带负数的美式和摆动期权的双连续区域

假设在引理3中计算的值函数v（x，l，u）和bv（x，l，u）分别适用于谱负和谱正对数资产l'evy价格过程，允许唯一的最大化子l*= 埃尔*和u*= 欧盟*.然后，在完全不对称的L'evymarket中，负利率美式看跌期权的停止集不是空的，并且L'evymarket的最优停止规则是有限的，如（3.2）所示*= 埃尔*和u*= 欧盟*. 在这两种情况下，永久美式期权的价格分别为vp（s）=supl≤uv（对数s，l，u）=v（对数s，l*, u*),bVp（s）=supl≤ubv（对数s，l，u）=bv（对数s，l*, u*).传统上，最佳停车区域是使用连续平滑条件确定的。虽然我们不需要它们来证明我们的结果，但我们在下面的命题中表明，事实上，在温和假设下，最优水平l*和u*满足这些条件。提案1。假设最优停止规则是有限的，即停止区域是非空的。考虑以下平滑和连续的fit条件：xev（x，l*, u*)|x个↑l*=xev（x，l*, u*)|x个↓l*（l处光滑*),xev（x，l*, u*)|x个↓u*=xev（x，l*, u*)|x个↑u*（u处光滑*),ev（x，l*, u*)|x个↑l*= ev（x，l*, u*)|x个↓l*（在l处连续fit*),ev（x，l*, u*)|x个↓u*= ev（x，l*, u*)|x个↑u*（在u处连续fit*).（i） 最优值函数ev（x）=ev（x，l*, u*) 对于完全不对称的L'evy过程，永久美式看跌期权始终满足连续的fit条件。（ii）如果0对于(-∞, 0），则u满足平滑原则*.（iii）如果0是（0，∞), 然后满足l的平滑原则*.10 M.De Donno–Z.Palmowski-J.Tumilewicz（iv）有界变差的IfeXtis和d：=极限↓0eXtt>0，则u处的平滑原则*不满足。（v）如果有界变化的范围和d<0，则在l*不满意。备注2。

给出了关于波动率σ和跳跃测度∏的负半线正则性为0的等价条件，例如，。在【Alili和Kyprianou（2005），第7号提案】和【Lamberton和Mikou（2012），第4.1号提案】中。备注3。我们没有给出计算最佳阈值l的任何具体程序*, u*. 主要原因是，对于一类广义的负L'evy过程X，标度函数W（q）（X）是一些指数函数的线性组合形式。例如，当跳跃具有相位类型分布时，就是这种情况。在这种情况下，可以显式计算值函数v（x，l，u）和bv（x，l，u）。从而确定最优l*和u*相当于找到最大化这些函数的值l和u。这可以通过显式或任何数值程序来实现，以找到函数的最大值。例如，在第6节的示例中，可以调用一阶条件而不是平滑条件来计算*和u*.证据第一个陈述来自引理2中证明的值函数的连续性。陈述（ii）源自非常相似的论点，如[Lamberton和Mikou（2012），第4.1条和第5.1条]的证明中给出的论点。唯一的解释要求在证明[Lamberton and Mikou（2012），Thms.4.1]eV（u）时出现不等式*) ≥ 欧盟*+hhe公司-qτhgeSτh执行部队（3.7）g（s）：=（K）- s） +和τh：=inf{t≥ 0：eSt<u*} 对于h>0。从值函数的定义来看，这个不等式很简单，因为τhis是一个停止时间，因为通过引理2，我们有ev（u*) ≥电动汽车（u*+ h） 。下临界点L的情况*可以用同样的方法解决*- h而不是u*+ h、 最后，最后两个陈述来自于【Lamberton和Mikou（2012），第5.2条】的证明。

特别是，在这种情况下，不平等[Lamberton和Mikou（2012），（5.13）]是显而易见的（通过将负利率q<0而不是r）。如果我们假设负半直线或正半直线的正则性大于0，即σ>0（3.8），那么我们可以在*和u*. 我们还假设跳跃测度的密度满足（3.9）π（x）≤ C | x|-1.-α在原点附近，对于一些0<α<1和C>0。我们假设XT是光谱负的，因此ev=v。光谱正情况的证明是相同的。在条件（3.8）（同时回顾全局假设（3.9）），我们有（3.10）W（q）∈ C（R+）；参见【Kyprianou et al.（2013），Thm.3.11，p.140】，因此通过引理2和3，我们可以得出v（x，l*, u*) ∈x 6=l时的C（R+）*x 6=u*因为最佳阈值l*和u*不依赖于初始资产价格s=ex。实际上，在这种情况下xv（x，l，u）=- ex（x∈【l，u】+Φ（q）K- 埃尔e-Φ（q）（l）-x） （x<l）（3.11）+（Z∞Z（0，∞)e-Φ（q）（l）-u+y）∨0K- 埃尔∨（u）-y）xr（q）（x）- u、 z）π(-z- dy）dz+（K- eu）σW（q）00（x- u）- Φ（q）W（q）0（x- u）)（x>u）用于xr（q）（x）- u、 z）=e-Φ（q）zW（q）0（x- u）- W（q）0（x- u- z） 美式期权11和11的双续区域xv（x，l，u）=- ex（x）∈【l，u】+Φ（q）K- 埃尔e-Φ（q）（l）-x） （x<l）（3.12）+（Z∞Z（0，∞)e-Φ（q）（l）-u+y）∨0K- 埃尔∨（u）-y）xr（q）（x）- u、 z）π(-z- dy）dz+（K- eu）σW（q）000（x- u）- Φ（q）W（q）00（x）- u）)（x>u）用于xr（q）（x）- u、 z）=e-Φ（q）zW（q）00（x- u）- W（q）00（x- u- z） 。因此，我们可以应用变量公式的变化。从定理1可以得出v（x，l*, u*) 是美式看跌期权的价值函数，根据一般最优停止理论，我们知道v（x，l*, u*) 支配Payoff函数和e-qtv（Xt，l*, u*) 是asupermartingale（见【Peskir和Shiryaev（2006）】）。让我们关注边界u*.

由于值函数支配Payoff函数，且两者都是非递增且凸的，因此我们得到了（3.13）xv（x，l*, u*)|x个↓u*≥xv（x，l*, u*)|x个↑u*.为了证明相反方向的不等式，我们使用了【Eisenbaum和Kyprianou（2008），第208页】中提出的变量公式的变化以及Dynkin公式-qtv（Xt，l*, u*) =Mt+v（x，l*, u*) +Zt（A- q） v（Xs，l*, u*) ds+Zt（A- q） v（Xs，l*, u*) ds+Zte-qs公司x（v）（Xs+，l*, u*) - v（Xs-, l*, u*)) dLu*s、 其中mt是局部鞅，Lu*sis当地时间X在u*, A是X和v（X，l）的微型生成器*u*) =v（x，l*, u*)|x> u型*和v（x，l*u*) = v（x，l*, u*)|x个≤u*. 请注意，通过引理3和（3.10），函数vand vare在微型生成器A的域中（见[Eisenbaum和Kyprianou（2008），Thm.2]）。现在，根据最优停车的一般理论（详见【Peskir和Shiryaev（2006）】），我们知道-qtv（Xt，l*, u*)是一个超级艺术家。因此，E（x）Ztw（A- q） v（Xs，l*, u*) ds+Ztw（A- q） v（Xs，l*, u*) ds+Ztwe-qs公司x（v）（Xs+，l*, u*) - v（Xs-, l*, u*)) dLu*s≤ 0（3.14）表示任何0≤ w≤ t、 根据【Eisenbaum和Kyprianou（2008），Thm.3】，过程如下：→Ztwe公司-qs公司x（v）（Xs+，l*, u*) - v（Xs-, l*, u*)) dLu*任何有限区间上无界变化的sis与假设下的Xtis相似（3.8）。另一方面，过程t→Rt（A- q） v（Xs，l*, u*) ds和t→Rt（A- q） v（Xs，l*, u*) ds具有有界变化。因此，Taking→ 在（3.14）中，我们可以得出以下结论：u（w，t）：=E（x）Ztwe-qs公司x（v）（Xs+，l*, u*) - v（Xs-, l*, u*)) dLu*s≤ 0（3.15），对于所有非常小的w和t。实际上，假设相反，对于一些w<t，我们有U（w，t）>0。作为本地时间Lu*这是不减损的，只有当工艺X进入半线（u*, ∞) 离开集合(-∞, u*), 然后，取x=u*, 从（3.13）中，我们得到U（w，t）等于其变化量，即+∞.

ThenU（w，t）+E（x）Ztw（A- q） v（Xs，l*, u*) ds+Ztw（A- q） v（Xs，l*, u*) ds公司≥ U（w，t）+（w- t） E（x）infs∈【w，t】（（A- q） v（Xs，l*, u*) + （A）- q） v（Xs，l*, u*)) = +∞这与（3.14）相矛盾。12 M.De Donno–Z.Palmowski-J.TumilewiczFrom（3.15）以下不等式必须成立xv（x，l*, u*)|x个↓u*-xv（x，l*, u*)|x个↑u*≤ 该不等式与已证明的逆不等式xv（x，l*, u*)|x个↓u*≥xv（x，l*, u*)|x个↑u*完成u处平滑特性的证明*. l的平滑特性*后跟类似的参数或直接计算。摆动看跌期权一种多重停止期权，即所谓的摆动期权，是一种带N的导数≥ 1练习机会之间有一定的折射期。设{δi}N-1i=1b连续运动时间之间的折射周期。我们假设δ是正随机变量，而δi没有原子。永续摆动期权的价值定义如下：V（N）p（s）：=V（N）（s）：=supτ∈T（N）Es“NXi=1e-qτi（K-eSτi）+；τi<∞#,（4.1）对于某些执行价格K>0，其中tn：={τ=（τ，…，τN）：τ∈ T和τi=τi-1+δi-1+ ζ o θτi-1+δi-1对于ζ∈ T和i=2。。。，N} ，（4.2），其中θ是与x的转移概率相关的移位算子。请注意，V（1）（s）是上一节中分析的美国看跌期权的值，该条件（3.1）意味着V（N）（s）<+∞. 为了解决摆动期权的最优停止问题（4.1），我们遵循【Leung et al.（2015）】的方法，并递归定义以下单个最优停止问题：eV（k）（s）：=supτ∈特什-qτg（k）（eSτ）；τ < ∞i（4.3）带g（k）（s）：=g（s）+Eshe-qδkeV（k-1） （eSδk）i（4.4），对于（3.7）中给出的g（s），k=1。。，N andeV（0）（s）：=0。引理4。每k∈ {1，…，N}和所有s∈ [0, ∞) 函数evk（s）是s-证明的一个非增凸函数。我们用归纳法证明了结果。

对于k=1和Payoff函数（3.7），结果直接来自以下事实：美式看跌期权的价值是s的非递增凸函数（参见[Ekstrom（2004），Cor.2.6]）。现在，假设k=l的结果成立- 1对于某些l∈ {2，…，N- 1}. Thusg（k）（s）：=g（s）+Eshe-qδkeV（k-1） （eSδk）i=g（s）+Ehe-qδkeV（k-1） （seSδk）iis与函数g（s）和V（k）一样，对于s也是非增凸的-1） 属于同一类型。我们可以使用[Ekstrom（2004），Cor.2.6]的证明中给出的相同论点来证明ev（l）（s）是s的一个非增凸函数。然后，证明了该主张。根据前面第3节中给出的考虑，我们知道存在*= l*= 埃尔*和u*= u*= 欧盟*对于任何s，EV（1）（s）=g（s）∈ [l*, u*]. 现在我们将这个结果推广到k∈ {2，…，N}改编了[Carmona和Touzi（2008）]中引理2.3的概念。引理5。让0≤ l*≤ u*≤ K、 那么对于所有K∈ {1，…，N}和所有s∈ [l*, u*], 我们有g（k）（s）=eV（k）（s）。证据足以证明EV（k）（s）≤ g（k）（s）开[升]*, u*] 因为逆不等式是微不足道的。根据g（k）的定义，我们可以写出v（k）（s）=supτ∈特什-qτg（eSτ）+e-q（τ+δ）eV（k-1） （eSτ+δ）i≤eV（1）（s）+supτ∈特什-q（τ+δ）eV（k-1） （eSτ+δ）i.从最优停止的一般理论中，我们知道e-qteV（k-1） （eSt）是一个超级角色。因此，我们有thateshe-q（τ+δ）eV（k-1） （eSτ+δ）i≤ 叶舍-q（δ）eV（k-1） （eSδ）i.美式期权13AseV（1）（s）=s的g（s）的双连续区域∈ [l*, u*], 我们上s∈ [l*, u*]eV（k）（s）≤ g（s）+Eshe-qδeV（k-1） （eSδ）i=g（k）（s）。这就完成了证明。

让我们定义递归单停止问题（4.3）-（4.4）的一组停止时间，如下τ*:= inf{t≥ 0:eV（1）（eSt）=g（1）（eSt）}，（4.5）τ*k： =inf{t≥ τ*k-1+δk-1： eV（k）（eSt）=g（k）（eSt）}。（4.6）我们在下面证明了（4.3）和摆动问题（4.1）之间的等价性。因此，通过一般最优停止理论，我们将证明停止时间集τ*:= (τ*, ..., τ*N） （4.7）解决了回转最佳停止问题（4.1）。定理2。使用Putpayoff函数（3.7），在（4.1）中定义的具有N个练习机会的摆动优化停止问题V（N）等于递归单次停止问题（4.3）-（4.4）。摆动问题的最佳停止规则（如果确定）由τ给出*定义见（4.7）。证据首先，注意V（N）（s）≤eV（N）（s），实际上，通过重复下面的计算N次，我们得到eV（N）（s）=supτ∈特什-qτg（N）（eSτ）i=supτ∈T叶舍-qτg（eSτ）i+Eshe-qτEeSτhe-qδeV（N-1） （eSδ）ii= supτ∈T叶舍-qτg（eSτ）i+eSe-q（τ+δ）supν∈三通τ+δhe-qνg（N-1） （eSν）i≥ sup（τ，ν）∈T（2）叶舍-qτg（eSτ）i+Eshe-qνg（N-1） （eSν）i≥ . . . ≥ V（N）（s）。另一方面，我们知道停止时间集{τ*k} （4.6）中定义的Nk=1对于单一递归问题（4.3）是最佳的。因此，我们可以写v（N）（s）=Eshe-qτ*Ng（N）（eSτ*N） i=Eshe-qτ*Ng（eSτ*N） i+Ese-qτ*NEeSτ*Nhe公司-qδeV（N-1） （eSδ）i≤叶舍-qτ*Ng（eSτ*N） i+eV（N-1） （s）=Es“NXi=1e-qτ*ig（eSτ*i） #其中，上述不等式源自e的上鞅性质-qteV（N-1） （eSt）。综上所述，我们得到v（N）（s）≤电动汽车（N）（s）≤ Es“NXi=1e-qτ*ig（eSτ*i） #。从V（N）作为由序列{δi}分隔的所有停止时间上的上确界的定义，可以得出“NXi=1e-qτ*ig（eSτ*（一）#≤ V（N）（s）。这就完成了证明。我们现在给出了摆动看跌期权最优停止规则集的一个特征。定理3。

k次最优停止规则τ*kis输入某个间隔的第一刻Ik：=[l*k、 u型*k] ，即τ*k： ={t≥ τ*k-1+δk-1： eSt公司∈ Ik}，（4.8）其中{l*k} Nk=1和{u*k} Nk=1满足平滑特性。此外，序列{Ik}Nk=1是嵌套的，即[l*k、 u型*k][l*k+1，u*k+1]。14 M.De Donno–Z.Palmowski–J.TumilewiczProof。从引理4我们可以得出结论，对于任何k≤ N函数sev（k）和g（k）是非增凸的。因此，对于一些可能是间隔总和（或半行）的集合，最佳停止时间的形式为（4.8）。为了证明Ikare真间期，有必要证明运动区域是相连的。为此，假设kth演习区域未连接。也就是说，我们假设存在s<ssuch，即s的（4.9）eV（k）（si）=g（k）（si）和v（k）（s）>g（k）（s∈ （s，s）。让我们∈ （s，s）。现在，从经典的Wald Bellman方程（参见[Peskir and Shiryaev（2006），（2.1.6）（2.1.7），第28页）]或直接从第k个优化问题（4.3）（4.10）eV（k）（s）得到≥ maxng（k）（s），Eshe-qτg（k）（eSτ）iot在任何停止时间τ内均成立。用D表示s左侧的停止区域（与s一起）。我们选择τ=inf{t≥ 0：eSt∈ D} 。现在，由于g（k）不增加，观察（4.11）eV（k）（s）≥ 叶舍-qτg（k）（eSτ）i≥ g（k）（s）Ese-qτ> g（k）（s）≥ g（k）（s）。这就产生了一个与事实相矛盾的事实，即ev（k）是连续的，因此lims↑seV（k）（s）=g（k）（s）。为了证明{Ik}Nk=1是嵌套的，我们使用归纳参数。让我们定义一个辅助过程v（k）（eSt）：=e-qteV（k）（eSt）-eV（k-1） （eSt）对于k∈ {1，…，N}，EV（0）（eSt）=0。对于k=1，我们有V（1）（eS）=V（eS），函数V（1）（s）foreS=s等于单个美式看跌期权（1.4）的值。因此，对于k=1，根据停止问题的一般理论，过程V（1）（eSt）是一个超鞅。

此外，从引理5我们知道*, u*]  [l*, u*].现在，假设对于某些n，序列{Ik}nk=1是嵌套的，并且V（h）的上鞅性质对于所有h都是满足的∈ {1，…，n- 1} ，即[l*, u*]  [l*, u*]  ...  [l*n、 u型*n] 安第什夫（h）（eSt）i≤ V（h）（s）=eV（h-1） （s）-电动汽车（h-2） （s）。首先，通过归纳，我们证明了V（n）（eSt）也是一个上鞅。我们定义ω+k：=inf{t≥ 0：eSt∈ [l*k、 u型*k] }，ω-k： =inf{t≥ 0：eSt/∈ [l*k、 u型*k] }。根据最优停止的一般理论，我们知道停止的过程V（n）（eSt∧ω+n）是鞅，因为e-qt∧ω+neV（h）（eSt∧ω+n）是所有h的鞅。此外，过程v（n）（eSt∧ω-n∧ω+n-1） =e-qt∧ω-n∧ω+n-1eV（n）（东部）∧ω-n∧ω+n-1) - e-qt∧ω-n∧ω+n-1eV（n-1） （eSt）∧ω-n∧ω+n-1） 是一个停止的超鞅减去一个停止的鞅，因此是一个超鞅。最后，V（n）（eSt∧ω-n-1） 根据V（k）的定义和δk和SEshV（n）的独立性（eSt∧ω-n-1） i=EsheV（n）（eSt∧ω-n-1) -电动汽车（n-1） （eSt）∧ω-n-1） i=Eshg（n）（eSt∧ω-n-1) - g（n-1） （eSt）∧ω-n-1） i=Eshe-q（δ+t∧ω-n-1)电动汽车（n-1） （eSδ+t∧ω-n-1) -电动汽车（n-2） （eSδ+t∧ω-n-1)i=EshV（n-1） （eSδ+t∧ω-n-1） 我≤EshV（n-1） （eSδ）i=Eshe-qδ电动汽车（n-1） （eSδ）-电动汽车（n-2） （eSδ）i=g（n）（s）- g（n-1） （s）=eV（n）（s）-电动汽车（n-1） （s）=V（n）（s）。所有这些情况以及所有l*kand u公司*给我们一个过程V（n）（eSt）的超鞅性质。与命题1中提出的关于单只美式看跌期权的论点相同，平滑曲线得到了满足。美式期权的双延拓区域15Now，利用V的证明超鞅性质，我们在 输入+1。

的确，对于s∈ [l*n、 u型*n] 我们有：eV（n+1）（s）=supτ∈特什-qτg（n+1）（eSτ）i≤ supτ∈特什-qτg（n）（eSτ）i+supτ∈特什-qτg（n+1）（eSτ）- g（n）（eSτ）i=eV（n）（s）+supτ∈特什-q（τ+δ）eVn（eSτ+δ）-电动汽车（n-1） （eSτ+δ）i=eV（n）（s）+supτ∈TEshV（n）（eSτ+δ）i≤eV（n）（s）+EshV（n）（eSδ）i=eV（n）（s）+（g（n+1）（s）- g（s））- （g（n）（s）- g（s））=eV（n）（s）- g（n）（s）+g（n+1）（s）=g（n+1）（s）。这证明了ev（n+1）（s）=g（n+1）（s），因此[l*n、 u型*n] [l*n+1，u*n+1]。5、put调用Symmetryletext是一个完全不对称的L'evy过程。我们记得ext有拉普拉斯指数（2.1）eψ（φ）=uφ+σφ+ZR \\{0}eφu- 1.- φu（| u |<1）π（du），其中u=q- δ -σ-RR（右后）欧盟- 1.- u（| u |<1）π（du）乘以（2.3）。我们记得，δ表示股息率。ProcessEx可以通过其三元组（u，σ，π）进行识别。在本节中，我们将发现永久美式看涨期权和看跌期权的价值和行使区域之间的关系，即所谓的看跌对称。我们表示byVp（s，K，q，δ，σ，π）：=supτ∈工商业污水附加费e-qτK-eSτ+= supτ∈TE（对数s）e-qτK- eeXτ+永久美式看跌期权和byVc的价值（s，K，q，δ，σ，π）：=supτ∈工商业污水附加费e-qτeSτ- K+= supτ∈TE（对数s）e-qτeeXτ- K+永久美式看涨期权的价值。如果贴现率q<0，则第3节中给出的论点（另见【Battauz et al.（2012）】）表明，个人美式看跌期权要么从未行使，要么承认两个临界价格l确定的双连续区域*p=l*= 埃尔*p=el*≤ 欧盟*= 欧盟*p=u*= u*p≤ K、 Letvp（s，K，q，δ，σ，π，l，u）：=E（对数s）e-qτl，uK- eeXτl，u+vc（s，K，q，δ，σ，π，l，u）：=E（对数s）e-qτl，ueeXτl，u- K+对于τl，ugiven in（3.2）和defineq∏（dy）：=e-y∏(- dy）。引理6。对于所有log K<l<u，我们有vc（s，K，q，δ，σ，π，l，u）=vp（K，s，δ，q，σ，q∏，log s+log K- u、 对数s+对数K- l） 。（5.1）证明。我们证明了foreX=X的结果是谱负的。