沿着随机布朗桥进行交易的最佳时机

因此，随着时间的推移，运动区域会扩大，而continuationregion会缩小。通过使用调用和put的驱动函数（3.17）和（3.19）进行直接计算，并与基础资产的驱动函数（3.12）进行比较，我们得出以下平价结果。引理7（看跌期权平价）考虑一对欧洲看涨期权和看跌期权，其中S、K和T的到期日相同。在D具有相同分布的型号（2.4）下，关联驱动功能满足调用（t，x）- Gput（t，x）=所有（t，x）的Gstock（t，x），（3.20）∈ [0，T]×R.在D分布相同的情况下，考虑具有相同行使和到期日的欧式看涨期权和看跌期权。清算多头看跌期权头寸的最佳策略与在相同交易期限内出售标的股票的最佳策略相同。证据与多头看跌期权头寸相关的延迟清算溢价由看涨期权给出-put（t，x）=supτ∈Tt，TEZτte-r（u-t）Gcall（u、Xu）- Gput（u，Xu）du | Xt=x= supτ∈Tt，TEZτte-r（u-t） Gstock（u，Xu）du | Xt=x（3.21）最后一个期限是与出售股票S相关的延迟清算溢价。作为命题8的一个有趣结果，考虑一对到期日为T的履约Kw的看涨期权和看跌期权，以及另一对到期日为T的履约K和看跌期权≤ 最小值{T，T}。相应的多头看跌期权头寸将产生相同的最佳时机策略。这一策略与出售标的股票的策略相同，标的股票独立于行权和到期日。4数值实现我们现在总结用于解决最优交易问题（3.1）的值函数满足的变分不等式的数值方案。

采用有限差分格式求解最优清算边界。变分不等式组的数值解可以通过使用投影连续超松弛（PSOR）方法应用有限差分格式获得。通过连续过松弛（S或）方法求解得到的值函数方程。我们参考Wilmott等人（1995年，第9章）对项目SOR方法的详细讨论。在确定值函数数值近似的每个SOR迭代步骤中，我们只需取近似函数值和资产支付之间的最大值。然后变分不等式（3.11）承认线性互补形式：LV（t，x）≤ 0，V（t，x）≥ f（t，x），（t，x）∈ [0，\'T）×R+，（LV（T，x））（f（T，x）- V（t，x））=0，（t，x）∈ [0，\'T）×R+，V（\'T，x）=f（\'T，x），x∈ R+。（4.1）我们现在考虑偏微分方程LV（t，x）=0的离散化，在时间（δt=\'t/N）和空间（δx=（Xmax））上具有离散化的过多均匀网格-Xmin）/M），其中xmax和xminar是网格上x值的上限和下限。在结果方程上应用x-导数的Crank-Nicolson方法和t-derivatives的后向差分可以得到网格方程：-αi，j-1六-1，j-1+ (1 - β） 六、j-1.- γi，j-1Vi+1，j-1=αi，jVi-1，j+（1+β）Vi，j+γi，jVi+1，j（4.2），其中系数如下所示：αi，j=δtσ4（δx）-A（tj，xi-1） +A（tj，xi+1）8δx,β = -δtr+σ（δx）,γi，j=δtσ4（δx）+A（tj，xi-1） +A（tj，xi+1）8δx,（4.3）对于i=1，2。。。，M-1和j=1，2。。。，N-1.

时间倒向求解的系统isMj-1Vj-1=rj，（4.4），其中右侧isrj=MjVj+α1，j-1V0，j-1+α1，jV0，j。。。+...γM-1，j-1VM，j-1+γM-1，jVM，j, （4.5）和MJ=1.- β -γ1，j-α2，j1- β -γ2，j-α3，j1- β -γ3，j。。。。。。。。。-αM-2，j1- β -γM-2，j-αM-1，j1- β, （4.6）Mj=1+βγ1，jα2，j1+βγ2，jα3，j1+βγ3，j。。。。。。。。。αM-2，j1+βγM-2，jαM-1，j1+β, （4.7）Vj=V1，j，V2，j，虚拟机-1，jT、 （4.8）这导致了一系列平稳互补问题。由于交易者可以在到期前的任何时候平仓，价值函数V（t，x）必须满足约束条件V（t，x）≥ f（t，x），Xmin≤ x个≤ Xmax，0≤ t型≤\'\'T。（4.9）相应地，离散方案可以写成VI，j≥ fi，j，0≤ 我≤ M、 0个≤ j≤ N、 （4.10）因此，在每个时间步骤j∈ {1，2，…，N- 1} ，我们需要解决线性互补问题Mj公司-1Vj-1.≥ rj，Vj-1.≥ fj公司-1，（Mj-1gj-1.- rj）T（fj-1.- gj公司-1) = 0.（4.11）特别是，我们的算法强制执行支配支付函数的约束，如下所示：VNEW，j-1=最大值沃迪，j-1，fi，j-1.. （4.12）投影SOR方法用于求解线性系统。请注意，约束与V（k+1）i，j同时被加强-1在每次迭代中计算。因此，在每个时间步j，SOR算法是迭代（在k上）方程sv（k+1）1，j-1=最大值f1，j-1，V（k）1，j-1+ω1 - β[r1，j- (1 - β） V（k）1，j-1+γ1，j-1V（k）2，j-1],V（k+1）2，j-1=最大值f2，j-1，V（k）2，j-1+ω1 - β[r2，j+α2，j-1V（k+1）1，j-1.- (1 - β） V（k）2，j-1+γ2，j-1V（k）3，j-1],...V（k+1）M-1，j-1=最大值fM公司-1，j-1，V（k）M-1，j-1+ω1 - β[rM-1，j+αM-1，j-1V（k+1）M-2，j-1.- (1 - β） V（k）M-1，j-1],其中k是迭代计数器，ω是超松弛参数。迭代格式从初始点V（0）j开始-1并继续，直到满足收敛标准，如| | V（k+1）j-1.-V（k）j-1 | |<，w这里的是一个公差参数。

通过定位分隔运动（或销售）区域和延续区域的网格点来确定最佳边界，分别由{（t，x）：V（t，x）=f（t，x）}和{（t，x）：V（t，x）>f（t，x）}定义。5结论性意见我们研究了当标的资产的对数价格遵循随机布朗桥时，出售资产或期权的最佳时机。通过整合交易者对终端股票价格的先前信念，并允许其使用新的价格信息进行更新，这种方法可以阐明信念对最佳交易策略的影响。我们明确推导了不同信念（例如两点离散、双指数和正态分布）下的价格动态，并通过驱动函数分析了相关延迟清算溢价的性质。通过数值求解基本的变分不等式，我们得到了按卖出/持有边界或区域的最优交易策略。特别是，我们发现，根据参数值，在两点离散分布或双指数分布下，股票清算的最佳策略可以限制连接或断开的继续/行使区域。对于未来的研究，一个自然的方向是在当前的随机框架下考虑更复杂的期权或其他衍生品的时机策略，如期货（seeLeung et al.（2016））和信用衍生品（credit der ivatives）（见Leung and Liu（2012））。其他扩展包括引入额外的随机因素，包括随机波动性和跳到布朗-年桥，和/或考虑交易者先验信念的替代分布。6证明在本节中，我们分别在第6.1节和第6.2节的示例2（正态分布）和3（双指数分布）中提供了a（t，x）的推导。

此外，我们还提供了命题5和命题6.6.1正态分布的详细信息。如果交易者对原木价格的预期服从正态分布，那么（2.6）可以表示为a（t，x）=I（t，x）I（t，x），其中I（t，x）=Z∞-∞z扩展zx公司- Xσ（T- t）- zt2Tσ（T- t）-（z）- u）2σDdz，I（t，x）=Z∞-∞经验值zx公司- Xσ（T- t）- zt2Tσ（T- t）-（z）- u）2σDdz。接下来，我们明确地计算土地和土地。为了便于表示，我们表示η ≡ η（t）=t2Tσ（t- t） +2σD，b≡ b（t，x）=-x个- Xσ（T- t） +μσD,c=u2σD。将上述符号代入I（t，x）和I（t，x）中，并用后项表示，我们得到I（t，x）=Z∞-∞经验值-（ηz+bz+c）dz。通过应用变量y=η（z+b2η）的变化，我们得到i（t，x）=z∞-∞z扩展-（ηz+bz+c）dz=Z∞2ηexp（b- 4ηc4η）exp(-y） dy+Z∞2ηexp（b- 4ηc4η）exp(-y） dy公司-b2ηI（t，x）=-b2ηI（t，x）。紧接着就是a（t，x）=I（t，x）I（t，x）=-b2η=T（x- 十） σD+uσ（T- t） tσD+tσ（t- t） 。这与（2.5）一起给出usA（t，Xt）=a（t，Xt）- （Xt）-十） T型- t=σD（Xt- 十） +Tσ（u- （Xt）- 十） ）tσD+tσ（t- t） 。6.2双指数分布如果交易者对原木价格的先验信念遵循双指数分布，那么（2.6）可以表示为（t，x）=N（t，x）+N（t，x）H（t，x）+H（t，x），其中N（t，x）=Zθ-∞pλz expzx公司-Xσ（T- t）- zt2Tσ（T- t）- λ(θ - z）dz，N（t，x）=Z∞θpλz expzx公司- Xσ（T- t）-zt2Tσ（T- t）-λ（z- θ)dz，H（t，x）=Zθ-∞pλexpzx公司- Xσ（T- t）- zt2Tσ（T- t）- λ(θ - z）dz，H（t，x）=Z∞θpλexpzx公司- Xσ（T- t）- zt2Tσ（T- t）- λ（z- θ)dz。现在我们显式地计算N（t，x）、N（t，x）、H（t，x）和H（t，x）。

通过变量y的变化完成平方=√2ζ（z+b2ζ），我们有h（t，x）=zθ-∞pλexp-（ζz+bz+c）dz=pλ√2π√2ζexp（b- 4ζc4ζ）√2πZ√2ζ（θ+b2ζ）-∞经验值-ydy=pλ√π√ζexp（b- 4ζc4ζ）Φ（d），其中ζ ≡ ζ（t）=t2Tσ（t- t） ，b≡ b（t，x）=-x个- Xσ（T- t） +λ,c=λθ，d≡ d（t，x）=p2ζ（t）θ+b（t，x）2ζ（t）.类似地，通过应用y=√2ζ（z+b2ζ），我们得到h（t，x）=z∞θpλexp-（ζz+bz+c）dz=pλ√2π√2ζexp（b- 4ζc4ζ）√2πZ∞√2ζ（θ+b2ζ）exp-ydy=pλ√π√ζexp（b- 4ζc4ζ）Φ(-d） ，其中b≡ b（t，x）=-x个- Xσ（T- t）- λ,c=-λθ，d≡ d（t，x）=p2ζ（t）θ+b（t，x）2ζ（t）.接下来，我们分别计算变量y=ζ（z+b2ζ）andy=ζ（z+b2ζ）变化的分子中的Nand Nin。N（t，x）=Zθ-∞pλz exp-（ζz+bz+c）dz=-Z∞ζ（θ+b2ζ）pλ2ζexp（b- 4ζc4ζ）exp(-y） dy公司-b2ζH（t，x）=-pλ2ζexp-ζ（θ+b2ζ）exp（b- 4ζc4ζ）- pλb2ζ√π√ζexp（b- 4ζc4ζ）Φ（d），and n（t，x）=Z∞θpλz exp-（ζz+bz+c）dz=Z∞ζ（θ+b2ζ）pλ2ζexp（b-4ζc4ζ）exp(-y） dy公司-b2ζH（t，x）=pλ2ζexp-ζ（θ+b2ζ）exp（b- 4ζc4ζ）- pλb2ζ√π√ζexp（b- 4ζc4ζ）Φ(-d） 。6.3证明（3.12）中命题5和6区分Gstock（t，x）得出Gstock公司x（t，x）=-r+σ+（σD- Tσ）（x- 十） +μσT+σD- TσTσD+Tσ（T- t）ex，和Gstock公司x（t，x）=-r+σ+（σD- Tσ）（x- 十） +μσT+2（σD- Tσ）TσD+Tσ（T- t）ex，和Gstock公司t（t，x）=-σD- TσTσD+Tσ（T- t） exA（t，x），和Gstock公司t（t，x）=2（σD- TσTσD+Tσ（T- t） ）exA（t，x），其中A（t，x）由（2.19）给出。结果直接来自这些偏导数的符号。命题6的证明类似于命题5。参考Baurdoux，E.J.、Chen，N.、Surya，B.A.和Yamazaki，K.（2015）。布朗桥的最优双停。应用概率的进展，47（4）：1212–1234。Bensoussan，A.和Lions，J.-L.（1982年）。变分不等式在随机控制中的应用。阿姆斯特丹北荷兰出版公司。Brennan，M.J.和Schwartz，E.S.（1990）。股指期货套利。

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