跳扩散下的有效欧美期权定价

（39）等于牵引力k+1（k+1）<ε（2+w）C，由引理5.3 fork保证>-lnε+ln[（2+w）C]+ew-1、考虑到所有以前的条件，本论文保证≥ 最大值{-lnε+w（e+1）- rτ- 1+ln（4K）+ln（2+w），2w- 2}.然后，我们也可以在put案例中陈述对定理5.7的分析：定理5.9。假设ε=n>0，且k=l是定理5.8中的最小整数，则建议的VT t收敛于HS价格，其计算复杂度为O（n ln n）。5.3. 欧式选项，任意N我们将上一节的结果扩展到任意N。为简洁起见，在线附录中提供了pro ofs。类似于Le mma 5。4和命题5.5如下。引理5.10。QkN（k）≤NXi=1eQN（2k- k+2i）QNl（k）≤NXi=1eQN（2l+k+2i），适用于所有-l≤ k≤ k、 提案5.11。对于整数k，k≤ NN代表k≥ N2WN- 1.方程（k）≤ 毛重千牛NjkNk！（40）货叉≥ N2WN- 1.NnXk=keQN（k）≤ 2GNW千牛NjkNk！（41）拨叉≥ N2镇- 1.NnXk=kehkeQN（k）≤ 2G（ehNWN）千牛jkNk！N-1Xr=0ehr（42）拨叉≥ N2WN- 1.NnXk=ke-hkeQN(-k）≤ 2G（e-hNWN）千牛jkNk！N-1Xr=0e-hr（43）5.3.1。呼叫案例我们分别采用等式（3）、（7）和（6）中定义的V、VT和VT TA。通过引理5.10，我们得到了- VT T≤ e（α-r） τSkXk公司=-lehkNXi=1eQN（2k- k+2i）+kXk=-lehkNXi=1eQN（+2l+k+2i）≤ e（α-r） τS最小值{2k+l+2，Nn}Xs=k+2eh（2k-s+2）N-1Xi=0eQN（s+2i）+min{2l+k+2，Nn}Xs=l+2eh（s-2升-2） N个-1Xi=0eQN（s+2i）(44)≤ e（α-r） τSehkNNnXs=k+2eQN（s）+NnXs=l+2eQN（s）（45）结合等式（13）和（45），我们得到：V- VT T≤ e（α-r） τSNnXk=k+1（ehk+ehkN）方程n（k）+NnXk=l+1（e-hk+ehkN）等式（k）（46）eorem 4.1中规定的L和k的闭合公式可以用与N=1案例中相同的方式检索（见附录）。5.3.2.

Put case我们取V、VT和VT t与之前为调用定义的值类似的Put操作值。通过将引理5.10应用于方程18，我们得到了- VT T≤ e-rτKkXk公司=-lNXi=1eQN（2k- k+2i）+kXk=-lNXi=1eQN（+2l+k+2i）≤ e-rτKNNnXs=k+2eQN（s）+NnXs=l+2eQN（s）（47）结合等式（14）和（47），我们得到：V- VT T≤ e-rτK（N+1）NnXk=k+1eQN（k）+NnXk=l+1eQN（k）（48）定理4.2中规定的L=k的闭合公式可以在N=1的情况下以同样的方式检索（见附录）。6、美式期权在下文中，我们通过表明美式情况下的截断误差必须小于或等于欧洲情况下的误差，将欧洲衍生品评估反向程序的结果扩展到美式看跌期权定价。回想一下VbE（0，0，0）和VbA（0，0，0）的定义，这是我们通过树上的反向递归获得的价格，其中允许区域外任何节点中的期权值由b替代≥ 我们标记VE（0，0，0）对应于VT T引理6.1。VE（0，0，0）=VT t为方便读者，附录中提供了简单的证明。我们还考虑了在调用和put情况下，到达τ和主动变更prob（路径）的值cvb，定义为ascVb=VT T+xpath-rti（path）（49），其中prob（path）确定单个路径的概率，i（path）确定时间0<i≤ 从允许区域第一次退出路径的n。可以很容易地证明（附录中的证明）值VbE（0，0，0）与Cvb：引理6.2一致。VbE（0，0，0）=Cvb我们考虑b=K。在屏障上方的节点中用K替换0会增加选项的值，因此我们有Vke（0，0，0）≥ VE（0，0，0）。

因为对于看跌期权，我们也有VE（i，j，k）≤ 对于每一个（i，j，K），我们有一个VKE（0，0，0）≥ VE（0，0，0）≥ VE（0，0，0）。因此| VKE（0，0，0）- VE（0，0，0）|≤ |VKE（0，0，0）- VE（0，0，0）|=| cVK- VT T |。为了控制| VKE（0，0，0）- VE（0，0，0）|我们只需要控制CVK- VT T.引理6.3。给出nε>0，取G=2N max{WN，1}QN-1i=1iewn，通过在levelsk和-k、 k为满足以下条件的最小整数：k≥ 最大{N2WN- 1. - 1，NWNe公司- lnε+ln（4N（N+1）KG） - 1} ，我们有cVK公司- VT T< 引理6.3的ε证明在附录中给出，这里我们将给出定理4.4的证明。定理4.4的证明，考虑VKE（i，j，l），VKA（i，j，l），i=0。。。，n、 在以下条件下具有值K的反向过程：-对于所有时间步i，从0到n，以及VE（i，j，l），VA（i，j，l），i=0，…，l和越过k势垒。。。，n第9页规定的标准数据备份程序。我们声称| VKA（i，j，l）- VA（i，j，l）|≤ |VKE（i、j、l）- VE（i，j，l）|对于所有i，j，l。由于美国的看跌期权价格不小于欧洲价格，也不大于K，因此，在障碍之外，这种说法是正确的。在边界内，我们证明了时间步i上的反向归纳。让i=n。在所有成熟节点上，误差是相同的，因为VKA（n，j，l）=VKE（n，j，l）和VA（n，j，l）=VE（n，j，l）。现在考虑一下案例i- 1、我们设置连续值CKA（i-1，j，l）=e-rtPNk公司=-N（VKA（i，j+1，l+k）p+VKA（i，j，l+k）（1-p） ）qkandCA（一）- 1，j，l），CKE（i- 1，j，l），CE（i- 1，j，l），类似。考虑屏障内的节点。

截断值VKA（i- 1，j，l）由Vka（i）给出- 1，j，l）=maxhCKA（i- 1，j，l），K- S（i）- 1，j，l）i（50）一个有CA（i，j，l）≤ CKA（i，j，l）对于每个i，j，l。只有以下情况是可能的：oCKA（i- 1，j，l）≤ K- S（i）- 1，j，l）这意味着VKA（i- 1，j，l）=K- S（i）- 1，j，l）=VA（i- 1，j，l）和| VKA（i- 1，j，l）- VA（i- 1，j，l）|=0。oCA（i- 1，j，l）≤ K- S（i）- 1，j，l）和CKA（i- 1，j，l）≥ K- S（i）- 1，j，l）这表示VA（i- 1，j，l）=K- S（i）- 1，j，l）和VKA（i- 1，j，l）=CKA（i- 1，j，l）和| VKA（i- 1，j，l）- VA（i- 1，j，l）|=CKA（i- 1，j，l）- （K）- S（i）- 1，j，l））≤ CKA（i）- 1，j，l）-CA（i- 1，j，l）≤e-rtNXk公司=-N（VKA（i，j+1，l+k）p+VKA（i，j，l+k）（1- p） ）qk+- e-rtNXk公司=-N（VA（i，j+1，l+k）p+VA（i，j，l+k）（1- p） ）qk=e-rtNXk公司=-N[（VKA（i，j+1，l+k）- VA（i，j+1，l+k）]pqk++e-rtNXk公司=-N[VKA（i，j，l+k）- VA（i，j，l+k）]（1- p） qkEither节点（i，j+1，l+k）和（i，j，l+k）在边界之外，那么这个断言是真的，或者我们可以使用归纳法，因此：VKA（i，j+1，l+k）-VA（i，j+1，l+k）≤ VKE（i，j+1，l+k）-VE（i，j+1，l+k）和VKA（i，j，l+k）- VA（i、j、l+k）≤ VKE（i、j、l+k）- VE（i，j，l+k）。因此：| VKA（i- 1，j，l）- VA（i- 1，j，l）|≤≤e-rtNXk公司=-N[（VKE（i，j+1，l+k）- VE（i，j+1，l+k）]pqk+e-rtNXk公司=-N[VKE（i，j，l+k）- VE（i，j，l+k）]（1- p） qk公司≤e-rtNXk公司=-N（VKE（i，j+1，l+k）p+VE（i，j，l+k）（1- p） ）qk+- e-rtNXk公司=-N（VKE（N，j+1，l+k）p+VE（i，j，l+k）（1- p） ）qk≤VKE（i、j、l）- VE（i、j、l）。oCA（i- 1，j，l）≥ K- S（i）- 1，j，l）这意味着VKA（i- 1，j，l）=CKA（i- 1，j，l）和VA（i- 1，j，l）=CA（i- 1，j，l）和| VA（i- 1，j，l）- VKA（i- 1，j，l）|=CKA（i- 1，j，l）- CA（i- 1，j，l），我们在之前的案例中已经考虑过。定理4.4和引理6.3允许我们陈述定理4.5，这是一个类似于定理4.3的同类型李嘉图看跌期权的结果。

定理4.5的证明很简单。尽管我们能够为L和k指定精确的理论值，但在数值计算中，我们按照以下方式进行了这项工作。对于所有方案，我们考虑了以下条件：PNnk=k+1（N+1）ehkeQN（k）<ε，PNnk=l+1（Nehk+1）eQN（k）<ε。给定ε，我们认为η=ε2e（α-r） τSand我们从i=Nn开始计算Sei=（N+1）PNnk=iehkeQN（k）和Si=PNnk=ieQN（k）之和。当ei<η时，我们不断减小g i。第一个i我们计算得出，Sei≥ η是ourk。当Si<η时，我们不断减少i。我们遇到的第一个i是Si<ηNehk+1。对于卖出期权，给定ε，我们考虑η=ε2e-rτK（N+1），我们从i=Nn开始计算，和Si=PNnk=ieQN（K）。当Si<η时，我们不断减少i。我们遇到的第一个i是这样的Si≥ η是ourl=k。用这种方法在数值上确定最大整数l和k，从而使损失受任意ε的影响，这是一个O（n）过程，因此美国过程仍然是O（nln）。我们将我们的结果与Hilliard和Schwartz【6】、Amin【1】和Da i et al【4】所述的过程得到的结果进行比较，并与Merton的公式进行比较，以说明计算时间，以突出我们的程序提供的优势。表1和表2比较了使用不同方法获得的欧洲看跌期权价格以及相应的计算时间，以默顿系列公式（Merton seriesformu la）的值作为基准。表1中使用了不同数量的步骤，固定到期时间τ=1年。表2比较了不同到期日和方差σ的程序，n=400，γ=0，δ=0.05。Dai、HS和我们的程序中使用了所有计算N=3；在两个表中，r=0.08，d=0.00，泊松参数λ=5.0，当前值S=40。我们注意到Dai等人。

方法对σ值敏感，而我们的方法对到期时间的增加敏感。在表3和表4中，我们将我们的结果与Simonato【10】、Amin【1】、Hilliard和Schwartz【6】以及Dai等人【4】的欧盟ropean和美国看涨期权结果进行了比较。美国酪蛋白表4的基准是从Simonato[10]中报告的Kim积分方程中获得的p rice。