时变混合条件下几何亚幂期权的评价

亚洲电力期权的支付函数为（Gn（T）- K） +=（enL（T）-K） +，然后应用定理4.1中的类似计算，我们得到c（S（0），T）=e-rTE[（Gn（T）- K） +]=e-rTZI（enx- K）√2πσGexp-（十）- uG）2σGdx=e-rTZI（en（uG+zσG）- K）√2πσGexp-（十）- uG）2σGД（z）dz=e-rT+nuG+nσGZ∞-fe公司-（z）-nσG）dz- Ke公司-rTZ公司-∞-fД（z）dz=e-rT+nuG+nσGZ∞-f-nσGД（z）dz- Ke公司-rTZf公司-∞Д（z）dz=e-rT+nuG+nσGZf+nσG-∞Д（z）dz- Ke公司-rTZf公司-∞Д（z）dz=e-rT+nuG+nσGφ（f）- Ke公司-rTφ（f），=S（0）exp(-rT+（r- q） nTαΓ（α+2）-（n）- n） σTα2Γ（α+2）+nσ(-T）α2Γ（α+3）-nσT2αH（4αH+2）（Γ（α+1））2H-nσT2αH（4αH+4）（Γ（α+1））2H）φ（f）- Ke公司-qTφ（f），其中几何亚幂选项9I={x：enx>K}={z：en（uG+zσG）>K}={z：uG+zσG>nln K}={z：z>-f} ，证明完成。亚式期权价格的下限本节的目的是获得亚式期权价格的下限。下一个定理表明，当随机变量联合正态时，正态分布是稳定的。定理6.1。（[18]）ln Sti的条件分布给定ln G（T）是异常分布（ln Sti | ln G（T）=z） N（ui+（z- uG）λiσG，σi-λiσG），i=1。。。，n、 式中，ui=ln S（0）+（r- q） Tα（ti）-σtαiΓ（α+1）-σtαiΓ（α+1）2Hσi=σtαiΓ（α+1）+σtαiΓ（α+1）2H，λi=Cov（ln Sti，ln G（T）），0≤ t<t<…<田纳西州≤ T，Tα（T）是逆α-稳定亚序数，u和σ在定理4.1中定义。此外，（Sti | ln G（T））具有对数正态分布，且e[Sti | ln G（T）=z]=expui+（z- uG）λiσG+（σi-λiσG）i=1。。。，n、 （6.1）现在，我们以亚洲期权定价表达式中的几何平均值G（T）为条件C（S（0），T）=e-rTE[（A（T）- K） +]=e-rTE[E[（A（T））- K） +| G（T）]=e-rTZ公司∞E[（A（T）- K） +| G（T）=z]G（z）dz，其中G是G的对数正态密度函数。LetC=ZKE[（A（T）- K） +| G（T）=z]G（z）dz，C=z∞KE[（A（T）- K） +| G（T）=z]G（z）dz，然后C（S（0），T）=e-rT（C+C）。

正弦几何平均值小于算术平均值A（T）≥ G（T），C=Z∞KE[A（T）- K | G（T）=z]G（z）dz，（6.2）10 Shokrollahi根据定理6.1，我们可以计算C。应用Jensen不等式，我们得到了CC=ZKE[（A（T）的下界- K） +| G（T）=z]G（z）dz≥ZK（E【A（T）】-K | G（T）=z]）+G（z）dz=ZKKE[A（T）- K | G（T）=z]G（z）dz=C.（6.3），其中K={z | E[A（T）| G（T）=z]=K}。公式（6.1）使我们能够获得K，然后我们计算以下期望值E【A（T）| G（T）=z】=E“nnXi=1Sti | G（T）=z#=nnXi=1E【Sti | G（T）=z】=nnXi 1expui+（对数z- uG）λiσG+（σi-λiσG）.定理6.2。履约价格为k且到期时间为T的亚式期权价格的下界由C（S（0），T）=e给出-rT（~C+C）=e-rTnnnXi=1exp（ui+σi）φuG- lnK+γiσG！-KφuG- lnKσG！o、 所有参数均已在之前定义。证据收集EQ。（6.2）和（6.3）给出了▄C+C=Z∞KE[A（T）- K | G（T）=z]G（z）dz=z∞~KE[A（T）| G（T）=z]G（z）dz- KZ公司∞Kg（z）dz=z∞~KE“nnXi=1Sti | G（T）=z#G（z）dz- KZ公司∞Kg（z）dz=z∞KnnXi=1E[Sti | G（T）=z]G（z）dz- KZ公司∞Kg（z）dz=nnXi=1Z∞KE[Sti | ln G（T）=ln z]G（z）dz- KZ公司∞千克（z）dz。通过定理4.1的证明，我们得到了几何亚幂期权11KZ∞Kg（z）dz=KφuG- lnKσG！，和式（6.1）Z∞KE[Sti | ln G（T）=ln z]G（z）dz=z∞Kexpui+（ln z- uG）λiσG+（σi-λiσG）g（z）dz=expui+σiZ∞Kexp（ln z-uG）λiσG-λiσGg（z）dz。利用对数正态分布的密度，我们得到∞K√2πσGzexp（ln z-uG）λiσG-λiσG-（uG- ln zσG）dz。改变变量y=uG-ln z+λiσGanddydz=-σGz，那么我们有z-∞uG-ln z+λiσG-√2πexp（λiσG- y） λiσG-λiσG-（y）-λiσG）dy=ZuG-ln z+λiσG-∞√2πexp-yλiσG+λiσG-y-λiσG+yλiσGdy=ZuG-ln z+λiσG-∞√2πexp-ydy=φuG- lnK+γiσG！，通过收集证据完成证明。参考文献[1]F.Black和M.Scholes，“期权定价和公司负债”，《政治经济杂志》，第81卷，第3期，第637-6541973页。[2] 王学堂、吴敏敏、周志敏和W-S。

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