带负数的美式和摆动期权的双连续区域

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英文标题：
《Double continuation regions for American and Swing options with negative
  discount rate in L\\\'evy models》
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作者：
Marzia De Donno, Zbigniew Palmowski, and Joanna Tumilewicz
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper we study perpetual American call and put options in an exponential L\\\'evy model. We consider a negative effective discount rate which arises in a number of financial applications including stock loans and real options, where the strike price can potentially grow at a higher rate than the original discount factor. We show that in this case a double continuation region arises and we identify the two critical prices. We also generalize this result to multiple stopping problems of Swing type, that is, when successive exercise opportunities are separated by i.i.d. random refraction times. We conduct an extensive numerical analysis for the Black-Scholes model and the jump-diffusion model with exponentially distributed jumps.
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中文摘要：
在这篇文章中，我们研究了指数Levy模型中的永久美式看涨期权和看跌期权。我们考虑在许多金融应用中产生的负有效贴现率，包括股票贷款和实物期权，其中履约价格可能以高于原始贴现系数的速度增长。我们证明了在这种情况下，会出现一个双连续区域，并确定了两个临界价格。我们还将这一结果推广到摆动型多个停止问题，即当连续的运动机会被i.i.d.随机折射时间分隔时。我们对Black-Scholes模型和具有指数分布跳跃的跳跃扩散模型进行了广泛的数值分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Double_continuation_regions_for_American_and_Swing_options_with_negative_discoun.pdf (926.37 KB)

2022-6-2 20:17:56 上传

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关键词：Mathematical Continuation Quantitative Applications mathematica

Levy模型中具有负贴现率的美式期权和摆动期权的双连续区域Marzia DE DONNO、ZBIGNIEW PALMOWSKI和JOANNA TUMILEWICZAbstract。本文研究了指数L'evy模型中的永久美式看跌期权。我们考虑在许多金融应用中产生的负效应贴现率，包括股票贷款和实物期权，其中执行价格可能以高于原始贴现率的速度增长。我们展示了在这种情况下，出现了一个双连续区域，我们确定了两个临界价格。我们还将这一结果推广到挥杆型的多个停止问题，即当连续的练习机会被i.i.d.随机折射时间分隔时。我们对Black-Scholes模型和具有指数分布跳跃的跳跃扩散模型进行了广泛的数值分析。关键词。美式选择？负利率？最佳停车？列维处理内容1。导言22。列维型金融市场53。美国看跌期权64。回转认沽期权125。put调用对称156。数值分析176.1。Black-Scholes型号176.2。跳跃扩散模型187。结论和未来工作22确认23参考23日期：2019年1月7日。由国家科学中心在2016/23/B/HS4/00566（2017-2020）和2016/23/N/ST1/01189（2017-2019）资助。2 M.De Donno–Z.Palmowski–J.Tumilewicz1。本文研究了最优停止问题（1.1）supτ∈特赫-qτG（eSτ）if对于资产价格est=eeXt，其中ex是不对称的L'evy过程，G（x）=（K- x） +或G（x）=（x- K） +，T是一系列关于X的自然过滤的右连续增强的停止时间，满足通常条件，但与标准假设相反，我们取q<0。

当τ=+∞, 对应于提前顶起次优的情况，我们使用e-qτ·0=0。在金融市场背景下，这个问题的解决方案是在利率为负的利维市场中，永久美式期权的价格。我们的分析随后扩展到一种更为普遍的美式期权，称为摇摆期权，它允许通过i.i.d.随机折射时间分隔多个锻炼机会。过去几年中，负贴现率的非标准假设受到了一些关注，因为金融中的一些决策问题都属于这一范畴。其中一个主要例子涉及黄金贷款。金融危机之后，抵押借款增加了。国债和股票是金融机构通常接受的抵押品，但黄金在世界各地的使用越来越多；参见【Cui和Hoyle（2011）】。印度主要的非银行金融公司，如Muthoot Finance和Manappuram Finance，在黄金抵押贷款方面相当活跃。正如【Churiwal和Shreni（2012）】在其对印度黄金贷款市场的调查中所报告的，黄金贷款往往具有较短的到期日和较高的息差（借款利率减去无风险利率），即使其显著低于没有抵押品的情况。提前还款期权很常见，允许在到期前的任何时间赎回黄金。在黄金贷款中，借款人在时间0（合同生效日期）收到贷款金额K>0，使用一个质量单位（比如说一金衡盎司）的黄金作为抵押品，必须实际交付给贷款人。该金额在合同规定的固定借款利率γ下增长（通常高于无风险利率r）。因此，在时间t偿还贷款的成本由Keγt给出。偿还贷款时，借款人赎回黄金，合同终止。

在我们的模型中，我们假设黄金持有的存储和保险成本为每单位时间的Stc>0，其中Sti是黄金现货价格，其动态受指数L'evyproces控制；具体而言，“St=e”xt其中“xt”是一个L'evy过程，这是一个c'adl'ag过程，其在非重叠时间间隔内的增量是独立且平稳的。“阻碍风险中性措施”的动态是，贴现价格-rt是一个鞅，即E St=ertE；参见例如[赫尔（2011）]。如果作为分析的第一步，我们假设可以在任何时候进行赎回（永久合同），则到期日不确定的合同价值在0时为isVc：=supτ∈特赫-rτ\'Stect公司- Keγτ+|\'S=si=supτ∈TE公司e-qτ美国东部时间- K+eS=s对于q=r- γ、 eSt=\'Ste-γt+ct=eeXtandeXt=(R)Xt- γt+ct为满足（1.2）EeeXt=e（r）的L'evy过程-γ+c）tEeeX=e（q+c）tEeeX。因此，该价格等于永久美式看涨期权的初始值，即（1.1），其中G（x）=（x- K） +，根据鞅测度计算，因此满足（1.2）。[黄金世界理事会]的数据显示，从1979年1月3日至2013年5月5日，以印度卢比表示的黄金现货价格日对数变化的年化历史收益率为21.4%。平均存储/保险成本约为2%，其他参数可选择如下：r=8%、c=2%和γ=17%。那么，在这种情况下，我们有q=r- γ<0，即负贴现率。还有许多其他金融产品出现负利率。例如，[夏和周（2007）]考虑股票贷款，这类似于上述黄金贷款，但这里股票被用作抵押品，如果借款人方便，可以随时被视为抵押品。

由于市场利率与美国期权3贷款利率的双续区域之间的差异，此类合同可以简化为永久性美国看跌期权，利率可能为负。事实上，如果投资者在时间0时以利率γ贷款一笔金额K，并以价格S作为抵押品，则股票贷款的价值由VP（S）：=V（S）：=supτ给出∈特赫-rτKeγτ-\'Sτ+|\'S=si，（1.3），其中r是无风险利率。上述工具与经典美国认沽期权之间的本质区别在于与时间相关的履约价格。我们仍然可以将问题（1.3）改写为美式看跌期权形式，如下所示：V（s）=supτ∈特赫-rτKeγτ-\'Sτ+|\'S=si=supτ∈TE公司e-（r）-γ)τK-eSτ+|eS=s= supτ∈TE公司e-qτK-eSτ+|eS=s,（1.4）其中est=e-γt'St=eeXtforeXt='Xt- γt和q=r- γ可能为负值。在实物期权的背景下，[Battauz et al.（2012），Battauz et al.（2014）]考虑一个最优投资问题：企业必须决定何时投资单个项目，并且项目的价值和进入项目的成本都是随机的。该问题归结为美式看跌期权的估值问题，其中基础是随机成本与项目现值之间的比率（成本价值比），执行价格等于1。如果项目现值的增长率主导贴现率，则利率为负。当投资成本不变时，企业总是可以方便地等待，而且不会提前进行（例如，参见[Dixit et al.（1993）]），因此这种情况通常被忽略。另一方面，结果表明，随机成本的存在使问题具有相关性，因为这可能意味着存在一个定义明确的锻炼区域。

最后一个可能出现负利率的例子是，我们回顾了目前存在的国内非正短期利率市场（如欧元或日元计价市场）：在【Battauz et al.（2017）】中，美国quanto期权（外国证券上的看跌期权或看涨期权）在这些市场中进行了分析。在[Xia and Zhou（2007）]和[Battauz et al.（2012）、Battauz et al.（2014）、Battauz et al.（2017）]中，在假设基础价格按照几何布朗运动演化的情况下，对负利率美式期权的定价和行权区域的识别问题进行了广泛的研究。特别是，[Battauz et al.（2012）、Battauz et al.（2014）、Battauz et al.（2017）]表明，当系数满足一些特殊条件时，会出现一个非标准的双连续区域：不仅当期权不在货币中时，而且当期权在货币中太深时，行使会被最佳推迟。他们明确描述了价值函数和两个临界价格，这两个价格在永久情况下划定了行权区域，并研究了有限到期情况下时间相关边界的性质。在有上限期权的情况下，也可以出现利率为正的双连续区域。关于上限不断增长的封顶期权，请参见【Broadie和Detemple（1995）】；关于两级封顶的封顶期权，请参见【Detemple和Kitapbayev（2018）】。我们的目标是将此分析扩展到电动汽车市场。众所周知，金融市场中的证券动态可以通过跳跃过程更准确地描述。事实上，一些实证研究表明，股票的对数价格比正态分布有更大的左尾，正态分布是Black-Scholes模型的基础。

金融市场中跳跃的引入可以追溯到[默顿（1976）]，他在标准布朗运动中加入了复合泊松过程，以更好地描述资产对数的动态。自那以后，许多论文都写过关于在金融市场建模和衍生品定价中使用一般列维过程的文章（例如参见[Cont和Tankov（2003），Schoutens（2003）]）。在用于建模股票价格过程演变的L’evy过程的最新示例中，我们参考了【Nielssen（1998）】的正态逆高斯模型、【Eberlein和Keller（1995）】的双曲线模型、【Madan和Seneta（1990）】的方差gamma模型、【Carr等人（2002）】的CGMY模型，和回火稳定过程【Koponen（1995）】首次引入，并由【Boyarchenko和Levendorskii（2002）】扩展。许多论文研究了列维市场中的美式期权。【Aase（2010）】研究永久看跌期权，并在跳跃扩散模型中描述延续区域。在一般的电动汽车市场中，[Mordecki（2002）]根据电动汽车过程的上确界和下确界定律，获得了永久看涨期权和看跌期权及其临界价格的闭合公式。【Boyarchenko和Levendorskii（2002）】利用维纳-霍普夫分解和分析方法推导出一大类L'evy过程的闭合公式，并在某些特殊情况下找到显式表达式。[Asmussen et al.（2004）]也使用维纳-霍普夫分解计算美式看跌期权的价格，但专注于具有双边相位型跳跃的L'evy过程。【Baurdoux和Kyprianou（2008）】使用波动理论给出Mordecki结果的另一种证明；另见【Baurdoux（2007）】和【Alili和Kyprianou（2005）】，以及其中的参考文献。4 M.De Donno–Z.Palmowski-J。

TumilewiczA在由微分过程驱动的最优停止问题理论中广泛使用的主要技术是值函数和最优边界的自由边界公式。自由边界公式主要包括一个偏微分方程和（除其他边界条件外）用于确定未知边界和指定值函数的连续平滑粘贴条件；参见【Peskir和Shiryaev（2006）】。在Levy市场的背景下，【Surya（2007）】为连续和平滑的粘贴条件提供了充分和必要的条件（另请参见【Lamberton和Mikou（2012）】）：特别是，非零波动性假设被证明是基本的。在【Alvarez和Tourin（1996年）、Boyarchenko和Levendorskii（2002年）、Cont和Tankov（2003年）、Kyprianou和Surya（2007年）】、【Lamberton和Mikou（2012年）】中，也考虑了基础过程退化的特殊情况。波动率非零的列维市场的另一个特殊情况是跳差市场。在这种情况下，变分不等式方法和边值问题的粘性解都被用来研究美式期权；参见【Lamberton和Mikou（2012年）、Pham（1997年）、Pham（1998年）】。我们还参考了【Detemple（2014）】中的第7节，了解跳跃差异模型中美式期权的一般调查和其他参考资料。本文提出了一种新的美式期权定价方法。为了说明这一点，我们将重点放在put选项上。永续期权的价格是最底层初始值的凸函数，如果利率为非负，则当终止为0时，价格为K，否则为完整。此外，它始终支配着支付功能，并在运动区域与之一致。

因此，如果是最佳的早期练习，我们可以推导出一个单一的连续区域（当利率为非负时，停止区域为半线）或一个双重连续区域（当利率为负时，停止区域为区间）。我们的方法包括考虑所有可能的临界价格对，这些临界价格对可能划定练习区域并使其上的价值函数最大化：这样，我们就得到了双连续区域存在的必要和充分条件。为了计算界定停止区域的两个临界价格，我们需要计算封闭区间的进入时间的拉普拉斯变换。在列维过程中，这是一个非标准问题，因为他们可能跳过时间间隔而不输入它。尽管如此，我们还是设法解决了单侧L'evy过程的这个问题，也就是说，对于L'evy过程，要么没有正跳（所谓的谱负L'evy过程），要么没有负跳（所谓的谱正L'evy过程）。在金融建模中，电动汽车市场单边跳跃的假设非常常见。例如，它出现在【Baurdoux和Kyprianou（2008）】、【Baurdoux（2007）】、【Surya（2007）】、【Alili和Kyprianou（2005）】、【Avram等人（2004）】和【Chan（2005）】中。此外，还可以在[Gerber和Shiu（1998）]中找到它，他们利用它来计算跳跃扩散模型中永久美式看跌期权的价格和最佳行使策略，并在[Chesney和Jeanblanc（2004）]中找到它，他们评估货币美式期权。

类似地，[Barrieu和Bellamy（2005）]通过实物期权方法在跳跃式差异框架中分析投资问题：他们将其表述为一个关于项目价值和成本之间比率的美国看涨期权问题，假设该比率仅向下跳跃，以代表市场危机。在完全不对称L'evy过程的波动理论中，一个核心工具是所谓的标度函数，它通常用于研究退出问题。对于我们的入口问题，我们推导出了用这些函数确定停止区间两端和美式期权价格的方程。随后，我们详细分析了两个案例，Black-Scholes市场和指数跳跃的跳跃扩散市场，在这两个案例中可以进行显式解和广泛的数值分析。我们强调，本文提出的新方法不需要平滑条件。尽管如此，我们还是证明了这一点在我们的案例中是成立的。光滑函数的最一般条件来自【Lamberton和Mikou（2012），第4.1、5.1和5.2条】中给出的参数，这些参数基于变分不等式方法。在波动率严格为正（σ>0）的更严格假设下，我们基于It^o的L'evy过程公式的扩展版本，给出了这一事实的一个新证明，该公式涉及分离两个区域的曲线上的局部时间，以解释可能的跳跃；参见【Eisenbaum（2006）】、【Eisenbaum和Kyprianou（2008）】、【Peskir（2005）】、【Surya（2007）】。注意，这种方法不同于大多数论文中使用的方法，其中该条件用于确定未知边界，也用作“经验法则”；见【Peskir和Shiryaev（2006），第49页】。