条件风险值的非参数copula方法

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英文标题：
《A nonparametric copula approach to conditional Value-at-Risk》
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作者：
Gery Geenens and Richard Dunn
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Value-at-Risk and its conditional allegory, which takes into account the available information about the economic environment, form the centrepiece of the Basel framework for the evaluation of market risk in the banking sector. In this paper, a new nonparametric framework for estimating this conditional Value-at-Risk is presented. A nonparametric approach is particularly pertinent as the traditionally used parametric distributions have been shown to be insufficiently robust and flexible in most of the equity-return data sets observed in practice. The method extracts the quantile of the conditional distribution of interest, whose estimation is based on a novel estimator of the density of the copula describing the dynamic dependence observed in the series of returns. Real-world back-testing analyses demonstrate the potential of the approach, whose performance may be superior to its industry counterparts.
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中文摘要：
《巴塞尔银行业市场风险评估框架》的核心是风险价值及其有条件的寓言，其中考虑了有关经济环境的现有信息。本文提出了一种新的非参数框架来估计这种条件风险值。非参数方法尤其重要，因为在实践中观察到的大多数股票收益率数据集中，传统使用的参数分布不够稳健和灵活。该方法提取感兴趣的条件分布的分位数，其估计基于描述收益序列中观察到的动态相关性的copula密度的新估计量。真实世界的回测分析证明了该方法的潜力，其性能可能优于业界同行。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> A_nonparametric_copula_approach_to_conditional_Value-at-Risk.pdf (747.84 KB)

2022-6-2 18:45:57 上传

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关键词：Copula opula 非参数 风险值 distribution

风险Geenens条件值的非参数copula方法*澳大利亚悉尼新南威尔士州数学与统计学院澳大利亚悉尼新南威尔士州Hard DunnSchool of Mathematics and Statistics，UNSW Sydney AbstractValue at Risk及其条件寓言（考虑到有关经济环境的可用信息）构成了巴塞尔银行业市场风险评估框架的核心。本文提出了一种新的非参数框架来估计这种条件价值的风险。非参数方法尤其重要，因为在实践中观察到的大多数equityreturn数据集中，传统使用的参数分布显示出不够稳健和灵活。该方法提取感兴趣的条件分布的分位数，其估计基于描述收益序列中观察到的动态相关性的copula密度的新估计量。蒙特卡罗模拟和真实世界的回溯测试分析证明了该方法的潜力，其性能可能优于行业同行。1简介在过去二十年中，由于风险在现代金融部门中的至高无上的地位，风险的量化已成为一个备受关注的领域，因为核心业务运营是基于这种风险的互利交易（Segal，2011）。虽然有许多量化风险的方法，但很少有像风险价值（以下简称VaR）这样流行和广泛的方法。1987年股市崩盘后，VaR成为金融风险管理的重要手段，2004年被纳入巴塞尔II银行业强制性标准，目前已被全球公认为风险管理的基准。

实际上，差异是指企业在从事风险交易活动时，为抵御不太可能但并非不可能发生的不利事件而必须获得的资本量。有关财务背景和应用，请参见Duffee和Pan（1997）、Jorion（2001）和Scaillet（2003）。从统计学上讲，VaR只是一个上分位数*通讯作者：ggeenens@unsw.edu.au，澳大利亚悉尼新南威尔士州数学与统计学院，电话：+612 938 57032，传真：+61 2 9385 7123一些随机损失X的分布fx，该公司在从事这些活动时，在给定时期内可能面临这些损失X。对于某一固定水平α∈ （0，1），α通常接近1，VaR被定义为：VaRα（X）=inf{X∈ R:P（X>X）≤ 1.- α} =F-1X（α），其中F-1X（α）是FX的（广义）逆，即其分位数函数。然而，很明显，一些交易活动所代表的风险随市场条件而变化。因此，通常最重要的是根据一些附加变量（如Z）有条件地评估风险∈ Rd，反映有关经济环境的最新可用信息（Chernozhukov和Umantsev，2001，McNeil et al，2005，Kuester et al，2006，Escanciano和Olmo，2010）。在一般框架中，α级的条件风险值（cVaR）∈ （0，1）对于给定协变量Z向量的随机损失X，定义为asc VaRα（X | Z=Z）=inf{X∈ R:P（X>X | Z=Z）≤ 1.-α} =F-1X | Z（α| Z），（1.1），即给定Z=Z的条件分布FX | Zof X的α-分位数。除其他外，变量sz可能是过去观察到的损失，在时间序列设置中（见第2节），和/或其他外生经济和市场协变量。备注1.1。“有条件的风险价值”这一习语有时在之前的文献中被不同地使用，例如在Jorion（2001）或Rockafellar和Uryasev（2002）中，用于现在更常见的预期短缺。

这不应该在这里带来任何混乱。第6节提供了有关估计条件ES的相关问题的一些评论。由于参数模型的熟悉性和方便性，cVaR的估算一直以参数模型为中心。这些方法中最广为人知的可能是行业基准RiskMetrics（摩根大通，1996），该方法试图通过市场波动率指数加权移动平均（EWMA）估计值的正态分布来表征未来回报。这是一项特殊的实证研究，表明正常假设通常无法拟合金融数据，而金融数据通常表现出显著的偏度和峰度。这推动了EWMA模型的发展，用t分布（So和Yu，2006）、拉普拉斯分布（Guermat和Harris，2001）、非对称拉普拉斯分布（Gerlach et al，2013）或甚至更复杂的参数分布来取代正态创新。尽管如此，自1996年以来，RiskMetrics可以说一直是行业标准。RiskMetrics的基础是通过一个具有正常创新的综合GARCHmodel对嵌入在收益序列中的波动性进行建模。这属于一类更广泛的参数时间序列模型，具体如下。设Xt为时间t的利息回报（或损失）。然后，对于t=0，T，假设XT+1 | Ft~ D（ξt，θ），（1.2）ξt+1=h（ξt，…，ξt-p+1，Xt，Xt公司-q+1；β） ，（1.3）其中，fti是从时间0到时间t收集的信息，D是一个特定的参数创新分布，由ξt（时变参数向量）和θ（静态参数向量）参数化，h是函数，由参数β的静态向量参数化，设置所考虑模型的动态。

例如，通过GARCH（1，1）模型（Bollerslev，1986）对波动性行为（即Xt的条件方差）进行建模的一种流行方法，该模型满足上述规定，ξt=σt，时间t的波动性参数，h由σt+1=β+β给出t+βσt。通常假设条件分布D为正态、Student或skew Student。满足动力学（如（1.2）-（1.3）的GARCH类模型的进一步规范包括上述综合GARCH（iGARCH）模型（Engle和Bollerslev，1986）、指数GARCH模型（eGARCH）（Nelson，1991）和非对称幂拱模型（APARCH）（Ding et al，1993），Glosten et al（1993）的gjr GARCH规范为特例。关于最近对GARCH模型的广泛调查，请参见Francq和Zakoian（2011）。另一类满足（1.2）-（1.3）要求的模型是Creal et al（2013）和Harvey（2013）最近提出的广义自回归得分模型（GAS），在建模高度非线性波动动力学时，这些模型似乎是GARCH模型的重要替代品。预测cVaR的备选参数模型最终包括基于极值理论的方法，如块极大值模型（BMM，McNeil（1998，1999））或峰值超阈值模型（POT，Embrechtset al（1997，1999），Chavez Dumoulin et al（2014））；或分位数回归，如鱼子酱（Engle and Manganelli，2004）。Nieto和Ruiz（2016）最近进行了全面审查。虽然这些方法有其优点，但它们通常不受参数设置通常的僵化影响。特别是，不同的参数模型规格通常会导致不同的结果，难以协调，请参见Li和Racine（2008年，第4.2节）中的经验说明。

此外，型号规格错误可能会产生严重后果；e、 有人认为，2009年的全球金融危机主要是由于在资产定价中不合理地使用了参数高斯copula模型（Salmon，2009）。为了解决这种灵活性不足的问题，也提出了非参数模型，该模型摒弃了数据的任何刚性结构。非参数方法确实让数据“自言自语”，因此它具有吸引力。这在估计分布的高分位数（如VaR）时尤为重要，因为概率密度的尾部行为通常完全由其参数规格锁定。另一方面，由于这些领域数据的典型稀疏性，在没有任何参数指导的情况下估计分布的尾部通常是一项具有挑战性的任务。第一次非参数尝试集中在经验方法上，在这种方法中，假设过去的回报率代表未来回报的全部分布，参见Hendricks（1996）、Linsmeier和Pearson（2000）、Dowd（2001）和Chen和Tang（2007）中的历史模拟技术。这种基本方法忽视了股票市场不断变化的性质，因此Barone Adesi et al（2002）继Hull and White（1998）之后，建议通过隐含的市场波动率来衡量历史回报，以补偿这些变化。这种被称为过滤历史模拟（FHS）的方法由于其简单性和计算效率而成为市场上的先驱。最近，Zikovic和Aktan（2011）以及Dupuis等人（2015）提出了类似路线的历史模拟“加权”版本。

Fan和Gu（2003）提出了可以被视为风险度量的半参数版本，后来扩展到Martins Filho和Yao（2006）、Martins Filho等人（2016）和Wang和Zhao（2016）。Cai（2002）使用Nadaraya-Watson型估计量对给定Z的X的条件分布进行估计，并通过反转获得条件VaR，这种方法在Scaillet（2005）、Cai和Wang（2008）、Li和Racine（2008）、Taylor（2008）、Wu et al（2008）、Xu（2013）和Franke et al（2015）中得到了定义。第3节将更详细地讨论其中一些估计器，由于本文实际上是对这一主题的延续，它研究了基于条件分布FX | Z的非参数估计量的直接反演的c VaRα（X | Z=Z）的新估计量。与之前的贡献相比，最大的不同之处在于，这里将通过利用非参数copulamodeling领域的新发展来估计FX | Z。这有很多优点，本文将详细介绍这些优点。当然，Copula在金融和相关领域已经存在了很长一段时间，参见Embrechts et al（2002）、Embrechts（2009）、Cherubini et al（2004、2012）等综合评论，但该领域的文献仍然以参数方法为主。通过估计CVAR的具体应用，本文旨在证明灵活的非参数copula建模方法在金融应用中的能力。其组织如下：第2节确定了将要考虑的框架。第3节简要回顾了现有的非参数、基于核的估计条件分布和密度的方法，这项工作将补充这些方法。第4节详细概述了如何将非参数copula建模的一些最新元素合并，以提供条件值atRisk的估计。

第5节着重于通过蒙特卡罗模拟研究和两个实际数据应用来实证说明和验证这一想法。第6节总结了未来研究的一些途径。2框架考虑一个样本{Xt；t=0，1，…，t-1} 假设这是一个离散时间内的严格平稳过程X的实现，边际分布fX承认密度fX。第4.2节中的理论考虑假设{Xt}形成α混合（即强混合）序列，这是大多数时间序列模型遵循的依赖结构（Doukhan，1994），因此是相当普遍的。为了简单起见，本文将只关注一步超前cVaR的估计问题，即在时间T估计-1时间T的VaR；当作为“影响经济因素”，即（1.1）中的Z时，刚刚观察到的损失XT-1仅限。具体而言，相关参数为VaRα（XT | XT-1=x）=inf{y∈ R:P（XT>y | XT-1=x）≤ 1.- α} =F-1XT | XT-1（α| x），给定XT的条件分布的α级分位数-1=x，即。FXT | XT-1（y | x）=P（XT≤ y | XT-1=x）。（2.1）虽然马尔可夫型框架非常基础，但它为实际数据集中收益的波动性聚类和序列相关性提供了考虑范围（McNeil et al，2005）。此外，它还涵盖了回报动量的影响（Carhart，1997），已证明与其他流行风险因素相比，回报动量对未来股票回报有着强烈的影响（Bender等人，2013）。最后，这与Fama（1965）的有效市场假说是一致的。因此，这似乎是阐明这一想法的有效依据。备注2.1。不过，有人强调，所建议的方法很容易扩展到更一般的框架。

特别是，对一个以上变量的条件化在概念上是很简单的，因为我认为，所开发的程序是纯非参数的，它可以解决维度问题（Geenens，2011）。如果需要，可以通过引入一些结构性假设来实现降维，例如单一指数结构，参见Fan等人（2018）。有趣的是，FXT | XT-1（y | x）可以被视为回归函数，认为fxt | XT-1（y | x）=E（1I{XT≤y} | XT-1=x），（2.2），其中1I{·}是指示符函数，如果括号之间的语句为true，则等于1，否则等于0。在这里，X的“损失”一词相当通用。例如，它可能意味着负的日志返回，或任何其他适当的数量。在考虑的非参数框架内，通常假设X的严格平稳性（Scaillet，2005，Cai and Wang，2008，Franke et al，2015）。原因是非参数程序明确基于条件分布的经验估计（2.1）。因此，该分布必须能够从观察到的样本中识别出来，该样本在X上的弱平稳性假设下是不一致的。当然，它也可以是writenfxt | XT-1（y | x）=Zy-∞fXT | XT-1（ξ| x）dξ，（2.3）其中fXT | XT-1是给定XT的条件密度-1–前提是它存在。因此，我们可以估计FXT | XT-1使用回归思想，或插入条件密度的估计值，例如^fXT | XT-1，in（2.3）。基于回归的估计已经相当流行（见下一节），然而，类型为^FXT | XT的估计-1（y | x）=Zy-∞^fXT | XT-1（ξ| x）dξ（2.4）具有显著优势。

实际上，前提是^fXT | XT-从某种意义上说，1是一个丰富的密度-1（y | x）≥ 0（x，y）andR∞-∞^fXT | XT-1（ξ| x）dξ=1x、 如此获得的^FXT | XT-1始终是一个真正的分布函数，y和X均不递减-1(-∞|x） =0，^FXT | XT-1(∞|x） =1。当反转它以获得其分位数时，这是必不可少的。基于回归的方法可能会导致估计值不局限于[0，1]或在y中单调，这会导致明显的问题和不一致。3条件分布和密度的核估计量最基本的非参数回归估计量可以说是Nadaraya Watson（NW）估计量（Nadaraya，1964，Watson，1964），对于（2.2）而言，它写▄FXT▄XT-1（y | x）=PT-1t=1h（x- Xt公司-1） 1I{Xt≤y} PT公司-1t=1h（x- Xt公司-1） ，（3.1）其中K是对称概率分布（“核”），h>0是平滑参数（“带宽”），Kh（·）=K（·/h）/h，详见h¨ardle et al（2004，第4章）。显然，如此定义的^FXT | XT-1（y | x）是一个有利的分布函数，始终位于[0，1]且y不递减。这使得（3.1）的反演非常容易，Franke et al（2015）详细研究了通过这样做获得的条件VaR的估计量。然而，人们通常认为，局部多项式回归估计（Fan和Gijbels，1996）比Nadaraya Watson估计具有更好的理论性质。这促使Yu和Jones（1998）提出了条件分布函数的局部线性（LL）估计。然而，LL估计量既不局限于0到1之间，也不局限于y的单调性，这违反了常识。因此，Hall et al（1999）和Cai（2002）提出了加权Nadaraya Watson估计量（WNW），该估计量满足这些约束条件，同时与LL估计量具有相同的理论特性。