条件风险值的非参数copula方法

对于每对（ψ，α），基于非参数copula的估计器的均方误差（以下简称：NP-Cop），即：。E（cdVaRα，T（XT-1) - c VaRα，T（XT-1)), 最终近似于其经验对应值[MSEα=Xt=253（cdVaRα，t（Xt-1) - c VaRα，t（Xt-1)).通过完全相同的过程，我们可以近似其他过程产生的cVaR预测的均方误差：基于反转“双核”Nadaraya Watson估计量（3.4）的主要非参数竞争对手（DKNW），以及一组常见的GARCH类型模型：GARCH、iGARCH、eGARCH和gjr GARCH，均具有三种不同的创新分布（正态N，学生（a）（b）（c）α=0.95α=0.99α=0.95α=0.99α=0.95α=0.99NP-Cop 0.0427 0.2326 2.0982 7.1370 0.2416 0.7685DKNW 0.1592 0.2492 6.1859 17.3181 0.6351 1.6881GARCH-N 0.1286 0.2011 3.1421 9.5377 0.4174 0.8600GARCH-S 0.1570 0.3816 3.6141 7.7965 0.5426 1.3535GARCH-SS 0.1635 0.4037 6.4947 17.5205 0.5359 1.3811iGARCH-N 0.15950.2717 3.4752 9.6427 0.4622 0.9101iGARCH-S 0.1613 0.4465 4.0734 9.3564 0.5468 1.4122iGARCH-SS 0.1707 0.5201 6.4096 17.6876 0.5543 1.4994eGARCH-N 0.7475 0.7789 3.8632 11.4942 0.6154 0.7745eGARCH-S 0.3960 0.4679 4.6201 12.1515 0.6829 0.9165eGARCH-SS 0.4154 6.0764 12.2205 0.7423 1.0688gjr-GARCH-N 0.0871 0.1301 1.9685 5.9310 0.2205 0.3861gjr-GARCH-S 0.1074 0.1966 3.2292 6.7643 0.37770.8670gjr-GARCH-SS 0.1137 0.2190 5.2181 13.6359 0.3233 0.7527GAS-N 0.6413 1.2018 10.9377 21.6921 0.8957 1.7906 GAS-S 0.2337 0.3872 6.3169 12.1580 0.5512 1.0466 GAS-S 0.2177 0.3667 9.9595 21.5550 0.5430 1.0082表5.2：（近似）三个创新点两个水平的cVaR预测均方误差α=0.95和α=0.99分布ψ：（a）正态分布，（b）指数分布，（c）Student-3分布。每对的最小均方误差（α，ψ）用粗体表示，第二和第三个最小均方误差用下划线表示。S和倾斜的学生SS）。

这些模型已使用R包rugarch（Ghalanos，2017）安装。该研究还包括广义自回归得分（GAS）模型，同样具有相同的三个创新分布，该模型已通过R软件包GAS进行了验证（Ardia et al，2016）。请注意，KNW估算值来自R包np（Hay field和Racine，2008）。所有这些（近似）MSE如表5.2所示。对于这些序列，最好的参数模型似乎是具有正常创新的gjr GARCH，并且与ψ无关。重要的是，基于非参数copula的均方误差实际上紧随其后，在α=0.95的情况下（a）的最小均方误差最低，在所有其他情况下，最小均方误差始终处于最低的三个水平。因此，可以公平地说，在（5.1）等非线性模型上，拟议的“NP-Cop”估计量在估计精度方面与最佳参数模型不相上下。这一观察结果的威力在于，非参数估值器不需要选择模型，因此，模型误判的风险显然为零。事实上，从表5.2中可以看出，如果有可能找到一个参数模型，该模型产生的cVaR预测比NP Copprocedure（在本模拟中：gjr GARCH模型）略为准确，那么除了最佳模型之外的任何其他选择通常会导致较差的性能。当然，在实践中面对真实的财务数据时，人们通常对什么是最佳模型知之甚少。更糟糕的是，略微不同的模型规格可能会导致非常不同的结果：例如，在本模拟研究中，在情景（b）下，gjr GARCH与扭曲的学生创新产生非常糟糕的结果，而相同的模型，但具有正常或甚至学生创新的结果似乎非常好。

另一方面，同样的gjr GARCH模型和SkewedStudent创新恰好是场景（a）和（c）的好选择。因此，参数模型的选择特别敏感，这使得提出的“无模型”非参数copula-based过程成为完美的默认选择。5.3预测和回溯测试-IBM数据为了评估NP Cop程序在实际条件下的性能，现考虑2011年1月3日至2017年11月22日（1736个交易日）的IBM公司股票指数。作为一支股票，IBM的数据在某种意义上不如上述标准普尔500指数等指数数据那样“平滑”，因此不太可能遵循人们熟知的简单参数规范。因此，其建模更具挑战性。原始系列及其负收益如图5.5.2012 2014 2016 2018120 140 160 180 200DateIBM2012 2014 2016 2018所示-0.05 0.00 0.05 0.10IBMdateneg日志-回报图5.5:2011年1月至2017年11月期间（1736个交易日）开盘时的IBM公司股票指数（左）和相应的负对数回报系列（右）。正如第5.2节所述，copula密度cof（XT-1，XT）是根据第一年的数据（第一次T=252个观察值）首次估计的，然后根据第5.1节估计T+1=253时的条件VaR，给定XT=XT。按照滚动窗口（宽度N=252）程序，然后每天更新CWA的当前估计值，以预测下一个c VaR。图5.6显示了95%（黄色）和99%（橙色）水平的每日一步aheadc VaR预测系列。在1484个c VaRforecasts中，95%水平的c VaR违反VaR的比例为0.0498，1%水平的c VaR违反VaR的比例为0.013。

两者都非常接近他们的目标。2012 2014 2016 2018-0.05 0.00 0.05 0.10IBMdateneg日志-returnFigure 5.6:IBM数据：每日提前一步的c VaR预测水平为95%（黄色）和99%（橙色），滚动窗口宽度N=252（大约一年）。已经提出了许多程序，本质上类似于统计假设检验，用于评估和比较真实数据上的c VaR预测。巴塞尔协议通过“回溯测试”来评估其准确性，因此这里将遵循相同的方法。Campbell（2007）、Gaglianone等人（2011）和Nieto及Ruiz（2016）对此类反向测试程序进行了全面审查。最简单的版本只是将违规的经验比例与其目标理论概率进行对比1- α. 这是Kupiec（1995）的“无条件覆盖”测试（UC）。然而，这忽略了违规事件的可能串行关联。Christo Offersen（1998）建议进行“条件覆盖”测试（CC），并将此考虑在内。尽管这两项测试目前在从业者中最受欢迎，但却受到了不同理由的批评，见Escanciano和Olmo（2010）。恩格尔（Engle）和曼加内利（Manganelli）（2004）的“动态分位数”测试（DQ）似乎是最受欢迎的选择，它联合测试了加州大学和加州大学，并证明对预测中的某些形式的故障更有效。另一种选择可能是基于Gaglianone等人（2011）提出的分位数回归（“VQR”测试）。然而，已知该测试（Gaglianone等人，2011年，第4.1节）渐近等同于DQ测试，鉴于此处分析的时间序列包含6年以上的数据，因此未进一步考虑soit。表5.3显示了与第5.2节中调查的17 c VaR预测程序的3个测试（UC、CC、DQ）相关的p值，分别为95%和99%。

除了两个测试程序外，所有测试程序中至少有一个水平的测试拒绝了预测的充分性（显著性为5%）：拟议的基于非参数copula的估计器和带有学生创新的综合GARCH模型。对于所有其他程序，有证据表明，c VaR预测在α=0.95α=0.99UC CC DQ UC CC DQNP Cop 0.986 0.793 0.219 0.297 0.454 0.106DKNW 0.649 0.814 0.007 0.580 0.360 0.011GARCH-N 0.173 0.162 0.075 0.016 0.010 0.001GARCH-S 0.206 0.171 0.003 0.049 0.021 0.000GARCH-SS 0.826 0.314 0.013中不充分0.580 0.704 0.234iGARCH-N 0.033 0.090 0.019 0.049 0.021 0.002iGARCH-S 0.7970.422 0.067 0.763 0.802 0.923iGARCH-SS 0.323 0.155 0.016 0.827 0.854 0.912eGARCH-N 0.030 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000eGARCH-S 0.030 0.063 0.056 0.028 0.060 0 0.104eGARCH-SS 0.649 0.900 0.001 0.200 0.335 0.015gjr-GARCH-N 0.618 0.819 0.076 0.008 0.025 4 0.090gjr-GARCH-S 0.300 0.325 0.020 0.297 0.292 0.043gjr-GARCH-SS 0.826 0.314 0.007 0.423 0.335 0.021GAS-N 0.017 0.047 0.115 0.049 0.095 0.062GAS-S0.706 0.644 0.160 0.004 0.014 0.005GAS-S 0.458 0.591 0.052 0.049 0.095 0.021表5.3：与NP Cop程序及其竞争对手的三种回测程序（UC、CC、DQ）相关的p值。带下划线的值突出了统计意义（5%水平）。有些道理。为了进一步将拟定的NP Cop与参数iGARCH-S规范进行比较，我们求助于“分位数损失”函数（Giacomini和Komunjer，2005），对于时间t的预测，该函数为`α，t.=`Xt，cdVaRα，t（Xt-1)= (α - 1I{Xt≤cdVaRα，t（xt-1） }）（Xt- cdVaRα，t（xt-1)).这显然是一种不对称损失函数，对风险价值超标的惩罚更为严重（Gonz'alez Rivera等人，2004）。

对1484个预测进行平均，得到基于非参数copula的程序损失xt=253\'0.95，t=0.00139和xt=253\'0.99，t=0.00059，而对于参数iGARCH-S模型，一个getsXt=253\'0.95，t=0.00139和xt=253\'0.99，t=0.00055。根据这一标准，可以说这两种程序都做得同样好。因此，可以公平地得出这样的结论：当IBM数据预测一步领先的c VaR为95%和99%时，拟议的基于非参数copula的程序与最佳参数程序不相上下。这令人印象深刻，因为这是在没有任何参数指导的情况下实现的，而是直接从数据中提取相关信息。与其像以前那样使用滚动窗口，还可以使用扩展窗口，也就是说，当从新观测到的回报更新copula密度估计值时，保留从时间0开始的所有先前观测值。如果你相信序列在整个观察期内的平稳性，这显然是有意义的。如果在IBM系列上执行此操作，则可以获得每日提前一步的c VaRforecasts，如图5.7.2012 2014 2016 2018所示-0.05 0.00 0.05 0.10IBMdateneg日志-returnFigure 5.7:IBM数据：每日提前一步预测95%（黄色）和99%（橙色）级别的c VaR，扩展窗口。正如人们所能理解的那样，c VaR序列自然比“滚动”窗口情况下更平滑（尤其是在99%的水平上）。然而，值得注意的是，该程序似乎能够猜测每次都会出现极端损失：每次实现的序列显示出一个高于0.04的峰值，99%水平的估计c VaR也显示出一个类似幅度的峰值。

这似乎很有希望，并推动了对拟议程序的进一步研究。6结论与未来工作本文研究了一种新的非参数条件风险值预测方法。与之前建议的非参数方法一样，VaR是通过直接反演利息条件累积分布的非参数估计量获得的。与它们不同的是，对条件分布的估计是基于描述收益序列中观察到的动态依赖关系的copula的密度。正如本文所阐述的，这有几个优点。特别是，这样生成的估计条件分布函数总是被限制在0到1之间并递增，这使得很容易反转以提取所需的分位数。copula框架可以直观地解释结果，请参见第5.1节标准普尔500指数的应用。此外，蒙特卡罗模拟（第5.2节）和对2011年1月至2017年11月IBM公司股票的分析（第5.3节）表明，建议的程序可能与一步领先风险价值预测的最佳参数模型一样有效。值得注意的是，VaR最近一直是讨论和批评的对象，主要是因为它可能不是重尾损失分布的次加性和非一致性，参见Danielssonet al（2005）和Ibragimov and Walden（2011）中的讨论。因此，也提出了其他风险度量，使得选择正确的风险度量成为其自身理论利益的问题（Cherubini et al，2012）。在任何情况下，巴塞尔协议III建议用预期差额补充VaR，因为后者的一致性得到保证。

因此，建议并调查了条件预期短缺的估算方法（Scaillet，2005，Cai和Wang，2008，Chen，2008，Kato，2012，Linton和Xiao，2013，Xu，2016）；有关综述，请参见Nadarajah等人（2014）。对于某些级别的α，（条件）ES定义为ascESα，T（x）=E（XT | XT>c VaRα，T（x），XT-1=x），即假定损失超过相应的（有条件的）风险值，即cESα，T（x）=1的预期损失- αZ∞c VaRα，T（x）yfXT | XT-1（y | x）dy.define WT=XT- c VaRα，T，见a，T（x）=c VaR，α（x）+1- αZ∞wfWT | XT-1（宽x）dw。从（4.2）中，一个为FWT | XT-1（w | x）=fW（w）×c（w）（FX（x），fW（w）），其中c（w）是向量（XT）的copula密度-1，重量）。现在，因为wt只是XTplus一个常量，所以（XT）中的依赖关系-1，WT）与（XT）中的完全相同-1，XT），它们的copula是相同的。因此，有条件的预期差额可以是可写性α，T（x）=c VaRα，T（x）+1- αZ∞wc（FX（x），FX（w+c VaRα，T（x）））fW（w）dw。这反过来又表明了一个非参数估计量，类型为ccesα，T（x）=cdVaRα，T（x）+1- αTT-1Xt=0（Xt- cdVaRα，T（x））^c（bFX（x），bFX（Xt））1I{Xt>cdVaRα，T（x）}，具有与（4.4）中相同的估计量。这一估计值将在下一篇论文中详细研究。致谢这项研究得到了新南威尔士州悉尼（澳大利亚）科学院的学院研究资助。ReferencesArdia，D.、Boudt，K.和Catania，L.（2016），《使用气体包的R风险预测值》，手稿，http://arxiv.org/pdf/1611.06010.Azzalini，A.（1981），关于用核方法估计分布函数和分位数的注记，Biometrika，68326-328。Bashtanyk，D.M.和Hyndman，R.J.（2001），《核条件密度估计的带宽选择》，计算机。统计学家。数据分析。，36, 279-298.巴龙·阿德西（Barone Adesi，G.）、吉安·诺普洛斯（Giannopoulos，K.）和沃斯珀（Vosper，L.）。

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