- tλ“σ”Wt，其中“W”是独立于W的布朗运动。然后在假设C1–C3下，n-/第2个SNT- nt'λs*oσWt，其中W=nσ√(R)λW+s*\'σ\'\'Wo/]σ是布朗运动，\'σ=hσ\'\'λ+{s*}(R)σi1/2。这源于以下假设和事实：-1/2nSnt- S- nt'λs*o=n-1/2N（nt）Xi=1{Xi- s*} + s*n1/2N（nt）n- tλ！。备注7。假设C3在许多有趣的情况下都是正确的。对于RENEWALPROCES，如果στ是τk的标准偏差，则σ=στλ3/2。对于λ（t）=λ+Rtu（t）的Hawkes过程也是如此【Bacry等人，2013年】-s） dNs，提供^u=R∞u（s）ds<1。则λ=λ1-u和σ=√λ/(1 - ^u).3.4限额订单中RSCHP的差异限额现在考虑中间价格流程St（RSCHP），格式St=S+NtXk=1Xk，（29），其中Xk∈ {-δ、 +δ}是连续时间的两态马尔可夫链，δ是固定的刻度大小，NTI是截至时刻t的价格变化数量，由一维制度转换霍克斯过程描述，强度由λt=<λ，Yt>+Ztu（t- s） dNs，（30）（与（11）定义6相比）。在这里，我们想放松一维区域切换霍克斯过程的模型，只考虑参数λ，背景强度，in（20）的切换情况，从极限订单书的角度来看，这是合理的。例如，我们可以考虑一个三态马尔可夫链∈ {e，e，e}并将<λ，Yt>解释为不平衡，其中λ，λ，λ分别代表高、正常和低不平衡（不平衡概念和讨论见【Cartea等人，2015年】。当然，也可以考虑更一般的情况（13），其中激励函数<u（t），Yt>，可以取三个值，分别对应于高不平衡、正常不平衡和低不平衡。定理2（RSCHP的扩散极限）。设Xkbe是一个具有两个状态的遍历马尔科夫链{-δ、 +δ}和遍历概率（π*, 1.-π*).

还可以在（29）中定义λtas，在（30）中定义λtas。我们还认为Yttobe是一个遍历概率为（p*, p*, ..., p*N） 。然后是SNT- Nnts公司*√n→n→+∞σq^λ/（1）- ^u）W（t），（31），其中W（t）是标准维纳过程，具有*和（18）中定义的σ，^λ：=NXi=1p*iλi6=0，λi：=<λ，i>，（32）和^u在（17）中定义。证据从（29）可以看出，snt=S+NntXi=1Xk，（33）和snt=S+NntXi=1（Xk- s*) + Nnts公司*,其中Nntis是一个区域切换强度λtas in（30）的RGCHP。然后，Snt- Nnts公司*√n=S+PNnti=1（Xk- s*)√n、 （34）长屁股√n→n→+∞0，我们希望找到Pnnti=1（Xk）的极限- s*)√n时n→ +∞.考虑以下和，类似于（21）和（22）：Rn：=nXk=1（Xk- s*) （35）andUn（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc）Rbntc）+（nt- bntc）Rbntc）+1]，（36），其中b·c是FLOOR函数。根据【Swishchuk和Vadori，2015】中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中具有以下弱收敛性（参见【Skorokhod，1965】）：Un（t）→n→+∞σW（t），（37），其中σ在（18）中定义。我们注意到，关于Hawkes过程Ntin（34）的LLN，在（30）中具有区域切换强度λtas，我们有（更多详情参见【Korolyuk and Swishchuk，1995】）：Ntt→t型→+∞^λ1 - ^u，或NTN→n→+∞t^λ1- ^u，（38），其中^u在（17）中定义，^λ在（32）中定义。使用（37）中的时间变化，t→ Nnt/n，我们可以从（37）和（38）中找到：Un（Nnt/n）→n→+∞σWt^λ/（1）- ^u),奥伦（Nnt/n）→n→+∞σq^λ/（1）- ^u）W（t），（39）结果（31）现在由（33）-（39）得出。备注8。在指数衰减的情况下，u（t）=αe-βt（见（4）），则（31）中的极限为[σq^λ/（1- α/β）]W（t），因为^u=R+∞αe-βsds=α/β。3.5 RSCHPLemma 2的LLN（RSCHP的LLN）。过程Sntin（33）满足了Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见【Skorokhod，1965】）：Sntn→n→+∞s*^λ1 - ^ut，（40），其中s*,^λ和^u分别在（13）、（27）和（12）中定义。证据

从（33）中，我们得到了snt/n=S/n+NntXi=1Xk/n，（41），其中Nntis是一个Hawkes过程，区域切换强度为λtin（30）。当n时，第一项变为零→ +∞.另一方面，关于马尔可夫链的强LLN（参见，例如，【Norris，1997】），nnXk=1Xk→n→+∞s*, （42）其中s*定义见（18）。最后，考虑到（38）和（42），我们得到：NntXi=1Xk/n=nntnnnntxi=1Xk→n→+∞s*^λ1 - （40）中的结果如下。备注9。在指数衰减的情况下，u（t）=αe-βt（见（4）），在（40）中的极限为s*t（λ/（1）- α/β），因为^u=R+∞αe-βsds=α/β。4数值示例和参数估计定理1（CHP的扩散极限）中的公式（16）将较低频率的日内收益波动率与订单的高频到达率联系起来。订单簿事件的典型时间刻度为毫秒。公式（16）指出，在更大的时间尺度上观察，例如5、10或20分钟，价格具有不同的行为，其差异系数由（16）中W（t）的系数给出：σqλ/（1- ^u），（43），其中（17）-（18）中定义了此处的所有参数。我们提到，波动率的公式（43）包含Hawkesprocess、Markov链转移、平稳概率和ticksize的所有初始参数。这样，公式（43）将价格属性与订单流量属性联系起来。此外，（16）的左侧表示价格变化的方差，而（16）的右侧仅涉及刻度大小、HawkeProcess和Markov链数量。由此得出，可以在根本不观察价格的情况下计算价格波动性的估计值。

如下所示，（16）的LNS和（16）的RHS的标准偏差的比较估计误差乘以√n约为0.08，表明定理1中CHP扩散极限的（16）近似值相当好。下文第4.1节介绍了使用Cisco数据（5天，2014年11月3日至7日，见【Cartea等人，2015年】）对我们模型的参数估计。第4.2节包含（16）的LNS和（16）的RHS乘以√n、 第4.3节描述了一些基于sec参数估计的图。4.1. 第4.4节介绍了如何实施sec的政权转换案例的一些想法。3.4.4.1 CISCO数据的参数估计（5天，2014年11月3日至7日（见【Cartea et al.，2015】））我们根据公式（16）得到了2014年11月3日至7日5天的以下估计参数：*= 0.0001040723; 0.0002371220; 0.0002965143; 0.0001263690; 0.0001554404;σ=1.066708e- 04; 1.005524e- 04; 1.165201e- 04; 1.134621e- 04;9.954487e- 05;λ = 0.03238898; 0.02643083; 0.02590728; 0.02530517; 0.02417804;α = 438.2557; 401.0505; 559.1927; 418.7816; 449.8632;β = 865.9344; 718.0325; 1132.0741; 834.2553; 878.9675;^λ := λ/(1 - α/β) = 0.06560129; 0.059801686; 0.051181133; 0.050801432; 0.04957073.波动系数σqλ/（1）- α/β）（右侧布朗运动（RHS）的波动系数（16））：0.04033114；0.04098132; 0.04770726; 0.04725449; 0.04483260.转移概率p:Day1:uu ud0.5187097 0.4812903du dd0.4914135 0.5085865Day2:0.4790503 0.5209490.5462555 0.4537445Day3:0.6175041 0.38249590.4058722 0.5941278Day4:0.5806988 0.41930120.4300341 0.5699659Day5:0.4608844 0.53911560.5561404 0.4438596我们注意到，平稳概率π*i、 i=1。。。，5，分别为：0.5525；0.6195; 0.6494; 0.5637; 0.5783.

这里，我们假设记号δ大小为δ=0.01。以下参数集与以下表达式NT相关- N（nt）s*= S+N（nt）Xk=1（Xk- s*),-（16）中表达式的LHS乘以√n、 第一组数字适用于10分钟的时间范围（nt=10分钟，5天，7个采样小时，共35个数字）：表1【1】24.50981；[2]24.54490; [3]24.52375; [4]24.59209; [5]24.47209; [6]24.57042; [7]24.61063;[8]24.76987; [9]24.68749; [10]24.81599; [11]24.77026; [12]24.79883; [13]24.80073; [14]24.90121;[15]24.87772; [16]24.98492; [17]25.09788; [18]25.09441; [19]24.99085; [20]25.18195; [21]25.15721;[22]25.04236; [23]25.18323; [24]25.15222; [25]25.20424; [26]25.14171; [27]25.18323; [28]25.25348;[29]25.10225; [30]25.29003; [31]25.28282; [32]25.33267; [33]25.30313; [34]25.27407; [35]25.30438;标准偏差（SD）为：0.2763377。10分钟的标准误差（SE）为：0.01133634（有关标准误差计算，请参见【Caselland Berger，2002，第257页】。第二组数字适用于5分钟的时间范围（nt=5分钟，5天，7个采样小时）：表2【1】24.49896；[2]24.52906; [3]24.50417; [4]24.53417; [5]24.53500; [6]24.51458; [7]24.55479;[8]24.93026; [9]24.66931; [10]24.74263; [11]24.79358; [12]24.80310; [13]24.84500; [14]24.88405;[15]24.85729; [16]24.98907; [17]25.08085; [18]25.07500; [19]24.99322; [20]25.13381; [21]25.15144;[22]25.15197; [23]25.12475; [24]25.15449; [25]25.18475; [26]25.20348; [27]25.20500; [28]25.25348;[29]25.21251; [30]25.35376; [31]25.30407; [32]25.30469; [33]25.30469; [34]25.27500; [35]25.30469;这些数字的标准偏差为：0.2863928。

SD5分钟的SE为：0.01233352。第三组也是最后一组数字适用于20分钟的时间范围（nt=20分钟，5天，7个采样小时）：表3【1】24.48419；[2]24.53970; [3]24.56292; [4]24.57105; [5]24.48938; [6]24.52751; [7]24.50751;[8]24.76465; [9]24.59753; [10]24.82935; [11]24.76552; [12]24.81741; [13]24.75409; [14]24.84077;[15]24.92942; [16]24.99721; [17]25.05551; [18]25.04848; [19]25.08492; [20]25.09780; [21]25.09551;[22]24.95124; [23]25.24222; [24]25.19096; [25]25.18273; [26]25.14070; [27]25.20171; [28]25.26785;[29]25.23013; [30]25.38661; [31]25.32127; [32]25.34065; [33]25.30313; [34]25.25251; [35]25.24972;标准偏差为：0.2912967。20分钟SD的SE为：0.01234808。如我们所见，所有三种情况下的SE约为0.01。4.2估计误差此处，我们希望通过比较NT的标准偏差来计算估计误差- N（nt）s*= S+N（nt）Xk=1（Xk- s*)和（16）右侧的标准偏差乘以√n、 即：，√nσqλ/（1）- α/β).我们根据以下公式计算估计误差：误差=（1/m）mXk=1（sd-^sd），其中^sd=√nCoef，其中Coef是方程式（16）右侧的波动系数。

在这种情况下，n=1000，Coef=0.3276。我们对Snt进行观察- N（tn）s*每10分钟，我们每天有36个样品，持续5天。使用上述公式的第一种方法，我们取m=5，为了计算标准偏差“sd”，我们在第一天抽取36个样本。在这种情况下，我们有误差=0.07617229。使用上述公式的第二种方法，我们取m=36，为了计算“sd”，我们取了5种元素的样本（5天内的同一时间）。在这种情况下，我们有误差=0.07980041。如我们所见，两种情况下的估计误差约为0.08，表明（16）中CHP扩散极限的近似值Theorem1相当好。4.3根据美国证券交易委员会（Sec）对顺反数据的参数估计（5天，2014年11月3日至7日（【Cartea等人，2015年】）绘制的图表。4.1以下图表包含5天内点过程与使用上述估计参数的模拟路径的经验强度。0 5000 10000 15000 200000 10 20 30 40 50时间t在secConditional IntensitysCo，第1天经验模拟0 5000 10000 15000 200000 10 30 50 70时间t在secConditional IntensitysCo，第2天经验模拟0 5000 10000 15000 200000 10 20 30 40时间t在secConditional IntensitysCo，第3天经验模拟0 5000 10000 15000 200000 5 10 20 25 30时间t在secConditional IntensitysCo，第4天经验模拟0 5000 10000 15000 200000 10 20 30 40条件强度CSCO，第5天经验模拟经验条件强度（每秒事件数）与估计参数的模拟强度在接下来的图中，我们估计（16）的左侧（LHS）。时间范围为nt=10分钟。我们将测量10分钟的开始时间作为自变量或x轴。

从属变量或y轴isF（t）=（St+Stn- N（tn）s*)/√n、 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 140000e+0 4e-04 8e-04t0F（t0）CSCO，第10天2000 4000 6000 8000 10000 12000 140000e+00 4e-04t0F（t0）CSCO，第20天2000 4000 6000 8000 10000 12000 140000e+00 2e-04 4e-04 6e-04t0F（t0）CSCO，第30天2000 4000 6000 8000 10000 12000 140000e+00 4e-04 8e-04t0F（t0）CSCO，第40天2000 4000 6000 8000 10000 12000 140000e+00 2e-04 4e-04 6e-04F（t0）CSCO，第5天数量估算F（t0）=St0+Snt- N（tn）sn  对于t0（以秒为单位）和t=1ms，n=600000的不同值，以下图表与上述相同，但仅考虑1000个模拟的主题，并在范围内放大，以便比较。3.5e+07 4.0e+07 4.5e+07 5.0e+07 5.5e+0720 25 30 35 40 45 1000个模拟和经验价格过程的中位数，CSCO第1天午夜价格后的时间（毫秒）3.5e+07 4.0e+07 4.5e+07 5.0e+07 5.5e+0724.0 24.4 24.8 1000个模拟和经验价格过程的缩放中位数，CSCO Day 1Time in ms after Midnight Price 3.5e+07 4.0e+07 4.5e+07 5.0e+07 5.5e+0724.40 24.45 24.50 24.55 24.60缩放1000次模拟和经验价格过程的中位数，CSCO Day 1Time in ms after Midnight Price下一个图表包含根据方程式（16）的价格过程模拟分位数信息。也就是说，对于固定的大n和固定的tand t。我们使用1000个过程模拟（参数估计为n（t））。