局部波动的阈值模型：杠杆和均值的证据

在这些情况下，σ-可能与σ+杠杆效应发生。20% 40% 60% 80% 100%0510σ-20% 40% 60%0102020% 25% 30% 35% 40%010203020% 25% 30% 35% 40%02040σ+20% 25% 30% 35% 40%01020304020% 25% 30% 35% 40%01020300.8 1 1.20102030σ+ σ+m0.8 1 1.20102030σ+≈ σ-0 2 400.20.40.60.8σ+= σ-图1：σ-σ+m对于表6中的三组参数，每组进行模拟。5.4与非参数估计的比较非参数估计对潜在波动率和漂移系数不作任何假设（Kutoyants 2004；Iacus 2008）。Nadaraya Watson估值器为我们提供了这样一个估值器（Iacus 2008）。然后，我们将我们的估计与原木价格系数的非参数估计进行图形化比较。为此，我们使用theRpackagesde（Iacus 2008）。在图4中，我们展示了图3中已经使用的三种股票的结果。Lejay&Pigato（2017）提供了更多数据。大多数股票似乎表现出与前一种股票相似的行为。这强化了一种观点，即制度转换对大多数股票都适用。0%50%100%150%20%30%40%50%60%GOOGHPAAPLADBECACKOCSCOIBMJPMMCDSBUXPMPGPFE⊕PCGNYTMSFTMSIMONAMZNσ-σ+图2:(σ-, σ+): 每个点是库存的价值(σ-, σ+)-飞机95%的置信区域是(σ-, σ+)-围绕点平面。标记的点⊕是那些假设σ-=σ+未被拒绝。以+标记的点是拒绝此假设的点。6标准普尔500指数股票的杠杆效应和均值回归效应我们将我们的估计值应用于标准普尔500指数股票在三个五年期内的价格：2003年1月1日至2007年12月31日、2008年1月1日至2012年12月31日和2013年1月1日至2017年12月31日。

第二阶段是2008年的金融危机。5%3 3.5296029803003020CSCO5.5 6 6.5285028602880GOOG3.4 3.6 3.833503400PCG图3：对数可能性（近似）对数可能性(i) 由（13）针对可能阈值给出r(i)=日志m(i)对于股票CSCO、GOOG和r(i)imizesLog Lik公司(i), 因此r. 水平虚线（即σ-= σ+和b-= b+).3 3.540%60%5.5 6 6.530%40%50%3.4 3.6 3.8 40%50%100%150%3 3.50%200%400%CSCO5.5 6 6.5-100%0%100%200%300%GOOG3.4 3.6 3.8 40%1000%2000%PCGσ±b±图4：非参数估计σ和b对于stocksCSCO、GOOG和PCG的原木价格，使用Nadaraya Watson估值器。垂直虚线表示阈值的选择。水平线表示(σ-, σ+) （顶部）和(b-, b+) （底部）。排除旨在避免异常值。我们绘制了(σ-, σ+) 以及(b-, b+) 如图5所示。在2008-2012年期间，包括2008年金融危机在内，股票价格σ-/σ+0%50%100%150%200%0%20%40%60%80%100%1比率=2比率=3比率=429%65%5σ-σ+0%50%100%150%200%0%20%40%60%80%100%1比率=2比率=3比率=45%46%46σ-0%50%100%150%200%0%20%40%60%80%100%1比率=2比率=3比率=415%83%2σ-0% 100% 200% 300%-200%-100%0%100%200%55%42%b-b+0%100%200%300%-200%-100%0%100%31%67%b-0% 100% 200% 300%-200%-100%0%48%48%b-2003年1月1日至2007年12月31日701/2008年1月1日至2012年12月31日201/2013年1月1日至2017年12月31日图5：年估计值(σ-, σ+) 以及(b-, b+) 标准普尔500指数股票的每日收盘价。方框中的百分比表示由灰色实线分隔的每个地区的股票比例。期间，假设检验“σ-=σ+” 所有库存均被拒绝。

对于股票。这些发现似乎与A"it-Sahalia，Fan&Li（2013）一致，后者通过2004年1月1日至2007年12月12日期间的500家公司之间的相关性以聚合形式显示杠杆效应。现在让我们看看漂移系数。首先，我们注意到b-几乎总是积极的，但是b+可以是正的，也可以是负的。2008-2012年期间，包括2008年金融危机，224只股票表现出均值回复行为(b->, b+<0），而2003-2007年期间为140（分别为161）（分别为20132017）。对这些结果的一种可能解释是，在不涉及金融危机的时期，价格往往会随着时间的推移而上涨，因此估计的b+下降和上升，从而在大多数情况下给出b+<0,b->这似乎与第4节和Mota&Esquível（2014）的结果一致。让我们在此报告Spierdijk、Bikker和Hoek（2012）的类似发现，以及同一篇论文中给出的一种经济解释：“我们的发现表明，预期回报偏离了其长期价值的不确定性；比更平静的时期要快得多。当经济不确定性消失时，预期回报可能会显示出大幅增加的平均回归速度。金融和ZF机构为恢复金融稳定而采取的措施和干预也可能加快调整过程党卫军。“在图6中，我们通过划分日志阈值来绘制规范化日志阈值r下一个。我们观察到，该比率在每个股票和每个时期的0.8到1.2之间。

2013-2017年期间的标准化对数阈值在统计上高于2008-2012年期间。0.8 0.9 1 1.1 1.20.80.911.11.2log-thresholdmean log Price for 2003-2007 log-thresholdmean log Price for 2008-20120.8 0.9 1 1.1 1 1.20.80.911.11.2log-thresholdmean log Price for 2008-2012log-thresholdmean log Price for 2013-2017图6：r时期。实线为y = x.这些事实似乎表明，与危机时期相比，在较低的门槛下，更可能发生更强大的杠杆效应。7结论金融杠杆效应一直是大量文献的主题，有许多实证证据。本文研究的几何振荡布朗运动（GOBM）模拟了这种杠杆效应。该模型可以解释为自激阈值自回归模型（SETAR）的连续时间版本。我们已经在真实数据上证明了其有效性，并展示了有利于杠杆效应的证据。与Pierdijk、Bikker&Hoek（2012）的观点一致，我们在金融危机期间检测到大多数股票的均值回复行为，在不包含重大事件的时期则更少。我们的估计与M的估计一致。Esquível和P.Mota基于最小二乘法。我们的模型很简单，并不旨在捕捉其他程式化的事实。它可以作为更复杂模型的基本构造块。我们的理由是，GOBM确实易于处理，同时比Black Scholes模型更灵活：o评估程序设置简单。o模拟很容易执行。o市场是完整的。o期权定价可以通过分析或半分析方法进行，而不依赖蒙特卡罗模拟。此外，我们的模型和估计程序还可以用于其他目的。在该模型中，杠杆效应是空间分割的结果，其中价格动态根据阈值变化。

同样的估计程序也可以在短时间窗口中应用，以检测剧烈变化，从而反映时间变化，就像涉及隐马尔可夫模型的状态切换模型一样。GOBM的另一个可能应用，以及更普遍的具有不连续性的局部波动性，将在更复杂的模型中引入此类特征。我们在本文中展示的特性及其在隐含波动率中产生极端偏斜的能力（Pigato 2017）表明，这种不连续性可能是在其他模型中引入不对称和区域机制的一种可行方式（Decamps，Goovaerts&Schoutens 2006）。确认TSP。Pigato感谢ERC通过CoG683164赠款提供的财政支持。作者感谢匿名评论者提出的有用建议。参考高频偏差来源”。摘自：《金融经济学杂志》109，第224-249页。Akaike，H.（1973年）。“信息论与最大似然原理的推广”。第二届信息论国际研讨会（Tsahkadsor，1971）。Akadémiai Kiadó，布达佩斯，第267-281页。Alvarez，E.，H.R.Luis&Paavo Salminen（2017年）。“存在方向可预测性的时间：斜布朗运动的最佳停止”。课程：数学。方法操作。第86.2号决议，第377-400页。内政部：10.1007/s00186-017-0602-4。Ang，A.和A.Timmermann（2012）。“政权更迭和金融市场”。《金融经济学年鉴》第4期，第313-337页。内政部：10.1146/annurevfinancial-110311-101808。Ankirchner、Stefan、Christophette Blanchet Scalliet和Monique Jeanblanc（2017年）。“控制指数鞅的占用时间”。参见：AppliedMathematics and Optimization 76.2，第415–428页。内政部：10.1007/s00245-0169356-2。Barndor Off-Nielsen，Ole E.和Neil Shephard（2002）。

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