沿着随机布朗桥进行交易的最佳时机

例如，在图1（a）中，我们有p=p=0.5，这意味着大约一半的路径将在X+δuor X+δd处结束。如例1-3所示，终端原木价格分布的规格直接影响Xt的漂移。为了更好地观察D的不同分布下漂移A（t，x）的不同结构，我们在图2中绘制了t=0.1（面板（A））和t=0.8（面板（b））下的函数A（t，x），三个分布共享相同的平均值和方差。在正态分布下，A（t，x）在x中是线性的。相反，在两点分布和双指数分布下，A（t，x）既不是线性的，也不是m。此外，在两点分布下，A在股价较低时为正，而n在股价相对较高时为负，这意味着资产价格在价格较低时趋于正漂移，在价格较高时趋于负漂移。然而，在正态分布和双指数分布下，在A中观察到相反的情况。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t0.20.40.60.81.21.41.61.8（a）0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t0.20.40.60.81.21.41.61.8（b）图1：（2.4）的路径模拟，在（a）两点离散分布和（b）正态分布之后，对未来原木价格的先验信念。参数：（a）δu=0.3，δd=-0.3，pu=0.5，pd=0。5.（b） u=0，σD=0.3。常用参数：X=1，T=1，σ=0.4-1 0 1 2 3x-20-10两点正态双指数（a）-1 0 1 2 3x-5两点正态双指数（b）图2：在t=0.1（a）和t=0.8（b）时，三种不同分布下的a（t，x），共同均值=0，Var=0.36。参数：（两点）δu=-δd=0.6，pu=pd=0.5；（正常）u=0，σD=0.6；（双指数）θ=0，p=p=0.5，λ=λ=2.357。

常见参数：S=2.72（X=1），r=0.1，`T=1，T=1.1，σ=0.4.3最优清算问题在上述资产价格动态中，我们现在考虑一个持有S资产或S期权的交易者，并试图通过出售证券来最大化预期价值。设f（t，x）∈ C（[0，∞) ×R）是一个通用的奖励函数，表示在时间t以对数价格x从证券销售中获得的价值。我们假设恒定利率R>0，这也是交易者使用的贴现率。为了确定最佳卖出时机，交易者解决了最优停止问题v（t，x）=supτ∈Tt，特内-r（τ-t） f（τ，Xτ）| Xt=xo，（3.1），其中Tt，是关于f的所有s顶部时间的集合，取t和t之间的值，0≤ t型≤\'\'T≤ T这里，’T是期权T到期日之前的交易截止日期。对于本文考虑的所有证券，相关奖励函数f（t，x）通过t定义。这个问题可以用另一种概率形式表示。为此，我们首先定义流程t=e-rtf（t，Xt），0≤ t型≤ T、 （3.2）通过（2.4）和伊藤公式，我们得到了SDEdYt=e-rt公司-rf（t，Xt）+ft（t，Xt）+fx（t，Xt）A（t，Xt）+σfxx（t，Xt）dt+e-rtfx（t，Xt）σdWt=e-rtG（t，Xt）dt+e-rtfx（t，Xt）σdWt，（3.3），其中我们表示ft≡ft、 外汇≡fx、 fxx公司≡fx、 andG（t，x）：=-rf（t，x）+ft（t，x）+fx（t，x）A（t，x）+σfxx（t，x）。（3.4）称为驱动函数的函数G（t，x）（术语见Leung和Shirai（2015）），确定贴现奖励过程中SDE漂移的符号Yt=e-rtf（t，Xt）。积分（3.3）并代入（3.1），值函数可以表示为v（t，x）=supτ∈Tt，TEZτte-r（u-t） G（u，Xu）du | Xt=x+ f（t，x）。

（3.5）重新安排（3.5）中的条款，我们将价值函数V（t，x）和正向函数f（t，x）之间的差异定义为延迟清算溢价，即L（t，x）：=V（t，x）- f（t，x）=supτ∈Tt，TEZτte-r（u-t） G（u，Xu）du | Xt=x. （3.6）对于持有的每个头寸，都有一个嵌入式的出售时机选择权。延迟清算溢价量化了最佳等待行使该时间选项的价值。自V（t，x）≥f（t，x）对于所有（t，x），这是从（3.6）得出的L（t，x）≥ 0表示所有（t，x），表示延迟清算溢价始终为正。根据s标准最优停止理论（Karatzas和Shreve，1998，定理D.12），与V（t，x）或L（t，x）相关的最优清算时间由τ给出*= inf{u∈ [t，\'t]：V（u，Xu）=f（u，Xu）}=inf{u∈ [t，\'t]：L（u，Xu）=0}。（3.7）换言之，当最优清算溢价L消失时，交易员行使时机选择权并平仓是最优的。因此，交易者的最优液化策略可以用执行区域s和延续区域D来描述，即s={（t，ex）∈ [0，T]×R+：L（T，x）=0}，（3.8）D={（T，ex）∈ [0，T]×R+：L（T，x）>0}。（3.9）另一方面，如果延迟清算溢价始终严格为正，则交易方认为等待交易期限结束是最佳选择。特别是，对于所有x，我们可能有l（(R)T，x）>0，因此我们解释τ*=根本不运动。因此，我们现在可以确定立即清算或通过“T”冻结资产/期权头寸的最佳条件。提案4让t∈ [0，\'T]为当前时间。然后，我们有1个。G（u，x）>0，（u，x）∈ [t，\'t]×R+==> τ*=\'\'T。2、G（u，x）≤ 0, （u，x）∈ [t，\'t]×R+==> τ*= t。证据根据（3.5），如果G（u，x）为正（分别为。

阴性）（u，x）∈ [t，\'t]×R+，则在最长（或最短）的停止时间，即τ，使计算的R向函数最大化*=\'T（分别为τ*= t）。除了这两种极端情况外，我们还可以处理其他情况并解决交易者的非对称交易策略。要做到这一点，让我们写下与值函数V（t，x）（见（3.1））相关的变分不等式，其中包含一个通用的逆向函数f（t，x）。首先定义微分运算符{·}：=-r·+·t+A（t，x）·x+σ·x、 （3.10）最优停止问题V由变分不等式（max{LV（t，x），f（t，x）求解- V（t，x）}=0，（3.11），其中（t，x）∈ [0，\'T）×R，终端条件V（\'T，x）=f（\'T，x）f或所有x∈ R、 Werefer to（Leung和S hirai，2015，第7节）详细证明了这种形式的变分不等式强解的存在性和唯一性。更全面的参考文献是Bensoussan和Lions（1982）。我们将在第4节讨论解决最佳交易策略的数值模式。接下来，我们研究股票和期权的交易策略，并研究随机变量D中编码的交易者信念的不同影响。对于每种证券类型，我们将推导相应的驱动函数。然后，它将成为变分不等式（3.11）的输入，该不等式将通过数值求解获得最优交易策略。我们考虑了几种不安全感和信念的组合，以查看策略中的任何重大差异。3.1股票对于出售股票S，奖励函数简单地为f（x）=ex。然后，可以通过（3.4）计算出售股票的驱动函数，由Gstock（t，x）表示。准确地说，我们得到了gstock（t，x）=(-r+A（t，x）+σ）ex，（3.12）（t，x）∈ [0，T]×R。

如图2所示，函数A（t，x）和驱动函数严重依赖于D的规定分布，可能是非线性的。一般来说，很难确定驱动函数Gstock（t，x）的行为。然而，在D的正态分布下，我们分别获得了Gstockin x和in t的以下性质。命题5假设交易者对原木价格的信念服从正态分布，如示例2所示。那么，如果σD>√Tσ和x≤ q（t）-2，或σD<√Tσ和x≥ q（t）-1，（ii）如果σD>√Tσ和q（T）- 2.≤ x个≤ q（t）- 1，（iii）如果σD，则x向上倾斜和凹<√Tσ和q（T）- 2.≤ x个≤ q（t）- 1，（iv）如果σD>√Tσ和x≥ q（t）-1，或σD<√Tσ和x≤ q（t）-2，其中q（t）：=X-uσT+（σ- r） （tσD+tσ（t- t） ）σD- Tσ。命题6假设交易者对原木价格的信念服从正态分布，如示例2所示。那么，（3.12）中的驱动函数是（i）t i fσD中的向下倾斜和凹形<√Tσ和x≥ 十、-uσTσD- Tσ，（ii）如果σD>√Tσ和x≥ 十、-uσTσD- Tσ，（iii）如果σD>√Tσ和x≤ 十、-uσTσD- Tσ，（iv）如果σD，则在T中向上倾斜和凸出<√Tσ和x≤ 十、-uσTσD- Tσ。第6.3节提供了请购单。此外，如果σD=√Tσ，则驱动函数与T无关。在D的正态分布下，当r<uT+σ时，Gstock（T，x）向上倾斜和凸，当r>uT+σ时，向下倾斜和凹。

然而，对于两点离散分布和双指数分布，驱动函数的性质并不明确可用，但可以使用（3.12）对函数进行数值计算。图3给出了卖出股票的最佳交易策略，其信念对应于两点离散分布、正态分布和双指数分布。通常，如图（a）、（b）和（d）所示，我们观察到边界随着时间的推移而变小。这意味着交易员倾向于在股价足够高的时候卖出股票，但随着交易截止日期的临近，他们愿意以更低的价格卖出股票。然而，图3b显示，在d的两点d iscr ete d分布下，最佳边界随时间增加（参见示例1）。请注意，在图3b中，交易者有一个更为不同的信念，即终端股票价格最终会非常高或非常低。在我们的模型下，这表明，如果价格高，交易员将持有该股票，因为交易员认为价格可能会进一步上涨，如果价格低，交易员将出售该股票，因为根据交易员的看法，价格会更低。图3a和3b代表了交易者的两种截然不同的信念。p参数δ的大小指导交易者对新价格信息的反应，并最终指导交易策略。这突出表明，通过选择d的d分布和相关参数，可以显著改变束缚元的行为。在图4中，我们说明了在D的三种不同分布下，最优股票销售策略对多个参数的敏感性。

正如预期的那样，随着cr中D的平均值（左面板）的减小和方差的减小（右面板），边界增大。由于驱动函数在某些分布下的非线性，交易者可能需要采取更复杂的交易策略。正如我们在图5中所示，如果初始股票价格在连续区域内，那么在价格达到行使边界之前，交易方不会出售。然而，连续区域被两个上部和下部断开运动区域夹在中间。这意味着，不仅当价格很高，而且很低时，交易员会卖出股票。当股价非常低时，我们还注意到另一个延续区域。围绕这一延续区域的直觉是，当当前股价如此低时，交易员猜测价格将反弹，并选择持有该股票。图6a显示了d的双指数分布下的不同交易策略。由于较低的延续区域相对较低，对于大多数起始价格，交易者将发现立即出售股票的最佳选择。很明显，交易员先前的信念会影响她的交易策略。在图6b中，参数λ和λ相对较小，d的平均值和方差为0，方差为0.16（参见（2.21）和d（2.22））。与图6a中相同但值方差较小0.09的市场视图相比，图6b中的上延拓区域较小（小t消失），下延拓区域变大。如果交易者采用均值为零、方差为σT的D的正态分布，那么她将永远不会更新对数价格动态，因为X的漂移为零，即。

A（t，x）=0（t，x）。除了这种特殊的退化情况外，交易者可以采用具有不同方差的正常优先级。我们注意到，在图5和图6中的两点离散分布和双指数分布下，连续/练习区域是断开的，但在正态分布下有一个唯一的练习边界。0 0.2 0.4 0.6 0.8时间2.62.83.23.43.6继续锻炼区域（a）0 0.2 0.4 0.6 0.8时间2.22.32.42.52.62.7锻炼区域继续锻炼区域（b）0 0.2 0.4 0.6 0.8时间2.72.82.93.13.23.33.4锻炼区域继续锻炼区域（c）0.2 0.4 0.6 0.8时间2.72.82.93.13.23.4继续锻炼区域d）图3：两点离散分布（a和b）下销售库存的最佳边界，正态分布（c）和双指数分布（d）。每个图的参数如下：（a）δu=-δd=0.1，pu=pd=0.5；（b） δu=-δd=2，pu=pd=0.5；（c） u=0，σD=0.2；（d） θ=0，p=p=0.5，λ=λ=10。常用参数：S=2.72（X=1），r=0.1，(R)T=1，T=1.1，σ=0.4.0 0.2 0.4 0.6 0.8time2.53.54.5u=0.1u=0u=-0.1连续区域锻炼区域（a）0 0.2 0.4 0.6 0.6 0.8time2.62.83.23.43.6σD=0.1σD=0.2σD=0.3连续区域锻炼区域（b）0 0.2 0.4 0.6 0.8time2.53.5pu=0.8pu=0.5pu=0.2连续区域锻炼区域（c）0 0.2 0.4 0.6 0.8时间2.62.83.23.43.6δu=-δD=0.05δu=-δD=0.1δu=-δD=0.13连续区域运动区域（d） 0.2 0.4 0.6 0.8时间2.42.62.83.23.43.63.8 p=0.8 p=0.5p=0.2执行区域继续区域（e）0.2 0.4 0.6 0.8时间2.82.93.23.33.4λ=λ=13λ=λ=λ=10λ=λ=8执行区域继续区域（f）图4：两点离散分布（a&b）、正态分布（c&d）和双指数分布下股票清算的最佳交易边界分配（e&f）。

参数：（a）σD=0.2；（b） u=0；（c） δu=-δd=0.1；（d） pu=pd=0.5；（e） λ=λ=10；（f） p=p=0.5。其他常见参数如图3所示。图5：两点离散分布下股票清算的最佳交易区域。连续区域为黄色（浅色），运动区域为蓝色（深色），它们是断开连接的。参数：δu=-δd=0.8，pu=pd=0.5。常用参数：X=1，r=0.1，(R)T=1，T=1.1，σ=0.4。（a） （b）图6：双指数分布下股票清算的最佳交易区域。连续区域为黄色（浅色），运动区域为蓝色（深色），它们是断开的。（a）的参数：θ=0，λ=λ=4.714，p=p=0.5；（b）的参数：θ=0，λ=λ=3.536，p=p=0.5。常用参数：X=1，r=0.1，(R)T=1，T=1.1，σ=0.4。。3.2买入和卖出期权鉴于历史测度P下的Stock价格服从SDE（2.4），风险中性计数器部分遵循几何布朗运动DST=rStdt+σStdWQt，（3.13），其中Wqt是风险中性测度Q下的标准布朗运动。因此，欧洲买入和卖出期权的无轨道价格可从Black-S choles定价公式中找到。执行价为K且到期日为T的欧洲看涨期权的价格由cbs（T，ex）=Φ（d）ex给出- Φ（d）Ke-r（T-t） ，对于（t，x）（3.14）∈ [0，T]×R，其中d=σ√T- t型ln（ex/K）+（r+σ/2）（T- t）, （3.15）d=d- σ√T- t、 （3.16）将上述内容代入（3.4），我们得到驱动函数调用（t，x）=-RCB（t，ex）+CBS（t，ex）t+CBS（t，ex）xA（t，x）+σCBS（t，ex）x个=-r+A（t，x）+σexΦ（d），（3.17），其中两点、正常、双指数情况下的A（t，x）分别由（2.14），（2.19）和（2.23）计算。在图7a中，我们展示了在D的正常分布下销售欧洲看涨期权的最佳交易策略。

正如我们所看到的，当股价高时，交易者倾向于卖出看涨期权，但随着时间的推移，交易者愿意以较低的价格卖出看涨期权。绿色（亮）线显示Gcall=0的位置，连续区域包含G（t，x）≥ 回想一下，G（t，x）是L（t，x）表达式中的被积函数。当然，如果G（t，x）>0，那么交易方最好继续保持通话，因为她可以通过等待一小段时间来获得正的小保费。同样的论点也适用于股票和看跌期权的情况。接下来，我们考虑欧洲看跌期权的清算。Black-Scholes看跌期权价格由PBS（t，ex）=Φ给出(-d） Ke公司-r（T-t）- Φ(-d） 例如，（3.18），其中K是罢工p大米，T是到期日期，dand dare由（3.15）和（3.16）给出。使用（3.4），相应的驱动函数GputisGput（t，x）=r- A（t，x）-σexΦ(-d） 。（3.19）图7b显示了在正态分布下出售欧洲看跌期权的最佳时机策略。该图显示，当股价较低时，交易员倾向于出售看跌期权0.2 0.4 0.6 0.8timeOptimal BoundaryG=0行使区域>0继续区域（a）0 0.2 0.4 0.6 0.8timeOptimal BoundaryG=0行使区域>0行使区域继续区域（b）图7：在正态分布下出售S=105（a）的欧式看涨期权和S=95（b）的看跌期权的最佳边界。履约价格K=100，到期日T=1，其他参数：u=0，σD=0.1，r=0.1，(R)T=1，σ=0.4。绿线定义为G=0，连续区域包含G≥ 0（即当认沽期权价格较高时），但随着时间的临近，愿意以较高的股票价格（即较低的期权价格）出售。