局部波动的阈值模型：杠杆和均值的证据

关于漂移的估计器，我们的MLE（参见（12））可以使用Ejay&Pigato（2018a）提出的本地和占用时间估计器来实现，该估计器不涉及波动性参数。S 股票价格X = 日志(S) 原木价格ξ = X - r 阈值的转移原木价格rr 阈值X, 原木价格m = 经验值(r) 阈值S, 价格σ-波动率X 在下面rσ+波动率X 在上面rb-漂移X 在下面rb+漂移X 在上面rμ-= b-+σ-增值率S 在下面mμ+= b++σ+增值率S 在上面md 延迟（仅DTRS）表1：GOBM和DTRS模型的符号。3.1事后波动率的估计在本节中，我们考虑（2）中模型给出的价格事后波动率的估计，当阈值r=日志(m) 是已知的。我们回顾了Lejay&Pigatode中的估计值和理论收敛结果ξ := X - r = 日志(S) - r 这是阈值为0级的OBM。数据。我们的观察结果是n+1每日数据{ξk}k=0,...,n具有ξk=日志(Sk)-r对于先验已知阈值r.我们的目标是(σ+, σ-) 从这些观察中。占用时间。阈值以下和阈值以上的职业时间在我们的研究中起着非中心作用。积极和消极的占用时间Q±T最新T 属于ξ 以及它们的近似值Q±(n) 是Q±T:=T±ξs≥0天s 和Q±(n) :=Tnni=1±ξi≥0。（8）波动率的估计量。我们写作ξ+:=最大值{ξ,}和ξ-:=-最小值{ξ,}, 的积极和消极部分ξ. 我们的估计值σ±(n)对于σ±为σ±(n):=[ξ±, ξ]nQ±(n), （9） 在哪里[ξ±, ξ]n:=ni=1(ξ±i- ξ±i-1)(ξi- ξi-1).这些估计器是已实现波动率估计器的自然推广（Barndorff-Nielsen&Shephard 2002）。提案2（Lejay&Pigato 2018b）。什么时候b+=b-= 0，对（σ-(n), σ+(n))是的一致估计量(σ-, σ+).

此外，还存在一对单位高斯随机变量(G-, G+) 独立于基本的布朗运动B（因此ξ) 因此√nQ-(n)nσ-(n)- σ-√nQ+(n)nσ+(n)- σ+=[ξ-, ξ]n- Q-(n)σ-Q-(n)[ξ+, ξ]n- Q+(n)σ+Q+(n)法律---→n→∞√2.σ-G-√2.σ+G+. （10） 处理漂移。命题2在高频数据上得到了实际证明ξk,n:= ξk/n, k = 0, . . . , n 在时间间隔[0，1]上。对于任何常量，使用缩放参数c >0,{c-1/2ξct}t≥0等于分配给ζ(c)SDEd的解决方案ζ(c)t= σ(ζ(c)t) dWt+√cb(ζ(c)t) dt, ζ(c)= c-1/2ξ（11） 对于布朗运动W. 具有c=n, 系数的估计问题{ξk}k=0,...,n与系数的高频估计相同{√nζ(n)k,n}k=0,...,n在时间范围[0，1]上。无漂移，观察{ξk,n}k=0,...,n或{ξk}k=0,...,n导致相同的估计。使用Girsanov定理，命题2针对高频区，即观测值{ζ(1)k,n}k=0,...,n（由于所有ζ(n)分布相等），在存在有界漂移时也有效。根据我们的数据，与事后波动率和数量相比，漂移非常小n 观测值的数量是有限的，因此我们仍然应用命题2.3.2漂移系数的估计b±r日志m已知（此问题在第3.3节中处理）。漂移的最大似然估计。继Lejay和Pigato（2018a）之后，我们引入了b±数量β±(T ) := ±ξ±T- ξ±- LT/2.Q±T(ξ)和β±(n) := ±ξ±T- ξ±- L(n)/2Q±(n), （12） 在哪里LT是的对称本地时间ξ在0 whileL时(n) 是由L定义的离散本地时间(n) :=n-1.i=0ξiξi+1<0|ξi+1|.L的表达式(n) 和β±(n) 不涉及σ±.

此外，β±(n) 我一定会β±(T ) 像n 转到“实体”。当系数为常数时，如Black-Scholes模型中的原木价格，其中dζt=σdBt+bdt, 漂移的一致估计b是b(T) = (ζT-ζ)/T.我们的估计量（12）推广了这个公式；由于系数的不连续性，出现了局部时间项。渐近性质。漂移估计器应长期研究。的渐近性质β±(T) 像T → ∞, 因此β±(n), 依赖于Q±T在（8）中。我们在表2中总结了仅取决于b+和b-.b+< 0b+= 0b+> 0b-> 0遍历（E）null递归（N1）瞬态（T0）b-= 0零重复（N1）零重复（N0）瞬态（T0）b-< 0瞬态（T0）瞬态（T0）瞬态（T1）表2：状态ξ 根据各自的标志(b-, b+).遍历情况，对应于均值回复过程，当然是最有利的情况。在瞬态情况下，估计量可能不会收敛。WEF用于详细说明）。遍历情形是均值回复情形。在这种情况下(β-(T), β+(T))几乎肯定会收敛到(b-, b+), 以速度√T .T0Ifb+>0,b-≥0，那么β+(T) 收敛到b+以速度√T. 估计员β-(T) 属于b-不收敛于b-然后就没有意义了。案件b-<0,b+≤ 0按对称处理。T1Ifb+>0和b-<0，则概率为p := σ-b+/(σ+b-+σ-b+),β+(T)收敛到b+以速度√T, 而概率为1-p,β-(T) 收敛到b-以速度√T.

这种渐近行为是由于在给定的随机时间之后，过程不再超过阈值。无所谓T >0的分发√T(β-(T), β+(T)) 不依赖于T.然后β±(T ) 是一致的估计量b±= 0.N1Ifb+= 0,b->0，那么(β-(T), β+(T)) 几乎肯定会收敛到(b-, b+);β-(T) 收敛到b-以速度T1/4和β+(T) 收敛到b+带速度√T .3.3阈值的估计上述估计值σ和b假设值m已知阈值的。继Tong（1983）（另见Priestley 1988，第79页）之后，我们估计m使用依赖于Akaike信息思想的模型选择原则，我们不一定有封闭形式的表达式，我们将需要使用近似。密度近似值。给定阈值r以及波动率和漂移函数x → σ(x) 和x → b(x), 我们首先考虑密度y →p(Δt, x, y;r, σ, b) 属于Xt+Δt鉴于Xt=x（过程是时间均匀的，因此ptt针对的sionp众所周知（Keilson&Wellner，1978）。在出现漂移时，如果不难处理，表达可能会变得繁琐（Lejay，Len^otre&Pichot，2017）。然而p 可通过相关的格林函数在短时间内进行近似，易于计算（见Len^otre 2015，第2章）。或者，我们假设t, ttpYt+Δt+b(x)Δt鉴于Yt=x, 哪里Y具有相同的波动性X然而却有着惊人的倾向。在实现中，我们使用p我们表示为p(t, x, ·; r, σ, b).选择阈值。选择“最佳”阈值的程序是1/We fixr(1), . . . , r(k)观察值范围内的可能阈值{Xti}i=0,...,T原木价格的X.2/对于每个阈值r(j), 我们估计漂移和波动率σ(j)和b(j).3/我们计算近似对数似然度(j) =T -1.i=0日志p(t, Xti, Xti+1.r(j),σ(j),b(j)).

（13） 4/我们选择作为阈值r 价值观r(~)其中▄ := 参数最小值j=1.k对数Lik(j).与其他型号的比较。在基于AIC的模型选择中，最好的模型是对数似然校正值最小的模型，该值取决于参数的数量。这里，参数的数量固定为4，因此仅使用对数可能性的近似值是足够的。Meng等人（2013年）使用了类似的程序，但通过Monte Carlo估计了密度，这很耗时。相反，我们的程序避免了任何模拟步骤。关于SETAR模型的估计（Tong 1983；Priestley 1988），以及下文所示的DTRS模型中的一个，仅基于最小平方（Mota&Esquível 2014），没有延迟，因此模型的维数减少了1.4倍，我们现在将我们的估计值应用于经验财务数据。通过使用相同的数据，我们将我们的模型与Mota&Esquível（2014）的延迟和阈值制度转换模型（DTRS）进行了对比。我们将很快开始本节，介绍DTRSmodel。4.1延迟和阈值机制切换模型Mota&Esquível（2014）介绍了DTR。首先，他们考虑两组（功能）参数(σ, μ) 以及(σ, μ), 以及Stocastic微分方程d的微分解St= μJt(t, St) dt + σJt(t, St) dBt（14） 对于布朗运动B, 哪里J是一个非预期过程，其值在指数集{1，2}中。的规则J切换基于阈值m, 延迟d还有一个小参数ε >0、假设S≤ m和J= 1、工艺根据参数变化(σ, μ) 直到达到水平m+ε在（随机）时间τ.

然后它根据参数进行演化(σ, μ) 最新τ+d切换到参数的位置(σ, μ) （即Jτ+d= 2） 直到达到水平m当时τ.然后在延迟后再次切换到状态1d (Jτ+d= 1） 等等。εS可在严格的基础上建造（Esquível&Mota 2014）。关于模拟或估计，ε没有实际意义S仅在离散时间观察或模拟。AAPL苹果ADBE AdobeAMZN亚马逊C花旗集团CA CSCO CiscoGOOG谷歌惠普IBM JPM JP MorganKO可口可乐McDonaldsMON Monsanto MSFT MicrosoftMSI Motorola NYT纽约时报PCG PG&E PFE P fizerpg P&G PM Philip Morrisbux StarbucksTable 3：股票名称的缩写（在雅虎财经中）。更具体地说，Mota&Esquível（2014）中考虑的DTRS模型假设μi和σi(i = 1、2）是σ(t, x) = σ-· x 如果x < m,σ(t, x) = σ+· x 如果x ≥ m和μ(t, x) = μ-· x 如果x < m,μ(t, x) = μ+· x 如果x ≥ m（15） 对于某些常量σ±>0和μ±. 因此，在每种制度下，价格S遵循Black-Scholes类型的动力学。我们还定义b±=μ±- σ±/2以便b±是原木价格漂移的可能值。Mota&Esquível（2014）采用了SETAR的估算方法（Tong 1983），提出了基于最小二乘法的参数一致性估算程序。DTR的结果。该估值器适用于2005年1月至2009年11月纽约证券交易所21只股票的日对数价格（见表3）。在表4中，我们报告了σ±,m,μ±（或b±）和d发现于Mota&Esquível（2014）。这些值必须与表5中的值进行比较。对于大多数数据，都观察到了杠杆效应：低于欧洲看涨期权的事后波动率也使用蒙特卡罗程序计算。

结果价格与市场价格一致。DTRS模型与GOBM之间的比较。在精神上，GOBMDelay阈值制度转换（DTRS）（Mota&Esquível 2014）指数d m [$] σ-[%] σ+[%] μ-[%] μ+[%] b-[%] b+[%]标志SAAPL 8 173.5 54.1 45.6 57.5-112.4 42.8 -122.7 +-ADBE 1 41.5 44.0 25.1 31.8-74.3 21.9 -77.4 +-AMZN 1 77.7 51.4 45.4 54.2-462.2 41.1 -472.5 +-C 2 43.1 120.6 16.8 39.8-3.5-32.8-5--CA 1 22.1 53.0 24.6 44.4-23.2 30.2 -26.2 +-CSCO 1 16.3 56.0 31.3 313.5 0.0 297.6-5.0 +-GOOG 13 642.0 37.0 40.2 40.6-148.7 33.8 -156.7 +-HP 1 46.9 39.2 27.1 42.3-78.9 34.8 -82.4 +-IBM 1 124.3 25.1 20.3 12.9-93.5 9.6 -95.5 +-JPM 2 25.0 131.3 47.5 715.4-0.3 629.2 -11.6 +-KO 1 10.0 78.6 29.1 398.2-5.3 367.4 -9.6 +-MCD 1 54.6 22.4 25.7 38.8-29.5 36.3 -32.8 +-周一112.0 47.0 49.4 57.5-145.4 46.6 -157.5 +-MSFT 1 22.9 54.0 25.1 81.1 6.0 66.5 3.0++MSI 14 21.9 49.5 28.4 7.8-47.9-4.3-51.9--纽约时报4 32.5 49.5 17.3-9.8-89.5-22.2-91--PCG 6 35.3 49.4 21.6 170.1-4.0 158.0 -6.6 +-PFE 2 16.7 40.2 24.0 67.0-14.6 59.0 -17.4 +-第1页61.9 20.3 20.2 19.2-28.0 17.1 -30.0 +-PM 1 42.0 44.4 31.9 121.2-40.3 111.4 -45.4 +-SBUX 15 33.6 45.4 26.0 11.6-39.8 1.3 -43.1 +-表4:Mota&Esquível（2014）根据2005年1月至2009年11月的每日数据，对DTRS模型的估计每日参数（以每年%为单位）以及表1中给出的符号（在原表中，挥发度和漂移以每天%为单位）。最后一列符号包含b-, b+（a）+- 表示平均逆转效应）。这涉及到一个非常薄的层，用于避免很多即时开关。Hottovy&Stechmann（2015）讨论了当层宽度减小到0时过程的渐近行为。GOBM有五个参数，而DTRS有六个参数，因为它还涉及延迟。

对于大多数数据，DTR中的估计延迟为d表示自相关性缓慢下降，或长期记忆效应。然而，对于longdelay来说，如何区分杠杆效应和危机等外部参数导致的突然变化？延迟的存在增加了估算过程中出现不符合规格的可能性。4.2 GOBMIn参数估计表5，我们估计了与DTR相同库存上的GOBM参数。虽然我们使用了与Mota&Esquível（2014）相同的来源（Yahoo Finance），但KO似乎是一个与本文不同的时间序列。挥发性(σ-, σ+) 这两种模式都非常一致。此外σ-> σ+对于所有股票，唯一的例外是两种型号的MCD和DTRS型号的GOOG。在后一种情况下，σ-已接近σ+. 各自的迹象b-和b+与Mota&Esquível（2014）的结果一致，并表明存在均值回归效应(b->0,b+<0）对于大多数股票价格。b-b+小型(n=) 考虑的期限仅为五年，阈值不合理，事后波动率较高，漂移向上。21只股票中有12只股票的阈值估计值非常一致。5是否存在杠杆效应？我们的目的是测试σ+=σ-什么时候b-=b-= 0（每日数据，b-b+σ-σ+(H) （无效假设）σ-= σ+;(H) （替代假设）σ-= σ+.5.1置信域的构造命题2的渐近结果（10）重写为σ-(n)σ+(n)≈σ-σ+-√nMTG带MT=√2.Tσ-/Q-T0σ+/Q+T, （16） 其中g~ N（0，Id）是独立于观测过程的高斯向量ξ.（16）中的极限项涉及双重随机性，并且MT是的可测量函数ξ. 我们近似MTbyM公司(n) :=√2.Tσ-(n)/Q-(n) 00 σ+(n)/Q+(n). （17） 由于高斯矢量是各向同性的，我们定义了一个置信水平α数量qαbyP[| G |≤ qα] = 1.- α.

由于| G |索引，该数量易于计算m [$] σ-[%] σ+[%] μ-[%] μ+[%] b-[%] b+[%]标志SAAPL 119.4 59.86 40.48 43.06 19.66 25.14 11.46++ADBE 46.1 46.79 81.37 13.93-136.87 2.98 -169.97 +-AMZN 39.7 38.71 54.57 36.72 36.59 29.23 21.70++C 40.1 118.58 17.35-37.30-7.61-107.60-9.11--CA 21.5 51.27 25.54 40.35-10.56 27.21 -13.82 +-CSCO 16.9 60.48 30.70 156.08 0.05 137.79-4.67 +-GOOG 373.8 44.69 33.03 86.76 6.06 76.77 0.60++惠普57.6 66.18 41.09 53.51-125.14 31.61 -133.58 +-IBM 115.2 26.04 20.21 17.86-20.97 14.47 -23.01 +-JPM 32.5130.3241.54233.41-2.13 148.48 -10.76 +-KO 47.8 23.70 17.88 11.75 5.72 8.94 4.12++MCD 51.4 20.23 28.02 29.42 3.54 27.37-0.39 +-周一85.8 52.71 55.80 63.67-99.35 49.78 -114.92 +-MSFT 23.2 51.20 25.90 74.67-6.49 61.56 -9.84 +-MSI 14.2 66.44 25.99-7.71-1.10-29.79-4.48--纽约时报16.0 78.46 25.85-7.40-25.26-38.18-28.60--PCG 33.3 127.09 23.29 504.83 4.24 424.06 1.53++PFE 19.1 39.68 20.55 11.92-7.54 4.05 -9.65 +-第51.9页29.62 20.12 39.25 3.14 34.87 1.11++PM 41.9 45.37 30.81 141.64-45.60 131.35 -50.35 +-SBUX 13.0 71.88 46.51 49.37-13.51 23.54 -24.33 +-表5:2005年1月至2009年11月每日数据中GOBM模型的估计参数，以每年百分比表示，表1中给出了符号。最后一列符号包含b-, b+（a）+- 表示平均逆转效应）。遵循aχ具有两个自由度的分布。我们的信心水平区域α 是省略号Rα=σ-(n)σ+(n)+qα√nM级(n)cos公司(θ)罪恶(θ)θ ∈ [0, 2π).

（18） 我们的决策规则是：拒绝无效假设(H) 如果对角线s : [0, +∞) → (s, s) 不交叉Rα.5.2数值模拟我们进行数值模拟，以检查σ-, σ+, rσ+σ-Nσ-σ+μ-μ+m设置1σ+<< σ-80%/年30%/年0集2σ+≈ σ-50%/年30%/年0 0 1第3组σ+= σ-30%/年30%/年0 0 1S= 表6：用于模拟的年度参数集。σ+<< σ-σ+≈ σ-σ+= σ-81%81%14%表7：拒绝无效假设的比例(H) “σ+=σ-” 表6中三组参数的置信度百分比，每组模拟。表6给出的三组参数的五年每日数据路径。估计值的密度σ-,σ+和r如图1所示。σ+σ-然后观察到参数的良好一致性σ-, σ+和阈值。估计μ+和μ-, 此处未显示，预计会出现较大差异，因为μ+=μ-= 0该进程仅为null Recurtive。Lejay&Pigato（2018a）对此进行了详细讨论。5.3 2005-2009年数据的实证结果由于漂移很小，因此不应影响该测试。因此，我们在本节中假设b-= b+= 0Hσ-σ+除PCG外的所有股票均被拒绝，这意味着σ-=σ+应考虑21只股票中的20只。标准化占用时间O+对于PCG，接近99%。这可以解释关联信任区域的拉长形状。在图3中，我们绘制了近似的log likelihoodLog Lik(i) 反对r(i)=日志m(i)三只股票。我们看到了那个日志(i) 可能有一个主峰（对于CSCO），两个主峰（对于GOOG）或“FL”，对于PCG。陡峭的峰值意味着阈值水平应该取在哪里是明确的，并且程序更稳定。