跳扩散下的有效欧美期权定价

给定ε>0，则考虑HS Eu ropean看涨期权值，取k≥ 最大{NlehN+1WN- lnε+ln（4SG）+（α- r） τ+ln k+m- 1，NL2EHNW- 1米- 1} （9）l≥ 最大{Nle-hN+1WN- lnε+ln（4SG）+（α- r） τ+ln k-m级- 1，NL2EHNW- 1米- 1} （10）K+=N时-1Xr=0ehr+N最大值{WN，1}e2hNN-1Xr=0e-克罗地亚库纳-=N-1Xr=0e-hr+N最大值{WN，1}N-1Xr=0ehr，我们通过截断levelsk和-满意度：V- VT T<ε定理4.2。给定ε>0，考虑到HS欧洲看跌期权价值，取k≥ 最大{N2WN-1.-1，NWNe公司-lnε-rτ+ln（4N（N+1）KG）-1} ，我们通过截断levelsk和-l，l=k满意度V- VT T<ε定理4.3。给定ε=n>0，且k，l是调用情况下定理4.1中的最小整数，以及put情况下定理4.2中的最小整数，建议的VT T收敛到HS价格，其计算复杂性为O（n ln n）。给定固定b>0，我们根据以下公式确定通过反向程序获得的值VbE（0，0，0）：VbE（i，j，k）=e-rtPNl公司=-N（VbE（i+1，j+1，k+l）p+VbE（i+1，j，k+l）（1- p） ）qlif k∈ [-l、 k]，b，否则，调用案例中的初始数据vbe（n，j，k）=（S（n，j，k）- K） +如果K∈ [-l、 k），否则为b，以及put caseVbE（n，j，k）中的初始数据=（K）- S（n，j，k））+如果k∈ [-l、 k]，否则为b。通过树上的反向过程获得的美式值VbA（0，0，0），其中允许区域外的任何节点中的选项值被b替换，由以下递归模式给出：CbA（i，j，k）=e-rtPNl公司=-N（VbA（i，j+1，k+l）p+VbA（i，j- 1，k+l）（1- p） ）ql对于所有i=0，n、 j=0，i、 k=-Ni。

，Ni，而VbA（i，j，k）=max（CbA（i，j，k），S（i，j，k）- K） 对于看涨期权，Vba（i，j，K）=max（CbA（i，j，K），K- S（i，j，k）），如果k∈ [-l、 k]，否则为b；初始数据Vba（n，j，k）=VbE（n，j，k）。取b=K，我们可以说明以下结果。定理4.4。让VA（0，0，0）和VE（0，0，0）为二项价格，在美国看跌期权和欧洲看跌期权的情况下，采用Hiliard和Schwartz的反向程序进行评估。固定k和l，让VKA（0，0，0）和VKE（0，0，0）为二项价格，分别在美国看跌期权和欧洲看跌期权中，使用上述规则的后向过程进行评估。一个有：| VKA（0，0，0）- VA（0，0，0）|≤ |VKE（0，0，0）- VE（0，0，0）|。定理4.5。给定ε=n>0，且k=l为最小整数，使得k≥ 最大{N2WN-1.-1，NWNe公司-lnε+ln（4N（N+1）KG）-1} ，所描述的看跌期权价格VKA（0，0，0）的后向过程收敛于HS价格，其计算复杂度为O（nln n）。5、欧式期权我们的程序将针对欧式期权进行详细说明。随后对美式看跌期权案例进行了处理，其推理依赖于欧洲案例的结果。为了简单起见，请在N=1的情况下说明我们的程序，这可以说明所采用的策略。附录中包含了任意N情况下的proo fs。5.1.

一些初步结果这些不等式将在下面使用。提案5.1。e-rτnXj=0eσ√t型(-n+2 j）P（j）≤ e（α-r） τ证明：我们可以写xj=0nj！eσ√t型(-n+2 j）pj（1- p） n个-j=nXj=0nj！（eσ√tp）j[e-σ√t（1- p） ]n-j（11）=[eσ√tp+e-σ√t（1- p） ]n（12），因为值eσ√tp+e-σ√t（1- p） 概率p越高，则最坏情况（因为我们希望找到上限）为p=1。由于p定义为1 +α√tσ, 这意味着αt=σ√t、 因此：nXj=0nj！eσ√t型(-n+2 j）pj（1- p） n个-j≤ （eσ√t） n个≤ （eαt） n=eατ引理5.2。如果0≤ x个≤n+1J对于某些j，n∈ N、 j>1，然后是XI≥nxii！≤jj公司- 1xnn！。证据：我们认为∞Xn=0an。如果求和的项s等于ai+1≤jai公司i和ai≥ 0，那么∞Xi=0ai≤ 一∞Xi=0ji=jj- 1a。我们将此应用于情况ai=xii！。如果0≤ x个≤n+1j当我们有ai+1=xi+1（i+1）=xii！xi+1=爱xi+1≤ ain+1（i+1）j，这给SAI+1≤杰弗一世≥ n、 因此，Xi≥nxii=+∞Xi=0xn+i（n+i）！≤jj公司- 1xnn！引理5.3。给出n c>0和n∈ N、 N，0，lncnn！<n（ln c+1）- n ln n<-n+c eProof：我们可以写lncnn！同n ln c- 项次n！。由ln n！=n ln n-n+ln（2πn）+12n-360n+。，记住，截断序列所犯的错误与省略的第一项具有相同的符号，我们有：ln n！>n ln n- n+ln（2πn）>n ln n- 第四方ln c- ln n！<n ln c- n ln n+n=n（ln c+1）- n ln nWe设置a=ln c+1，并考虑函数f（x）=xa- x ln x。这是一个凹函数，因此它的图形位于x=ea的切线下方。

因为f的导数是f′（x）=a- 1.- ln（x），f（ea）=aea- aea=0，f′（ea）=a- 1.- a=-1，切线方程为y=-x+ea，我们得到以下不等式：na- n ln n≤ -n+ea=-n+eln c+1=-n+ce因此论文。我们将证明我们可以选择k和l，这样计算VT比V和errorV便宜- VT小于任意ε。我们的策略是将这种差异分为两部分，即- VT和VT- VT T，并针对每种差异，找到L和k的上估计值。首先，在处理这两种成分时，我们需要建立布朗运动对下垫面可能值的贡献的上估计值。应用命题5。1当k，l>0时，我们对差异V有以下限制-VT在呼叫情况下：V- VT=e-rτ-l-1Xk=-NnnXj=0（东南(-n+2 j）σ√t+香港- K） +P（j）QN（K）+NnXk=K+1nXj=0（Se(-n+2 j）σ√t+香港- K） +P（j）QN（K）≤ e-rτNnXk=k+1SehknXj=0eσ√t型(-n+2 j）P（j）QN（k）+NnXk=l+1Se-hknXj=0eσ√t型(-n+2 j）P（j）QN(-k）≤ e-rτSnXj=0eσ√t型(-n+2 j）P（j）NnXk=k+1ehkeQN（k）+NnXk=l+1e-hkeQN（k）≤ e（α-r） τSNnXk=k+1ehkeQN（k）+NnXk=l+1e-hkeQN（k）.

（13） 在看跌期权的情况下，由于期权的价值小于行权，我们有：V- 及物动词≤ e-rτKnXj=0P（j）NnXk=k+1eQN（k）+NnXk=l+1eQN（k）≤ e-rτKNnXk=k+1eQN（k）+NnXk=l+1eQN（k）（14） 为了证明VT和VT之间的差异是任意小的，我们需要了解QTN（k）和QN（k）之间的差异-l≤ k≤ k、 这是由达到k a t成熟度的路径之前超出[-l、 k]地区。为了简单起见，我们分别考虑到达k的概率超过klevel和到达k的概率超过klevel-l级；两者之和显然大于我们想要估计的数量。Fixedk和l，let-l≤ k≤ k我们将QkN（k）称为到期时k的净余额跳跃的概率，而在某一点上达到的净余额高于k，QNl（k）称为到期时k的净余额跳跃的概率，而在某一点上达到的净余额低于-l、 根据这些定义和命题5.1，VT和VT t值之间的差异呼叫案例为：VT- VT T=e-rτkXk=-lnXj=0（东南(-n+2 j）σ√t+香港- K） +P（j）（QN（K）- QTN（k））（15）≤ e-rτSnXj=0eσ√t型(-n+2 j）P（j）kXk=-lehk（QN（k）- QTN（k））（16）≤ e（α-r） τSkXk=-lehk（QkN（k）+QNl（k））。（17） 在这种情况下，如等式14所示，我们有：VT- VT T≤ e-rτKkXk=-l（QN（k）- QTN（k））≤ e-rτKkXk=-l（QkN（k）+QNl（k））。(18)5.2.

欧式期权，N=1当N=1时，a中跳跃的唯一可能值t周期为-h、 0，h，概率q-1，q，q，它们是以下线性系统的解s：1 1 1-1 0 11 0 1q-1qq=khkh语其中k=λtγ′，k=λt（γ′2+δ）=λ这是复合泊松分布的前两个累积量（累积量代替矩的用法已在[6]中进行了调整）。我们可以写：q-1=λτ2n1-γ′h=c-1nq=1-λτnq=λτ2n1+γ′h=给定n步数，我们考虑k的n et平衡的概率Q（k）≥ 成熟时0跳：Q（k）=n-kXt=0n！（n）- k- 2t）！（k+t）！t！qk+tqt-1qn-k-2t这是k+t上跳和t下跳的“跳跃路径”的所有概率之和，对于t，k+2t≤ n因为q=cn，q-1=c-1n，让我们定义w=max{c，c-1}; “放大概率”公式（k）由以下公式给出：公式（k）=n-kXt=0n！（n）- k- 2t）！（k+t）！t！西尼罗河k+2tqn-k-2吨。（19） 我们将证明，对于| k |>a ln+b（对于某些固定常数a和b），等式（k）可以忽略不计，这将转化为期权评估中一些可能的回报的可忽略性。考虑等式。

（17）和（18），N=1；为了处理它们，我们将Qk（k）和Ql（k）与我们的“扩大概率”eQ（t）联系起来。引理5.4。Qk（k）≤eQ（2k- k+2）Ql（k）≤等式（2l+k+2）适用于所有-l≤ k≤ k、 证明：我们注意到，在成熟之前的某个时间点达到k+1级的路径数和在k级结束的路径数与在2k级结束的路径数相同- k+2，根据反射原理（见[5]）。我们的目标是使用“反射”路径的概率恢复Qk（k）的上估计值。我们考虑一条在成熟之前某个时间点达到k+1水平的单条路径，并以-l≤ k≤ k、 我们将其定义为初始路径的路径，直到初始路径第一次达到k+1水平，然后当另一个路径有一个-1跳跃，反之亦然时，有一个+1跳跃。原始路径没有跳跃的时间间隔是反射也没有跳跃的间隔。反射路径将在2k处结束- k+2。原始路径和反射的概率均不大于通过替换qand q获得的值-1带wn，所有路径上达到k的和超过这些修改概率的k为q（2k+2- k） ，因此我们可以写qk（k）≤等式（2k+2- k） 。类似地，到达-l- 到期前的某一点为1级，最终达到kwith级-l≤ k≤ k等于以级别结束的路径数-2升- 2.- k、 以及原始路径的可能性及其对水平的反射-l- 1不大于修正值，因此它适用于：Ql（k）≤均衡器(-2升- 2.- k） =等式（2l+k+2）。下面的命题允许我们对到达树的上部和下部叶片的可能性，以及它们对评估的贡献，进行逐层估计。提案5.5。

对于整数k，k≤ n适用于k≥ 2瓦- 1eQ（k）≤ 2周！电子战。（20） 叉子≥ 2瓦- 1nXk=千克（k）≤ 4ewwkk！（21）拨叉≥ 2ehw- 1nXk=kehkeQ（k）≤ 4ew（ehw）kk！（22）拨叉≥ 2瓦- 1nXk=ke-hkeQ公司(-k）≤ 4ew（e-hw）kk！（23）证明：回想一下等式（k）=n-kXt=0n！（n）- k- 2t）！（k+t）！t！西尼罗河k+2tqn-k-2吨。因为q<1和N！（n）- k- 2t）！nk+2t≤ t=0时为1，jn公司-kk，我们可以写：eQ（k）≤n-kXt=0wk+2t（k+t）！t！≤wkk+周+1w（k+1）+周+2w（k+2）！2!+ ... +wn+kwn-kjn+kk！jn公司-kk公司≤wkk+周+1（k+1）+周+2（k+2）！++wn+kjn+kk！1+w+w++wn-kjn公司-kk！≤n+kXi=kwii！电子战≤ 2ewwkk！通过引理5.2，j=2，对于0≤ w≤k+1。再次应用引理5.2，我们得到等式（21）。x=ehw引理5.2的进一步应用≤k+1美国：nXk=kehkQ（k）≤nXk=kehkeQ（k）≤ 2ewnXk=k（ehw）kk！≤ 4ew（ehw）kk！叉≥ 2ehw- 1、类似工作≥ 2瓦- 1我们得到等式（23）。现在所有的部分都准备好了，我们可以在N=1.5.2.1的情况下证明主要定理。调用case将引理5.4应用于等式17，N=1，我们可以写：VT- VT T≤ e（α-r） τSkXk=-lehk（等式（2k+2- k） +均衡器(-2升- 2.- k） （）≤ e（α-r） τS最小值{2k+l，n}Xs=k+2eh（2k+2-s） 等式（s）+最小值{2l+k，n}Xs=l+2eh（s-2升-2） eQ（s）(24)≤ e（α-r） τ联交所最小{2k+l，n}Xs=k+2eQ（s）+最小{2l+k，n}Xs=l+2eQ（s）（25）将式（13）与N=1和（25）相结合，假设我们取l=k，我们得到：V- VT T≤ 2e（α-r） τSnXk=k+1（ehk+ehk）等式（k）. （26）我们可以用O（n）程序计算（26），从而在数值上确定最大整数L=k，从而使损失低于任意ε。命题5.5允许我们定义一个理论界分叉和l，以便V- VT低于任意ε，并且表明，使用这些理论界，该过程的复杂性进一步降低。定理5.6。

给定ε>0，对于l≥ m a x公司{-lnε+we-h+1+ln（2+ehw）+c，2w- 2、2ehw- 3} 和k≥最大值{-lnε+weh+1+ln（2+e-hw）+c，2ehw- 2} c=w+（α- r） τ- 1+ln（4S）我们有- VT T<ε证明：将公式（13）和（24）与N=1结合起来，我们可以写：V- VT T≤ e（α-r） τSnXk=k+1ehkeQ（k）+nXk=l+1e-hkeQ（k）+eh（2k+2）nXk=k+2e-hkeQ（k）+eh(-2升-2） nXk=l+2ehkeQ（k）（27）根据命题5.5，我们得到：V- VT T≤ e（α-r） τS4ew（ehw）k+1（k+1）！+4ew（e-hw）l+1（l+1）！+eh（2k+2）·4ew（e-hw）k+2（k+2）！+呃(-2升-2） ·4ew（ehw）l+2（l+2）！(28)≤ 4e（α-r） τ+wS（ehw）k+1（k+1）+（e）-hw）l+1（l+1）！+e-2h·（ehw）k+2（k+2）！+e2h·（e-hw）l+2（l+2）！(29)≤ 4e（α-r） τ+wS1+e-hwk+2！（ehw）k+1（k+1）+1+ehwl+2！（e）-hw）l+1（l+1）！(30)≤ 4e（α-r） τ+wS1+e-hw！（ehw）k+1（k+1）+1+ehw！（e）-hw）l+1（l+1）！（31）货叉≥ 2ehw- 2和l≥ 最大{2ehw- 3，2w- 2} 如果我们在upp e r和较低区域之间平均分割误差ε，我们会问：4Se（α-r） τ+w1+ehw！（e）-hw）l+1（l+1）<ε（32）4Se（α-r） τ+w1+e-hw！（ehw）k+1（k+1）<ε（33）Ta king C=4Se（α-r） τ+w，式（32）等于（e-hw）l+1（l+1）<ε（2+ehw）C，由引理5.3 for l保证>-lnε+ln[（2+ehw）C]+e-高+1w-1，而式（33）等价于（ehw）k+1（k+1）<ε（2+e）-hw）c由引理5.3 fork保证≥ -lnε+ln[（2+e-hw）C]+eh+1w- 1、考虑到以上所有条件，本论文保证≥ 最大值{-lnε+we-h+1+w+（α- r） τ- 1+ln（4S）+ln（2+ehw），2w- 2、2ehw- 3} andk公司≥ 最大值{-lnε+weh+1+w+（α- r） τ- 1+ln（4S）+ln（2+e-hw），2ehw- 2}.定理5.7。

给定ε=n>0，k和l为最小整数，如Theo-rem 5.6所示，建议的VT T程序收敛于HS价格，其计算复杂度为O（n ln n）。证明：如图5.6所示，取K=l为最短整数，误差如下五、- e-rτkXk=-lnXj=0（东南(-n+2 j）σ√t+香港- K） +P（j）QT（K）< εk上的和最多有n个与ln n成比例的项，近似概率分布qt为O（n ln n），因此该过程的计算复杂度为O（n ln n）。前面的定理保证，对于app ropriatek和l，欧式调用选项的值V可以近似为vt T T=e-rτkXk=-lnXj=0（东南(-n+2 j）σ√t+香港- K） +P（j）QT（K）5.2.2。我们的行为与通话情况一模一样。将引理5.4应用于等式18，N=1，我们可以写出：VT- VT T≤ e-rτKkXk=-l（等式（2k+2- k） +均衡器(-2升- 2.- k） （）≤ e-rτK最小{2k+l，n}Xs=k+2eQ（s）+最小{2l+k，n}Xs=l+2eQ（s）（34）将式（14）与N=1和（34）相结合，假设我们取l=k，我们得到：V- VT T≤ 4e-rτKnXk=k+1eQ（k）. （35）我们可以计算（35），使V-VT不如具有O（n）过程的任意ε，但命题5.5提供了理论界fork和l。定理5.8。给定ε>0，对于l，k≥ 最大值{-lnε+c，2w-2} c=w（e+1）-rτ-1+ln（4K）+ln（2+w）我们有- VT T<ε证明：将等式（14）与N=1和（34）相结合，并应用命题5.5，我们得到：V- VT T≤ e-rτK4ewwk+1（k+1）！+4ewwl+1（l+1）！+4ewwk+2（k+2）！+4ewwl+2（l+2）！(36)≤ 4ew-rτK周+1（k+1）+wl+1（l+1）+周+2（k+2）+wl+2（l+2）！(37)≤ 4ew-rτK1+w周+1（k+1）+wl+1（l+1）！（38）左叉≥ 2瓦- 2、如果我们将误差ε平均分为上下两个区域，我们会问k=l，例如：4ew-rτK1+w周+1（k+1）<ε（39）Ta king C=4ew-rτK，E q。