沿着随机布朗桥进行交易的最佳时机

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英文标题：
《Optimal Timing to Trade Along a Randomized Brownian Bridge》
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作者：
Tim Leung, Jiao Li, Xin Li
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper studies an optimal trading problem that incorporates the trader\'s market view on the terminal asset price distribution and uninformative noise embedded in the asset price dynamics. We model the underlying asset price evolution by an exponential randomized Brownian bridge (rBb) and consider various prior distributions for the random endpoint. We solve for the optimal strategies to sell a stock, call, or put, and analyze the associated delayed liquidation premia. We solve for the optimal trading strategies numerically and compare them across different prior beliefs. Among our results, we find that disconnected continuation/exercise regions arise when the trader prescribe a two-point discrete distribution and double exponential distribution.
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中文摘要：
本文研究了一个最优交易问题，该问题结合了交易者对终端资产价格分布的市场观点和嵌入在资产价格动态中的非信息噪声。我们通过指数随机布朗桥（rBb）对基础资产价格的演化进行建模，并考虑随机端点的各种先验分布。我们求解了出售股票、看涨期权或看跌期权的最优策略，并分析了相关的延迟清算溢价。我们用数值方法求解最优交易策略，并在不同的先验信念下对其进行比较。在我们的结果中，我们发现当交易者规定两点离散分布和双指数分布时，会出现断开的延续/行使区域。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Timing_to_Trade_Along_a_Randomized_Brownian_Bridge.pdf (1.03 MB)

2022-6-2 20:26:06 上传

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关键词：distribution Mathematical Continuation Quantitative Exponential

沿着随机布朗桥交易的最佳时机Tim Leung*Jiao Li+Xin Li2018年8月7日摘要本文研究了一个最优交易问题，该问题结合了交易者对终端资产价格分布的市场观点和嵌入在资产价格动态中的非信息噪音。我们用指数随机布朗桥（rB b）对基础资产价格演化进行建模，并考虑随机端点的各种先验分布。我们讨论出售股票、看涨期权或看跌期权的最佳策略，并分析相关的延迟清算溢价。我们用数值方法求解最优交易策略，并在不同的优先信念之间进行比较。在我们的结果中，我们发现，当交易者规定两点离散分布和双指数分布时，会出现断开的连续/排除区域。关键词：投机交易、布朗桥、最优停止、变分不等式JEL分类：C41、G11、G13数学学科分类（2010）：60G40、62L15、91G20、91G80*华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，邮编98195。电子邮件：timleung@uw.edu.Corresponding作者+APAM系，哥伦比亚大学，纽约，NY 10027；电子邮件：jl4170@columbia.edu.美国银行美林，纽约布莱恩特公园一号，邮编：10036；电子邮箱：xinli。columbia@gmail.com.1引言所有交易者面临的一个基本问题是确定在给定的交易期限内何时出售资产或金融衍生品。最佳交易决策取决于交易员对未来资产价格分布和观察到的价格波动的主观信念。

通过监控资产价格随时间的变化，交易员决定是以现行市场价格出售资产或衍生工具，还是继续等到以后。在本文中，我们通过构建反映两个主要特征的模型来解决这个问题：（i）交易者对终端资产价格分布的市场观点和资产价格动态中嵌入的非信息噪音，以及（ii）产生与交易者资产或衍生品清算相对应的最优停止问题的计时期权。为了描述资产价格的演化，我们提出了随机布朗桥（rBb）模型，其中资产的对数价格遵循布朗桥，随机端点表示随机终端对数价格。反过来，交易者的先验信念和学习机制可以编码在原木价格漂移过程中。我们的模型改编自C artea等人（2016）的新作品。他们将资产的中期收益建模为随机布朗桥，并解决了一个交易问题，即通过下达限制器市场订单，同时惩罚运行库存，使预期交易收入最大化。相比之下，我们模型中的基础资产价格是一个指数rBb，具有不同的随机终点，示例包括离散、正态和双指数分布。此外，我们还引入了一种最优停止方法来解决交易方的清算问题，该方法不仅适用于出售under-lyingasset，而且也适用于上面写的期权。为了解决交易者的最优止损问题，我们设计并应用了许多分析工具。我们确定了最佳清算溢价，该溢价代表了最佳等待出售带来的附加价值，以及即时清算带来的附加价值。事实上，一旦溢价消失，交易员就可以卖出。

另一方面，如果溢价总是非常正，那么交易者会发现等待到期是最佳选择。因此，最优清算溢价不仅提供了新的财务解释，还提供了另一种分析最优停止问题的途径。在我们的结果中，我们确定了立即清算或通过赎回持有资产/期权头寸的最佳条件。此外，我们还证明了在同一交易区间内，清算多头看涨空仓的最优策略与出售标的股票的最优策略是一致的。这种时间奇偶性适用于随机终点的任何分布。此外，我们推导了与最优停止问题相关的变分不等式，并提出了一种求解最优交易边界的有限差分方法。在文献中，布朗桥被用来表示市场的不确定性或非信息性噪音（参见Brody et al.（2008a）、Hughston and Macrina（2012）和Macrina（2014））。本文中的随机布朗桥模型属于基于信息的定价和交易方法。在相关研究中，Brody et al.（2008b）和Filipovi\'c et al.（2012）研究了基于信息的模型，其中资产价格是通过信息过程的条件预期计算的。随机布朗桥或其变体在许多临床应用中具有巨大的潜在适用性。例如，虽然期货价格在理论上应该等于现货价格，但据观察，一些商品期货价格在到期时并不完全收敛于相应的现货价格（见郭和梁（2017））。Brennan和Schwartz（1990）以及Dai等人。

（2011）研究s股指数期货的套利策略，假设指数基础遵循布朗桥。人们还可以在指数跟踪和交易所交易基金中寻找更具潜力的应用（见Leung和Santoli（2016））。随机化端点p在建模未来日期资产价格的随机冲击时提供了更大的灵活性，适用于美联储公告、盈利惊喜等事件（参见Johannes和Dubinsky（2006）、an d Leung和Santoli（2014））。关于涉及布朗桥的最优停止问题，Ekstrom和Wanntorp（2009）在不考虑折扣的情况下考虑了布朗桥的最优单次停止或布朗桥的奇数幂。Ekstr–om和Vaicenavicius（2017）使用最优stoppin g方法来最大化具有未知固定点的布朗桥的预期值。Baurdoux et al.（2015）进一步研究了最优双重问题，即当底层遵循布朗桥时，在进入和退出时间，它们最大化了支付之间的预期价差。Leung和L udkovsk i（2011年，2012年）在关于有限期限下证券交易的最优停止问题的相关研究中，引入了延迟购买溢价的概念，并分析了在不完全市场中购买同等欧洲和美国期权的问题，投资者对资产价格动态的信念可能不同于普遍的市场观点。Leung和Liu（2012）在基于多因素强度的违约风险框架下分析了与信用衍生品相关的延迟购买溢价，并得出了最优交易策略。在Leung和Shirai（2015）中，作者研究了出售受路径依赖风险惩罚的资产或期权的最佳时机。论文的其余部分结构如下。

在第2节中，我们提出了基础资产价格的随机布朗桥模型，展示了不同的先验信念如何封装在与冰动力学相对应的随机微分方程中，并通过蒙特卡罗模拟说明了冰动力学。在第3节中，我们提出并分析了最优清算问题，并给出了数值结果来说明最优交易策略。在第4节中，我们总结了本文中用于在不同设置下解决最优停止问题的数值算法。第6节收集了大量证据。Oshima（2006）、Peskir和Shiryaev（2006）2先验信念和价格动态模型由单个资产组成，其正价格过程由（St）0表示≤t型≤T、 我们模型中的交易员对未来T时间内的股价分布给出了一个先验信念。我们将Xt=log St表示为资产的对数价格，xB表示股票的原始对数价格。交易者的信念由在时间T实现的实值随机变量d描述，因此终端对数价格由xt=X+d给出。（2.1）为了避免套利，我们要求d具有第二阶矩和P（d>rT）∈ （0，1），其中ris为正无风险利率，根据历史概率测度P。随着时间的推移，新信息以资产价格变化的形式出现。价格波动也可以被视为终端对数价格D实现之前的噪声。我们将对数价格过程建模为随机布朗桥。为此，我们首先让（βt）0≤t型≤Tbe a标准布朗桥βt=Bt-tTBT，t∈ [0，T]，（2.2），其中（Bt）0≤t型≤这是一个标准的布朗运动。过程β从0开始，到0结束。它可以被视为信息噪音，在0和T时都会出现。

我们假设过程B和β独立于随机dom变量D。然后，对数价格过程由xt=X+σβt+tTD，t给出∈ [0，T]，（2.3），其中σ>0是一个常数参数。交易员观察资产的价格演变，以及相应的过滤≡ （英尺）0≤t型≤它是由对数价格过程X生成的。换句话说，随着时间的推移，该转换器不会直接观察标准布朗桥β。从数学上讲，这意味着β不适用于F。财务上的解释是β反映了市场中的非信息噪音，如市场情绪和谣言。如果不直接观察βt，则在t<t的任何时候，转换器都无法将XT分解为β和D。在时间T，交易者观察到D的实现，从而观察到XT。参数σ允许我们控制β对原木价格波动的影响。通过检查方程式（2.3），比率可以视为D值的显示率，从时间0完全隐藏到时间T完全显示呈线性变化。根据Cartea et al.（2016）的命题1，对数价格过程满足随机微分方程（SDE）dXt=A（t，Xt）dt+σdWt，（2.4）对于t∈ [0，T]，其中（Wt）0≤t型≤在概率测度P下，这是一个F适应的s标准布朗运动。漂移项isA（t，Xt）=a（t，Xt）- （Xt）- 十） T型- t、 （2.5）式中（t，x）：=E[D | Xt=x]=R∞-∞zexpzx公司-Xσ（T-t）- zt2Tσ（T-t）dF（z）R∞-∞经验值zx公司-Xσ（T-t）- zt2Tσ（T-t）dF（z），（2.6）和F（·）是随机变量D的累积分布函数。我们参考附录Aof Cartea et al.（2016）获取（2.4）的推导。出现在（2.4）中的F-布朗运动可以被认为是交易方可以获得的市场信息。与βt不同，WT的价值包含与风险资产价格相关的真实信息。

（2.4）-（2.6）说明价格创新如何反映D和市场信息流的概率分布。（2.3）中的不完整信息通过将原木价格创新投影到可观察过滤上重新表述为完整信息。从这个意义上讲，基于信息的方法更灵活，可以根据可观察的价格过程添加额外的解释和直觉，正如我们在本文的后续会议中所介绍的那样。为了理解（2.6）中的条件期望，我们从定义[D | Xt=x]=Z开始∞-∞zπt（z）dz，（2.7），其中πt（z）是由πt（z）=ddzP（D）定义的随机变量的条件概率密度或质量函数≤ z | Xt=x）。利用贝叶斯公式，条件概率密度由πt（z）=p（z）ρXt（x | D=z）R给出∞-∞p（z）ρXt（x | D=z）dz，（2.8），其中p（z）表示D的概率密度或质量函数，ρXt（x | D=z）表示给定D=z的随机变量xtom的条件密度函数。根据（2.3），对于任何固定的t∈ [0，T），Xt给定D=z为高斯分布，即XtD=z~ NX+tTz，σtT（T- t）.因此，我们可以表示x的条件概率密度ρx（x | D=z）=σq2πt（t-t） 特克斯普-T（x-十、-tTz）2σt（t- t）.将这个表达式代入（2.8），我们得到πt（z）=p（z）expzx公司-Xσ（T-t）- zt2Tσ（T-t）R∞-∞p（z）扩展zx公司-Xσ（T-t）- zt2Tσ（T-t）dz。（2.9）最后，将（2.9）代入（2.7）后，方程式（2.6）如下。资产价格是由St=exp（Xt）定义的指数rBb。通过伊藤引理，我们得到了第二个=A（t，Xt）+σStdt+σStdWt，0≤ t型≤ T、 （2.10）在本文中，我们将考虑D的三种不同分布：两点离散分布、正态分布和双指数分布。第一个是离散分布，而另两个是连续分布。

与正态分布相比，双指数分布能够产生两个更重的尾巴，可以是对称的，也可以是不对称的。接下来，让我们来说明D的分布对资产价格动态的影响。示例1假设交易者对未来原木价格的先验信念遵循一个两点离散分布，由dδ=（δw，概率pu，δd，概率pd=1）定义- pu，（2.11）分别带均值和方差，E[Dδ]=δupu+δdpd，（2.12）Va r[Dδ]=δupu（1-pu）+δdpd（1-pd）- 2δuδdpupd。（2.13）然后，Xtin（2.4）的漂移项A（t，x）由A（t，x）=t给出- t型δuu（t，x）+δdd（t，x）u（t，x）+d（t，x）- （十）- X）, （2.14）其中u（t，x）=puexpδux- Xσ（T- t）- δut2Tσ（T- t）, （2.15）d（t，x）=Pdexδdx- Xσ（T- t）-δdt2Tσ（T- t）. （2.16）示例1的一个特例是当D是常数δ时。然后，对数价格过程（2.4）是一个简单的布朗桥，从X开始，到X+δ结束。其SDE由dxt=X+δ给出- XtT公司- tdt+σdWt，0≤ t型≤ T、 （2.17）示例2假设交易者对fu tu re log价格的先验信念遵循均值u和方差σD的正态分布，即Dn~ Nu，σD. （2.18）注意σ与（2.4）中的σ不同。Xtin（2.4）的漂移由a（t，x）=（σD）给出- Tσ）（x- 十） +uσTtσD+Tσ（T- t） 。（2.19）推导见第6.1节。作为正态分布的另一种连续分布，我们现在考虑双指数分布，该分布已被用于模拟资产价格的随机-随机跳跃（见Kou（2002））。例3假设交易者对未来对数价格的先验信念由一个双指数随机变量dew表示，其pdff（z）=1{z<θ}pλeλ（z-θ） +1{z≥θ} pλe-λ（z-θ） ，（2.20），其中p，p>0且p=1- p、 Deare的平均值和方差，分别为E[De]=θ-pλ+pλ，（2.21）Va r[De]=2pλ+2pλ- （pλ-pλ）。

（2.22）Xtin（2.4）的漂移由a（t，x）=t给出- t“Pi=1,2Ni（t，x）Pi=1,2Hi（t，x）- （十）- 十） #，（2.23）其中Ni（t，x）=(-1） ipiλi2ζexp-ζ（θ+bi2ζ）经验值（bi- 4ζci4ζ）- piλibi2ζ√π√ζexp（bi- 4ζci4ζ）Φ((-1） 我-1di），Hi（t，x）=piλi√π√ζexp（bi- 4ζci4ζ）Φ((-1） 我-1di），以及ζ ≡ ζ（t）=t2Tσ（t- t） ，bi≡ bi（t，x）=-x个- Xσ（T- t） +(-1） 我-1λi,ci=(-1） 我-1λiθ，di≡ di（t，x）=p2ζ（t）θ+bi（t，x）2ζ（t）,Φ（·）是标准的正态累积分布函数。我们在第6.2节中给出了计算结果。可以使用s tandardEuler Maruyama方法在离散时间内模拟原木价格过程X的路径。表示δt为离散化步骤，设置ti=iδt，对于i=0，1，2。。然后，从Xat时间0开始的X的路径可以迭代模拟如下：Xti+1=Xti+A（ti，Xti）δt+σ√δti，（2.24），其中（i）i=1,2，。。。是IID N（0，1）随机变量的序列。该方法不需要直接模拟随机变量D，因为D的分布特征封装在漂移函数A（T，x）中（见（2.14）、（2.19）和（2.23））。该程序在每个时间步中输入Xtiat的当前值来计算漂移A（ti，Xti），并且每个路径在不知道布朗桥β或实现随机变量D的情况下演化，因为β和D都不会被模拟。这与交易者在T之前无法观察到的事实一致，d只知道对数价格过程X随时间的变化，而不知道布朗桥β。路径将以类似于D的终端分布结束。在示例1中，在D的两点离散分布下，根据（2.24）进行模拟，将生成一条以X+δuor X+δD结束的路径，每个路径的概率分别为Pu和Pd。