条件风险值的非参数copula方法

然而，该估计值在其第一个参数中不是连续的，这可能并不理想。此外，对于每个x，它需要通过约束优化问题以数字方式确定一组权重，这可能需要计算。注意，Cai和Wang（2008）通过另一层平滑处理解决了非连续性问题，提出了他们的FXT | XT的“加权双核局部线性估计”（WDKLL）-1，但仍然需要进行数值优化以确定正确的权重，这使得程序相当繁琐。基于条件密度到（2.3）的方法可能更简单。根据定义，条件密度fXT-1isfXT | XT-1（y | x）=fXT-1，XT（x，y）fXT-1（x），（3.2），其中fXT-1，XT是向量的关节密度（XT-1，XT）和fXT-1其边缘。同样，通过过程X的假定平稳性，这些量与T无关，因此fXT-1，XT=f、 说，和fxt-1=外汇。这激发了^fXT | XT类型的非参数估计-1（y | x）=^f（x，y）^fX（x），（3.3），其中（3.2）中的分子和分母都是由usualkernel型估计器^fand^fX对二元和一元密度进行估计的（H¨ardle et al，2004，第3章）。这种“插件”核条件密度估计器最初是在Rosenblatt（1968）提出的，Hyndman等人（1996）、Bashtanyk和Hyndman（2001）、Fan和Yim（2004）以及Hall etal（2004）等对其进行了研究。将（3.3）插入（2.3）得到“双核”Nadaraya Watson估计量（DKNW）：^FXT | XT-1（y | x）=PT-1t=1h（x- Xt公司-1） K（（y- Xt）/h）PT-1t=1h（x- Xt公司-1） ，（3.4），其中K（u）=Ru-∞K（u*) 杜邦*是内核和带宽的“集成”版本。本质上，（3.4）是（3.1），但带有指示器1I{Xt≤y} 替换为平滑版本，使^FXT | XT-1（y | x）在y中连续。

这通常有利于估计器，因为分位数估计的经典文献中经常强调这一点（Azzalini，1981，Falk，1985，Yang，1985，Bolanc\'e et al，2014）。正是这个估计器（3.4）被斯凯莱（2005）和李和拉辛（2008）颠倒过来，产生了他们的cVaR的估计器——参见费拉蒂和昆特拉·德尔里奥（2016）将其扩展到功能上下文。因此，在下面的研究中，它将作为之前提出的内核类型方法的基准。然而，可以理解，（3.3）的比率形式在理论和实践中都会产生问题（Faugeras，2009）：分母接近0、数值不稳定性、平滑参数的精细选择等。本文建议使用（2.4）中基于向量的copula（XT）的不同类型的条件密度核估计-1，XT）。考虑到XT-1和X具有相同的平稳性分布，这是（XT）联合分布中包含的唯一额外信息-1，XT）与他们的依赖性有关。这证明了在这个框架中，基于copulas（也称为dependencefunctions）的方法是合适的。4基于非参数copula的cVaR4.1 copula、copula密度、条件密度和条件分布的估计copula理论的中心结果，即Sklar定理（Sklar，1959），断言对于任何具有分布函数FXY（和边缘FX和FY）的连续二元随机向量（X，Y），存在唯一的“copula”函数C，因此fxy（x，y）=C（FX（x），FY（y））（x，y）∈ R

（4.1）很明显，C描述了X和Y如何“相互作用”以产生（X，Y）的联合行为，因此它充分描述了X和Y之间的依赖结构，并将其与它们的边缘行为隔离开来。参见Joe（1997）和Nelsen（2006），了解教科书中对这些想法的一般处理，以及Cherubini et al（20042012），了解其对金融的影响。重要的是，考虑到FX（X），FY（Y）~ U[0,1]（概率积分变换），C实际上是单位平方I上的二元分布。=[0，1]具有均匀边缘。在温和的条件下，这种分布允许一种密度，称为copula密度：c（u，v）=Cuv（u，v），（u，v）∈ 一、 为向量（XT）写入（4.1-1，XT）yieldsFXT-1，XT（x，y）=C（FX（x），FX（y）），对于一些与T相关的copula，FX=FXT-1=FXTby平稳性。现在，不同的两侧，关节密度f=fXT-1，x被视为bef（x，y）=FXT公司-1，XTx个y（x，y）=c（FX（x），FX（y））FX（x）FX（y），根据链式规则，c的copula密度为c。因此，根据（3.2），x的条件密度为-1可以用copula密度直接书写：fXT | XT-1（y | x）=c（FX（x），FX（y））FX（y）。（4.2）用一些估值器^c、^fx和^fx替换未知的c、fx和fx，会导致fXT | XT的不同的、基于copula的目标函数-1，即。fXT | XT-1（y | x）=^c（^FX（x），^FX（y））^FX（y）。（4.3）在产品形状下，与（3.3）不同，该估计器没有随机分母产生的任何问题，因此具有吸引力。表达式（4.2）也非常直观：给定XT的条件密度-1是XT的边缘密度，根据XT的影响进行校正-1可以通过向量（XT）的copuladensity得到x-1，XT）。现在，将（4.2）集成到（2.3）yieldsFXT | XT中-1（y | x）=Zy-∞c（FX（x），FX（ξ））FX（ξ）dξ=ZFX（y）c（FX（x），v）dv，通过改变变量FX（ξ）。=v

这种表达式在copula文献中称为ah函数。4.2非参数copula密度估计和CVA通常，通过数值积分c的估计量来估计h函数（Nagler和Czado，2016）。然而，看到fxt | XT-1（y | x）=EXc（FX（x），FX（x））1I{x≤y},积分可以很容易地用蒙特卡罗近似，即。^FXT | XT-1（y | x）=TT-1Xt=0^c（^FX（x），^FX（Xt））1I{Xt≤y} ，式中，^cand^fx是（4.3）中未知cand fx的适当估计量（但此处不需要估计边缘密度fx）。有趣的是，估计量（4.4）可以看作是一个加权的经验分布函数，其中每个指标1I{Xt≤y} 如果已知Xt-1=x，由（估计的）copula density^c测量。请注意，由于前面提到的某些原因，人们可能更喜欢连续版本的^FXT | XT-1（y | x）=TT-1Xt=0^c（^FX（x），^FX（Xt））K（（y- Xt）/h），（4.4），其中Kand hare如（3.4）所示。在copula框架中，通常通过重新标度的经验分布函数^FX（x）=T+1T来估计FX-1Xt=01I{Xt≤x} ，已知是一个简单且一致一致的外汇估值器。因此，很明显，估计量（4.4）的可行性主要取决于c的可靠估计量。然而，长期以来，copula密度的良好非参数估计一直被证明是难以捉摸的。

这主要是因为三个原因，使得案例不标准：1）copula密度有界支持I，并且已知核估计量严重影响边界偏差问题；2） copula密度通常在I的某些角是无界的，在这种情况下，核刺激因子是不一致的；3）由于cis本质上是（FX（XT）的密度，因此无法从密度估计中获得真正的观测结果-1） ，FX（XT）），其中FX未知，必须求助于“伪观测”{FX（XT）}。然而，最近，Geenens等人（2017）继Geenens（2014）的一个原始想法之后，提出了一种新的copula密度核型估计器，其思路如下。定义-1= Φ-1（FX（XT-1） ）和ST=Φ-1（FX（XT）），其中Φ-1是“probit”函数，即标准正态分布函数Φ的逆函数。通过标准分布参数，一个getsc（u，v）=g（Φ-1（u），Φ-1（v））φ（Φ-1（u））φ（Φ-1（v）），（u，v）∈ 一、 式中，gis的节理密度（ST-1，ST），φ为标准正常密度。因此，可以直接从任何估值器^gof g中获得估值器^cofcca：^c（u，v）=^g（Φ-1（u），Φ-1（v））φ（Φ-1（u））φ（Φ-1（v））。（4.5）不过，估算g要容易得多。对于U~ U[0,1]，Φ-1（U）~ N（0，1），因此ghas具有标准正态边缘的无约束支持。局部似然方法，尤其是Loader（1996）的locallog二次估计，尤其擅长估计正态密度，因此在这种情况下使用这种方法来估计gin是合适的。Geenens等人（2017）的估计量，称为“LLTKDE2”，实际上是（4.5），其中^G是基于伪观测值{Φ的二元密度G的局部对数平方估计量-1.^FX（Xt）}. 得到了它的理论性质。

特别地，在温和的假设下，证明了它在I的任何紧致真子集上一致一致，并且与已知的（渐近）偏差和方差表达式渐近正态。此外，还研究和测试了一种选择始终至关重要的平滑参数的实用准则。将变换和局部似然估计相结合，该方法实际上利用了已知的C均匀裕度，从而得出了非常准确的估计（Geenenset al，2017，Nagler and Czado，2016，De Backer et al，2017）。此外，LLTKDE2估计值通常具有参数函数特有的视觉愉悦外观。本文建议使用LLTKDE2估计值^cin（4.4）并继续提取cVaR。因此，基于非参数copula的cVaR估计量定义为DVARα，T（x）。=cdVaRα（XT | XT-1=x）=^F-1XT | XT-1（α| x），其中^F-1XT | XT-1是（4.4）的广义逆。假设FXon R的^fx一致一致，可积con的^cis一致一致，I的任何适当紧子集，（4.4）也通过遍历定理在rb的任何紧子集上一致一致。如果infx∈GfXT | XT-1（c VaRα，T（x）| x）>0，其中G是R的任何紧子集，cdVaRα，T（x）是c VaRα，T（x）的一致一致估计量。=c VaRα（XT | XT-1=x）：supx∈G | cdVaRα，T（x）- c VaRα，T（x）| P-→ 0作为T→ ∞,对于任何固定α∈ (0, 1). 该估计量的进一步理论性质（如渐近正态性和收敛速度）很容易从样本分位数的通常渐近表示中得到，即。cdVaRα，T（x）- c VaRα，T（x）\'α-^FXT | XT-1（c VaRα，T（x）| x）fXT-1（c VaRα，T（x）| x），但由于Geenens et al（2017）中的表达相当笨拙，细节被搁置一旁。

相反，第5节通过真实数据分析、蒙特卡罗模拟和回溯测试对其实际性能进行了评估。5实证研究5.1例证-标准普尔500指数首先，前几节中描述的程序以2011年11月至2015年10月标准普尔500指数的日收益率为例。标准普尔500指数是投资者可获得的交易最活跃的指数之一。图5.1（左）显示了标准普尔500指数从2011年11月9日到2015年10月31日（相当于T=1000个交易日）随时间的演变。图5.1（右）显示了相应的负对数返回序列{Xt}，即索引值的近似百分比变化。可以合理地假设这个系列是（至少是近似的）静止的。0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000指数SNP5000 200 400 600 800 1000-0.02 0.00 0.02 0.04指数每日负对数-回报图5.1:2011年11月至2015年10月期间（1000个交易日）的标准普尔500指数（左）和相应的负对数回报系列（右）。copula密度cof（XT-1，XT）由Geenenset al（2017）的LLTKDE2估计器根据这些数据进行估计，见图5.2。估计的copula密度的形状表明（XT-1，XT）不是二元高斯（高斯copulas只能在I的对角显示峰值，而不能在相邻角显示峰值）。“热量”图清楚地显示了两个影响。首先，某种负面影响，表明连续两天的日志返回可能是负相关的。如果今天的回报率较低（u值较大），那么明天的回报率可能会在中等范围内（v’0.5），而如果今天的回报率很高（u’0），那么明天的回报率很可能会很低（即负值）（v’1）。

然而，第二个效应（单位平方左下角的峰值）极大地平衡了这一点：考虑到今天的高回报率（u’0），明天的回报率也很高（v’0），这也是一个很大的可能性。换句话说，当XT-1被视为一天很小，人们期望在第二天比在其他情况下更极端地（在任何方向）实现XT。显然，这直接影响了相应的cVaR值。u0.20.40.60.8v0.20.40.60.8copula密度c01234c^1.01.52.00.2 0.4 0.6 0.80.20.40.60.8图5.2：估计copula密度（XT-标准普尔500指数的负对数回报。如图5.3所示。条件密度fXT | XT-x=1（·| x）-0.02（今天的高回报）、x=0（今天的中回报）和x=0.02（今天的低回报）由（4.3）估计。静态边际（即无条件）密度FX由局部对数二次型估计器（Loader，1996）估计，如图5.3（蓝线）所示。对于x=-0.02，此处对应于u’0.01，^fx在其域上乘以^cat u的‘切片’≡ 0.01，这是一个U形函数。因此，给定XT的（估计）条件密度-1= -0.02的尾巴更肥。这在α=0.95和α=0.99两个水平上转化为更高的cdVaR（即更高的风险）。当xT=0时，风险实际上低于平均值（cdVaR低于无条件VaR），因为对于u’0.5，^C的“切片”显示了一个中间范围附近的模式，并向下加权了结果条件密度的尾部。类似地，当xT=0.02时，我们发现c VaR略高于无条件VaR。请注意，将cVaR提取为（4.4）的分位数不需要估计密度fXT | XT-1.图5.3中所示的这些密度仅供说明。

在x=-对于α=0.95和0.99，表5.1给出了0.02、0和0.02。dVaRα，TcdVaRα，T（x）αx=-0.02 x=0 x=0.020.95 0.01278 0.01543 0.01192 0.01790.99 0.01968 0.02263 0.01867 0.02095表5.1：标准普尔500指数在α=0.95和α=0.99水平下的估计VaR和cVaR。-0.04-0.02 0.00 0.020 20 40 60 80密度-条件文本-1= - 0.02xT-1=0xT-1=0.02cVaR 99%cVaR 95%图5.3：负对数回报的估计无条件密度^fX（纯蓝线），条件密度 fXT | XT-x=1（·| x）-0.02（虚线）、x=0（虚线）和x=0.02（虚线），以及95%（绿色）和99%（红色）级别的VAR和cdVaR对应值。5.2蒙特卡罗模拟前面的分析当然是纯粹的描述性分析。在这里，通过蒙特卡洛模拟研究，将c VaR的预测性能与一系列合理的备选方案进行对比，从而对所提出的c VaR估计量进行评估。与Franke等人（2015年，第3节）类似，考虑非线性AR（1）-ARCH（1）模型XT=a+bXt-1+√Xt公司-1φc，d（Xt-1） +qω+αXt-1εt，t=1，2，（5.1）式中，a=0.4，b=0.3，φc，dis为正态密度，平均值c和标准偏差d，c=1.657，d=0.1175，ω=0.007，α=0.2，新值εtare i.i.d.遵循分布ψ。显然，在这个模型下，c VaRα，T（x）=a+bx+√xφc，d（x）+pω+αxψ-1（α），（5.2），其中ψ-1（α）是分布ψ的α级分位数。以下（5.1）生成了四个系列的1736个“每日”日志回报，从X=1开始，其中（a）ψ=标准正态分布；（b） ψ=标准指数分布；和（c）ψ=学生t分布。这些系列共同模拟了真实金融数据的特征，即。

波动性聚集、不对称和厚尾，见图5.4。在每个系列中，copula密度cwas first estimate On the first T=252 observations，这大约相当于一年的交易日，这是滚动窗口分析中常见的时间范围。然后，通过上一小节中描述的程序估计给定XT=XT时T+1=253的条件VaR。然后使用宽度为N=252的滚动窗口：每天，最旧的0 500 1000 1500-2 0 1 2 3 4（a）正常指数损失0 500 1000 15000 5 10 15 20（b）指数指数损失0 500 1000 1500-5 0 5 10（c）StudentIndexLoss图5.4：四个系列，共1736个，模拟了（5.1）的日常损失，其中（a）为正常创新；（b） 指数创新；（c） 学生3创新。观察结果被丢弃，新观察到的结果包含在“学习样本”中，从而每天更新copula密度的估计值，以预测下一个c VaR。这在每个创新分布中产生了两组1484个提前一步的cVaR预测，分别在α=0.95和α=0.99这两个水平上进行。这些可与真实cVaR（5.2）进行比较。