局部波动的阈值模型：杠杆和均值的证据

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英文标题：
《A threshold model for local volatility: evidence of leverage and mean
  reversion effects on historical data》
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作者：
Antoine Lejay (TOSCA, IECL), Paolo Pigato (WIAS)
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In financial markets, low prices are generally associated with high volatilities and vice-versa, this well known stylized fact usually being referred to as leverage effect. We propose a local volatility model, given by a stochastic differential equation with piecewise constant coefficients, which accounts of leverage and mean-reversion effects in the dynamics of the prices. This model exhibits a regime switch in the dynamics accordingly to a certain threshold. It can be seen as a continuous-time version of the Self-Exciting Threshold Autoregressive (SETAR) model. We propose an estimation procedure for the volatility and drift coefficients as well as for the threshold level. Parameters estimated on the daily prices of 348 stocks of NYSE and S\\&P 500, on different time windows, show consistent empirical evidence for leverageeffects. Mean-reversion effects are also detected, most markedly in crisis periods.
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中文摘要：
在金融市场中，低价格通常与高波动性相关，反之亦然，这一众所周知的程式化事实通常被称为杠杆效应。我们提出了一个局部波动率模型，由一个具有分段常数系数的随机微分方程给出，该模型考虑了价格动态中的杠杆效应和均值回归效应。该模型在一定阈值下表现出动态的状态切换。它可以看作是自激阈值自回归（SETAR）模型的连续时间版本。我们提出了波动率和漂移系数以及阈值水平的估计方法。纽约证券交易所和标准普尔500指数的348只股票在不同时间窗口的日价格估计参数显示了杠杆效应的一致经验证据。平均回归效应也被检测到，在危机时期最为显著。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> A_threshold_model_for_local_volatility:_evidence_of_leverage_and_mean_reversion_.pdf (926.32 KB)

2022-6-2 19:36:13 上传

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关键词：Applications Differential coefficients Quantitative epidemiology

局部波动的阈值模型：杠杆和均值反转对历史数据影响的证据Antoine Lejay*和Paolo Pigato+2019年2月15日，反之亦然，这一众所周知的程式化事实通常被称为杠杆效应。我们提出了一个局部波动模型，由一个具有分段常数系数的随机微分方程给出，该模型考虑了价格动态中的杠杆效应和均值反转效应。该模型在一定阈值下表现出动态的状态切换。它可以看作是自激阈值自回归（SETAR）模型的连续时间版本。我们提出了波动率和漂移系数以及阈值水平的估计方法。根据纽约证券交易所和标准普尔500指数351只股票在不同时间窗口的每日价格估计的参数显示了杠杆效应的一致经验证据。还检测到均值回归效应，在危机时期最为显著。关键词。杠杆效应；已实现波动率；均值回归；状态切换；参数估计；阈值差异；股票价格模型*洛林大学，IECL，UMR 7502，Vandoeuvre-lès-Nancy，F-54600，FranceCNRS，IECL，UMR 7502，Vandoeuvre-lès-Nancy，F-54600，FranceE邮件：Antoine。Lejay@univ-洛林。fr+Weierstrass应用分析和随机研究所，Mohrenstrasse 39，柏林，10117，德国电子邮件：paolo。pigato@wias-柏林。dearXiv:1712.08329v4【q-fin.CP】1991年2月22日简介尽管Black-Scholes模型在资产定价动态方面占主导地位，但其在反映市场中观察到的所有现象方面的不足已得到充分记录，并受到许多研究的影响。

一些与Black-Scholes模型不一致的程式化事实包括对数收益的非正态性、不对称性、重尾、变化的条件波动率和波动率聚类（Cont 2001）。Regimeswitching也一直被观察到（Ang&Timmermann 2012；Salhi et al.2016）。此外，一些资产和指数表现出均值回复效应（参见Meng et al.2013；Monoyios&Sarno 2002；Lo&MacKinlay 1988；Poterba&Summers 1988；Spierdijk、Bikker&Hoek 2012）。仅考虑离散时间的资产价格{kΔt}k=0,1,2,..., 日志返回rt=日志(St+1/St) 布莱克-斯科尔斯模型{St}t≥0只不过是简单的时间序列rt+1=μ -σΔt + σ√Δtεt具有εt~ N（0，1），独立。（1） 已经提出了几种替代（1）的模型，以考虑这些类型化的事实。在最受欢迎的模型中，ARCH和GARCHmodels及其众多变体再现了波动性聚类效应（Engle、Focardi和Fabozzi，2012）。在本文中，我们关注杠杆效应，这一术语指的是价格与波动性之间的负相关。长期以来，价格越低，波动性越大。最初的解释是用Black（1976）和Christie（1982）给出的。提出了诸如恒定弹性波动率（CEV）等过程来解释这些现象（Christie 1982）。杠杆效应的一个常见经济学解释是，当资产价格下降时，公司债务与股权价值的比率会变大，因此波动性会增加；另一种解释是，投资者在经历巨大的负回报后，往往比经历巨大的正回报后更加紧张；无论如何，杠杆效应的起源仍有待讨论（见e.g.Hens&Steude 2009）。20世纪80年代初，H。

Tong提出了一类广泛的时间序列，即阈值自回归模型（TAR），具有再现周期数据的非线性效应（Tong1983；Tong 2011；Tong 2015）。此类包含隐马尔可夫链（HMM）和自激阈值自回归模型（SETAR），产生了广泛的行为。HMM模型依赖于时间分割（它们有利于危机检测），而SETAR模型依赖于空间分割，当价格低于或高于阈值时，会发生制度变化。SETAR类型的时间序列通过定义一个阈值来捕捉杠杆效应和均值回复效应，该阈值将两种状态分开（高/低波动性、正/负波动性）。与HMM等模型不同，没有使用外部或潜在的随机性。Pope&Paudyal 1994；Chen、So和Liu，2011年；Meng等人，2013年；Siu 2016；Rabemthreshold随机波动率模型（Xu 2012；So，Li&Lam 2002；Chen，Liu&So）以及心理障碍等其他因素（Jang et al.2015；Kolb2016）导致了阈值模型。当时间步长为0时，连续时间模型可视为时间序列的极限。与时间序列相比，它们有一些优势，例如允许不规则采样、使用随机微积分工具以及可能的分析或半分析，等。还针对利率提出了Vasicek和Cox-Ingersoll-Ross连续时间模型的自激变体（Decamps、Goovaerts&Schoutensdi ffusion，Su&Chan（2015）和Su&Chan（2017）研究了利率建模的应用）。

在Brockwell&Williams（1997）中，对一种称为延迟阈值制度转换模型（DTRS）的连续时间等效模型进行了测试。股票发现了波动率的制度变化。论文的贡献。我们提出了几何振荡布朗运动（GOBM），这是一种具有分段常数波动和漂移的阈值局部波动模型，如Gairat&Shcherbakov（2016）所述。该模型是Lipton&Sepp（2011）的分层波动率模型的一个实例。我们强调，GOBM即利润比Mota&Esquível（2014）的DTR更容易操纵，尽管具有类似的特征。出于同样的原因，市场在ZF管制下是完整的。GOBM也可以通过标准Euler格式进行模拟（Yan2002；Chan&Stramer 1998）。2016年也可以进行期权估值；Pigato 2017年；Decamps，De Schepper&Goovaerts 2004），以及相关的Sturm Liouville理论（Lipton&Sepp 2011）。在GOBM模型中，固定的阈值将价格分为两种制度。二者都σ-波动率低于阈值，σ+对于高于阈值的波动率，以及b-b+σ-> σ+. 在这种情况下，当价格较低时，波动性增加，这与经验金融数据上观察到的情况一致。正如Mota&Esquível（2014）所述，动态有两种机制，一种对应于牛市，价格高于阈值且波动性低，另一种对应于熊市，价格低于阈值且波动性高。

从这个意义上讲，Ankirchner、Blanchet Scalliet&Jeanblanc（2017）给出了从不同角度来看的模型显示，其中表明GOBM描述了与经理的最佳战略相对应的价格动态，经理可以在风格化的设置中控制公司价值的波动性，当valueprocess的性能优于参考索引时获得奖金。在描述和激励该模型之后，我们考虑从历史股价的离散观测值估计波动率、漂移和阈值。Mota&Esquível（2014）、Esquível&Mota（2014）和Brockwell&Williams（1997）中使用的估算程序均源自为SETAR时间序列设计的估算程序。在这里，我们直接处理这个问题，提出了一个基于随机演算的估计过程。波动率系数的估计器受到综合波动率/已实现方差估计器的启发；关于其理论分析，请读者参考Lejay&Pigato（2018b）。我们的估计器可以直接实现，不同于MLE，MLE很难实现，因为GOBM密度没有简单的闭合形式。另一方面，漂移系数的估计量是最大似然（MLE）估计量。它的实现也很简单。Lejay和Pigato（2018a）研究了其渐近行为。在本文中，我们讨论了有关估计质量的几个问题，并基于Akaikeinformation原理提出了一种估计阈值的方法。此外，我们还提供了一个假设检验来确定波动率是否为常数。我们通过模拟数据的数值实验来测试这种方法的性能。这些测试是决定性的。最后，我们来看一下经验财务数据。

我们首先根据与Mota&Esquível（2014）相同的数据集对我们的模型进行基准测试：纽约证券交易所的21个股票价格，时间窗口为2005-2009年。我们发现了类似的结果：特别是σ-> σ+b->和b+<0). 然后，我们将我们的估计值应用于标准普尔500指数的三个独立的五年windows 2003的经验时间序列-2007, 2008-2012年和-2017年，再次发现杠杆效应的一致证据。更具体地说，我们可以说，基于上述假设检验和估计数据σ-σ+, 杠杆效应在2008年尤为显著-2012年，很可能是因为它包含了2008年的金融危机。均值回复行为在2008年也可以很清楚地检测到-2012年期间，在--b-b+不显示主要标志。这似乎与Spierdijk、Bikker&Hoek（2012年）的结论一致，即“在主要经济和政治事件导致的高度经济不确定性时期，股票恢复其基本价值的速度较高”。关于本结论的经济解释，我们参考了同一页和第6节。最后，我们注意到，尽管GOBM极其简单，参数数量有限，但它再现了金融市场的显著风格化事实，如杠杆效应和均值回复特性。此外，将上述估值器应用于经验数据证实了这些特征在金融指数动态中的存在。概述第2节介绍了GOBM。在第3节中，我们考虑了Mota&Esquível（2014）引入的波动率估计程序（第3.1节）、漂移（第3.2节）和TRS模型（第4.1节），通过比较假设检验来确定是否存在杠杆效应。

最后，在第6节中，我们将我们的估计值应用于标准普尔500指数连续五年的股价，第二个周期包含2008年的金融危机。本文在第7.2节局部波动性阈值模型中得出了一个总体结论。几何振荡布朗运动（GOBM）是局部波动模型的解St= x +tσ(Ss)SsdBs+tμ(Ss)Ssds, （2） 在哪里B 是布朗运动，对于阈值m ∈ Rσ(x) =σ+如果x ≥ m,σ-如果x < m和μ(x) =μ+如果x ≥ m,μ-如果x < m.（3） 我们使用解决方案S（2）作为资产价格的模型。原木价格X = 日志(S) 满足SDEXt= x +tσ(Xs) dBs+tb(Xs) ds, （4） 使用σ(x) =σ+如果x ≥ r,σ-如果x < r和b(x) =b+= μ+- σ+/2如果x ≥ r,b-= μ-- σ-/2如果x < r（5） 对于阈值r=日志(m). 请注意（3）和（5）中的符号有轻微滥用，这是由于取对数时阈值的值发生了变化。当漂移b= 0和r= 0,X被称为振荡布朗运动（OBM，Keilson&Wellner（1978）），即使存在两个值差和阈值，我们也会保留这个名称r = 0、何时σ+=σ-和b+=b-, 价格遵循布莱克-斯科尔斯模型。通过扩展，我们仍然将解决方案称为（4）GOBM。b+<b->这个过程是遍历和均值回复的。趋向平衡的收敛与Vasiceck和Heston模型中漂移为线性的收敛不同。存在性和唯一性。（4） Le Gall（1984）研究的一类具有不连续系数的过程。

特别是，（4）存在唯一的强解，因此（2）存在唯一的强解。（几何）-OBM可以使用随机分析的标准工具轻松操作，有时依赖It^o-Tanaka公式而不是Sole It^o公式（参见例如，'Etore 2006）。市场属性。与某些政权转换模型不同，不存在导致不完全市场的隐藏随机性，同时影响一些政权性质。提案1。假设回报过程的GOBM模型为康斯坦特里斯克自由利率，则市场是可行且完整的。证据利用Le Gall（1984）的结果，Girsanov定理可应用于原木价格方程。因此，对于Black-Scholes模型，可以通过消除漂移将折扣原木价格降低为鞅。因此，（Jeanblanc，Yor&Chesney 2009，定理2.1.5.4，第89页）。由于任何绝对连续的度量都只能通过Girsanovtransform（LeGall 1984）实现，因此风险中性度量是唯一的，这意味着市场是完整的。备注1。a ffne变换Φ(x) =x/√σ-x<m+x/√σ+x>m转换日志价格Xt进入解决方案Y 与当地时间一起发送至SDEYt= Φ(X) + Bt+tb+σ+x>0(Ys) ds +tb-σ-x<0(Ys) ds + κLt(Y ), （6） 在哪里(Lt(Y))t≥0是的本地时间Y在位置0和κ= (√σ--√σ+)/(√σ-+√σ+). 式（6）为漂移斜布朗运动（SBM）。本地时间部分不能通过Girsanov变换移除（LeGall 1984）。对于SBM，套利可能存在，如Rossello（2012）所示。通过考虑d的平均价格解，可以将GOBM推广Xt=x+σ(Xt) dBt+b(Xt) dt+ηdLrt(X), 哪里Lr(X) 是的当地时间X在阈值处r. 系数的影响η ∈(-,1） 将是“向上推”（如果η >0）或向下（如果η <1） 价格与某种方向性可预测性影响相对应（Alvarez，Luis&Salminen，2017）。

然而，考虑到η = 0彻底改变了经典SDE的市场结构。蒙特卡罗模拟。有时是戈壁kT/n, k = 0, 1, 2, . . . , n 易于模拟SkT /n=经验值(XkT /n) 通过递归方程（Chan&Stramer1998；Yan 2002）X(k+1)Tn= XkTn+TnσXkTnηk+ bXkTnTn, ηk~ N（0，1）独立。（7） 3通过观察股票价格估计参数GOBMX由我们愿意估计的五个参数（波动率、漂移和阈值，见表1）确定。在第3.1节和第3.2节中，我们考虑了(σ±, b±）对于固定阈值r, 通过模型选择原则考虑对成本的估计。在实践中。我们强调σ±可以在不了解漂移的情况下实现，反之亦然b±不需要了解σ±待实施。的估计量σ±是综合挥发性类型估计器，易于实现，并在SDE框架内广泛研究。也可以基于离散观测值对波动率使用极大似然估计，但这需要明确的过渡密度表达式，而这对于GOBM非常重要。