无套利和超前-滞后关系

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英文标题：
《No arbitrage and lead-lag relationships》
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作者：
Takaki Hayashi, Yuta Koike
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The existence of time-lagged cross-correlations between the returns of a pair of assets, which is known as the lead-lag relationship, is a well-known stylized fact in financial econometrics. Recently some continuous-time models have been proposed to take account of the lead-lag relationship. Such a model does not follow a semimartingale as long as the lead-lag relationship is present, so it admits an arbitrage without market frictions. In this paper we show that they are free of arbitrage if we take account of market frictions such as the presence of minimal waiting time on subsequent transactions or transaction costs.
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中文摘要：
在金融计量经济学中，一对资产的回报之间存在时滞相互关系，这被称为超前-滞后关系，这是一个众所周知的程式化事实。最近有人提出了一些连续时间模型来考虑超前-滞后关系。只要存在超前-滞后关系，这种模型就不遵循半鞅，因此它允许无市场摩擦的套利。在本文中，我们证明，如果我们考虑到市场摩擦，如后续交易的最小等待时间或交易成本，它们是没有套利的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：滞后关系 无套利 relationship Mathematical econometrics

无套利和超前滞后关系*+Yuta Koike§+P2017年12月29日摘要一对资产回报之间存在时滞互相关，称为超前滞后关系，是金融经济指标中一个众所周知的程式化事实。最近有人提出了一些连续时间模型来考虑超前-滞后关系。只要存在超前-滞后关系，这种模型就不允许半鞅，因此它允许无市场摩擦的轨道。在本文中，我们证明，如果我们考虑市场摩擦，例如后续交易的最小等待时间或交易成本，它们是没有套利的。关键词：套利；Cheridito类；有条件的完全支持；离散交易；超前-滞后关系；交易成本。1简介金融中无套利被视为金融市场的固有属性之一。对于理想化市场，没有套利的特点是存在一个等价的鞅测度（参见Delbaen和Schachermayer[15]）。因此，在这种市场中，价格过程必然遵循无套利假设下的半鞅，因为半鞅性质在测度变化下是不变的。然而，实证研究偶尔会提出一些证据来证明这一结论。多个资产回报之间存在的交叉相关性，即所谓的超前-滞后关系，是此类证据中的代表性现象之一。长期以来，金融市场超前-滞后关系的实证研究一直受到金融计量经济学的关注。一个值得注意的例子是股票指数和指数期货之间的领先-滞后关系，在这里，许多作者报告说，未来领先于指数（参见。

[8, 14, 27, 33, 50]). 更一般而言，资产及其衍生产品之间的超前-滞后关系已在多篇文章中进行了研究，如【5，13】。此外，人们普遍认为，大型企业的回报往往会导致小型企业的回报（参见[12、36、42]）。此外，Ren\'o【43】指出*庆应义塾大学工商管理研究生院，4-1-1 Hiyoshi，横滨223-8526，日本+东京都会大学社会科学研究生院工商管理系，丸内町大厦18楼，1-4-1丸内町，Chiyoda ku，Tokyo 100-0005日本CREST，日本科技厅§东京大学数学科学研究生院，3-8-1小坂，东京美谷153-8914日本P统计数学研究所，10-3 Midori cho，Tachikawa，Tokyo 190-8562，Japanout超前-滞后关系在解释Epps效应中起着关键作用，另一个以Epps命名的著名经验事实【16】。填补上述理论含义和实证建议之间差距的一种常见方法是考虑各种市场摩擦。交易时间的离散性是此类摩擦的主要来源之一，文献对此进行了深入研究。该领域的先驱工作是Cheridito[9]，该研究表明，如果我们对后续交易施加（常数）最小等待时间，则（几何）分数布朗运动（fBm）模型不允许套利。由于除非赫斯特指数为1/2，否则离岸价格指数不是半鞅，因此该结果超出了无摩擦市场无套利的传统特征的范围。Jarrow等人将这种限制类型的交易策略称为“Cheridito类”。

[29]，他们提供了一个市场特征，该市场由一个无风险资产和一个风险资产组成，不允许在Cheridito类别中进行套利（参见[29]中的引理1]）。这一结果已扩展到Sayit中多风险资产的情况【47】。还有一些文章试图放宽对后续事务施加最小等待时间的要求。例如，Bender等人[4]引入了一类新的策略，称为延迟简单策略，粗略地说，它允许后续交易的最小等待时间在某种程度上是随机的。他们给出了延迟简单策略类中无套利市场的特征。更广泛地说，本德（Bender）[2]承认了所有简单的策略，并给出了此类类别中无套利的特征。市场摩擦的另一个主要来源是交易成本的存在。对于离散时间模型，Kabanov和Stricker【32】、Kabanov等人【30】和Schachermayer【49】已经建立了交易成本下无套利的充分表征。对于连续时间模型，Guasoni[19]为市场在恒定比例交易成本下无套利提供了充分条件。作为一个特例，它表明几何fBm模型在交易成本下没有套利。【19】的结果由几位作者进一步证实，如【3、20、21、22、48】。特别是，Guasoni等人[22]证明了在连续和一种风险资产情况下，在不稳定的比例交易成本下资产定价的基本定理的一个版本。Guasoni等人。

[20] 将这一结果推广到价格过程可能不连续且交易成本不恒定的情况。然而，据我们所知，没有研究在市场摩擦下具有超前-滞后关系的市场模型的无套利性质的工作。本文的目的是阐明这个问题，我们特别关注连续时间模型。最近，Hoffmann等人[26]提出了连续时间的超前-滞后模型（另见Robert和Rosenbaum[45]），该模型基于布朗运动驱动的建模，并将传统It^o过程作为特例包含在内，因此它很容易与传统的数学金融理论兼容。随后，几位学者（如[1、5、7、27]对相关模型进行了实证研究，以及[6、11、23、24、34、35]从统计学角度对相关模型进行了研究，但在数学金融方面没有任何工作。我们打算在这项工作中弥合这两个领域之间的差距。本文的组织结构如下。第2节简要回顾了现有文献中市场摩擦下的一些无套利结果。第3节介绍了本文获得的主要结果。所有的证据都收集在第4节。x的符号=（x，…，xd）∈ Rd，我们用kxk表示x的欧几里德范数，即kxk=Pdi=1（xi）。Lebesgue表示R上的Lebesgue测度。对于拓扑空间Ξ，我们写B（Ξ）是Ξ的Borelσ场。给定d维过程X=（Xt）t∈[0，T]，我们用Xi=（Xit）T表示X的第i分量过程∈[0，T]对于每i=1，d、 2市场摩擦下的无套利：回顾我们考虑一个贴现市场，其中一个是无风险资产，另一个是在有限时间范围内交易的风险资产[0，T]。无风险资产被用作一个数字，因此被假定为始终等于一。

风险集由d维随机过程S=（St）T建模∈[0，T]在过滤概率空间中定义(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）满足过滤的完整性和正确连续性的通常条件。我们假设S是c`adl`ag，适用于具有简单策略的F.2.1交易。首先，当我们将可接受策略的类别限制为离散时，我们回顾了一些无套利结果。我们提到Bender等人[4]的第3.3–3.4节为单变量情况下的这一主题提供了极好的调查（和一些原始结果），重点是由（混合）分数布朗运动驱动的模型。定义2.1。（a） d维过程Φ=（Φt）t∈如果其形式为ΦT=φ{0}（T）+n，则称之为简单策略（关于F）-1Xj=0φj（τj，τj+1）（t），t∈ [0，T]，（2.1），其中n∈ N、 0=τ≤ τ≤ · · · ≤ τnare a.s.有限F-停止时间，φjis a d维Fτj每j=0，1，…，可测量的随机向量，n、 我们用S（F）表示关于F的所有简单策略集。（b）如果存在常数h>0，使得τj+1，则称形式（2.1）的简单策略Φ属于cheridto类（关于F）- τj≥ h对于所有j=0，1，n- 我们用L（F）表示属于Cheridito类的关于F的所有简单策略集。备注2.1。“Cheridito类”这个名字是Jarrow等人的作品【29】，它来自Cheridito的开创性工作【9】：见备注2.2。在本文中，我们只考虑了自我融资策略。由于市场已经贴现，这意味着形式（2.1）的简单策略Φ的价值过程与初始资本v∈ R是给定的yvt（Φ；v）=v+n-1Xj=1φj（St∧τj+1- St公司∧τj），t∈ [0，T]。定义2.2。如果P（VT（Φ；0），一个简单的策略Φ称为套利≥ 0）=1和P（VT（Φ；0）>0）>0。备注2.2。

Cheridito[9]已经证明，（几何）分数布朗运动模型的Cheridito类中没有套利。现在，我们提出了一个充分的条件，让市场在Cheridito类中没有套利，Sayit[47]对此进行了调查。设X=（Xt）t∈[0，T]是一个d维c\'adl\'ag F适应过程。对于任意两个停止时间τ，τ使得τ≤ τa.s.，我们设置a+i={Xiτ<Xiτ}，a-i={Xiτ>Xiτ}，i=1，d、 定义2.3。我们说，对于任何h，X满足关于L（F）的联合F条件上下（CUD）条件∈ （0，T）和任意两个停止时间τ≤ 带τ的τ≥ τ+h a.s.，和任何B∈ Fτ，当P（B）>0时，以下保持sp\\我∈IBAαii∩ B> 0，每当IB6=, 其中α，αd∈ {+, -} IBis是所有k的集合∈ {1，…，d}使得P（{Xkτ6=Xkτ}∩ B） >0。备注2.3。Jarrow等人【29】首次将上述情况考虑到单变量情况。Bender等人将“CUD条件”命名为“CUD条件”。Sayit【47】已经证明，该条件对于Cheridito类别中没有套利是足够的：命题2.1（【47】，命题1）。如果S满足关于L（F）的联合F-CUD条件，则Cheridito类中不存在套利。备注2.4。在d=1的情况下，命题2.1的相反情况也适用于[29]的引理1。然而，当d>1时，命题2.1的逆命题不一定成立；见【47】第617页。我们注意到，联合F-CUD条件在严格单调函数的分量变换下是不变的：命题2.2（[47]，命题2）。对于每个i=1，d、 让fi：R→ R是严格单调函数。当且仅当d维过程（F（St）。

，fd（Sdt））（t∈ [0，T]）满足关于L（F）的联合F-CUD条件。最后，我们对简单策略的无套利结果做了一些评论。备注2.5。Bender[2]已经给出了一个必要且充分的条件，当S连续时，市场S在所有简单策略的S（F）类中不存在任何风险。此外，利用Bender[2]的结果，Peyre[41]证明了分数布朗运动市场在S（F）类中不存在套利。2.2交易成本下的交易在考虑交易成本的情况下，我们审查了一些无套利结果。这里，我们关注恒定比例交易成本，并采用Guasoni[18]的设置（另请参见[19，48]）。关于这一主题的综合论述，请参见【31】。在本小节中，我们假设S是准左连续的（参见第一章，定义2.25 of[28]）。设ε>0。对于d维左连续F自适应过程Φ=（Φt）t∈[0，T]通过细分，我们用ε-交易成本（零初始资本）定义Φ的价值过程，vεT（Φ）=dXi=1ZtΦisdSis-dXi=1εZTSISSDTV（Φi）s+ε|Φit | Sit, t型∈ [0，T]。这里，对于每个i=1，d、 TV（Φi）=（TV（Φi）t）t∈[0，T]是Φi的总变化过程，积分Φisdsis定义见[18]的定义2.2。定义2.4。设ε>0，Φ为具有有限变化的d维左连续F适应过程。（a） 如果存在常数M>0，使得vεt（Φ），则Φ称为ε-交易成本的容许策略≥ -所有t类硕士∈ [0，T]。我们用ε交易费用写出了所有可容许策略的ε类。（b） 如果P（VεT（Φ），Φ称为ε-交易成本的套利≥ 0）=1，P（VεT（Φ）>0）>0。备注2.6。

上述定义中可容许策略的左连续性可以放宽到可预测性，因为对于任何F-可预测过程Φ=（Φt）t∈[0，T]通过有限的变化，它认为VεT（Φ）=VεT（Φ-) a、 s.适用于所有t∈ [0，T]和ε>0，根据[18]的命题2.5，其中Φ-= （Φt-)t型∈[0，T]。现在，我们给出了一个充分条件，对于任何ε>0的ε-交易成本为a类ε的S没有套利，这称为粘性。定义2.5。d维c ` adl ` ag F自适应过程X=（Xt）t∈如果对于任何T，则称[0，T]为粘性（相对于F）∈ [0，T）和δ>0，Pd\\i=1（supu∈[t，t]|秀- Xit |<δ）| Ft！>0 a.s.上述粘性定义源于Bender等人的定义2.2。然而，正如【3】中备注2.1所指出的，这一定义相当于Sayitand Viens中的联合粘性概念【48】。更准确地说，我们有以下结果：引理2.1（[3]，引理3.1）。如果一个d维c`adl`ag F自适应过程X=（Xt）t∈[0，T]是粘性的，对于任何F-停止时间τ：Ohm → [0，T]和任何Fτ-可测非负随机变量η，我们有Pd\\i=1（supu∈【τ，T】|秀- Xit |<η）| Fτ！>0 a.s.{η>0}。备注2.7。粘性最初是在Guasoni[19]对单变量情况的定义2.2中引入的。还表明分数布朗运动是粘性的（文献[19]的命题5.1）。引理2.1和[48]的命题2暗示，粘性在连续变换下是不变的：命题2.3。设X=（Xt）t∈[0，T]是一个d维c\'adl\'ag F适应过程。同样，让f:Rd→ Rdbe是一个连续函数，定义d维过程Y=（Yt）t∈[0，T]y=f（Xt，…，Xdt），T∈ [0，T]。如果X是粘性的，那么Y也是粘性的。注意到上述结果，我们从Sayit和Viens[48]的命题1得到以下结果：命题2.4。

假设Sit>0，然后Sit-> 每i=1，…，0，d和每个t∈ [0，T]。如果S是不确定的，则S在所有ε>0的情况下，ε-交易成本都在A类ε中，没有套利。接下来，我们回顾了一致价格体系（CPS）的概念，它在考虑具有比例交易成本的模型时起着重要作用。定义2.6。设ε>0。d维F适应过程M=（Mt）t∈如果以下条件成立，则称为S的ε-一致价格体系（ε-CPS）：（i）我们有SIT1+ε≤ 麻省理工学院≤ （1+ε）Sita。s、 对于任何i∈ {1，…，d}和t∈ [0，T]。（ii）存在概率度量Q(Ohm, F） 等价于P，使得M是Q下的d维Fmartingale。正如Guasoni等人[21，22]所讨论的那样，CPS的存在为解决任意性和超复制问题提供了有用的工具。作为一个例子，我们证明了C-P的存在意味着在无风险意义上没有套利。定义2.7。设ε>0。具有有限变量的d维左连续F适应过程Φ称为ε-交易成本在无干扰意义下的容许策略，如果常数TM>0，则Vεt（Φ）≥ -M（1+Pdi=1Sit）a.s.适用于所有t∈ [0，T]。我们将ε-交易成本写为无风险意义下的所有可采策略的类。有关可接受策略定义的讨论，请参见【21】的备注2.17。下面的结果来自于[19]的引理2.1和[51]的定理2.6：命题2.5。假设每i=1，…，Sit>0，d和每个t∈ [0，T]。如果S对某些ε>0有一个ε-CPS，那么S就没有ε-交易成本在类▄Aε中的套利。备注2.8。对于值过程Vε（Φ）和可容许类aε的定义略有不同，Guasoni等人【22】表明，命题2.5的相反定义也适用于d=1的情况。最后，我们指出Bender等人。