无套利和超前-滞后关系

[3] 已经证明，只要S是连续的，粘性就足以证明Cps的存在：命题2.6（[3]，定理2.1）。假设S是连续的。如果S是粘性的，那么S对于任何ε>0.2.3的条件完全支持性质都有ε-CPS。在前面的小节中，我们看到联合F-CU D条件（分别为粘性）对于在Cheridito类中没有套利的市场（分别为在比例交易成本下）是足够的。在这一小节中，我们给出了一个方便的性质，它同时暗示了联合F-CUD条件和粘性。在本小节中，我们不要求过滤概率空间(Ohm, F、 F，P）满足通常的假设。对于-∞ < a<b<∞, 我们用C（[a，b]，Rd）表示从[a，b]到Rd的所有连续函数的空间，具有统一的拓扑结构。此外，我们设置Cx（[a，b]，Rd）={f∈ C（[a，b]，Rd）：f（a）=x}表示x∈ Rd.让我们回顾一下在度量空间上定义的概率度量支持度的概念：定义2.8。设Ξ为可分度量空间。对于（Ξ，B（Ξ））上的概率度量u，u的支持度定义为Ξ的最小闭集C，使得u（C）=1（根据第二章，定理2.1，这样的集C总是存在的）。我们用suppu表示u的支持。现在，我们介绍条件完全支持属性的概念：定义2.9。一个d维连续F-适应过程X=（Xt）t∈据说[0，T]对F ifsupp LP（（Xt）T）具有条件完全支持（CFS）∈[t，t]| Ft）=任何t的CXt（[t，t]，Rd）a.s∈ [0，T），其中LP（（Xt）T∈[t，t]| Ft）表示（Xt）t的正则条件律∈P下的[t，t]onC（[t，t]，Rd），给定Ft。我们在表1中列出了一些具有CFS的过程（在一些合理的假设下）。如[39]所述（见[39]的备注2.4（ii）），CFS属性等同于所谓的条件小球属性：引理2.2。

对于d维连续F-适应过程X=（Xt）t∈[0，T]，以下两个条件是等效的：（i）X具有关于F的CFS。（ii）对于任何T∈ [0，T），f∈ C（[t，t]，Rd）和ε>0，Psupt∈[t，t]kXt- Xt公司- f（t）k<ε| Ft！>现在，[47]的命题3和[3]的备注2.2得出以下结果：命题2.7。如果d维连续F-适应过程X=（Xt）t∈[0，T]对于F具有CFS，那么X满足联合F-CUD条件，并且对于F具有粘性。为了结束本节，我们列举了一些关于CFS性质的有用结果。第一个结果是上述引理和引理[37]中的引理2.2的直接结果：引理2.3。设X=（Xt）t∈[0，T]是一个d维连续F-适应过程。设G=（Gt）t∈[0，T]是F的过滤，以便Ft GT适用于所有t∈ [0，T]。然后，如果X具有与G相关的CFS，则X具有与F相关的CFS。下一个是引理2.3的多元扩展，引理来自【37】，该引理表明CFS属性在以通常方式增加过滤的情况下是可变的（参见【44】第45页，了解通常增加过滤的定义）。这个证明是原始证明的简单扩展，我们省略了它。引理2.4。设X=（Xt）t∈[0，T]是一个d维连续F-适应过程。然后，X有关于F的CFS当且仅当它有关于F的通常增广的CFS时。第三个是引理3.1的直接多元扩展。对于d维进程X=（Xt）t∈[0，T]我们写FX=（FXt）T∈[0，T]X.引理的自然过滤2.5。设X=（Xt）t∈[0，T]和Y=（Yt）T∈[0，T]是d维连续过程，可能定义在不同的概率空间上。

如果X和Y在C（[0，T]，Rd）上的定律相等，那么X有关于FXif的CFS，并且仅当Y有关于FY的CFS。最后一个是引理3.2从[17]的简单多元扩展（另见[39]的备注2.4（iii））：引理2.6。设X=（Xt）t∈[0，T]和Y=（Yt）T∈[0，T]是相互独立的d维连续自适应过程。如果X对外汇有CFS，那么X+Y对其自然过滤也有CFS。3具有超前-滞后关系的无套利3.1 Hoffmann-Rosenbaum-Yoshida模型Hoffmann等人【26】提出了一种新的连续时间模型，用于建模超前-滞后关系。粗略地说，他们的模型由一个半鞅和另一个“延迟”半鞅组成。在下文中，我们对本文重点关注的模型的简化版本进行了更精确的描述。设B=（Bt）t∈[0,∞)B=（Bt）t∈[0,∞)是两个标准的布朗运动，使得e[（Bt- Bs）（Bt+θ- Bs+θ）]=0的Ztsρ（u）du≤ s<t<∞, 式中θ≥ 0和ρ：[0，∞) → [-1，1]是一个确定性函数。从形式上讲，可以按以下方式构建此类和B。设Wk=（Wkt）t∈[0,∞), k=0，1，2，3，是相互独立的标准维纳过程。我们定义了工艺带Bby（Bt=Rtsign（ρ（u））p |ρ（u）| dWu+Rtp1- |ρ（u）| dWu，Bt=Wt∧θ+R（t-θ） +p |ρ（u）| dWu+R（t-θ） +p1- |ρ（u）| dWu（3.1）表1：具有CFS的过程（在一些合理的假设下）过程源单变量过程分数布朗运动Guasoni等人[21]，命题4.2综合过程Guasoni等人[21]，引理4.5Brownian移动平均Cherny[10]，定理1.1It^o过程Pakkanen[37]布朗半平稳过程Pakkanen[38]，推论3.1具有固定增量的高斯过程Gasbarra等人【17】，定理2.1多元过程扩散过程Guasoni等人。

[21]，示例4.1可能具有不同赫斯特参数的独立FBM Sayit和Viens[48]，命题3多维It^o过程Herczegh等人[25]，定理2多元布朗移动平均Pakkanen等人[39]，定理2.7≥ 0、检查这些频带是否符合所需频带并不困难。现在，对于每个ν=1，2，第ν个风险资产的（贴现）对数价格过程由xνt=Aνt+Ztσν（u）dBνu，t给出∈ [0，T]，其中σν∈ L（0，T）和Aν=（AνT）T∈[0，T]是一个连续的过程。在原始文献[26]中，假设过程Aν是有限变化的，但在本文中，我们将假设Aν独立于过程B。让我们考虑二元过程X=（X，X）。作为过滤F，我们考虑通常的外汇增持。以下命题建立了关于F命题3.1的X的CFS性质。假设过程A=（A，A）独立于B。也假设Leb（{t∈[0，T]：σν（T）=0}）=0表示ν=1、2和Leb（{T∈ [0，T]：|ρ（T）|=1}）=0。然后，过程X具有关于F的CFSwith。让我们回顾一下，对于每一个ν=1，2，第ν-th风险资产的（贴现）价格过程由vνt=exp（Xνt），t给出∈ [0，T]。将上述命题与P命题2.1–2.3和2.5–2.7相结合，我们得到了Hoffmann-Rosenbaum-Yoshida模型的以下无套利性质：定理3.1。在命题3.1的假设下，以下陈述成立：（a）市场S在Cheridito类中没有套利。（b） 对于任何ε>0的市场，S都有一个ε-CPS。

因此，对于任何ε>0.3.2且具有一般超前滞后结构的布朗运动，S在类Aε中没有ε-交易成本的套利。为了扩展Hoffmann-Rosenbaum-Yoshida模型，Hayashi和Koike【23】研究了两个布朗运动的可能超前滞后结构，并得出以下结果：命题3.2（【23】，命题2）。假设一个可测函数f:R→ C满意KFK∞≤ 1（3.2）和f（λ）=f(-λ） 几乎所有λ∈ R、 （3.3）然后有一个二元高斯过程Bt=（Bt，Bt）（t∈ R） 具有固定增量，使得（i）两个带裸露的双边布朗运动，（ii）f是B的交叉谱密度。也就是说，EBTB=2πZ∞-∞（e）-√-1λt- 1） （e）√-1λs- 1） 任意t，s的λf（λ）dλ∈ R、 相反，如果一个二元过程Bt=（Bt，Bt）（t∈ R） 当平稳增量满足条件（i）时，有一个可测函数f:R→ C满足（3.2）–（3.3）和条件（ii）。本小节的目的是提供一个充分的条件，使由上述命题所述过程B驱动的市场在市场摩擦下无套利。更正式地说，设f是满足（3.2）–（3.3）和Bt=（Bt，Bt）（t）的可测函数∈ R） 是一个具有满足条件（i）–（ii）的静态增量的二元高斯过程。我们考虑具有两项风险资产的市场，其中第ν项风险资产的（贴现）对数价格过程由xνt=Aνt+σνBνt，t给出∈ [0，T]（3.4），σν>0且Aν=（AνT）T∈[0，T]是每个ν=1，2的连续过程。因此（折扣）价格过程S=（St）t∈风险资产的[0，T]由SνT=exp（XνT），T给出∈ [0，T]对于每个ν=1，2。作为过滤F，我们采用过程X=（X，X）的自然过滤的通常增强。提案3.3。假设过程A=（A，A）独立于B。也假设z∞λlog（1- |f（λ）|）λdλ>-∞ （3.5）对于某些λ>0。

那么，过程X具有关于F的C FS。备注3.1。（3.5）islim supλ的充分条件→∞|f（λ）|<1。在信号处理语言中，| f（λ）|被称为相干性，并用作频带B之间频率相关性的度量。因此，上述条件可以解释为要求两个过程在高频下不应完全相关。现在，类似于上一小节，我们得到以下结果：定理3.2。在命题3.3的假设下，以下陈述成立：（a）市场S在Cheridito类中没有套利。（b） 对于任何ε>0的市场，S都有一个ε-CPS。因此，对于任何ε>0的情况，S在ε-交易成本为~Aε的情况下没有套利。作为特例，我们得到了[23，24]中考虑的模型的无套利性质。在这些论文中，为了考虑金融市场的潜在多尺度结构，考虑了以下交叉谱密度：f（λ）=∞Xj=0Rje-√-1θjλ∧j（λ），λ∈ R、 其中Rj∈ [-1，1]，θj∈ R和∧j=[-2jπ，-2j-1π) ∪ （2j-1π，2jπ]对于j=0，1。在这种情况下，当lim supj→∞|Rj |<1.4证明4.1命题证明3.1首先，通过引理2.4，足以证明X具有关于FX的CFS。此外，通过引理2.6，我们可以假设≡ 0而不丧失通用性。此外，由于引理2.5，为了证明我们可以考虑过程B带的特殊实现，因此我们考虑（3.1）给出的实现。确定双变量过程Y=（Yt）t∈[0，T]和Z=（Zt）T∈[0，T]byYt=YtYt=Rtσ（u）p1- |ρ（u）| dWuRt∧θσ（u）dWu+R（t-θ） +σ（u）p1- |ρ（u）| dWu！和Zt=Xt- Ytfor t公司∈ [0，T]。通过构造，Y和Z是独立的。因此，通过引理2.6证明Y相对于FY具有CFS。设置gt=σ（Wu:u≤ t）∨ σ（Wu∧θ： u型≤ t）∨ σ（W（u-θ） +：u≤ t） ，t∈ [0，T]，我们有FYt GT每t∈ [0，T]。

因此，通过引理2.2–2.3，足以说明PSUPT∈[t，t]kYt- 年初至今- f（t）k<ε| Gt！>任何t均为0 a.s∈ [0，T），f∈ C（[t，t]，R）和ε>0。自（年初至今）- Yt）t∈[t，t]独立于Gt，这源于PSUPT∈[t，t]kYt- 年初至今- f（t）k<ε！>由于Yan和Y之间的独立性，一旦我们证明了psupt，我们就得到了这个不等式∈[t，t]| Yνt- Yνt- fν（t）|<ε！>0（4.1）表示ν=1，2，其中fν表示f的第ν个分量函数。此外，我们可以很容易地看到，考虑t=0的情况是不够的。然后，（4.1）对于ν=1，立即遵循[37]中的引理3.1。此外，如果θ≥ ν=2的T，（4.1）也来自于[37]的引理3.1，因为Yt=Rtσ（u）dWuforall T∈ [0，T]。否则，请注意PSUPT∈[0，T]| Yt- Y- f（t）|<ε！≥ Psupt公司∈[0,θ]Ztσ（u）dWu- f（t）<ε!×Psupt∈[0，T-θ]Ztσ（u）p1- |ρ（u）| dWu- {f（t+θ）- f（θ）}<ε!,通过[37]中的引理3.1，我们再次得到了ν=2的（4.1）。4.2命题证明3.3引理4.1。设Y=（Yt）t∈[0，T]是一个d维连续随机过程，使得Y，Ydare独立。那么，Y有关于FYif的CFS，并且只有当Yν有关于FYif的CFS，对于所有ν=1，d、 证明。“如果”部分是显而易见的，因此我们证明了“只有如果”部分。通过引理2.2，it足以证明∈[t，t]kYt- 年初至今- f（t）k<ε| FYt！>任何t均为0 a.s.（4.2）∈ [0，T），f∈ C（[t，t]，Rd）和ε>0。对于每个ν=1，d、 我们用fν表示f的ν-th坐标函数。此外，Fν表示由过程Yν生成的σ场。由于Y，我是独立的，我们有PSUPT∈[t，t]kYt- 年初至今- f（t）k<ε| FYt！≥ Pd\\ν=1（支持∈[t，t]| Yνt- Yνt- fν（t）|<εd）| FYt！=E“Pd\\ν=2（支持∈[t，t]| Yνt- Yνt- fν（t）|<εd）| FYt∨ Fnsupt公司∈[t，t]| Yt-年初至今-f（t）|<εdo | FYt#=Pd\\ν=2（支持∈[t，t]| Yνt- Yνt- fν（t）|<εd）| d\\uν=2FYνt！Psupt公司∈[t，t]| Yt- 年初至今- f（t）|<εd | FYt！=·····=dYν=1支持∈[t，t]| Yνt- Yνt- fν（t）|<εd | FYνt！，因此，对于每个ν=1，…，Yν相对于FYν的C FS性质。

. , d收益率（4.2）。命题证明3.3。通过引理2.4，就足以证明X对于FX有C FS。此外，通过引理2.6，我们可以假设≡ 0而不丧失通用性。我们首先构造一个适合我们目的的B实现。为了实现这一点，我们使用了Schwartz广义函数的一些概念。关于它们的详细信息，请参阅【46】第6–7章。首先，定义函数g:R→ C byg（λ）=（f（λ）/| f（λ）|如果| f（λ）| 6=0，否则为0。g显然是可测的。接下来，让我们用S表示R上所有（复数）快速递减函数的集合。同时，L（R）表示所有复数平方可积函数的空间。对于函数u∈ L（R）、^u和^u分别表示u的傅里叶变换和傅里叶逆变换。这里，当u是可积的时，^u由^u（λ）=R给出∞-∞u（t）e-√-1λtdt，λ∈ R、 然后，我们定义函数α：S→ C乘以α（u）=R∞-∞ˇu（λ）p | f（λ）| g（λ）dλ表示u∈ S、 这可以通过（3.2）来定义。α是R上的一个回火广义函数。此外，如果u∈ S是实值，然后是α（u）∈ R、 实际上，我们有α（u）=Z∞-∞ˇu（λ）p | f（λ）|·g（λ）dλ=Z∞-∞ˇu(-λ） p | f(-λ） | g(-λ） dλ=α（u）乘以（3.3）。现在，对于任何u∈ 我们有[α* u=bubα=bup | f | g in S*, 因此[α* u∈ L（R）。因此，α* u∈ L（R）和kα* ukL（R）=（2π）-1kbup | f | gkL（R）≤ kukL（R）由Parseval恒等式和（3.2）表示。因此，有一个（唯一的）连续函数|α：L（R）→ L（R）使得α（u）=α*u代表任何u∈ S、 Bycontinuity▄α（u）是实数，只要u是实数∈ L（R）。我们还通过设置β（u）=R来定义R上的回火广义函数β，γ∞-∞ˇu（λ）p | f（λ）| dλ和γ（u）=R∞-∞ˇu（λ）p1- |f（λ）| dλ表示u∈ S

然后，一个与上述类似的论点意味着存在连续函数β：L（R）→ L（R）和|γ：L（R）→ L（R）使得β（u）=β* u和￠γ（u）=γ* u代表任何u∈ 只要u是实数，那么▄β（u）和▄γ（u）都是实数∈ L（R）。现在让（Wkt）t∈R（k=1，2，3）是三个独立的双侧标准布朗运动。然后确定工艺（Bt）t∈兰特（Bt）t∈RbyBt=（R∞-∞α（1（0，t））（s）dWs+R∞-∞γ（1（0，t））（s）dWsif t≥ 0,-R∞-∞α（1（0，t））（s）dWs-R∞-∞γ（1（t，0））（s）dW依次，Bt=（R∞-∞β（1（0，t））（s）dWs+R∞-∞γ（1（0，t））（s）dWsif t≥ 0,-R∞-∞β（1（0，t））（s）dWs-R∞-∞Иγ（1（t，0））（s）dW左右。我们证明了这个过程Bt=（Bt，Bt）（t∈ R） 是所需过程的实现。首先，它证明了带裸实值和高斯。此外，因为它认为^Оα（u）=^up | f | g，^Оβ（u）=^up | f |和^Оγ（u）=^up1- |f |在L（R）中表示任何u∈ L（R），ν=1，2和t，s∈ R、 我们有[BνtBνs]=| t |∧ |s |如果ts≥ 0和E[BνtBνs]=0，否则由Parseval标识。特别是，由于Kolmogorov连续性定理，我们可以假设过程Bν是连续的。因此，B带满足条件（i）。条件（ii）也遵循Parseval标识。这尤其意味着二元过程Bt=（Bt，Bt）是平稳增量。因此，过程B被证明是期望过程的实现。我们转向证据的主体。让我们定义双变量过程Y=（Yt）t∈[0，T]和z=（Zt）T∈[0，T]byYt=YtYt=R∞-∞γ（1（0，t））（s）dWsR∞-∞γ（1（0，t））（s）dWs！和Zt=Xt- Ytfor t公司∈ [0，T]。通过构造，Y和Z是独立的。此外，我们可以很容易地检查，对于每个ν=1，2，Yν是高斯的，并且是光谱密度为1的平稳增量- |f |。特别是，由于Kolmogorov连续性定理，我们可以假设过程Y是连续的。因此，过程Z也是连续的。

因此，通过引理2.6可以证明Y相对于FY具有CFS。通过建设，我们是独立的。因此，通过引理4.1，就足以证明对于每个ν=1，2，Yν相对于FYν有C FS。因为Yν是一个具有平稳增量的连续高斯过程，其谱密度为1- |f |，期望的结果来自于[17]的定理2.1。这就完成了证明。致谢我们感谢Dacheng Xiu向我们询问具有leadlag关系的模型的无套利性质。这项工作得到了JSPS KAKENHI赠款编号JP16K03601、JP16K17105、JP17H01100的支持。参考文献[1]Alsayed，H.和McGroarty，F.（2014）。跨国际指数期货的超高频算法套利。J、 预测。33, 391–408.[2] Bender，C.（2012年）。简单套利。安。应用程序。概率。22, 2067–2085.[3] Bender，C.、Pakkanen，M.S.和Sayit，H.（2015）。粘性连续过程具有一致的p-rice系统。J、 应用程序。概率。52, 586–594.[4] Bender，C.、Sottinen，T.和Valkeila，E.（2011年）。随机金融中的分数过程模型。惯性导航与制导。Di Nunno和B.Oksendal，eds.，Advanced mathematical methods for Finance，第3章。斯普林格，第75-103页。[5] Bollen，N.P.、O\'Neill，M.J.和Whaley，R.E.（2017）。摇摆尾巴：波动率指数市场的日内价格发现。期货市场杂志37431–451。[6] Buccheri，G.、Corsi，F.和Peluso，S.（2017年）。隐藏领导者：在多变量价格形成框架中识别高频铅-铅-铅结构。工作文件。SSRN提供：https://ssrn.com/abstract=2938619。[7] Cero n，A.、Cur ini，L.和Iacus，S.M.（2016）。推特领域的一级和二级议程设置：意大利政治辩论的应用。《信息技术与政治杂志》第13期，第159-174页。[8] Chan，K.（1992年）。