时变混合条件下几何亚幂期权的评价

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英文标题：
《The evaluation of geometric Asian power options under time changed mixed
  fractional Brownian motion》
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作者：
Foad Shokrollahi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The aim of this paper is to evaluate geometric Asian option by a mixed fractional subdiffusive Black-Scholes model. We derive a pricing formula for geometric Asian option when the underlying stock follows a time changed mixed fractional Brownian motion. We then apply the results to price Asian power options on the stocks that pay constant dividends when the payoff is a power function. Finally, lower bound of Asian options and some special cases are provided.
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中文摘要：
本文的目的是利用混合分数次扩散Black-Scholes模型来评估几何亚式期权。当标的股票服从时变混合分数布朗运动时，我们推导了几何亚式期权的定价公式。然后，当收益为幂函数时，我们将结果应用于支付恒定股息的股票的亚幂期权定价。最后给出了亚式期权的下界和一些特例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> The_evaluation_of_geometric_Asian_power_options_under_time_changed_mixed_fractio.pdf (157.07 KB)

2022-6-2 18:43:31 上传

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关键词：Differential Quantitative Applications Probability mathematics

Vaasa大学数学与统计系时变分数布朗运动下几何亚幂期权的评估，P.O.Box 700，FIN-65101 Vaasa，FINLANDAbstract。本文的目的是利用非混合分数次微分Black-Scholes模型来评估几何亚式期权。我们推导了几何亚式期权的一个定价公式，当股票服从时变的混合分数布朗运动。然后，我们将结果应用于当支付函数为幂函数时，可获得恒定股息的股票的Asianpower期权定价。最后，给出了亚式期权的下界和一些特殊情况。1、简介标准期权（也称普通期权）是一种金融合同，赋予合同所有人在规定时间（到期日）以规定价格（执行价格）购买或出售特定资产的权利，但无义务。特定资产（基础资产）可以是股票、指数、货币、债券或社区等。期权可以是看涨期权，赋予所有者购买未折旧资产的权利，也可以是期权，赋予所有者出售标的资产的权利。此外，期权要么只能在到期日行使，要么可以在到期日之前的任何时间行使，即美式期权。路径依赖型期权是指其收益受标的股票在到期时的价格如何达到以及标的股票的价格路径影响的期权。一种特殊的路径依赖期权，称为亚式期权，将是整个研究的主要焦点。标的资产的平均价格可以确定标的资产定价（平均定价亚洲期权）或期权执行价格（平均执行亚洲期权）。

此外，可以使用算术平均值或几何平均值计算平均价格。在整个研究过程中，将研究的亚式期权类型是几何亚式期权。在过去三年中，学术研究人员和市场从业人员开发并采用了不同的期权估值模型和技术。期权定价的突破性工作由Black and Scholes（BS）负责，电子邮件地址：foad。shokrollahi@uva.fi.Date：2017年12月15日。2010年数学学科分类。91G20；91G80；关键词和短语。混合分数布朗运动；几何亚式期权；电源选项；时间变化过程；2 SHOKROLLAHI【1】于1973年。在BS模型h中，假设资产价格动态由几何布朗运动控制。然而，在过去几年中，基于一些实证研究，已经表明几何布朗运动模型无法捕捉价格的许多特征，例如：重尾、长期相关性、缺乏尺度不变性、定值周期、，等。分数布朗运动被建议显示经验数据中观察到的长程依赖性和波动【2、3、4】。由于分馏布朗运动既不是马尔可夫过程，也不是半鞅，所以我们不能用通常的随机演算来分析它。此外，分数布朗运动允许在完全无摩擦市场中进行套利。

为了解决这个问题并考虑到长记忆特性，有人提出，使用混合分数布朗运动（mf Bm）来捕捉金融资产的波动是合理的【5、6、7】。mfBm是布朗运动和分数布朗运动的线性组合，Hurs t指数为H∈ （，1），根据过滤概率定义(Ohm, F，P）对于任何t∈ R+by:MHt（a，b）=aB（t）+bBH（t），（1.1），其中b（t）是布朗运动，BH（t）是具有Hur st指数H的独立分数布朗运动。切里迪托[7]证明了∈ （，1），混合模型等价于布朗运动，因此它也是无套利的。对于H∈ （，1），Mishura和Valkeila【8】证明了混合模型是无任何杂质的。Rao[9]讨论了mf Bm下的几何亚幂期权。有关混合模型的更多信息，请参考参考文献[6、7、10]。为了正确描述显示常数值周期的自然数据，Magdziarz【11】引入了次微分几何布朗运动Xα（t）=X（tα（t）），（1.2）其中X（t）是几何布朗运动，tα（t）是具有参数α的逆α稳定s子序∈ (0, 1). Magdziarz指出，该模型是无约束但不完整的，并基于次效用几何布朗运动得出了相应的次效用BS公式，用于欧洲期权的公平价格。在次级金融理论的框架内，许多学者继续研究Magdziarz在2009年的次级金融工作中发现的金融问题。

其中包括次级分数BS和次级混合分数BS模型下的欧洲期权和欧洲货币期权的定价公式【12、10、13】。在本研究中，受文献[12]和[10]的启发，我们引入了时变混合分数BS模型下几何亚式期权的定价公式。然后，我们将结果应用于几何亚幂期权的定价，当p ayo off是幂函数时，这些亚幂期权的价格是恒定的。我们还提供了一些特殊情况和亚式期权价格的下限。论文的其余部分组织如下。第二节介绍了时变混合分式过程的一些有用的概念和定理。第3节简要介绍了亚式期权。第4节推导了几何亚式期权的分析估值公式，然后在第5节将其应用于几何亚式幂期权。第6节提出了亚式期权价格的下限。几何亚洲电源选项32。辅助因素在本节中，我们回顾了关于混合分数时变过程的一些定义和结果。有关混合分数p过程的更多信息，请参阅[12，10]。时变p过程Tα（T）是由belowtα（T）=inf{τ>0，Uα（T）定义的inver seα-稳定从属函数≥ t} 。这里Uα（τ）τ≥0是一个严格递增的α稳定的L'evy过程[14]，具有拉普拉斯变换：E（E-uUα（τ））=e-τuα，α∈ (0, 1).Uα（t）是α自相似的，tα（t）是α自相似的，也就是说，对于每一个h>0，Uα（ht），hαUα（t）tα（ht），hαtα（t），这里表示两侧的随机变量具有相同的分布。特别是当α↑ 1，Tα（T）减少到物理时间T。

您可以在[15，16]中找到关于从属关系及其逆过程的更多详细信息。考虑扩散过程mhα（t）（a，b）=aWα（t）+bWHα（t）=aB（tα（t））+bBH（tα（t）），其中b（τ）是布朗运动，BH（τ）是具有赫斯特指数H的分数布朗运动，tα（t）是逆α从属，应该是独立的。当a=0，b=1时，结果在【13】中表示，如果b=0，a=1，则这是【17】中考虑的过程。在本研究中，我们假设H∈ （，1）和（a，b）=（1，1）。备注2.1。当α↑ 1，过程Wα（t）和WHα（t）分别退化为B（t）和BH（t）。然后，MHα（t）（a，b）降低至等式（1.1）中的mfBm。备注2.2。从[13，17]中，我们知道E（Tα（T））=TαΓ（α+1）。然后，通过应用Tα（T）的α-自相似和非递减样本路径，我们得到了E[（B（Tα（T））]=TαΓ（α+1）（2.1）E[（BH（Tα（T）））]=tαΓ（α+1）2小时。(2.2)3. 亚式期权亚式期权的支付基于给定时间段内资产的储蓄价格与称为执行价格的固定价格之间的差异。亚洲期权之所以受欢迎，是因为它们的波动性往往低于纯粹基于单一价格点的期权。对于大交易者来说，在较长时间内操纵平均价格比操纵单一价格更困难，因此亚洲期权可以进一步防范风险。亚洲看涨期权和认沽期权的支付是根据特定时期内基础资产的平均值计算的。行使价格为k且到期时间为T的亚洲看跌期权的支付为（(R)S（T）- K） +和（K-分别为\'S（T））+，其中\'S（T）是标的资产在预定时间间隔内的平均价格。由于亚洲期权的价格低于欧洲期权，因此对许多不同的投资者来说都很有吸引力。除了常规的亚式期权外，还有亚式行权期权。

亚洲行使看涨期权保证持有人4 Shokrollahit标的资产的平均价格不高于最终价格。如果标的资产的平均价格高于最终价格，则不会行使期权。亚洲行使认沽期权的持有人确保标的资产的平均价格不低于最终价格。亚洲行使看涨期权和看跌期权的收益为（(R)S（T）-S（T））+和（S（T）-分别为\'S（T））+，其中S（T）是到期日T的基础股票价值。亚式期权分为两种不同类型，在计算平均值时，几何亚式期权（T）=expTZTln S（t）dt,和算术亚式期权。A（T）=TZTS（T）dt。我们假设预先规定的区间[0，T]是固定的，然后将在时间变化的混合分馏布朗运动环境下，在连续平均情况下对几何体期权进行定价。4、几何亚式期权定价模型为了推导出一个时变混合分数市场中的亚式期权定价公式，我们做了以下假设：（i）t时标的股票的价格由t=Sexpn（r- q） Tα（T）+σWα（T）+σWHα（T）-σtαΓ（α+1）-σtαΓ（α+1）2Ho，0<t<t，（4.1），其中H∈ (, 1), α ∈ （，1）和αH>1。（ii）买卖股票或期权不存在交易成本。（iii）无风险利率r和股息率q是已知的，并且在整个时间内保持不变。（iv）期权只能在到期时行使。根据公式（4.1），我们知道ln St N（u，v），其中u=ln S（0）+（r- q） Tα（T）-σtαΓ（α+1）-σtαΓ（α+1）2H（4.2）v=σtαΓ（α+1）+σtαΓ（α+1）2小时。（4.3）设C（S（0），T）为0时欧洲期权的价格，执行价为k，在T时到期。

然后，从[12]，我们可以得到c（S（0），T）=S（0）e-qTφ（d）- Ke公司-rTφ（d），几何亚幂选项5，其中d=lnSK+（r- q+^σ）T^σ√T、 d=d- ^σ√T，^σ=σTα-1Γ(α)+ σTα-1Γ(α)2H和φ（.）表示累积正态密度函数。在上述假设（i）-（iv）下，我们通过以下定理定理4.1获得几何亚洲看涨期权的价值。假设股票价格满足等式（4.1）。然后，在风险中性概率测度下，具有执行价格K和到期时间T的几何亚洲看涨期权C（S（0），T）的值由C（S（0），T）=S（0）exp(- rT+（r- q） TαΓ（α+2）+σ(-T）α2Γ（α+3）-σT2αH4（2αH+1）（αH+1）（Γ（α+1））2H）φ（d）- Ke公司-qTφ（d），（4.4），其中d=uG- ln KσG，d=d+σG，uG=ln S（0）+（r- q-σ） TαΓ（α+2）-σT2αH2（2αH+1）（Γ（α+1））2H，σG=σTαΓ（α+2）+σ(-T）αΓ（α+3）+σT2αH（2αH+2）（α+1））2H，利率r和股息率q随时间和φ（.）表示模拟正态密度函数。证据假设l（T）=TZTln S（T）dt。ThenG（T）=eL（T）。（4.5）我们知道 N（u，v），那么很明显，在风险中性概率测度下，随机变量L（T）具有高斯分布。现在，我们将在风险中性概率测度下计算其均值和方差。让e注意风险中性概率测度下随机变量e的平均值和方差的期望值和uGandσGdenote。

注意，uG=E[L（T）]=TZTE[ln S（T）]dt=ln S（0）+TZT（r- q） tαΓ（α+1）dt-σ2TZTtαΓ（α+1）+t2αH（α+1））2Hdt=ln S（0）+（r- q） TαΓ（α+2）-σTα2Γ（α+2）-σT2αH（4αH+2）（Γ（α+1））2H，6 shokrollahian，σG=V ar[L（T）]=E[（L（T）- uG）]=σTZTZTE[Wα（t）Wα（τ）]+E[WHα（t）WHα（τ）]dtdτ，通过过程B（t）、BH（t）和tα（t）的独立性，我们得到=σTZTZT|tαΓ（α+1）|+|ταΓ（α+1）|- |（t- τ )αΓ(α + 1)|dtdτ+σTZTZT|tαΓ（α+1）| 2H+|ταΓ（α+1）| 2H-|（t- τ）αΓ（α+1）| 2Hdtdτ=σTαΓ（α+2）+σ(-T）αΓ（α+3）+σT2αH（2αH+2）（α+1））2H。从（4.5）中，我们知道随机变量G（T）是对数正态分布，然后lng（T） N（uG，σG）。设I={x:ex>K}和φ（.）是标准正态分布的概率密度函数，则几何看涨期权的价格由以下计算得出c（S（0），T）=e-rTE[（G（T）- K） +]=e-rTZI（ex- K）√2πσGexp-（十）- uG）2σGdx=e-rTZI（euG+zσG-K）√2πσGexp-（十）- uG）2σGД（z）dz=e-rT+uG+σGZ∞-判定元件-（z）-σG）dz- Ke公司-rTZ公司-∞-dД（z）dz=e-rT+uG+σGZ∞-d-σGД（z）dz- Ke公司-rTZd公司-∞Д（z）dz=e-rT+uG+σGZd+σG-∞Д（z）dz- Ke公司-rTZd公司-∞Д（z）dz=e-rT+uG+σGφ（d）- Ke公司-rTφ（d），=S（0）exp(- rT+（r- q） TαΓ（α+2）+σ(-T）α2Γ（α+3）-σT2αH4（2αH+1）（αH+1）（Γ（α+1））2H）φ（d）- Ke公司-qTφ（d），其中i={x:ex>K}={z:euG+zσG>K}={z:uG+zσG>ln K}={z:z>-d} ，从而得到了定价公式。几何亚式幂期权7此外，利用看跌期权与看涨期权的平价，在时变混合分数BS模型下，几何亚式看跌期权的估值模型可以写为p（S（0），T）=Ke-qTφ(-d）- S（0）扩展(- rT+（r- q） TαΓ（α+2）+σ(-T）α2Γ（α+3）-σT2αH4（2αH+1）（αH+1）（Γ（α+1））2H）φ(-d） ，（4.6）之前定义的数据。出租α↑ 1，则股价遵循如下所示的mf Bm=Sexpn（r- q） T+σB（T）+σBH（T）-σt-σt2Ho，0<t<t，（4.7），结果如下所示。推论4.1。

股票价格遵循式（4.7）的到期日为T且行使时间为K的几何亚洲看涨期权的价值由c（S（0），T）=S（0）exp给出(-（r+q）T-σT-σT2H4（2H+1）（H+1））φ（d）- Ke公司-qTφ（d），（4.8），其中d=uG- ln KσG，d=d+σG，uG=ln S（0）+（r- q-σ） T型-σT2H2（2H+1），σG=σT+σT2H（2H+2），这与文献[9]中的结果一致。5、亚洲电力期权的定价模型在本节中，我们考虑了支付函数为（Gn（T）的时变混合分数BSM模型下，具有敲定价格K和到期时间T的亚洲电力看涨期权的定价模型-K） +对于某些常量整数n≥ 1、定理5.1。假设股票价格满足等式（4.1）。然后，在风险中性概率下，用履约价格K、到期时间T和支付函数（Gn（T）测量几何亚洲电力看涨期权c（S（0），T）的价值-K） +由8 SHOKROLLAHIC（S（0），T）=S（0）exp给出(-rT+（r- q） nTαΓ（α+2）-（n）- n） σTα2Γ（α+2）+nσ(-T）α2Γ（α+3）-nσT2αH（4αH+2）（Γ（α+1））2H-nσT2αH（4αH+4）（Γ（α+1））2H）φ（f）- Ke公司-qTφ（f），（5.1），其中f=uG-nln KσG，f=f+nσG，uG=ln S（0）+（r- q-σ） TαΓ（α+2）-σT2αH2（2αH+1）（Γ（α+1））2H，σG=σTαΓ（α+2）+σ(-T）αΓ（α+3）+σT2αH（2αH+2）（Γ（α+1））2H，利率r和股息率q随时间和Д（.）表示模拟正态密度函数。证据