带负数的美式和摆动期权的双连续区域

似乎0的正则性假设(-∞, 0）在这里至关重要；事实上，【Surya（2007年）】和【Lamberton和Mikou（2012年）】表明，如果没有这一假设，平滑条件在q≥ 0、美式看跌期权的上述结果可以使用所谓的看跌期权对称公式转换为美式看涨期权的结果。本文的另一个贡献是证明，在贴现率为负的L'evy框架下，put-call对称公式确实成立，并且可以导出看涨期权和看跌期权的两个自由边界之间的对偶关系。我们的最终补充是美国期权5的双重延续区域【Fajardo和Mordecki（2006）】，以及独立的【Eberlein和Papantaleon（2005）】，他们将【Carr和Chesney（1996）】在非负利率假设下的结果扩展到了列维市场。Black和Scholes市场的【Battauz et al.（2014）】中获得了负贴现率情况的类似结果。这里有一句有趣的话：对称公式表明，对于一些参数集，我们可以观察到美式看涨期权的双延拓区域。然而，也有一些情况下，尽管假设利率为负q，但仍会出现单一连续区域。当dividendrateδ严格为正时，就会出现这种情况，这是[夏和周（2007）]所考虑的情况。在第6节表1和表2中，我们收集了Black和Scholes市场中看跌期权和看涨期权的所有可能案例，以给出一个完整的图片。本文的另一个结果是将上述结果推广到Swingtype的多个停止问题，即当连续的练习机会是可能的并且由i.i.d.随机折射时间分隔时。

当未来可以重复行使同一期权时，可能会出现这些多重停止规则，这意味着投资者可以获得一系列股票贷款，或者企业可以按顺序超时进行投资。通常用于能源输送的摆动期权的定价也具有折射期和多次行使的特点。例如，[Carmona和Touzi（2008）]在几何布朗运动模型下，将摆售期权的估值表述为一个具有恒定折射周期的最优多重停止问题。在一项相关研究中，[Zeghal和Mnif（2006）]在基础价格过程没有负跳的情况下，对永久性美国摇摆看跌期权进行估值。[Leung等人（2015）]在负有效贴现率的假设下考虑看涨期权，并且，与[Xia和Zhou（2007）]的情况一样，它们衍生出单一连续区域。这也是【Leung et al.（2015）】中假设2.1的结果，该假设对应于第6节表2中q<0和δ>0的情况。因此，与[Leung et al.（2015）]相比，我们描述了双连续区域的一个完整案例。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了有关不对称，尤其是光谱负的列维市场的基本事实。在第3节中，我们计算了完全对称对数L'evy价格的美式看跌期权的价格，并在这种情况下确定了可能的双连续区域。第4节讨论了卖出期权。第5节介绍了具有负折扣的列维市场的看跌期权对称公式，该公式允许将之前的结果扩展到看涨期权和摆动看涨期权。最后，在第6节中，我们进行了广泛的数值分析，在第7节中，我们总结了我们的结果并提出了可能的泛化。2.

L'evy型金融市场我们通过一个完全不对称的L'evy过程对基础资产价格的对数进行建模，这是一个具有独立增量、右连续路径、左极限且所有跳跃具有相同符号的静态随机过程。在整篇文章中，我们将使用以下符号：因为我们主要考虑一个谱负的L'evy过程，即一个只有向下跳跃的过程，所以我们用Xt简单地表示它；正向过程将由BXT表示（注意BXT=-xT，其中xT为光谱负）；最后，我们用泛型非对称L'evy过程来表示。更一般地说，当使用基本符号时，我们指的是光谱负过程；“帽子”意味着我们处理的是光谱正过程，而“波浪”则是一般不对称过程。例如，processSt：=exp{Xt}是几何L'evy过程，它描述了X为负的基础价格。对应于谱正情况的assetprice过程是bst：=exp{bXt}，其中，根据跳跃支持的情况，sest：=exp{eXt}等于storbst。我们从定义完全不对称L'evy过程的拉普拉斯指数开始，Eψ（φ）：=log E[EφeX]，这是对φ的定义≥ 0表示由于非正跳跃而产生的频谱负情况和φ≤ 0表示由于非负跳跃导致的光谱正情况。根据L'evy Khintchine定理，对于u∈ R、 σ≥ 0和aL'evy度量∏定义在R \\{0}上，使得Zr \\{0}1.∧ uπ（du）<∞我们有（2.1）eψ（φ）=uφ+σφ+ZR \\{0}eφu- 1.- φu（| u |<1）π（du）。6 M.De Donno–Z.Palmowski-J.Tumilewicz很容易证明Eψ在原点为零，在原点趋于完整，并且是严格凸的。

我们表示Φ（q）：=sup{φ>A：eψ（φ）=q}和eψ（eΦ（q））=q，其中A是eψ（φ）的最后一条（从左侧开始）渐近线。我们将选择q，因为Φ（q）定义得很好。所谓的尺度函数是光谱负L'evyprocess理论中的一个重要工具，我们将利用它来表达我们的结果。对于光谱负过程Xt，利用拉普拉斯指数ψ，我们将第一尺度函数定义为[0]上唯一的连续且严格递增的函数W（q），∞) 使用以下拉普拉斯变换：Z∞e-φuW（q）（u）du=ψ（φ）- qforφ>Φ（q），其中ψ是Xt的拉普拉斯指数。对于q，给出了尺度函数W（q）的经典定义≥ 注意，这一定义可以扩展到C（见[Kyprianou（2006），引理8.3]）。特别地，我们可以考虑q<0的情况。函数W（q）在（0，∞). 在本文中，我们假设X有无界变化，或者跳跃测度相对于Lebesgue测度是绝对连续的。在这种情况下，W（q）∈ C（R+）；（2.2）见【Kyprianou等人（2013年），Lem.2.4，第117页】。从现在起，我们进一步假设基本过程是在鞅测度P下计算的（参见[Cont和Tankov（2003），Prop.9]）。在此度量下，折扣价格过程是一个鞅，由拉普拉斯指数定义过程exp{φeXt-eψ（φ）t}也是鞅。

因此，在P下，我们有eψ（1）=q- δ（2.3）foreψ在（2.1）中给出，q是贴现率，δ是股息支付强度，如果是负数，则是借款或仅仅是存储成本，具体取决于应用。最后，由于我们将使用与某个级别上下的第一次通过时间相关的恒等式，我们给出了以下定义：τ+a：=inf{t≥ 0:Xt≥ a} ，τ-a： =inf{t≥ 0:Xt<a}。（2.4）我们将用T表示关于右连续增广{Ft}{T的所有停止时间的族≥满足通常条件的Xt（或Xt，取决于分析的情况）自然过滤的0}。我们在这一初步章节的结尾介绍了以下符号约定：E[·；A]：=E[·{A}表示任何事件A；P（x）[·]：=P[·| x=x]=P[·| S=ex]；P=P（0）；Ps[·]：=P[·| S=S]；E、 E（x），E是对上述指标的相应期望。3、美式看跌期权我们从对具有负贴现率的永久美式看跌期权的评估开始，对光谱负和光谱正两种情况进行评估。（1.4）中定义了光谱负情况的问题；对于光谱正的情况，根据我们的符号，我们将写出bvp（s）：=bV（s）：=supτ∈工商业污水附加费e-qτK-bSτ+.为了明确定价问题，我们在本文中假设V（s）<∞ andbV（s）<∞.（3.1）下一个引理给出了（3.1）成立的充分条件。引理1。如果E[X]在（0，∞), 然后满足（3.1）的第一个条件。如果E[X]在(-∞, 0），则满足（3.1）的第二个条件。美式期权7Proof的双连续区域。我们只证明了光谱负的情况。光谱正情况的证明非常相似。

根据【Kyprianou（2006），定理7.2】，如果E【X】>0，则限制↑∞Xt=∞.由于STI是几何L'evy过程，那么上述限制意味着，当t趋于完整时，Stalso趋于完整。因此，τ=∞ 等于0，不再停留在那里是最优的。现在，τlast（z）的τ<τlast（log K）：=sup{t≥ 0:Xt≤ z} 贴现因子E（x）E-qτ是有限的。事实上，根据【Kyprianou（2006）】，我们有e（x）e-qτ≤ E（x）E-qτlast（对数K）≤ E（x）E-qτ+log KE（0）e-qτlast（0）=e-Φ（q）（x）-日志K）E（0）E-qτlast（0）。现在，通过【Baurdoux（2009），Thm 2】，我们知道E（0）E-只要第2节中定义了Φ（q），qτlast（0）就是有限的。该观察结果与Payoff函数（K）的边界- s） +给出条件（3.1）。继[Battauz et al.（2012）]处理Black-Scholes模型，即当这是一个算术布朗运动时，我们将证明在完全不对称的L'evy市场中，最优停止规则τ∈ 其区间类型形式如下：τl，u：=inf{t≥ 0：外部∈ [l，u]}=inf{t≥ 0：eSt∈ （3.2）对于某些l：=el，u：=EU和l≤ u≤ K、 也就是说，这是一个入场时间。这意味着只要价格过程在区间【l，u】内，投资者就应该行使期权。对于上述最佳停车时间的选择，可以给出启发性的论据。尽早锻炼从来都不是最佳选择≥ K，因为payoff函数等于0。因此，人们会等到过程降至某个u级以下≤ K、 另一方面，如果q<0，那么当S=0时，美式看跌期权的价值支配着支付函数，因为当q<0时，supτ∈TE[e-qτ（K- 0）+]=K supτ∈TE[e-qτ]>K。这意味着基础资产的价格不能太小。

因此，如果最好尽早锻炼，那么停止区域为*, u*] 对于某些最佳级别l*和u*.形式上，停车区域的结构（3.2）遵循以下事实，这可能是自己感兴趣的。引理2。值函数在开集（0+∞) 最佳停止规则的形式为（3.2）。证据由于看跌期权的支付函数是连续的，【Peskir和Shiryaev（2006），第2.2条，第29页，第2.9条，第46页，第2.10条，第48页和（2.2.80），第49页】最优停止规则由（3.3）τ给出*:= inf{t≥ 0:eV（eSt）=（K-eSt）+}。要确定其特殊形式，请观察欧式期权价格-qt（K- St）+]在标的资产中是严格凸的。事实上，首先观察到，从其定义来看，该价格是连续的。然后，在不丧失一般性的情况下，从经典的论证中，我们可以假设这个价格也是不同的。在最后一步中，我们遵循[Bergman et al.（1996）]大量使用的事实是，在我们的案例中，原木价格与processeX的初始位置呈线性关系。现在，根据[Ekstrom（2004），Cor.2.6]的证明（最后一步的到期日趋于完整），我们可以得出EV（s）也是凸的结论。根据定义，V（s）也没有增加。此外，对于s>K，eV（s）不能平滑地粘贴到零。实际上，根据我们的假设，对于任何s>K，eV（s）>0，因为eV（s）≥ 叶舍-qτl，u（K-eSτl，u）+i≥ （K）- u） Es公司e-qτl，u> 这意味着函数EV和函数K- s最多可以交叉两次。换句话说，停止区域必须是一个间隔或半行。备注1。在本文中，我们决定只处理有限时间范围内的情况，但部分结果也适用于有限到期情况。

例如，定义V（（S（t），t）=ess supτ∈Tt，TEe-q（τ-t）K-eSτ+| 英尺对于成熟度T，其中Tt是满足T的停止时间集≤ τ ≤ T，继[Ekstrom（2004）]之后，我们可以证明V（s，T）相对于s是非递增且凸的（另请参见[Lamberton and Mikou（2012），Prop.2]。As（K- s）+≤ V（s，t）≤ V（s）和V（0，t）=e-q（T-t） K>K表示负q，如果有限到期期权具有[l]形式的执行区域*, u*], 那么V（s，t）有一个形式为[l（t），u（t）]的运动区域（取决于t），其中0≤ l（t）≤ l*≤ u*≤ u（t）≤ K、 8 M.De Donno–Z.Palmowski–J.TumilewiczIf，与我们的例子一样，q<0，那么当s接近0时，函数V严格大于K，因此停止区域必然是一个区间。确定最佳水平l*和u*, 我们必须计算停止规则（3.2）的值函数。请注意，这些参数适用于任何L'evy过程。单边跳跃的附加假设允许显式计算值函数。Letv（x，l，u）：=E（x）e-qτl，uK- eXτl，u+, bv（x，l，u）：=E（x）e-qτl，uK- ebXτl，u+forx：=对数s。在下面的引理中，我们用过程X的标度函数W（q）表示函数v和bv，对于光谱负的情况和过程-bX表示光谱正的情况。引理3。设Xt为谱负L'evy过程。

假设Φ（q）定义良好，且Φ（q）<0。（i） 然后函数v由v（x，l，u）=（K）给出- ex）（x∈[l，u]）+K- 埃尔e-Φ（q）（l）-x） （x<l）（3.4）+（Z∞Z（0，∞)e-Φ（q）（l）-u+y）∨0K- 埃尔∨（u）-y）r（q）（x）- u、 z）π(-z- dy）dz+（K- eu）σW（q）0（x- u）- Φ（q）W（q）（x）- u）)（x>u），其中r（q）（x，z）=e-Φ（q）zW（q）（x）- W（q）（x）- z） 是退出时终止的进程xtkill的预解密度[0，∞).（ii）然后对于光谱正的L’evy过程bxt=-Xtwe havebv（x，l，u）=（K- ex）（x∈[l，u]）+（K- 欧盟）e-Φ（q）（x）-u） （x>u）+（Z∞Z（0，∞)e-Φ（q）（l）-u+y）∨0K- e（l+y）∧ur（q）（l）- x、 z）π(-z- dy）dz+K- 埃尔σW（q）0（l- x）- Φ（q）W（q）（l）- x）)（x<l）。证据为了证明第一种情况（i），请注意，我们只能考虑u<log K。实际上，如果u≥ log K，则payoff为零，因为（K- eu）+=0。这无法产生最佳值，因为等待时间更长会产生非零回报。根据这一假设，我们可以将值函数重写为以下v（x，l，u）：=E（x）he-qτl，uK- eXτl，ui、 由于过程X在光谱上是负的，当它开始低于l时，它以连续的方式进入区间[l，u]，因此Xτl，u=l。因此，对于X<l，我们得到v（X，l，u）=E（X）he-qτ+l；τ+l<∞我K- 埃尔= e-Φ（q）（l）-x）K- 埃尔.上面给出的第一个期望是所谓单侧退出问题的解决方案，是L'evy过程的一个众所周知的识别（见【Kyprianou（2006），定理8.1）】。如果x>u，则有两种情况：要么基础进程x进入向下的区间[l，u]，要么进程x从（u，∞) 至(-∞, l） 在它进入【l，u】之后，也就是说，它进入【l，u】并向上爬行。注意，X不可能从[u]跳下，∞) 至(-∞, l] 然后再回到【u】，∞) 因为它只有向下的跳跃。

我们可以在函数中将这两种情况分开，如下v（x，l，u）=E（x）he-qτl，u（K- eXτl，u）；τ-u<τ-李+鄂（x）河-qτl，u（K- eXτl，u）；τ-u=τ-li（3.5）右侧方程中的第一项对应于过程X通过跳跃或向下爬行至u级进入区间【l，u】的情况。当σ>0时，最后一种情况是可能的（参见【Kyprianou（2006），美式期权9练习7.6的双延拓区域】）。ThusE（x）he-qτl，u（K- eXτl，u）；τ-u<τ-li=E（x）he-qτ-u（K- eXτ-u） ；Xτ-u∈ [l，u]i=Z（l，u）（K- es）E（x）he-qτ-uXτ-u∈ dsi+（K- eu）E（x）he-qτ-uXτ-u=ui=Z（0，u-l）K- 欧盟-yE（x-u） 他-qτ-; -Xτ-∈ dyi+（K- eu）E（x-u） 他-qτ-; Xτ-= 0i。【Kyprianou（2006）第8.4章】E（x）he中给出了下文第一段的联合法以及目前的立场-qτ-; -Xτ-∈ dyi=Z∞他-Φ（q）zW（q）（x）- W（q）（x）- z） i∏(-z- dy）dz，（3.6）E（x）he-qτ-; Xτ-= 0i=σhW0（q）（x）- Φ（q）W（q）（x）i。由于（2.2）存在标度函数W0（q）的导数，因此上述第二个公式得到了很好的定义。方程式（3.5）右侧的第二项是指过程X首先从（u，∞) 至(-∞, l） 然后，进入【l，u】。注意，当过程跳到l级以下时，它从Xτ开始向上爬行-l<l.HenceE（x）he-rτl，u（K- eXτl，u）；τ-u=τ-li=E（x）he-rτl，u（K）- eXτl，u）；Xτ-u<li=排气-rτ-uE（Xτ-u） 他-rτl，u（K- eXτl，u）i；Xτ-u<li=Z（u-l、，∞)E（x-u） 他-qτ-E（u-y） 他-qτl，uK- eXτl，ui；-Xτ-∈ dyi=Z（u-l、，∞)e-Φ（q）（l）-u+y）K- 埃尔E（x-u） 他-qτ-; -Xτ-∈ dyi。适用共同法律τ-u、 Xτ-u前面的（3.6）中给出了x>u的断言∈ [l，u]然后过程进入的第一个时刻立即发生[l，u]，即τl，u=0，值为K- 这就完成了第（i）部分的证明。案件（ii）的证据类似。我们在以下定理中总结了我们的发现。定理1。